ZJAWISKA TRANSPORTU
Procesy ruchu ładunków/ masy/ energii pod
wpływem czynników zewnętrznych (E B "T "�)
ZAA
OŻENIA (1)
Stan równowagowy opisuje funkcja FD;
Gdy pojawiają się pola zewnętrzne, rozkład elektronów
według stanów zmienia się. Rozkład ten opisuje
nierównowagowa funkcja rozkładu f(r,k,t);
Aby spełniona była zasada nieoznaczoności:
"r"k e" 1
Co oznacza że nie można rozważać procesów bardzo
lokalnych i krótkotrwałych.
Zewnętrzne pola są na tyle słabe że nie powodują
zmiany widma energii elektronów.
Tw. Liuivlle a: objętość przestrzeni fazowej nie zmienia
się przy przekształceniach określanych quasi
klasycznymi równaniami ruchu
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
Ilość cząstek w chwil t w elemencie objętości d3rd3k
wokół p-tu r, k:
r
d3r
dN = f (r, k, t)G(k)d3k
r
V
Wiedząc, że gęstość stanów wynosi:
V V
G(k) = �" 2 =
8Ą3 4Ą3
Otrzymujemy:
r
1
dN = f (r, k, t)d3kd3r
r
4Ą3
Ilość cząstek może zmienić się wskutek dyfuzji,
działania siły lub rekombinacji. W związku z tym,
cząstki, które w chwili t były w okolicy p-ktu r, k są
teraz (w chwili t') w otoczeniu punktu r', k'. Zatem:
r r
f (r, k, t)d3rd3k = f (r',k', t)d3r'd3k'
r r
r r
f (r, k, t) = f (r', k', t)
r r
r
Tw. Liouiville'a
df (r, k, t) = 0
r
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
Stąd mamy:
r
df "f "f dr "f dk
r
0 = = + + r
dt "t "r dt "k dt
r
r
"f 1
r
= -v"rf - F"kf
"t h
Siła działająca na elektron w krysztale może być
dwojakiego rodzaju:
 siła zewnętrzna, którą można łatwo obliczyć i
która praktycznie nie zależy od położenia
elektronu w krysztale
r r r
r
Fzewn = q(� + v� B)
 Siła wewnętrzna, której nie da się analitycznie
obliczyć i która bardzo silnie zależy od
położenia elektronu w krysztale.
+ +
-
-
-
+ +
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
Widać stąd, że tylko statystycznymi metodami możliwe
jest obliczenie sił wewnętrznych. Zapisujemy tę
część równania jako:
"f
�# ś#
= I[f ]
ś# ź#
Całka zderzeń
"t
�# #col
Całkę zderzeń oblicza się zakładając, że
prawdopodobieństwo rozproszenia zależy jedynie
od wektorów falowych elektronu w stanie końcowym
i początkowym. Oznacza to ZAA
OŻENIE (2), że nie
ma korelacji pomiędzy elektronami.
r
"f(r,k, t) 1
r
= -v"r f(r,k, t) - F"k f(r,k, t) + I[f ]
"t h
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
r
" f(r,k,t) r 1 " f
= -v"r f(r,k, t) - F"k f(r,k, t) + ( )c
"t h " t
Przybliżenie czasu relaksacji:
ZAA
OŻENIA (3):
 małe odchylenie funcj rozkładu od równowagi;
f(r,k,t)- f (r,k)
"f
0
( )c -
=
"t �(k)
Rozwiązanie równania kinetycznego Boltzmanna w stanie
stacjonarnym, w ramach przybliżenia czasu relaksacji jest
postaci:
f(r,k) = f0(r,k) + f(1)(r,k) + f(2)(r,k) + .....
Wiedząc, że:
fo(r,k) = (exp(E-�)/kT + 1)-1, gdzie � = �(r), T = T(r), E = E(k) -
energia kinetyczna;
F = e (E + v x B)
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
po przybliżonych rachunkach otrzymuje się, że:
"
f
(1)
0
f (r,k)= - ż(r,k)v
"E
gdzie
r
"kT
ń#
ż(r,k) = -�(k)Ą#- qE + � + (E- �)
"r
ó# Ą#
T
Ł# Ś#
Równanie kinetyczne Boltzmanna:
W pierwszym przyblżeniu (uwzględniając jedynie f(1)
natomiast zaniedbując jej pochodne) otrzymaliśmy:
r
" "kT
ń#v
f
0
(1)
(r,k) = �(k)Ą#- qE + � + (E- �)
f "r
ó# Ą#
"E T
Ł# Ś#
Widać że było to zbyt gube przybliżenie. W następnym
kroku uwzględnimy pochodną f(1) występującą w
wyrazach zawierających indukcję pole
magnetycznego. W rezultacie obliczeń otrzymujemy
wyrażenie analogiczne do poprzedniego:
"
f
(1)
0
f (r,k)= - ż(r,k)v
"E
I w przypadu skalarnej masy efetywnej funkcja wektorowa
ż(r k) wynosi:
r
"T
Ą#qE - "� - (E - �) ń#
�
ó# Ą#
r
r
T
Ł# Ś#
ż(r ,k) = +
2
q2�
1+ B2
m"2
2
r r
q� "T
Ą#qE - "� - (E - �) ń#
� B
Ą#
T
Ł# Ś#
m" ó#
+
2
q2�
1+ B2
m"2
3
r r r
q2� "T
Ą#qE - "� - (E - �) ń#
B �" �" B
ó# Ą#
T
Ł# Ś#
m"2
2
q2�
1+ B2
m"2
Szczególny przypadek: tylko pole elektryczne
Szczególny przypadek: tylko gradient temperatury
Gęstość prądu i strumienia energii
cieplnej
r
1
r
j =
+"vqf (1)d3k
3
4Ą
&!B
r
1
r
W =
+"vEf (1)d3k
3
4Ą
&!B
gęstość prądu
r
"T r
Ą# ń#v
qE + "� + (E - �)
Ą#
r
"f0 r ó#-
q r T
Ł# Ś#
j = v � (k ) d3k +
+"
3 2
"E
4Ą q2�
strefaB
1+ B2
m"2
r r
�# "T ś#
r
Ą# ń#
r ś# qE + "� + (E - �) � Bź#v
ś# ź#
ó#- Ą#
T
"f0 � (k )2q
q r
Ł# Ś#
�# #
v d3k +
+"
3 2
"E m *
4Ą q2�
strefaB
1+ B2
m"2
r r r
�# "T ś#
r
ń#Bź#v
r ś#BĄ#- qE + "� + (E - �)
ź#
Ą#
T
"f0 �(k )3q2 ś# ó#
q r
Ł# Ś#
�# #
v d3k
+"
3 2
"E
4Ą m *2 q2�
strefaB
1+ B2
m"2
gęstość prądu
Można zauważyć, że struktura poszczególnych wyrazów
wzoru na gęstość prądu jest podobna. We wszystkich
całkach mamy:
 taki sam mianownik;
 iloczyny skalarne wektora prędkości i jakiegoś
wektora, który nie zależy od k (E, B, gradT,...);
 iloczyny te sa mnożone jeszcze raz przez prędkość;
 wszędzie jest df0/dE
 wszędzie jest jakaś potęga czasu relaksacji (1-3);
 wszędzie jest jakaś potęga energii (0-1);
Dzięki temu, można uprościć zapis, wprowadzając pojęcie tzw
współczynników kinetycznych.
r
"T r
Ą# ń#v
qE + "� + (E - �)
Ą#
r
q r "f0 r ó#-
T
Ł# Ś#
j = v � (k ) d3k +
+"
3 2
"E
4Ą q2�
strefaB
1+ B2
m"2
r r
�# "T ś#
Ą# ń# r
r ś# qE + "� + (E - �) � Bź#v
ś# ź#
ó#- Ą#
T
q r "f0 � (k )2q
Ł# Ś#
�# #
v d3k +
+"
3 2
"E m *
4Ą q2�
strefaB
1+ B2
m"2
r r r
�# "T r
ś#
ń#Bź#v
r ś#BĄ#- qE + "� + (E - �)
ź#
Ą#
"f0 T
q r � (k )3q2 ś# ó#
Ł# Ś#
�# #
v d3k
+"
3 2
"E
4Ą m *2 q2�
strefaB
1+ B2
m"2
gęstość prądu
Rozważmy zatem ogólne wyrażenie:
r
r r
r
1 "f0 -1 r (Gv)v
M = - Er � (k )s d3k
+"
3 2
"E
4Ą q2�
strefaB
1+ B2
m"2
("Gjv )vi
1 "f0 -1 r
j
Mi = - Er � (k )s d3k
+"
3 2
"E
4Ą q2�
strefaB
1+ B2
m"2
Oznaczając:
v vi
1 "f0 -1 r
j
K'ij = - Er � (k )s d3k
rs
+"
3 2
"E
4Ą q2�
strefaB
1+ B2
m"2
otrzymujemy:
Mi =
"K'ij Gj
rs
j
r r r
M = K'rs G
r
"T "T
�#q r ś#
2 ' ' '
j = K11E - qK11"� - qK' + qK11� +
ś# ź#
21
T T
�# #
r
�# ś#
q3 ' r q2 ' q2 "T q2 ' "T
+ ś# K12E - K12"� - K' + K12� ź#
ś# ź#� B +
m* m* m* 22 T m* T
�# #
r r
�# ś#
q4 ' r q3 ' q3 "T q3 ' "T
ś#
+ B�"ś# K13E - K13"� - K' + K13� ź#
ź#�" B
m*2 m*2 m*2 23 T m*2 T
�# #
r r
"T "T
�#qK E - K' "� - K31 + K' � ś#
' '
W = +
ś# ź#
21 21 21
T T
�# #
r r
�# ś#
q2 q q "T q "T
'
ś# ź#
+ K' E - K' "� - K32 + K' �
ś# ź#� B +
m* 22 m* 22 m* T m* 22 T
�# #
r r r
�# ś#
q3 q2 q2 ' "T q2 "T
ś# ź#
+ B�"ś# K' E - K' "� - K33 + K' �
ź#�" B
m*2 23 m*2 23 m*2 T m*2 23 T
�# #
Gdzie, współczynniki kinetyczne zdefiniowane są
następująco:
1 Er-1�s "fFD
K'ij = - vivjd3k
rs
+"
4Ą3 q2�2 "E
strefaBr
1+ B2
m*2
Co, w przypadku sferycznych powierzchni
izoenergetycznych daje:
2�ij " Er� s
"fFD
'ij
Krs = - G(E) dE
+"
2
"E
3m*V q2�
0
1+ B2
m*2
G(E) jest gęstoscią stanow, delta jest deltą Kroneckera
Półprzewodnik niezdegenerowany
E -�
-
" 1
f
0
kT
f0 = e = - f0
"E kT
f0G(E)dE
dn =
V
"
s
2 Er�
'
Krs = dn
+"
2
3m*kT q2�
0
1+ B2
m*2
"
s
Er�
dn
+"
2
q2�
0
1+ B2
2 n
'
m*2
Krs =
3kT
m*
+"dn
s
n Er�
'
Krs =
2
m* q2�
1+ B2
m*2
Półprzewodnik niezdegenerowany
"
s
Er�
dn
+"
2
q2�
0
1+ B2
s
Er� 2
m*2
=
2
3kT
q2�
+"dn
1+ B2
m*2
 średni czas relaksacji �s w potędze s z wagą
Metal i półprzewodnik zdegenerowany
"
f
0
f0 = fFD = funkcja delta Diraca = � (E - �)
"E
s
2 �r�
'
Krs = G(�)
2
3m*V q2�
1+ B2
m*2
Przewodnictwo elektryczne i
ruchliwość nośników ładunku
j = �E � = q2K11
r
v
qK11
� a" � =
r
n
E
ż#ne2 �n �#
�# �#
półprz.
�# �#
m"
� =
�# Ź#
ne2�(�)
�# �#
metal
�# �#
�# m" �#
Przewodnictwo elektryczne:
zależność od temperatury
Przewodność elektryczna zależy od: koncentracji
nośników ładunku, ich masy efektywnej oraz od
czasu relaksacji. W przypadku metali tylko czas
relaksacji zależy od temperatury. W
półprzewodnikach: również koncentracja nośników
ładunku.
W obu przypadkach, zatem, aby zbadać zależność
przewodnictwa elektrycznego od temperatury,
należy najpierw przeanalizować zależność
temperaturową czasu relaksacji.
Istnieje wiele mechanizmów rozpraszania elektronów:
 na fononach
 domieszkach zjonizowanych
 domieszkach obojętnych
 innych defektach (np. dyslokacjach)
 domieszkach magnetycznych (efekt Kondo)
 elektronach
Przewodnictwo elektryczne:
zależność od temperatury
Wszystkie procesy rozpraszania są obecne
jednocześnie. O tym, który z nich, w danych
warunkach dominuje decyduje proces najszybszy
(reguła Matthiesena).
Reguła Matthiesena: prawdopodobieństwo
rozproszenia elektronu jest sumą
prawdopodobieństw rozproszenia za pomocą
poszczególnych procesów:
1
=
"�1
�
i
Przewodnictwo elektryczne:
zależność od temperatury
" W temperaturach wysokich dominuje rozpraszanie
elektron-fonon
METAL I PÓA
PRZEWODNIK
PÓA
PRZEWODNIK
ZDEGENEROWANY
NIEZDEGENEROWANY
V = V na poziomie Fermiego =
V jest proporcjonalne do T1/2
const
" średnia droga swobodna elektronu jest odwrotnie proporcjonalna
do koncentracji fononów, tzn:  "T-1;
Czas relaksacji :
�" /v " T-1.
Czas relaksacji :
<� > "/v " T-3/2.
W niskich temperaturach w
metalu zachodzi niskokątowe
rozpraszanie elektron-fonon, w
którym:
� " T-5.
Przewodnictwo elektryczne:
zależność od temperatury
" W temperaturach niskich dominuje rozpraszanie elektron-
domieszki zjonizowane
METAL I PÓA
PRZEWODNIK PÓA
PRZEWODNIK
ZDEGENEROWANY NIEZDEGENEROWANY
V = V na poziomie Fermiego =
const
V jest proporcjonalne do T1/2
" średnia droga swobodna elektronu jest odwrotnie proporcjonalna
do koncentracjidomieszek  = const
Czas relaksacji :
Czas relaksacji :
� " /v = const
<�> " < v4>l/v " T3/2.
Przewodnictwo elektryczne:
zależność od temperatury
" W bardzo czystych metalach, w niskich temperaturach
obserwuje się wkład do oporu od rozpraszania elektron-
elektron.
Oba elektrony uczestniczące w rozpraszaniu
muszą mieć energię w zakresie kT wokół energii
Fermiego. Dlatego prawdopodobieństwo
rozproszenia jest zależne od temperatury:
2
1 (kT)
=
2
� EF
Inne defekty
Domieszki obojętne, dyslokacje, naprężenia i inne
defekty wnoszą wkład do oporu resztkowego (albo
bardzo słaba zależność od temperatury, albo stały
czynnik).
Efekt Kondo
" W niektórych metalach zawierających domieszki
magnetyczne obserwuje się tzw efekt Kondo: minimum
oporu w pewnej, niskiej temperaturze. Za to zjawisko
odpowiedzialne jest rozpraszanie elektronów ze zmianą
spinu.
Podsumowanie
Obserwowana zależność czasu relaksacji / ruchliwości
/ oporu od temperatury zależy od rodzaju materiału.
1. Półprzewodniki niezdegenerowane
2. Metale i półprzewodniki zdegenerowane.
Zależność ruchliwości (czasu relaksacji) od
temperatury w półprzewodniku
niezdegenerowanym.
Zależność ruchliwości (czasu relaksacji) od
temperatury w półprzewodniku
niezdegenerowanym wraz z prawdziwymi
wynikami.
O przewodnictwie połprzewodnika decyduje
zależność koncentracji nośników ładunku od
temperatury. W przypadku półprzewodnika
domieszkowanego:
ln(n)
Intrinsic
slope = -Eg/2k
Ts Ionization
Extrinsic
slope = -"E/2k
ln(Nd)
Ti
ni(T)
1/T
Fig. 5.15: The temperature dependence of the electron
concentration in an n-type semiconductor.
From Principles of Electronic Materials and Devices, Second Edition, S.O. Kasap (� McGraw-Hill, 2002)
http://Materials.Usask.Ca
Zależność oporu metalu i
półprzewodnika zdegenerowanego
od temperatury w całym zakresie:
100
� " T
10
1
� (n&! m)
3.5
0.1
� " T
3
� " T5
2.5
0.01
2
1.5
� " T5
0.001
1
� = �R
0.5
� = �R
0.0001
0
0 20 40 60 80 100
T (K)
0.00001
1 10 100 1000 10000
Temperature (K)
Fig.2.7: The resistivity of copper from lowest to highest temperatures
(near melting temperature, 1358 K) on a log-log plot. Above about
100 K, � " T, whereas at low temperatures, � " T 5 and at the
lowest temperatures � approaches the residual resistivity �R . The
inset shows the � vs. T behavior below 100 K on a linear plot ( �R
is too small on this scale).
From Principles of Electronic Materials and Devices, Second Edition, S.O. Kasap (� McGraw-Hill, 2002)
http://Materials.Usask.Ca
Resistivity (n
&!
m)
Zjawiska galwanomagnetyczne
Efekt Halla
Magnetorezystancja (Gaussa)
Zjawisko Halla
Warunki zewnętrzne:
B=(0,0,B)
E=(Ex,0,0)
Wszelkie inne gradienty=0
Są dwie możliwe
konfiguracje:
1. jak na rysunku,
czyli przypadek skończony
(jy=0)
2. przypadek
nieskończony (Ey=0)
Zjawisko Halla
Przypadek słabego pola magnetycznego. Warunek,
kiedy pole jest słabe:
1 tor elektronu w czasie pomiędzy jednym zderzeniem a
drugim (�) w polu magnetycznym jest słabo zakrzywiony
�c 2Ąm"
<< 1�! B <<
2Ą� q�
2 mianowniki występujące w wyrażeniach na współczynniki
kinetyczne można zaniedbać
m"
B <<
q�
Warunek 2 jest silniejszy
Zjawisko Halla: przypadek skończony,
słabe pole, jeden rodzaj nośników
ładunku
3
�# ś#
r r r r
q
2 ' '
ś# ź#
j = (q K E )+ K E � B
11 12
*
ś# ź#
m
�# #
Korzystając z warunku zerowania się prądu w kierunku y:
�#
K12 ś#
2 3
ś# ź#E B
j = (q K11)E - q
x x z
ś# ź#
m "
�# #
�#K ś#
)
0 = jz =(q2K11Ez -q3ś# 12 ź#ExB
ś#
m" ź#
�# #
�#
K12 ś#
ś# ź#E B
q
x
ś#
m" ź#
�# #
Ez = - a" EH = R(B � j )
(K11)
Stała Halla:
qK '12
m"K '11
R =
2
�# ś#
2
�# ś#
q K '12 ź#
2
ś#
q K '11 ś#1+ B2 ź#
ś# ź#
m"2 ś# K '11 ź#
�# #
�# #
Stała Halla:
W słabym polu magnetycznym wyrażenie w mianowniku R jest
znacznie mniejsze niż 1, oraz :
2
e2n �
n �
� = e2K11=
K =
12
m"
"
m
Przyjmiemy
oznaczenia:
2
� 2
nA�
Zatem:
A =
K12 =
2
�
m"
I stała Halla:
1
R = A
qn
Gdy dwa rodzaje nośników ładunku (w
słabym polu):
p n
�# ś#
p n
ś#K12 K12 ź#
jx = jnx + jpx =(e2K11 +e2K11)Ex -e3ś# -
mp mn ź#EzB
�# #
p n
�# ś#
p n
ś#K12 K12ź#
0= jz = jnz +jpz =(e2K11+e2K11)Ez -e3ś# -
mp mn ź#ExB
�# #
p n
�# ś#
Licznik może=0
ś#K12 K12 ź#
e3ś# -
nawet, gdy są
mp mn ź#ExB
�# #
swobodne nośniki
Ez =
p n
(e2K11 +e2K11)
ładunku
Zjawiska termomagnetyczne
Zjawiska obserwowane w
obecności B i grad T
Efekt Righi-Leduca
Pojawienie się poprzecznego gradientu temperatury (analogicznie
do efektu Halla ). W następujących warunkach:
r
dT
j = 0; B = (0,B,0), "T (przylozony) = ( ,0,0)
dx
Pojawia się poprzeczny gradient temperatury:
"zT = ARLB"xT
Efekt Righi-Leduca (fenomenologicznie)
Niech pole magnetyczne będzie prostopadle do kartki.
Wyobraz
sobie bryłkę materiału:
Ponieważ wypadkowy strumień elektronów jest skierowany od
strony gorącej do zimnej, to więcej gorących elektronów znajdzie
się po jednej stronie bryłki, niż po drugiej.
gorąco
zimno
Poprzeczne zjawisko Nernsta -Ettingshausena
W warunkach takich samych jak w zjawisku RL pojawia się
poprzeczne pole elektryczne (termogalwanomagnetyczny efekt).
Skoro, jak w zjawisku RL powstaje gradT w kierunku z, to
wywołuje on przepływ elektronów od ściany ciepłej do zimnej.
Następuje akumulacja ładunku na jednej ścianie i powstaje pole
elektryczne, które wywołuje prąd przeciwny tak że w sumie prądy
termiczny i elektryczny wzdłuż z się znoszą.
NE NE
Ez = AĄ" B"xT
Efekt Maggie-Righi-Leduca
W warunkach takich jak w zjawisku RL, pojawia się również
podłużny gradient temperatury (lub zmiana przewodności cieplnej
w kierunku gradientu temperatury).
Gradientowi temperatury odpowiada, jak zwykle, pole
elektryczne: podłużne zjawisko Nernsta
Ettingshausena:
Podłużne zjawiska Nernsta -Ettingshausena
Niech pole magnetyczne będzie prostopadle do kartki.
Znowu wyobraz
sobie bryłkę materiału:
Gorące elektrony mając większą prędkość są słabiej zakrzywiane
niż te zimniejsze i w związku z tym docierają dalej. W związku z
tym powstaje dodatkowy, oprócz wytworzonego, gradient
temperatury, który z kolei powoduje powstanie pola elektrycznego
wzdłuż próbki.
gorąco
zimno
Transport ciepła
Zakładamy:
"T`"0, B=0;
Otrzymujemy zatem:
r r
"T "T
�#q2K' E - qK11"� - qK21 + qK11� ś#
' ' '
j =
ś# ź#
11
T T
�# #
r r
1 1 K21 "T 1 "T
E = j + "� + - �
qK11 T q T
q2K11 qK11
Omowy Niejednorod Pole wynikające z
spadek ność nieizotermicznych
potencjału materiału warunków
2
r r
1 K31K11 - K21
W = j - "T
K11T
q2K11
r r
W = j - �el"T
Transport ciepła
Transport ciepła wskutek zjawisk
wskutek
dyfuzyjnych wynikających z istnienia
uporządkowanego
gradientu temperatury
ruchu ładunków
Całkowite przewodnictwo cieplne ciała stałego jest sumą
przewodnictwa elektronowego i sieciowego. W metalach
poniżej temperatury Debye a dominuje przewodnictwo
elektronowe. W półprzewodnikach dopiero w wysokich
temperaturach przewodnictwo elektronowe staje się istotne
(InSb T>500K, Si T>1000K).
W metalach znane jest również eksperymentalne prawo
Wiedemannna  Franza:
2
� 1 Ąk
�# ś#
L = = = const
ś# ź#
�T 3 e
�# #
Wyniki doświadczalne:
NaF
miedz
(przewodnictwo
wyłącznie
fononowe
Dyskusja elektronowego przewodnictwa cieplnego
metalu
2
UWAGA: Po podstawieniu
K31K11 - K21
�el =
przybliżonego wyrażenia na
K11T
współczynniki kinetyczne
s
2 �r�
'
otrzymujemy, że �el metalu... =0. Krs = G(�)
2
3m*V q2�
1+ B2
Mniej przybliżone obliczenia
m*2
(rozwinięcie Sommerfelda) dają:
2
2
1 Ą k2n�T � 1 Ąk
�# ś#
ne2�
L = =
�el = ś# ź#
� =
�T 3 e
3 m * �# #
m *
1. Temperatury wysokie (fonony o wszystkich
możliwych energiach są wzbudzone)
-1
� " T
-1
� " T
�el " �T = const
Dyskusja elektronowego przewodnictwa cieplnego
metalu
2
2
1 Ą k2n�T � 1 Ąk
�# ś#
ne2�
L = =
�el = ś# ź#
� =
�T 3 e
3 m * �# #
m *
2. Temperatury niskie (fonony o energii rzędu kT są
wzbudzone)
4
-5
Edrgan
v T
+"C dT
3 � " T
nfon = = " " T
Efononu kT T
-3
� " T
-2
�el " �T = T
2. Temperatury bardzo niskie (fonony można
zaniedbać, rozpraszanie na domieszkach)
Rozpraszanie na domieszkach
jest sprężyste: nie ma wpływu
na przewodnictwo cieplne.
� = const
�el " �T " T
Zjawiska termoelektryczne
W ogólności, w obecności gradientu temperatury i
innych czynników (prąd lub pole elektryczne) mogą
zachodzić rozmaite zjawiska.
Analiza ogólna:
2
r r
1 K31K11 - K21
W = j - "T
K11T
q2K11
r r
W = j - �el"T
Moc wydzielana przy przepływie prądu, na jednostkę
objętości:
2
r r
v
j 1 K21 - �K11 r "T
P = jE = + j"� + j
� qK11 qK11 T
Zjawisko Seebecka.
Zachodzi w układzie dwóch materiałów będących ze sobą w
kontakcie. Jeśli jedno złącze ma inną temperaturę niż drugie,
to pojawia się różnica potencjałów. j=0.
W każdym z materiałów
powstaje pole elektryczne:
1 K21 - �K11 "T
ET = "� + = ą"T
qK11 qK11 T
ą  bezwzględna siła termoelektryczna
�# ś#
1 d� K21 - �K11 1
ś# ź#
ą = +
metal (10-6 V/K)
ź#
qK11 ś# dT qK11 T
�# #
�# ś#
1 K21 - �K11 1
półprzewodnik (10-3 V/K)
ś# ź#
ą =
ź#
qK11 ś# qK11 T
�# #
T 2
"V = - dl =
T B
+"E +"(ą -ąA)dT
T1
ES. Jest jednym ze sposobów wyznaczania znaku
dominujących nośników ładunku.
Zjawisko Peltiera.
Zachodzi w układzie dwóch materiałów będących ze sobą w
kontakcie. Jeśli przez układ materiałów płynie prąd, to złącze
się albo ogrzewa, albo oziębia.
Przez każdy z materiałów
płynie strumień ciepła,
towarzyszący przepływowi
prądu:
r r
W = j
Gdy jest złącze:
r r r r
W1 = 1j , W2 = 2 j
W złączu musi się albo wydzielić różnica, albo zostać
pochłonięta z otoczenia.
Zjawisko Thomsona.
Zachodzi w przewodniku, przez który płynie prąd w obecności
zewnętrznego gradientu temperatur. Polega na tym, że albo
wydziela się, albo jest absorbowane ciepło (powyżej bądz

poniżej ciepła Joule a  Lenza).
r
PT = -� ("Tj )
Ogrzewanie następuje wtedy, gdy zewnętrzne i
termoelektryczne pole są skierowane zgodnie.
a: ogrzewanie b: chłodzenie