Spis treści
II. FUNKCJE I ICH WA
ASNOÅšCI.....................................................................2
7. Przekształcanie wykresu funkcji przez zmianę skali i przez symetrię względem
osi.*........................................................................................................................2
Na podstawie danego wykresu funkcji y = f(x) sporządzanie wykresów
funkcji y =  f (x), y = f ( x), y =  f ( x), y = f (x  a) + b, y = k" f(x),
y = f (k" x), y = f(|x|), y = |f(x)|.*.................................................................2
Zapisywanie wzoru funkcji otrzymanej w wyniku danego
przekształcenia.*.......................................................................................21
Dział: II. FUNKCJE I ICH WA
ASNOÅšCI
Poddział: 7. Przekształcanie wykresu funkcji przez zmianę skali i
przez symetrię względem osi.*
Wymaganie: na podstawie danego wykresu funkcji y = f(x)
sporządzanie wykresów funkcji y =  f (x), y = f ( x), y =  f ( x),
y = f (x  a) + b, y = k" f(x), y = f (k" x), y = f(|x|), y = |f(x)|.*
y= f śą x źą
Z wykresu funkcji musimy potrafić utworzyć wykresy następujących
funkcji:
y=- f śą x źą

y= f śą-x źą

y=- f śą-xźą

y= f śą x-a źąƒÄ…b

y=kÅ"f śą x źą

y= f śą kÅ"x źą

y= f śą#"x#"źą

y=#" f śą xźą#"

y=- f śą x źą
Aby otrzymać wykres funkcji z funkcji pierwotnej, należy odbić
symetrycznie jej wykres względem osi OX. Innymi słowy, musimy każdą
wartość funkcji zamienić na przeciwną do niej.
Przykład I
PRZYKA
AD
Funkcja pierwotna: y=x2 .
Jej wykres wygląda następująco:
Funkcja przekształcona: y=- f śąx źą=-x2 .
Aby ułatwić przekształcanie możemy zaznaczyć na pierwotnym wykresie kilka
punktów charakterystycznych, a następnie odbić je symetrycznie względem
osi OX i na ich podstawie narysować wykres. Należy zwrócić uwagę, że w tym
przypadku nastąpi przekształcenie punktu A=(x,y) na punkt A'=(x,-y) o
przeciwnej wartości współrzędnej y.
Pokażemy to na rysunku:
y= f śą-x źą
Aby otrzymać wykres funkcji z funkcji pierwotnej, należy odbić
symetrycznie jej wykres względem osi OY. Innymi słowy, musimy każdą
wartość funkcji znajdującą się po stronie ujemnych współrzędnych x-owych
(tzn. po lewej stronie osi OY) przenieść na stronę dodatnich współrzędnych x-
owych (tzn. na prawÄ… stronÄ™ od osi OY), natomiast te z drugiej strony
przenieść na pierwszą.
PRZYKA
AD
Przykład II
x
y=
Funkcja pierwotna: .
2
x
y= f śą-x źą=-
Funkcja przekształcona: .
2
Ponownie możemy ułatwić przekształcanie - wystarczy zaznaczyć na
pierwotnym wykresie kilka punktów charakterystycznych, a następnie odbić
je symetrycznie względem osi OY i na ich podstawie narysować wykres.
Należy zwrócić uwagę, że w tym przypadku nastąpi przekształcenie punktu
A=(x,y) na punkt A'=(-x,y) o przeciwnej wartości współrzędnej x. Pokażemy to
na rysunku:
y=- f śą-xźą
Aby otrzymać wykres funkcji z funkcji pierwotnej, należy odbić
symetrycznie jej wykres względem środka układu współrzędnych. Zauważmy,
że przekształcenie to jest tożsame z odbiciem symetrycznym względem osi OY,
a następnie względem osi OX (lub odwrotnie). Innymi słowy, musimy każdy
punkt funkcji przenieść na przeciwną stroną osi OY, a następnie na przeciwną
stronÄ™ osi OX lub odwrotnie  najpierw na przeciwnÄ… stronÄ™ osi OX, a
następnie na drugą stronę osi OY.
PRZYKA
AD
Przykład III
x
dla xe"0
y=
Funkcja pierwotna: 2 .
2x dla x"Ä…0
x
--x , dla-xe"0 ,dla xd"0
y=- f śą-xźą= =
Funkcja przekształcona: 2 2 .
--2x , dla-x"Ä…0 2x ,dla xÄ…0
Zwróćmy naszą uwagę na minus w warunkach -xe"0
oraz -x"Ä…0
. Musi tam
y=- f śą-xźą
być, ponieważ przekształcenie zmienia argumenty na przeciwne,
f śą-xźą
co widać po minusie przed zmienną x: .
Aby ułatwić przekształcanie, możemy zaznaczyć na pierwotnym wykresie kilka
punktów charakterystycznych, a następnie odbić je symetrycznie względem
osi OX oraz OY i na ich podstawie narysować wykres. Należy zwrócić uwagę,
że w tym przypadku nastąpi przekształcenie punktu A=(x,y) na punkt A'=(-x,-
y) o przeciwnych wartościach współrzędnych x i y. Pokażemy to na rysunku:
y= f śą x-a źąƒÄ…b
Aby otrzymać wykres funkcji z funkcji pierwotnej, należy
T =[a , b]
Przesunąć wykres o wektor .
PRZYKA
AD
Przykład IV
T =[1,2]
Funkcja pierwotna: y=x2 , wektor .
Funkcja przeksztaÅ‚cona: y= f śą x-1źąƒÄ…2=śą x-1źą2ƒÄ…2= x2-2xƒÄ…3 .
Aby ułatwić przekształcanie, możemy zaznaczyć na pierwotnym wykresie kilka
punktów charakterystycznych, a następnie przesunąć je o dany wektor i na ich
podstawie narysować wykres. Należy zwrócić uwagę, że w tym przypadku
nastąpi przekształcenie punktu A=(x,y) na punkt A'=(x+1,y+2). Pokażemy to
na rysunku:
y=kÅ"f śą x źą
Aby otrzymać wykres funkcji z funkcji pierwotnej, należy zwiększyć
odległość każdego punktu od osi OX k-krotnie. Innymi słowy, jeśli wcześniej
wartość dla danego argumentu była równa y, to po przekształceniu będzie
k e"0
równa k" y. Powyższy algorytm postępowania jest prawidłowy dla liczb .
Należy jednak zdefiniować co oznacza zwiększenie odległości, np. minus
#"k#"
dwukrotnie. Oznacza to zwiększenie odległości -krotnie oraz odbicie
symetryczne względem osi OX.
PRZYKA
AD
Przykład V
Funkcja pierwotna: y=x2 , k=1/4.
1Å"f 1
y= śą xźą= x2
Funkcja przekształcona: .
4 4
Aby ułatwić przekształcanie, możemy zaznaczyć na pierwotnym wykresie kilka
punktów charakterystycznych, a następnie zmienić ich odległość od osi OX w
sposób pokazany wcześniej i na ich podstawie narysować wykres. Należy
zwrócić uwagę, że w tym przypadku nastąpi przekształcenie punktu A=(x,y)
na punkt A'=(x,k" y). Pokażemy to na rysunku:
y=kÅ"f śą x źą
Warto zauważyć, że przekształcenie powoduje  spłaszczenie lub
 wydłużenie wykresu funkcji w kierunku pionowym.
y= f śą kÅ"x źą
Aby otrzymać wykres funkcji z funkcji pierwotnej, należy
podstawić za każdy argument x, zmienną k-krotnie większą. Innymi słowy, za
wartość dla argumentu x na wykresie, podstawiamy wartość dla współrzędnej
x k-krotnie większej. W przypadku ujemnych k, należy podstawić wartość
argumentu |k|-krotnie większego i w dodatku przeciwnego.
PRZYKA
AD
Przykład VI
Funkcja pierwotna: y=x3 , k=1/3.
1Å"xźą=śą 1Å"xźą3=śą 1źą3Å"x = 1
3
Funkcja przeksztaÅ‚cona: y= f śą Å"x3 .
3 3 3 27
Ponownie, aby ułatwić przekształcanie, możemy zaznaczyć na pierwotnym
wykresie kilka punktów charakterystycznych, a następnie przenieść je w
zdefiniowany przez nas sposób. Należy zwrócić uwagę, że w tym przypadku
nastąpi przekształcenie punktu A=(x,y) na punkt A'=(x,f(k" x)). Pokażemy to
na rysunku:
y= f śą#"x#"źą
Aby otrzymać wykres funkcji z funkcji pierwotnej, należy
pozostawić część wykresu leżącą po stronie dodatnich współrzędnych x,
natomiast zamiast części leżącej po przeciwnej stronie osi OY należy
narysować wykres pozostawiony odbity symetrycznie względem osi OY.
Innymi słowy, za wartość dla argumentu x ujemnego podstawiamy wartość
dla x przeciwnego (tzn. dodatniego).
Przykład VII
PRZYKA
AD
Funkcja pierwotna: y=-x3 .
Funkcja przekształcona: y=-#"x#"3=-#"x3#" .
y=#" f śą xźą#"
Aby otrzymać wykres funkcji z funkcji pierwotnej, należy
pozostawić część wykresu leżącą ponad osią OX, a leżącą poniżej odbić
symetrycznie względem tej osi.
PRZYKA
AD
Przykład VIII
Funkcja pierwotna: y=-x3 .
Funkcja przekształcona: y=#" f śąxźą#"=#"-x3#"=#"x3#" .
Przykład IX
PRZYKA
AD
2
f śą x źą=x dla xe"0
y=- f śą x źą
Narysuj wykresy funkcji w przekształceniach: ,
x dla x"Ä…0
y= f śą-x źą y=- f śą-xźą y= f śą x-a źąƒÄ…b y=kÅ"f śą x źą y= f śą kÅ"x źą y= f śą#"x#"źą
, , , , , ,
y=#" f śą xźą#" k =3 a=2 b=1
, jeśli , , .
2
f śą xźą=x dla xe"0
Wykres .
x dla x"Ä…0
y=- f śą x źą
Wykres .
y= f śą-x źą
Wykres .
y=- f śą-xźą
Wykres .
y= f śą x-2źąƒÄ…1
Wykres .
y=3Å" f śą xźą
Wykres .
y= f śą3Å"xźą
Wykres .
y= f śą#"x#"źą
Wykres .
y=#" f śąxźą#"
Wykres .
Dział: II. FUNKCJE I ICH WA
ASNOÅšCI
Poddział: 7. Przekształcanie wykresu funkcji przez zmianę skali i
przez symetrię względem osi.*
Wymaganie: zapisywanie wzoru funkcji otrzymanej w wyniku
danego przekształcenia. *
y= f śą x źą
Z wzoru funkcji musimy potrafić utworzyć wzór następujących
funkcji:
y=- f śą x źą

y= f śą-x źą

y=- f śą-xźą

y= f śą x-a źąƒÄ…b

y=kÅ"f śą x źą

y= f śą kÅ"x źą

y= f śą#"x#"źą

y=#" f śą xźą#"

Należy w tym przypadku:
y=- f śą x źą
- postawić przed funkcją pierwotną znak  - .
y= f śą-x źą
- podstawić za x w funkcji pierwotnej wyrażenie (-x). Trzeba
zwrócić uwagę na nawias, gdyż może on mieć duże znaczenie, np. jeśli
2
y=x , to wzór przekształconej funkcji wygląda następująco:
y=śą-xźą2= x2 . Niepostawienie nawiasu prowadzi do błędnego wyniku:
y=-x2 . Jak pokazuje doświadczenie, wielu uczniów popełnia ten błąd.
y=- f śą-xźą
- podstawić za x wyrażenie (-x) oraz postawić znak  - przed
całym wyrażeniem.
y= f śą x-a źąƒÄ…b
- podstawić za x wyrażenie (x-a) oraz do całej funkcji
T =[a , b]
dodać b. Oczywiście oznacza to przesunięcie o wektor .
Zwracamy uwagę na minus oraz nawias w wyrażeniu (x-a).
y=kÅ"f śą x źą
- wymnożyć całe wyrażenie (całą funkcję pierwotną) przez k.
y= f śą kÅ"x źą
- podstawić za x wyrażenie k" x.
y= f śą#"x#"źą
- podstawić za x wyrażenie |x|, czyli moduł z x.
y=#" f śą xźą#"
- wstawić całe wyrażenie będące pierwotną funkcją między
pojedyncze pionowe linie oznaczające moduł.
PRZYKA
AD
Przykład
y=- f śą x źą y= f śą-x źą
Przekształć wzór podanej funkcji do postaci: , ,
y=- f śą-xźą y= f śą x-a źąƒÄ…b y=kÅ"f śą x źą y= f śą kÅ"x źą y= f śą#"x#"źą y=#" f śą xźą#"
, , , , ,
jeśli:
y= f śą xźą=xƒÄ…1 k =2 a=1 b=-1
, , ,
k =0 a=1 b=-1
y= f śą xźą=x2-1 , , ,
y= f śą xźą=xƒÄ…1 k =2 a=1 b=-1
Pierwsza funkcja: , , , .
y=- f śą x źą=-śą xƒÄ…1źą=-x-1
y= f śą-x źą=śą-x źąƒÄ…1=-xƒÄ…1
y=- f śą-xźą=-śąśą-x źąƒÄ…1źą=-śą-xƒÄ…1źą=x-1
y= f śą x-a źąƒÄ…b=śą x-aźąƒÄ…1ƒÄ…b=xƒÄ…1-aƒÄ…b=xƒÄ…1-1-1= x-1
y=kÅ"f śą x źą=kÅ"śą x ƒÄ…1źą=kÅ"x ƒÄ…k=2 xƒÄ…2
y= f śą kÅ"x źą=śą kÅ"x źąƒÄ…1=k xƒÄ…1=2xƒÄ…1
y= f śą#"x#"źą=#"x#"ƒÄ…1
y=#" f śą xźą#"=#"xƒÄ…1#"
2
k =0 a=1 b=-1
Druga funkcja: y= f śą xźą=x -1 , , , .
y=- f śą xźą=-śą x2-1źą=-x2ƒÄ…1
y= f śą-xźą=śą-xźą2-1= x2-1
y=- f śą-xźą=-śąśą-xźą2-1źą=-śą x2-1źą=-x2ƒÄ…1
y= f śą x-aźąƒÄ…b=śą x-aźą2-1ƒÄ…b=x2-2axƒÄ…a2-1ƒÄ…b=x2-2xƒÄ…12-1-1=x2-2x-1
y=kÅ"f śą xźą=kÅ"śą x2-1źą=kÅ"x2-k=0ƒÄ…0=0
y= f śą kÅ"xźą=śą kÅ"xźą2-1=śą0Å"xźą2-1=0-1=-1
y= f śą#"x#"źą=#"x#"2-1=x2-1
y=#" f śą xźą#"=#"x2-1#"