Analiza zespolona IIr. WMS przykładowe zadania na 2. kolokwium, 4 VI 2008
c&f&e&`&
Zadania proszę rozwiązywać na dołączonych kartkach. Każdą kartkę proszę podpisać czytelnie
imieniem i nazwiskiem. Na rozwiązanie zadań przeznaczono (ć+ ) H" 86,42 min. W rozwiązaniach
należy dokładnie opisać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Powodzenia!
ZADANIA
1
Znajdz
promień zbieżności i zbadaj zbieżność na okręgu
zbieżności szeregu potęgowego
"
(n
- i)n
zn
(1
n=1 - in)n
.
2
Funkcja F jest określona w dysku jednostkowym D =

f(Å›)
{|z| < 1} całką F (z) = dś gdzie brzeg "D jest
Å› - z
"D
dodatnio zorientowany. Pokaż, że F jest różniczkowalna i
rozwiń ją w szereg.
3

dz
Oblicz całkę: , gdzie krzywa ł przebiega od punktu
1 + z2
Å‚
0 do punktu 2i i leży w pierwszej ćwiartce.
4
z + i
Rozwiń funkcję f(z) = w szereg Laurenta w
z2 - 3iz - 2

pierścieniu 1 < |z| < 2 .
... tę kartkę można zabrać ze sobą...
Analiza zespolona, kolokwium 2. Ä…
Nazwisko:
ImiÄ™:
Zad 1. Znajdz
promień zbieżności i zbadaj zbieżność na okręgu zbieżności szeregu potęgowego
"

(n - i)n
zn
(1 - in)n
n=1
.
Rozwiązanie: tak, jak na kartkówkach...
Analiza zespolona, kolokwium 2. Ä…
Nazwisko:
ImiÄ™:

f(Å›)
Zad 2. Funkcja F jest określona w dysku jednostkowym D = {|z| < 1} całką F (z) = dś
Å› - z
"D
gdzie brzeg "D jest dodatnio zorientowany. Pokaż, że F jest różniczkowalna i rozwiń ją w szereg.
RozwiÄ…zanie:
Z definicji pochodnej mamy dla z " D


F (w) - F (z) 1 f(Å›) f(Å›)

F (z) = lim = lim - dÅ›
wz wz
w - z w - z Å› - w Å› - z
"D

1 f(Å›)(w - z) f(Å›)
= lim dÅ› = dÅ›
wz
w - z (Å› - w)(Å› - z) (Å› - z)2
"D "D
f(Å›)
Ponieważ jest dla z " D i ś " "D ograniczona,to pochodna istnieje, co daje nam holomorficzność
(Å›-z)2
F w D. F jest zatem analityczna w D i jest tam rozwijalna w szereg potęgowy.
Dla z " D i ś " "D mamy oczywiście |z| < |ś|. Zatem szereg
"

1 zn
=
ś - z śn+1
n=0
jest zbieżny bezwzględnie. Stąd
ëÅ‚ öÅ‚

"

f(Å›)
íÅ‚
F (z) = dśłł zn
śn+1
n=0
"D
Analiza zespolona, kolokwium 2. Ä…
Nazwisko:
ImiÄ™:

dz
Zad 3. Oblicz całkę: , gdzie krzywa ł przebiega od punktu 0 do punktu 2i i leży w pierwszej
1 + z2
Å‚
ćwiartce.
Rozwiązanie: tak, jak na kartkówkach...
Analiza zespolona, kolokwium 2. Ä…
Nazwisko:
ImiÄ™:

z + i
Zad 4. Rozwiń funkcję f(z) = w szereg Laurenta w pierścieniu 1 < |z| < 2 .
z2 - 3iz - 2
RozwiÄ…zanie:
Po pierwsze zauważamy, że
z + i 3 2
f(z) = = -
z2 - 3iz - 2 z - 2i z - i
z i
W pierścieniu 1 < |z| < 2 mamy |2i|, |z | < 1. Stąd
"

1 1 1 zn
= - = -
z
z - 2i 2i (1 - ) (2i)n+1
n=0
2i
oraz
"

1 1 1 in
= =
i
z - i z (1 - ) zn+1
n=0
z
Podstawiając powyższe równości do pierwszego wzoru otrzymujemy
"

f(z) = cnzn,
n=-"
gdzie
Å„Å‚
3
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - , dla n 0
òÅ‚
(2i)n+1
cn =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
-2in-1 , dla n < 0
Analiza zespolona, kolokwium 2.  BRUDNOPIS
1 2 3 4 5 Suma
Ä…
Nazwisko:
ImiÄ™: