Podstawy wymiany ciepla
PODSTAWY WYMIANY CIEPA
A
1. Podstawowe pojęcia w wymianie ciepła
Sposoby transportu ciepła:
ż� przewodzenie
ż� konwekcja
- swobodna
- wymuszona
ż� promieniowanie
Transport ciepła w ciałach stałych odbywa się na drodze przewodzenia. Z przewodzeniem
ciepła mamy do czynienia, gdy makroskopowe części ośrodka nie przemieszczają się wzglę-
dem siebie. Podstawowym sposobem transportu ciepła w płynach (cieczach i gazach) jest
konwekcja. W przypadku konwekcji płyn przemieszcza się i miesza. W płynach ciepło może
być też przewodzone. Gdy ruch płynu spowodowany jest różnicą temperatur w płynie, mamy
do czynienia z konwekcją swobodną. W przypadku konwekcji wymuszonej przemieszczanie
płynu wywołane jest przez pompę lub sprężarkę. Promieniowanie ciepła polega na transporcie
energii w postaci promieniowania elektromagnetycznego o określonej długości fal.
Pole temperatury
- niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu)
T =� f (�x, y, z,t)� (1.1)
- stacjonarne (temperatura w danym punkcie ciała nie zależy od czasu)
T =� f (�x, y, z)� (1.2a)
ś�T
=� 0 (1.2b)
ś�t
Zagadnienie wymiany ciepła może być:
- jednowymiarowe (temperatura zmienia się tylko względem jednej współrzędnej),
- dwuwymiarowe (temperatura zmienia się tylko względem dwóch współrzędnych),
- trójwymiarowe (temperatura zmienia się względem wszystkich współrzędnych).
2. Przewodzenie ciepła
2.1. Prawo Fouriera
2014-02-03 15:35:00
1/13
Podstawy wymiany ciepla
Prawo Fouriera wiąże gęstość strumienia przewodzonego ciepła w określonym punkcie ciała
z gradientem temperatury w tym punkcie
W
�� ł�
q =� -�l� gradT =� -�l� �T (2.1)
2
ę�m ś�
�� ��
W
�� ł�
gdzie l� jest współczynnikiem przewodzenia ciepła (przewodnością cieplną), którego
ę�m �� K ś�
�� ��
wartość zależy od rodzaju ciała, a także od temperatury.
Dla kartezjańskiego układu współrzędnych prostokątnych
ś�T ś�T ś�T
gradT �� �T =� i +� j+� k (2.2)
ś�x ś�y ś�z
W prostokątnym układzie współrzędnych wektor q ma trzy składowe
ś�T
qx =� -�l� (2.3a)
ś�x
ś�T
qy =� -�l� (2.3b)
ś�y
ś�T
qz =� -�l� (2.3c)
ś�z
Rys. 2-1. Zakresy wartości współczynników przewodzenia ciepła.
2.2. Stacjonarne przewodzenie ciepła przez ściankę płaską przy l� =� const
2014-02-03 15:35:00
2/13
Podstawy wymiany ciepla
Równanie różniczkowe opisujące ten przypadek przewodzenia (prawo Fouriera)
dT
q =� -�l� (2.4)
dx
Równanie (2.4) rozwiązujemy metodą rozdzielenia zmiennych
qdx =� -�l�dT (2.5)
Równanie (2.5) całkujemy stronami
x2 Tw2
��qdx =� -� ��l�dT (2.6)
x1 Tw1
q(�x2 -� x1)�=� -�l�(�Tw2 -�Tw1)� (2.7)
l�
q =� (�Tw1 -�Tw2)� (2.8)
d�
gdzie d� =� x2 -� x1 jest grubością ścianki przewodzącą ciepło.
Dla ścianki o powierzchni A
Al�
Q =� Aq =� (�Tw1 -�Tw2)� (2.9)
d�
Qd�
l� =� (2.10)
A(�Tw1 -�Tw2)�
2.2. Stacjonarne przewodzenie ciepła przez ściankę płaską wielowarstwową
2014-02-03 15:35:00
3/13
Podstawy wymiany ciepla
Do obliczenia strumienia ciepła przewodzonego przez ściankę wielowarstwową można użyć
wzoru (2.9) pod warunkiem, że współczynnik przewodzenia ciepła zostanie zastąpiony tzw.
zastępczym współczynnikiem przewodzenia ciepła
n
��d�i
i=�1
l�z =� (2.11)
n
i
��d�
l�i
i=�1
gdzie:
i  numer warstwy
n  liczba warstw
�i  grubość warstwy o numerze i
i  współczynnik przewodzenia ciepła dla warstwy o numerze i
2.3. Stacjonarne przewodzenie przez ściankę cylindryczną przy l� =� const
2014-02-03 15:35:00
4/13
Podstawy wymiany ciepla
dT
q =� -�l� [�W / m2]� (2.12)
dr
gdzie q zależy od promienia r
Q Q
q =� =� (2.13)
A 2p�rl
natomiast Q =� const .
(2.13) �� (2.12)
dT
Q =� -�2p�rll� [�W]� (2.14)
dr
W równaniu (2.14) rozdzielamy zmienne i całkujemy równanie stronami
r2 Tw 2
dr
Q =� -�2p�ll� (2.15)
�� ��dT
r
r1 Tw1
r2
Q ln =� -�2p�ll�(�Tw2 -� Tw1)� (2.16)
r1
2p�ll� 2p�ll�
Q =� (�Tw1 -� Tw2)� =� (�Tw1 -� Tw2)� (2.17)
r2 d2
ln ln
r1 d1
Strumień ciepła odniesiony do jednostki długości rury
2014-02-03 15:35:00
5/13
Podstawy wymiany ciepla
Q 2p�l�
ql =� =� (�Tw1 -� Tw2)� [�W / m]� (2.18)
d2
l
ln
d1
Dla ścianki wielowarstwowej
Q 2p�l�z
ql =� =� (�T1 -� Tn+�1)� (2.19)
dn+�1
l
ln
d1
gdzie
dn+�1
ln
d1
l�z =� (2.20)
n
1
��l� ln di+�1
di
i=�1
i
gdzie:
i  numer warstwy
n  liczba warstw
di  średnica warstwy o numerze i (pierwsza warstwa, o najmniejszej średnicy,
ma nr 1
i  współczynnik przewodzenia ciepła dla warstwy o numerze i
3. Wnikanie (przejmowanie) ciepła
Wnikaniem ciepła nazywamy wymianę ciepła pomiędzy ścianką i omywającym ją płynem.
Równanie Newtona
2014-02-03 15:35:00
6/13
Podstawy wymiany ciepla
Q =� Aa�(�Tw -�Tf )� (3.1)
W
�� ł�
a�  współczynnik wnikania (przejmowania) ciepła
ę�m2K ś�
�� ��
a� zależy od:
- prędkości płynu: w,
- od kształtu, wielkości, rodzaju i temperatury powierzchni wymiany ciepła: Ć, l1, l2, ..., Tw,
- od parametrów termofizycznych płynu: Tf, p, �, c, , �.
a� =� f (�w,Tf ,Tw, p,r�,c,l�,u�,j�,l1,l2, K�)� (3.2)
Np. dla przepływu wymuszonego cieczy lub gazu w kanale
Nu =� C Rem Prn (3.3)
Np. dla przepływu burzliwego cieczy w kanale: m =� 0,8; n =� 0,4
a� dh
Nu =� - liczba Nusselta (3.4)
l�
wdh
Re =� - liczba Reynoldsa (3.5)
u�
u�
Pr =� - liczba Prandtla (3.6)
a
Z (4)
l� Nu
a� =� (3.7)
dh
l�
a =� [�m2 / s]� - współczynnik wyrównania temperatury (3.8)
r� cp
u�[�m2 / s]� - współczynnik lepkości kinematycznej
2014-02-03 15:35:00
7/13
Podstawy wymiany ciepla
4. Przenikanie ciepła
Przenikaniem ciepła nazywamy transport ciepła od płynu o wyższej temperaturze do płynu o
niższej temperaturze przez przegrodę.
q =� k(�Tf 1 -�Tf 2)� [�W/m2]� (4.1)
W
�� ł�
gdzie k jest współczynnikiem przenikania ciepła
ę�m2 �� Kś�
�� ��
Dla ścianki o powierzchni A
Q =� Aq (4.2)
4.1. Przenikanie ciepła przez ściankę płaską o grubości d�
Wnikanie ciepła do ścianki
q =� a�1(�Tf 1 -� Tw1)� (4.3)
2014-02-03 15:35:00
8/13
Podstawy wymiany ciepla
Przewodzenie ciepła przez ściankę
l�
q =� (�Tw1 -� Tw2)� (4.4)
d�
Przejmowanie ciepła przez płyn
q =�a�2(�Tw2 -�Tf 2)� (4.5)
Z (4.3)
q
Tf 1 -� Tw1 =� (4.6)
a�1
Z (4.4)
qd�
Tw1 -� Tw2 =� (4.7)
l�
Z (4.5)
q
Tw2 -� Tf 2 =� (4.8)
a�2
Równania (4.6)-(4.8) sumujemy stronami
ć� ��
1 d� 1
�� ��
Tf 1 -� Tf 2 =� q�� +� +� (4.9)
l� a�2 ��
Ł�a�1 ł�
1
q =� (�Tf 1 -� Tf 2)� (4.10)
1 d� 1
+� +�
a�1 l� a�2
Z porównania (4.10) z (4.1) otrzymujemy
1 1 d� 1
=� +� +� (4.11)
k a�1 l� a�2
4.2. Przenikanie ciepła przez ściankę cylindryczną
p�l(�Tf 1 -� Tf 2)�
Q =� (4.12)
1 1 d2 1
+� ln +�
a�1d1 2l� d1 a�2d2
Q
ql =� =� p� kl(�Tf 1 -�Tf 2)� [�W / m]� (4.13)
l
2014-02-03 15:35:00
9/13
Podstawy wymiany ciepla
W
gdzie kl �� ł� jest liniowym współczynnikiem przenikania ciepła
ę�mK ś�
�� ��
1 1 1 d2 1
=� +� ln +� (4.14)
kl a�1d1 2l� d1 a�2d2
5. Obliczanie wymienników ciepła
&�
Pojemność cieplna czynnika W =� mcp
2014-02-03 15:35:00
10/13
Podstawy wymiany ciepla
Bilans energetyczny wymiennika ciepła
&�
&� &�
Q =� m1cp1(�T1' -�T1")�=� m2cp2(�T2" -�T2')� (5.1a)
&�
Q =� W1(�T1' -�T1")�=� W2(�T2" -�T2')� (5.1b)
Równanie wymiany ciepła
2014-02-03 15:35:00
11/13
Podstawy wymiany ciepla
&�
Q =� kA0D�Tsr (5.2)
Średnia różnica temperatur
A0
[�T1(�A)�-� T2(�A)�]�dA
��
0
D�Tsr =� (5.3)
A0
Średnia różnica temperatur dla wymienników współprądowych i przeciwprądowych
D�T '-�D�T"
D�Tsr =� (5.4)
D�T '
ln
D�T"
gdzie:
D�T'=� T1' -�T2' ; D�T"=� T1" -�T2" - dla współprądu (5.5a)
D�T'=� T1' -�T2" ; D�T"=� T1" -�T2' - dla przeciwprądu (5.5b)
Dla określonych temperatur wlotowych i wylotowych średnia różnica temperatur jest naj-
większa przy przepływie przeciwprądowym, a najmniejsza dla przepływu współprądowego.
Średnia różnica temperatur dla wymienników o przepływie krzyżowo prądowym i mieszanym
leży w przedziale pomiędzy średnią dla współprądu i przeciwprądu
D�Tsrpp >� D�Tsrm >� D�Tsrwp (5.6)
Średnią różnicę temperatur dla wymienników o przepływie krzyżowym i mieszanym można
wyznaczyć wykorzystując poprawkę �"T
D�Tsrm =� D�Tsrppe�D�T (5.7)
gdzie
1 >� e�D�T >� 0 (5.8)
e�D�T =� f (�P, R)� (5.9)
T2" -� T2'
P =� (5.10a)
T1' -� T2'
T1' -� T1"
R =� (5.10b)
T2" -� T2'
2014-02-03 15:35:00
12/13
Podstawy wymiany ciepla
Każdy typ wymiennika ma swój wykres poprawek e�D�T =� f (�P, R)�.
2014-02-03 15:35:00
13/13