AGH WGGiIŚ Kartografia I Geodezja i Kartografia
Odwzorowanie płaszczyzny w płaszczyznę. Charakterystyka odwzorowania
afinicznego płaszczyzny S1 w płaszczyznę S2
Opracowanie tematu powinno zawierać:
�� Wstęp teoretyczny z zagadnień poruszanych w temacie
�� Dane wejściowe
�� Obliczenia wraz z komentarzami i uwagami
�� Wnioski
Współrzędne punktów na płaszczyz
nie S1 i S2
S1 S2
Numer punktu X y X Y
[m] [m] [m] [m]
1 2758,346 2549,162
Współrzędne podane przez
2 4194,724 1601,287
prowadzącego
3 3516,284 3499,121
Obliczenia:
1. Obliczenie współczynników odwzorowania afinicznego płaszczyzny S1 w płaszczyznę S2:
Dana jest płaszczyzna S1 (oryginał) oraz S2 (obraz):
P1
Q1
(S2)
P2
Q2
(S1)
v
u
str. 1
mgr inż. Jolanta Knecht
AGH WGGiIŚ Kartografia I Geodezja i Kartografia
Do obliczenia współczynników wykorzystać równanie macierzowe
,
gdzie
Wykonać obliczenia kontrolne dla wszystkich współrzędnych na płaszczyz
nie S2 z
wykorzystaniem wyznaczonych współczynników.
Sprawdzić, czy odwzorowanie jest odwzorowaniem regularnym
2. Wyznaczenie równań linii parametrycznych.
Równanie linii parametrycznych przedstawia się wzorem:
Wyznaczyć równanie linii parametrycznych dla
Wyznaczyć równanie linii parametrycznych dla
Wykonać kontrolę wyznaczenia równania linii parametrycznych obliczając współrzędne Y w
płaszczyz
nie S2 przy stałym u oraz v.
Narysować linie parametryczne w S1 i S2 dla:
u-const: v-const:
u1=1 v1=1
u2=-1 v2=-1
str. 2
mgr inż. Jolanta Knecht
AGH WGGiIŚ Kartografia I Geodezja i Kartografia
3. Określenie I formy kwadratowej odwzorowania oraz współczynników Gaussa.
ru
v =� const
d r
v +� dv =� const
v =� const
P1
ru du
u +� du =� const
ds
P
r
rv dv v
u =� const
Do wyznaczenia I formy kwadratowej należy posłużyć się wzorami:
- I forma kwadratowa
, , - współczynniki Gaussa
Wyznaczyć I formę kwadratową dla płaszczyzny S1 oraz S2:
4. Sprawdzenie kąta między liniami parametrycznymi:
l1
d r
g�
d� r
P
l2
str. 3
mgr inż. Jolanta Knecht
AGH WGGiIŚ Kartografia I Geodezja i Kartografia
Dla linii parametrycznych:
L1 (linii parametrycznej v=const) mamy
L2 (linii parametrycznej u=const) mamy
Wzór na obliczenie kąta między tymi liniami przyjmuje wtedy postać:
Obliczyć kąt między liniami parametrycznymi dla płaszczyzny S1 oraz płaszczyzny S2
5. Wyznaczenie skali odwzorowania:
S2
S1 v =� const
v =� const
ds
ds
1
2
u =� const
u =� const
f : S �� S
1 2
Skalę odwzorowania można zdefiniować następująco:
Jest to tak zwana elementarna skala długości.
Przyjmując, że siatka linii parametrycznych pokrywa się z siatką główną:
str. 4
mgr inż. Jolanta Knecht
AGH WGGiIŚ Kartografia I Geodezja i Kartografia
Obliczyć skalę odwzorowania dla kierunków w przypadku boków trójkąta (wraz z
kontrolą wyznaczenia skali jako iloraz długości boków trójkąta na płaszczyznach)
6. Wyznaczenie kierunków głównych:
Kierunki główne zdefiniowane są poprzez Pierwsze Twierdzenie Tissota:
 W dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą istnieją dwa
kierunki prostopadłe, które odwzorowują się również jako kierunki prostopadłe. Kierunki te
nazywamy kierunkami głównymi.
Kierunki główne wyznacza się za pomocą następujących wzorów:
Wyznaczyć kierunki główne w odwzorowaniu wraz z kontrolą.
7. Obliczenie skali w kierunkach głównych:
x
a
b y
Obliczyć skalę oraz zniekształcenia w kierunkach głównych. Wartość zniekształceń podać w
cm/km.
str. 5
mgr inż. Jolanta Knecht
AGH WGGiIŚ Kartografia I Geodezja i Kartografia
8. Obliczenie skali w kierunkach parametrycznych:
Dla linii v=const (dv=0)
Dla linii u=const (du=0)
Sprawdzenie poprawności wykonania obliczeń z wykorzystaniem twierdzenia Apoloniusza:
Obliczyć skale w kierunkach linii parametrycznych wraz z kontrolą.
9. Wyznaczenie maksymalnego zniekształcenia kątowego:
S1 v =� const S2
v =� const
b�
b�
1
2
l1
l
2
u =� const u =� const
Zniekształcenie kąta zdefiniujemy jako różnicę kątów
Do wyznaczenia i wykorzystane zostaną wzory:
Po przekształceniach otrzymamy:
Maksymalna wartość różnicy będzie wtedy, gdy
str. 6
mgr inż. Jolanta Knecht
AGH WGGiIŚ Kartografia I Geodezja i Kartografia
Zniekształcenie kątowe zdefiniowane będzie wzorem:
Obliczyć wartości , , wraz z kontrolą
Kontrola:
10. Obliczenie zniekształcenia pola
Wzór na elementarne pole przedstawia się następująco:
Skalę pola można zdefiniować w następujący sposób:
Zniekształcenie pola wyraża się zatem następującym wzorem:
Obliczyć skalę pola i zniekształcenie wraz z kontrolą
Kontrola:
Termin oddania tematu zostanie podany przez prowadzącego.
Temat należy oddać w wersji papierowej
Na okładce należy zamieścić numer N
str. 7
mgr inż. Jolanta Knecht