Zestaw 2
ab
1. Zbadać, czy (R \ {0} , ") jest grupą, jeśli "a, b " R \ {0}: a " b = .
5
2. Zbadać, czy (R, ") jest grupą, jeśli "a, b " R: a " b = a + b - 4.
3. Znalez
ć a, b " R takie, że
(a) a (2 + 3i) + b (4 - 5i) = 6 - 2i,
a b
(b) + = 1,
2 - 3i 3 + 2i
(c) (3 - i) a2 - (3 + 2i) a - (1 - i) b = 13 - 10i.
4. Udowodnić, że:
(a) "z1, z2 " C: |z1 · z2| |z1| · |z2| oraz arg (z1 · z2) = argz1 + argz2,
z1 |z1| z1
(b) "z1, z2 " C, z2 = 0: = oraz arg = argz1 - argz2,

z2 |z2| z2
(c) "z " C, "n " N : |zn| = |z|n oraz argzn = n argz,
(d) "z1, z2 " C: z1 + z2 = z1 + z2,
(e) "z " C : |z| = |z|.
1 + z
5. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z, dla których wyrażenie jest:
1 - z
(a) liczbÄ… czysto rzeczywistÄ…, (b) liczbÄ… czysto urojonÄ….
6. Zaznaczyć na płaszczyz
nie zespolonej zbiory:
z - 5
(a) A = z " C : = 1 ,
z - 1
Ä„ 2Ä„
(b) B = z " C : d" argz d" ,
4 3
(c) C = z " C : re z2 = 2 '" im (z + i)2 = 1 ,
7Ä„ 4Ä„
(d) D = z " C : 1 < |z + 2 + 2i d" 2| '" d" argz d" .
6 3
7. Podać postać trygonometryczna liczb zespolonych:
"
Ä„ Ä„
(a) -1 + 3i, (b) 1 - i, (c) 1 + cos + i sin ,
3 3
" " " " " "
(d) 6 + 2- 6 - 2 i, (e) 2 + 2 - 2 - 2i, (f) -i.
" "
8. Mając dane liczby: z1 = - 3 - i, z2 = 4 - 48i, z3 = -2 + 2i wykonać działania:
10 5
z2 · z3
6 15
(a) z1 · z2 · z3, (b) z1 · z3 , (c) .
30
z3
1
9. Następujące wartości:
(a) sin 4x, (b)cos 6x, (c) sin 7x, (d) cos 5x
wyrazić za pomocą sin x oraz cos x:
10. Obliczyć wszystkie pierwiastki zespolone:
"
" "
"
3 4 3-i
6
(a) i, (b) -27 , (c) , (d) -4 - 3i.
i-1
11. Wyznaczyć wszystkie liczby z " C, które są rozwiązaniem równania:
(a) z2 - 4z + 5 = 0, (b) z4 - 30z2 + 289 = 0,
"
8
(c) z12 = 48 - 4i , (d) z2 + (3 - i) z + 2 + 11i = 0,
(e) z2 + (1 + 4i) z - (5 + i) = 0, (f) z2 + (15 + 7i) z + 8 - 15i = 0.
12. Znalez
ć wszystkie liczby zespolone z, dla których z = z2.
Å»
13. Wykazać, że (A, ·) jest grupÄ…, gdzie A = {z " C : z4 = 1}.
2