Wyznaczniki i Własności Macierzy
Maciej Konieczny i Patryk Kudła
13 grudnia 2012
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 1 / 26
Zakres zagadnień
1
Czym jest wyznacznik?
2
Wzór ogólny wyznacznika dla macierzy 2x2
3
Dziesięć własności wyznacznika
4
Ćwiczenia
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 2 / 26
Czym jest wyznacznik ?
Definicja wyznacznika
Wyznacznik macierzy to funkcja określona na macierzach kwadratowych
związana z mnożeniem i dodawaniem odpowiednich elementów danej
macierzy tak, by otrzymać pojedynczą liczbę. Inaczej mówiąc wyznacznik
macierzy jest to liczba rzeczywista przyporzÄ…dkowana macierzy
kwadratowej. Wyznacznik oznaczamy symbolicznie det A lub |A| .
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 3 / 26
Wyprowadzenie wzoru ogólnego dla macierzy 2x2
a b
= a " d
c d
a b
= a " d - b " c
c d
Wzór ogólny dla macierzy 2x2
a b
= a " d - b " c
c d
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 4 / 26
Własności wyznaczników
Własność pierwsza:
Wyznacznikiem macierzy identycznościowej jest 1
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 5 / 26
Własności wyznaczników
Własność pierwsza:
Wyznacznikiem macierzy identycznościowej jest 1
Przykład macierzy identycznościowej
1 0 1 0
= 1 " 1 - 0 " 0 =Ò! = 1
0 1 0 1
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 5 / 26
Własności wyznaczników
Własność druga:
Własność druga polega na zamianie wierszy oraz zmianie znaku
wyznacznika na przeciwny
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 6 / 26
Własności wyznaczników
Własność druga:
Własność druga polega na zamianie wierszy oraz zmianie znaku
wyznacznika na przeciwny
Przykład
1 0
= 1 =Ò! a " d - b " c = 1 " 1 - 0 " 0 = 1
0 1
0 1
= -1 =Ò! a " d - b " c = 0 " 0 - 1 " 1 = -1
1 0
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 6 / 26
Własności wyznaczników
Własność druga:
Własność druga polega na zamianie wierszy oraz zmianie znaku
wyznacznika na przeciwny
Przykład
Analogicznie
2 0
= 4
0 2
0 2
= -4
2 0
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 6 / 26
Własności wyznaczników
Własność trzecia:
Własność trzecia rozbita jest na dwie części. A mianowicie 3a oraz 3b.
Obie odnoszą się do liniowości wyznacznika. Oto one:
3a: Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą
mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika.
3b: DodajÄ…c lub odejmujÄ…c od dowolnego wiersza/kolumny inny
wiersz/kolumnÄ™ lub kombinacje liniowe innych wierszy/kolumn nie
zmieniamy wartości wyznacznika.
Przyjrzyjmy się bliżej własności 3a.
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 7 / 26
Własności wyznaczników
Własność 3a
ta tb a b
= t "
c d c d
Gdzie t może oznaczać dowolną stałą.
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 8 / 26
Własności wyznaczników
Własność 3a
ta tb a b
= t "
c d c d
Gdzie t może oznaczać dowolną stałą.
Przykład
Przyjrzyjmy siÄ™ przypadkowi, gdy t = 3
3a 3b a b
= 3 "
c d c d
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 8 / 26
Własności wyznaczników
Własność 3a
ta tb a b
= t "
c d c d
Gdzie t może oznaczać dowolną stałą.
Przykład
Można również pomnożyć dowonly wiersz wyznacznika przez dowolną stałą,
np.
a b a b
= 4 "
4c 4d c d
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 8 / 26
Własności wyznaczników
Własność 3b
Teraz przyjrzymy się nieco własności 3b
a + a b + b a b a b
= +
c d c d c d
Gdzie a oraz b może oznaczać dowolną stałą.
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 9 / 26
Własności wyznaczników
Własność 3b
Teraz przyjrzymy się nieco własności 3b
a + a b + b a b a b
= +
c d c d c d
Gdzie a oraz b może oznaczać dowolną stałą.
Przykład
Pokażę to na przykładzie a = 3 oraz b = 5
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 9 / 26
Własności wyznaczników
Własność 3b
Teraz przyjrzymy się nieco własności 3b
a + a b + b a b a b
= +
c d c d c d
Gdzie a oraz b może oznaczać dowolną stałą.
Przykład
Pokażę to na przykładzie a = 3 oraz b = 5
a + 3 b + 5 a b 3 5
= +
c d c d c d
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 9 / 26
Własności wyznaczników
Uwaga do własności trzeciej
Wyznacznik jest liniowy w każdym wierszy osobno, co oznacza, że nie może
mieć kombinacji liniowych równocześnie w 1 i n-tym wierszu.
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 10 / 26
Własności wyznaczników
Własność czwarta:
Przedstawiając kolejne własności, bazować będziemy na pierwszych
trzech.
Własność czwarta brzmi następująco:
jeśli dwa wiersze są takie same, wyznacznik jest równy zero.
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 11 / 26
Własności wyznaczników
Własność czwarta:
Przedstawiając kolejne własności, bazować będziemy na pierwszych
trzech.
Własność czwarta brzmi następująco:
jeśli dwa wiersze są takie same, wyznacznik jest równy zero.
W następnym slajdzie pokażę, że własność czwarta powstała z poprzednich
własności.
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 11 / 26
Własności wyznaczników
Własność czwarta:
a b (2) a b
= a " b - a " b =Ò! = -(a " b - a " b)
a b a b
Z własności drugiej wiemy, że przy zamianie wierszy, zmieniamy również
znak wyznacznika. Wychodzi nam taka sama macierz.
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 12 / 26
Własności wyznaczników
Własność czwarta:
a b (2) a b
= 0 =Ò! = 0
a b a b
Z własności drugiej wiemy, że przy zamianie wierszy, zmieniamy również
znak wyznacznika. Otrzymujemy identycznÄ… macierz.
Czyli macierz ta musi dać nam wyznacznik, który jednocześnie jest jakąś
liczbÄ… oraz liczbÄ… do niej odwrotnÄ….
Prowadzi nas to do własności czwartej:
Jeśli dwa wiersze są takie same, wyznacznik jest równy zero
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 12 / 26
Własności wyznaczników
Własność piąta:
Własność piąta odnosi się do eliminacji Gaussa. Precyzując, mówi ona, że
przeprowadzajÄ…c kroki eliminacji Gaussa nie zmieniamy znaku wyznacznika.
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 13 / 26
Własności wyznaczników
Własność piąta:
Własność piąta odnosi się do eliminacji Gaussa. Precyzując, mówi ona, że
przeprowadzajÄ…c kroki eliminacji Gaussa nie zmieniamy znaku wyznacznika.
Krótkie przypomnienie dotyczące eliminacji Gaussa
Metody tej używamy, gdy chcemy wyznaczyć elementy osiowe macierzy,
leżące na diagonali.
1 2 1 2
=Ò!
3 4 0 -2
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 13 / 26
Własności wyznaczników
Własność piąta:
Własność ta działa oczywiście dla każdej macierzy, lecz posłużę się tutaj
macierzÄ… 2 na 2
2 3
= 2 " 9 - 3 " 4 = 6
4 9
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 14 / 26
Własności wyznaczników
Własność piąta:
Własność ta działa oczywiście dla każdej macierzy, lecz posłużę się tutaj
macierzÄ… 2 na 2
2 3
= 2 " 9 - 3 " 4 = 6
4 9
Macierz po wykonaniu eliminacji Gaussa wyglÄ…da tak:
2 3
= 2 " 3 - 3 " 0 = 6
0 3
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 14 / 26
Własności wyznaczników
Własność szósta:
Jeżeli w macierzy A znajduje się wiersz (kolumna) złożony z samych zer to:
detA = 0
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 15 / 26
Własności wyznaczników
Własność szósta:
Jeżeli w macierzy A znajduje się wiersz (kolumna) złożony z samych zer to:
detA = 0
Dowód:
ta tb a b
3a
= t
c d c d
t = 0
0 0 0 " a 0 " b a b
3a
= = 0 = 0 " detA =Ò! detA = 0
c d c d c d
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 15 / 26
Własności wyznaczników
Własność siódma:
Wyznacznik macierzy górnotrójkątnej jest równy iloczynowi elementów
osiowych (ang.pivots).
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 16 / 26
Własności wyznaczników
Własność siódma:
Wyznacznik macierzy górnotrójkątnej jest równy iloczynowi elementów
osiowych (ang.pivots).
d1 " " "
0 d2 " "
det U = = (d1)(d2)...(dn)
0 0 ... "
0 - 0 dn
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 16 / 26
Dowód:
d1 " " "
0 d2 " "
detU =
.
.
.
0 0 "
0 - 0 dn
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 17 / 26
Dowód:
d1 " " "
0 d2 " "
detU =
.
.
.
0 0 "
0 - 0 dn
Wykonujemy eliminacje (własność 5) :
d1 0 0 0 1 0 0 0
0 d2 0 0 0 d2 0 0
3a 3a
det U = = (d1) =
. .
. .
. .
0 0 0 0 0 0
0 0 0 dn 0 0 0 dn
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 17 / 26
Dowód:
d1 " " "
0 d2 " "
detU =
.
.
.
0 0 "
0 - 0 dn
Wykonujemy eliminacje (własność 5) :
d1 0 0 0 1 0 0 0
0 d2 0 0 0 d2 0 0
3a 3a
det U = = (d1) =
. .
. .
. .
0 0 0 0 0 0
0 0 0 dn 0 0 0 dn
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
3a 3a 1
= (d2)(d1) = (dn)...(d2)(d1) =
. .
. .
. .
0 0 0 0 0 0
0 0 0 dn 0 0 0 1
1
= (dn)...(d2)(d1)
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 17 / 26
Własności wyznaczników
Własność ósma:
Jeżeli macierz jest osobliwa to det A = 0
w przeciwnym wypadku, gdy det A = 0

macierz jest odwracalna.
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 18 / 26
Własności wyznaczników
Własność dziewiąta:
Wyznacznik iloczynu macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników tych
macierzy.
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 19 / 26
Własności wyznaczników
Własność dziewiąta:
Wyznacznik iloczynu macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników tych
macierzy.
det AB = (det A) * (det B)
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 19 / 26
Własności wyznaczników:
Własność dziewiąta - przykład zastosowania:
Jaki jest wyznacznik macierzy A-1?
A-1A = I
(det A-1)(detA) = 1
1
det A-1 =
detA
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 20 / 26
Własności wyznaczników:
Własność dziewiąta - przykład zastosowania:
Jaki jest wyznacznik macierzy A-1?
A-1A = I
(det A-1)(detA) = 1
1
det A-1 =
detA
det A2 = (detA)2
det 2A = 2n(detA)
gdzie n jest równie liczbie wierszy macierzy kwadratowej.
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 20 / 26
Własności wyznaczników
Własność dziesiąta:
Wyznacznik macierzy macierzy transponowanej AT
jest równy iloczynowi wyznacznikowi macierzy A.
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 21 / 26
Własności wyznaczników
Własność dziesiąta:
Wyznacznik macierzy macierzy transponowanej AT
jest równy iloczynowi wyznacznikowi macierzy A.
a b a c
det A = = = detAT
c d b d
det A = ad-bc
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 21 / 26
Własności wyznaczników
Dowód:
det AT = detA
det UT LT = detLU
(det UT )(detLT ) = (detL)(detU)
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 22 / 26
Własności wyznaczników
Dowód:
det AT = detA
det UT LT = detLU
(det UT )(detLT ) = (detL)(detU)
Elementy osiowe macierzy L i LT
są równe 1, korzystając z własności siódmej, wiemy, że wyznacznik tych
macierzy jest równy 1
det L = det LT = 1
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 22 / 26
Własności wyznaczników
Dowód c.d
Elementy osiowe macierzy U i Uts sobie rwne, korzystajac z
własności siódmej, wiemy, że wyznacznik tych macierzy jest równy
iloczynowi ich elementów osiowych.
det U = det UT = (d1)(d2)...(dn)
Z tego wynika, że det AT = detA
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 23 / 26
Własności wyznaczników
1
Wyznacznikiem macierzy identycznościowej jest 1.
2
W przypadku zamiany dwóch wierszy, wyznacznik zmienia swój znak na przeciwny.
3
Pomnożenie dowolnej wiersza (kolumny) przez stałą mnoży przez tę samą stałą
wartość wyznacznika.
4
DodajÄ…c lub odejmujÄ…c od dowolnego wiersza (kolumny) inny wiersz (kolumnÄ™) lub
kombinacje liniowe innych wierszy (kolumn) nie zmieniamy wartości wyznacznika.
5
Jeśli dwa wiersze są takie same, wyznacznik jest równy zero.
6
PrzeprowadzajÄ…c kolejne kroki eliminacji Gaussa nie zmieniamy znaku wyznacznika.
7
Jeżeli w macierzy A znajduje się wiersz (kolumna) złożony z samych zer to: det A
=0.
8
Wyznacznik macierzy górnotrójkątnej jest równy iloczynowi elementów osiowych.
9
Jeżeli wyznacznik det A = 0 to znaczy że macierz jest osobliwa, w przeciwnym
wypadku macierz jest odwracalna.
10
Wyznacznik iloczynu macierzy równy jest iloczynowi wyznaczników tych macierzy.
11
Wyznacznik macierzy macierzy transponowanej rAT
jest równy iloczynowi wyznacznikowi macierzy A.
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 24 / 26
Ćwiczenia
Znajdz
wyznacznik macierzy:
10 13 15 -3
5 4 4 9
5 -2 45 55
12 -13 2 3
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 25 / 26
Ćwiczenia
Znajdz
wyznacznik macierzy:
10 13 15 -3
= -25 = 147
5 4 4 9
5 -2 45 55
= -41 = 25
12 -13 2 3
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 25 / 26
Ćwiczenia
Oblicz wyznacznik macierzy wykorzystując eliminacje i własność 5
2 3 4 5
4 7 10 9
det A =
4 8 9 12
4 14 21 16
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 26 / 26
Ćwiczenia
Oblicz wyznacznik macierzy wykorzystując eliminacje i własność 5
2 3 4 5 2 3 4 5
4 7 10 9 0 1 2 -1
det A = =
4 8 9 12 0 2 1 2
4 14 21 16 0 8 13 6
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 26 / 26
Ćwiczenia
Oblicz wyznacznik macierzy wykorzystując eliminacje i własność 5
2 3 4 5 2 3 4 5
4 7 10 9 0 1 2 -1
det A = = =
4 8 9 12 0 2 1 2
4 14 21 16 0 8 13 6
2 3 4 5
0 1 2 -1
=
0 0 -3 4
0 0 -3 14
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 26 / 26
Ćwiczenia
Oblicz wyznacznik macierzy wykorzystując eliminacje i własność 5
2 3 4 5 2 3 4 5
4 7 10 9 0 1 2 -1
det A = = =
4 8 9 12 0 2 1 2
4 14 21 16 0 8 13 6
2 3 4 5 2 3 4 5
0 1 2 -1 0 1 2 -1
= =
0 0 -3 4 0 0 -3 4
0 0 -3 14 0 0 0 10
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 26 / 26
Ćwiczenia
Oblicz wyznacznik macierzy wykorzystując eliminacje i własność 5
2 3 4 5 2 3 4 5
4 7 10 9 0 1 2 -1
det A = = =
4 8 9 12 0 2 1 2
4 14 21 16 0 8 13 6
2 3 4 5 2 3 4 5
0 1 2 -1 0 1 2 -1
= =
0 0 -3 4 0 0 -3 4
0 0 -3 14 0 0 0 10
Wyznacznik macierzy A jest iloczynem elementów osiowych.
det A = -60
Maciej Konieczny i Patryk Kudła () Wyznaczniki i Własności Macierzy 13 grudnia 2012 26 / 26