Modelowanie wymiany
ciep a
2004-05-11 Symulacja komputerowa 1
Podstawy wymiany
ciep a
Zewn trzne ciep o uk adu - oddzia ywania otoczenia na uk ad
zamkni ty, które nie mog by zaliczane do ró nego rodzaju prac.
Wymiana ciep a, przep yw ciep a, przenoszenie ciep a  sposób w
jaki to ciep o jest przekazywane pomi dzy uk adem, a otoczeniem.
Energia cieplna  energia przekazywana wraz z przep ywem
substancji przez granice uk adu.
Pole temperatury  zbiór warto ci temp. we wszystkich punktach
rozpatrywanego cia a w danej chwili:
T=f(x,y,z,t)
2004-05-11 Symulacja komputerowa 2
Podstawy wymiany ciep a
Gdy pole temp. nie zmienia si w czasie, czyli:
T
= 0
t
mamy wówczas do czynienia z ustalon wymian ciep a.
W przeciwnym wypadku wymiana ciep a jest nieustalona.
Do opisu procesu wymiany ciep a wprowadza si poj cia takie jak:
" strumie ciep a,
dQ
&
= Q =
dt
" g sto strumienia ciep a
&
r
r
dQ
&
q = ; dQ = q o dA
dA
2004-05-11 Symulacja komputerowa 3
Sposoby wymiany ciep a
Przewodzenia - g ównie w cia ach sta ych oraz w p ynach
gdy nie wyst puje przemieszczanie si makroskopowych
cz ci p ynu,
Konwekcja  najcz ciej w p ynach i zwi zana jest z
przemieszczaniem si makroskopowych jego cz ci (w
przestrzeni ograniczonej lub nieograniczonej, swobodna
lub wymuszona),
Promieniowanie ( wymiana radiacyjna)  w postaci fal
elektromagnetycznych  mo e odbywa si mi dzy
cia ami rozdzielonymi o rodkiem przenikalnym dla
promieniowania termicznego.
2004-05-11 Symulacja komputerowa 4
Przewodzenie
Przewodzenie ciep a przebiega na ogó zgodnie z prawem Fouriera: g sto
przewodzonego strumienia ciep a jest wprost proporcjonalna do gradientu
temperatury:
r
T
q = grad T ; q =
( )
n
 wspó czynnik przewodzenia ciep a (przewodno cieplna),
T/ n  pochodna temp. W kierunku prostopad ym do powierzchni izotermicznej.
2004-05-11 Symulacja komputerowa 5
Przenikanie ciep a
Z przenikaniem ciep a mamy do czynienia w przypadku wymiany ciep a mi dzy
p ynami rozdzielonymi ciank . Dla p askiej cianki mamy:
dQ
= = qA = Ak T
dt
 strumie ciep a [W],
A  pole powierzchni wymiany,
k  wspó czynnik przenikania ciep a,
T  ró nica temperatur.
2004-05-11 Symulacja komputerowa 6
Wspó czynnik
przenikania ciep a - k
Proces przenikania ciep a obejmuje:
- przewodzenie przez ciank ,
- przejmowanie ciep a na obydwu powierzchniach cianki.
1 1
k = =
n
rkp
1 i 1
+ +
1 i 2
i =1
rkp  opór w a ciwy przenikania ciep a przez ciank p ask ,
,  wspó czynniki wnikania,
1 2
 grubo ci poszczególnych warstw cianki
i
2004-05-11 Symulacja komputerowa 7
Przyk ad z akumulatorem
Przy budowie modelu matematycznego akumulatora
przyjęto następujące założenia:
" azot traktowany jest jako gaz doskonały,
" przyjęto stała temperaturę oleju hydraulicznego oraz
temperaturę otoczenia,
" pominięto sprężystość cieczy roboczej traktując ją
jako nieodkształcalną w porównaniu z podatnościa
gazu,
" pominięto zjawiska związane ze sprężystością i
odkształcaniem się pęcherza oraz korpusu
akumulatora
2004-05-11 Symulacja komputerowa 8
Podstawę opisu matematycznego procesu sprężania gazu stanowią:
� zasada zachowania masy,
� zasada zachowania energii
� oraz równanie stanu.
Sprężanie azotu w akumulatorze hydropneumatycznym następuję bez wymiany
substancji z układem zewnętrznym, wówczas równanie wynikające z zasady
zachowania masy można zapisać w postaci:
d
V = 0
( )
dt
Z kolei bilans energii dla procesu elementarnego wynikaj cy z pierwszej zasady
termodynamiki, w przypadku braku wymiany substancji z otoczeniem i
pomini ciu tarcia wewn trznego, mo na zapisa w postaci zale no ci
dt = m du + p dV
2004-05-11 Symulacja komputerowa 9
Uzupe nieniem powy szego uk adu równa jest równanie stanu gazu
doskona ego w postaci:
pV = mRT
po przekszta ceniach otrzymuje si uk ad dwóch równa opisuj cy
proces spr ania lub rozpr ania gazu w akumulatorze w postaci:
dT T dV T dp
= +
dt V dt p dt
dp 1 dV
= R p cp
dt V cv dt
dV
= Q
dt
2004-05-11 Symulacja komputerowa 10
3
= i
i=1
1
= A1 To Tg
( )
1
1 bl 1
+ +
n bl o
1
= A2 Te Tg
( )
2
1 bl bo 1
+ + +
n bl bo e
1
= A3 Te Tg
( )
3
1 c 1
+ +
n c e
2004-05-11 Symulacja komputerowa 11
2004-05-11 Symulacja komputerowa 12
2004-05-11 Symulacja komputerowa 13
5.2
4.8
4.4
4
3.6
3.2
8
6
4
2
0
80
60
40
20
0
-20
0 10 20 30 40 50 60
t [s]
2004-05-11 Symulacja komputerowa 14
3
V [dm ]
p [MPa]
o
T [ C]
8
7
6
5
4
3
3.2 3.6 4 4.4 4.8 5.2
V [dm3]
2004-05-11 Symulacja komputerowa 15
p[MPa]
Literatura
1. Wi niewski Stefan, Wi niewski Tomasz: Wymiana
ciep a, WNT Warszawa 1988.
2. Taler Jan: Teoria i praktyka identyfikacji procesów
przep ywu ciep a, Ossolineum 1995.
3. Szargut Jan: Teoria procesów cieplnych, PWN
Warszawa 1973
2004-05-11 Symulacja komputerowa 16
Bilans energetyczny
Korzystaj c z zasady zachowania energii dla dowolnego elementu
uk adu mo na zapisa równanie bilansu w postaci:
= oi
ai di
gdzie:  strumie energii akumulowanej w elemencie,
ai
 strumie energii doprowadzonej do elementu,
di
 strumie energii odprowadzonej z elementu.
oi
2004-05-11 Symulacja komputerowa 17
Bilans energetyczny
Inaczej zapisa mo na:
= + cij2 + Nmij3 + Neij4
ai sij1
j1 j2 j3 j4
przy czym:
 strumie zwi zany z przep ywem czynnika roboczego,
si
 strumie energii cieplnej,
ci
Nm  moc mechaniczna,
Neli  moc elektryczna,
j1, j2, j3, j4  wska niki oznaczaj ce odpowiednio poszczególne
strumienie energii.
2004-05-11 Symulacja komputerowa 18
Bilans cieplny
3
= i
i=1
= ki Ai Ti
i
1
= A1 To Tg
( )
1
1 bl 1
+ +
n bl o
2004-05-11 Symulacja komputerowa 19