Liczby zespolone
Definicja 9.1 (liczb zespolonych)
Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi , gdzie i oznacza jednostke
urojona , przyjmujemy, że i2 = -1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma liczb
zespolonych z1 = a + bi i z2 = c + di to z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i . Iloczyn
liczb zespolonych z1 = a + bi i z2 = c + di to z1z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i . Zbiór
wszystkich liczb zespolonych oznaczany jest (na ca świecie z wyja tkiem polskich
lym
szkó średnich) przez C .
l
Stwierdzenie 9.2 (przemienność dzia
lań)
Dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2 zachodza równości
z1 + z2 = z2 + z1 oraz z1z2 = z2z1,
czyli dodawanie i mnożenie sa dzia
laniami przemiennymi.
Dowód. Uzasadniamy to w nastepuja cy sposób:
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i = (c + a) + (d + b)i = z2 + z1 ,
bo wynik dodawania liczb rzeczywistych nie zależy od kolejności sk
ladników. Teraz
mnożenie:
z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i = (ca - db) + (cb + da)i =
= (c + di)(a + bi) = z2z1 ,
bo dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych sa przemienne.
Zamiast pisać a + 0i bedziemy pisać a , zamiast pisać 0 + bi bedziemy pisać
bi . Liczby postaci bi , b " R nazywać bedziemy urojonymi. Dzieki tej umowie liczby
rzeczywiste to szczególne liczby zespolone   te w których nie ma i  . Liczbe a
nazywamy cześcia rzeczywista liczby z = a + bi , piszemy Re z = a ; cześcia urojona
liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbe b , piszemy Im z = b
W taki sam sposób sprawdzić można, że zachodzi
Stwierdzenie 9.3 (
la czność, rozdzielność, istnienie różnicy i ilorazu)
1. Dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2, z3 zachodza równości:
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)  dodawanie jest la czne,

(z1z2)z3 = z1(z2z3)  mnożenie jest
la czne,
z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3  mnożenie jest rozdzielne wzgledem dodawania.
2. Dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2 istnieje dok jedna taka liczba zes-
ladnie
polona z , że z1 + z = z2 . Nazywana jest różnica liczb z2 i z1 . Oznaczamy ja
symbolem z2 - z1 .
1
Liczby zespolone
3. Dla dowolnych liczb zespolonych z1 = 0 i z2 istnieje dok jedna taka liczba
ladnie
zespolona z , że z1z = z2 . Liczba ta zwana jest ilorazem liczb z2 i z1 . Oznaczamy
z2
ja symbolem lub z2/z1 .
z1
Dowód. Jedynie dowód istnienia ilorazu różni sie nieco od dowodu przemienności
dzia Przyjmijmy, że z1 = a + bi , z2 = c + di . Szukamy liczby zespolonej
lań.
z = x + yi , dla której z2 = zz1 , czyli c+di = (a+bi)(x+yi) = (ax-by)+(ay+bx)i .
Ma wiec być c = ax-by i jednocześnie d = ay+bx . Otrzymaliśmy wiec uk równań
lad
z niewiadomymi x, y . Mnoża c pierwsze z nich przez a , drugie przez b i dodaja c stro-
ac+bd
nami otrzymujemy ac + bd = (a2 + b2)x , zatem x = , dzielenie jest wykonalne,
a2+b2
bo 0 = a+bi , wiec co najmniej jedna z liczb a, b jest = 0 . Analogicznie otrzymujemy

ad-bc
wzór y = .
a2+b2
Wykazaliśmy wszystkie podstawowe w lań.
lasności dzia Jest oczywiste, że dla
dowolnej liczby z " C zachodza równoÅ›ci 1 · z = z , 0 · z = 0 oraz 0 + z = z .
Na liczbach zespolonych możemy wiec wykonywać dzia tak, jak na liczbach
lania
rzeczywistych. Na przyk (znosimy  niewymierność w mianowniku ):
lad
(c+di)(a-bi) (c+di)(a-bi) (ac+bd)+(ad-bc)i (ac+bd)+(ad-bc)i
c+di
= = = = =
a+bi (a+bi)(a-bi) a2-(bi)2 a2-b2i2 a2-b2(-1)
ac+bd ad-bc
= + i .
a2+b2 a2+b2
Niestety, nie wszystko jest tak jak w przypadku liczb rzeczywistych. W zbiorze C
nie można w sensowny sposób wprowadzić nierówności. Nadamy temu zdaniu postać
twierdzenia, a nastepnie udowodnimy je.
Twierdzenie 9.4 (o nieistnieniu nierówności w zbiorze liczb zespolonych)
W zbiorze C nie istnieje relacja z" taka, że
1. Jeśli z1, z2 " C , to zachodzi dok jedna z trzech możliwości:
ladnie
z1 = z2 albo z1 z" z2 albo z2 z" z1 (każde dwie liczby można porównać);
2. jeśli z1 z" z2 i z2 z" z3 , to z1 z" z3 (nierówność ma być przechodnia);
3. jeśli z1 z" z2 i z " C , to z1 + z z" z2 + z (do obu stron nierówności wolno dodać
dowolna liczbe z " C );
4. jeśli z1 z" z2 i 0 z" z , to zz1 z" zz2 (nierówność wolno pomnożyć obustronnie
przez dowolna liczbe z wieksza od 0 ).
Dowód. Za óżmy bowiem, że uda nam sie w jakiś sposób zdefiniować nierówność
l lo
z" w taki sposób, że spe sa warunki 1  4. JeÅ›li 0 z" z , to 0 = 0 · z z" z · z = z2 ,
lnione
czyli kwadraty liczb dodatnich sa dodatnie. Mamy oczywiście z2 = (-z)2 . Jeśli
z z" 0 , to 0 = z + (-z) z" 0 + (-z) = -z , zatem 0 z" (-z)2 = z2 , wiec również
w tym przypadku 0 z" z2 . Wobec tego kwadraty liczb różnych od zera musza być
2
Liczby zespolone
dodatnie. Mamy 12 = 1 i i2 = -1 , zatem 0 z" 1 i jednocześnie 0 z" -1 . Dodaja c do
obu stron pierwszej z tych nierówności liczbe -1 otrzymujemy -1 z" (-1) + 1 = 0 ,
co przeczy temu, że 0 z" -1 . Dowód zosta zakończony.
l
Okaza sie wiec, że liczb zespolonych porównywać sie nie da. Można oczywiście
lo
definiować jakieś nierówności miedzy liczbami zespolonymi rezygnuja c z cześci wa-
runków 1  4, ale takie nierówności nie sa użyteczne, wiec na ogó nikt tego nie
l
robi.
Liczby zespolone można, a nawet należy, traktować jako punkty p
laszczyzny.
Przyjmujemy, że cześć rzeczywista liczby zespolonej to pierwsza wspó
lrzedna (czyli
pozioma), a cześć urojona to druga wspó laszczyzny. Przy
lrzedna (pionowa) punktu p
takiej interpretacji suma z1+z2 liczb zespolonych może być potraktowana jako koniec
- -

wektora, który jest suma wektorów 0z1 i 0z2 .
Definicja 9.5 (wartości bezwzglednej)
"
Wartościa bezwzgledna |z| liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczbe a2 + b2 ,
a
"
argumentem Argz liczby z = a+bi = 0  dowolna liczbe Õ taka , że cos Õ =

a2+b2
b
"
oraz sin Õ = .
a2+b2
Z definicji tej wynika, że |z| to odleg punktu z od punktu 0 a argument
lość
-
-
liczby z , to ka t miedzy wektorami 01 i 0z mierzony w kierunku przeciwnym do
ruchu wskazówek zegara.
Ä„ 3Ä„ Ä„
Arg2 = 0 lub Arg2 = 1410Ä„ , Argi = lub Argi = - , Arg(-1 + i) = Ä„ - =
2 2 4
"
=3 Ä„ , |2| = 2 = | - 2| = |2i| = | - 2i| , |1 + i| = | - 1 + i+ = |1 - i| = | - 1 - i| = 2 .
4
Twierdzenie 9.6 (nierówność trójka ta)
Dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2 zachodzi nierówność |z1 + z2| d" |z1| + |z2| ,
jest ona równościa jedynie wtedy, gdy punkty p
laszczyzny odpowiadaja ce liczbom
0, z1, z2 leża na jednej prostej, przy czym 0 nie leży miedzy* z1 i z2 .
Dowodu wynika on ze znanych w
lasności figur geometrycznych (np. trójka ta).
Ci którzy ich nie lubia geometrii, bez k
lopotu stwierdza , że dla dowolnych liczb
rzeczywistych a1, b1, a2, b2 nierówność

(a1 + a2)2 + (b1 + b2)2 d" a2 + b2 + a2 + b2 ,
1 1 2 2
jest równoważna nierówności

(a1 + a2)2 + (b1 + b2)2 d" a2 + b2 + 2 a2 + b2 · a2 + b2 + a2 + b2 ,
1 1 1 1 2 2 2 2
czyli nierówności:
*nieostro, jedna z liczb z1,z2 może być zerem
3
Liczby zespolone

a1a2 + b1b2 d" a2 + b2 · a2 + b2 ,
1 1 2 2
wiec nierówności:
0 d" (a2 + b2) · (a2 + b2) - (a1a2 + b1b2)2 = a2a2 + a2b2 + a2b2 + a2b2 -
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2
- (a2a2 + 2a1a2b1b2 + b2b2) = (a1b2 - a2b1)2 ,
1 2 1 2
w po
la czeniu z nierównościa a1a2 + b1b2 e" 0 . Nierówność 0 d" (a1b2 - a2b1)2 jest
prawdziwa zawsze. Równość (a1b2 - a2b1)2 = 0 , czyli a1b2 = a2b1 można przepisać
a2 b2
w postaci b2 = · b1 , gdy a1 = 0 lub a2 = · a1 , gdy b1 = 0 , wiec w postaci

a1 b1
z2 = tz1 , gdy z1 = 0 . Warunek a1a2 + b1b2 e" 0 wymusza, by t e" 0 .

a b
" "
Z równoÅ›ci z = a + bi , r = |z| , cos Õ = i sin Õ = wynika, że
a2+b2 a2+b2
z = r(cos Õ + i sin Õ) .
Zapisaliśmy liczbe z w postaci trygonometrycznej.
Za óżmy, że z1 = r1(cos Õ1 + i sin Õ1) i z2 = r2(cos Õ2 + i sin Õ2) . Wtedy
l

z1z2 = r1r2 cos Õ1 cos Õ2 - sin Õ1 sin Õ2 + i(cos Õ1 sin Õ2 + cos Õ2 sin Õ1) =

= r1r2 cos(Õ1 + Õ2) + i sin(Õ1 + Õ2)
 skorzystaliśmy tu ze znanych wzorów:
cos(Õ1 + Õ2) = cos Õ1 cos Õ2 - sin Õ1 sin Õ2 oraz
sin(Õ1 + Õ2) = cos Õ1 sin Õ2 + cos Õ2 sin Õ1 ,
z którymi studenci spotykali sie czasem w szko Wykazaliśmy w ten sposób,
lach.
że wartość bezwzgledna iloczynu dwu liczb zespolonych równa jest iloczynowi ich
wartości bezwzglednych, a argument iloczynu dwu liczb zespolonych równa jest su-
mie ich argumentów. Stosuja c otrzymany wzór wielokrotnie otrzymujemy
Twierdzenie 9.7 (Wzór de Moivre a)
n
r(cos Õ + i sin Õ) = rn cos(nÕ) + i sin(nÕ) .
Z tego wzoru wynika, że dla każdej liczby zespolonej w = 0 i każdej liczby

naturalnej n istnieje dok n różnych liczb zespolonych z1 , z2 ,. . . , zn takich,
ladnie
n
że zj = w dla j = 1, 2, . . . , n . Za óżmy bowiem, że w = (cos È + i sin È) . JeÅ›li
l
z = r(cos Õ + i sin Õ) i w = zn , to musza być spe równoÅ›ci = rn oraz
lnione
"
n
nÕ = È + 2kÄ„ dla pewnej liczby ca
lkowitej k . Wynika sta d, że r = , r jest wiec
È
2kĄ
wyznaczone jednoznacznie. Musi też być Õ = + . Zastepuja c liczbe k liczba
n n
k + n zwiekszamy ka t Õ o 2Ä„ , co nie zmienia liczby z . Różne liczby z otrzymujemy
przyjmuja c kolejno k = 0 , k = 1 ,. . . , k = n - 1 . Otrzymujemy wiec dok
ladnie
n różnych wartości. Latwo zauważyć, że odpowiadaja ce im punkty p
laszczyzny sa
"
n
wierzcho n  ka ta foremnego wpisanego w okra g o promieniu r = . Jeśli
lkami
w = 1 , to wśród tych liczb jest liczba 1 .
4
Liczby zespolone
Definicja 9.8 (pierwiastka algebraicznego z liczby zespolonej)
Algebraicznym pierwiastkiem n  tego stopnia z liczby zespolonej w nazywamy każda
liczbe zespolona z , dla której w = zn .
Przyk 9.1 Pierwiastkami algebraicznymi stopnia 2 z liczby 1 = cos 0 + i sin 0
lad
sa dwie liczby:
0Ä„ 0Ä„ 2Ä„ 2Ä„
z1 = cos +i sin = cos 0+i sin 0 = 1 , z2 = cos +i sin = cos Ä„+i sin Ä„ = -1 .
3 3 2 2
Przyk 9.2 Pierwiastkami algebraicznymi stopnia 3 z liczby 1 = cos 0 + i sin 0
lad
"
0Ä„ 0Ä„ 2Ä„ 2Ä„ 3
sa trzy liczby: z1 = cos + i sin = 1 , z2 = cos + i sin = -1 + i oraz
3 3 3 3 2 2
"
4Ä„ 4Ä„ 1 3
z3 = cos + i sin = - - i .
3 3 2 2
Przyk 9.3 Pierwiastkami algebraicznymi stopnia 3 z liczby -1 = cos Ä„+i sin Ä„
lad
sa trzy liczby:
"
Ä„ Ä„ 1 3 Ä„+2Ä„ Ä„+2Ä„
z1 = cos + i sin = + i , z2 = cos + i sin = -1 oraz
3 3 2 2 3 3
"
Ä„+4Ä„ Ä„+4Ä„ 1 3
z3 = cos + i sin = - i .
3 3 2 2
Przyk 9.4 Ponieważ cos 2ą + i sin 2ą = (cos ą + i sin ą)2 =
lad
= cos2 ą+2i cos ą sin ą+i2 sin2 ą = cos2 ą-sin2 ą+2i cos ą sin ą , cześci rzeczywiste sa
równe i cześci urojone sa równe, wiec cos 2ą = cos2 ą-sin2 ą i sin 2ą = 2 sin ą cos ą .
Przyk 9.5 Zachodza równości: cos 3ą + i sin 3ą = (cos ą + i sin ą)3 =
lad
= cos3 Ä… + 3i cos2 Ä… sin Ä… + 3i2 cos Ä… sin2 Ä… + +i3 sin3 Ä… =

= cos3 Ä… - 3 cos Ä… sin2 Ä… + i 3 cos2 Ä… sin Ä… - sin3 Ä… .
Wobec tego
cos 3Ä… = cos3 Ä… - 3 cos Ä… sin2 Ä… = 4 cos3 Ä… - 3 cos Ä… ,
sin 3Ä… = 3 cos2 Ä… sin Ä… - sin3 Ä… = 3 sin Ä… - 4 sin3 Ä… .
Widzimy wiec, że za pomoca liczb zespolonych można powia zać wzory na cos ną
i sin ną z dwumianem Newtona. Można przestać poszukiwać tych wzorów w tabli-
cach.
Definicja 9.9 (sprzeżenia)
Jeśli z = a + bi , a, b " R , to liczbe z = a - bi nazywamy sprzeżona do liczby z .
2 - 3i = 2 + 3i , 13 = 13 , i = -i . Liczba z jest rzeczywista wtedy i tylko
wtedy, gdy , z = z . Jeśli z " R , to z " C jest jedyna liczba taka , że z + z " R
/
i jednoczeÅ›nie z · z " R . Prosty dowód tego stwierdzenia pozostawiam czytelnikom
w charakterze ćwiczenia. Mamy też
z · z = (a + bi)(a - bi) = a2 + b2 = |z|2 , z + z = 2Rez oraz z - z = 2iImz .
5
Liczby zespolone
1 1
Możemy wiec napisać Rez = (z + z) i Imz = (z - z) . Punkty p
laszczyzny
2 2i
odpowiadaja ce liczbom z i z sa symetryczne wzgledem osi rzeczywistej.
Przypomnijmy, że argument iloczynu dwu liczb zespolonych równy jest sumie
argumentów sk lasność przypominaja ce nieco logarytm (logarytm
ladników. Jest to w
iloczynu to suma logarytmów czynników). Logarytm to wyk potegi. Zdefiniu-
ladnik
jemy teraz potege o podstawie e .
Definicja 9.10 (potegi o wyk
ladniku zespolonym)

ez = ex+iy = ex cos y+i sin y) dla dowolnej liczby zespolonej z = x+iy , x, y " R .
Czytelnik może uznać te definicje za dziwna . Zauważmy jednak, że rozszerza

ona definicje potegi o wyk
ladniku rzeczywistym. eĄi = e0 cos Ą + i sin Ą = -1 ,

eln 2+Ąi = eln 2 cos Ą + i sin Ą = -2 . Przyk można mnożyć.Zauważmy jeszcze,
lady
że jeśli z = x + iy , w = u + iv ( x, y, u, v " R ), to

ez+w = e(x+u)+i(y+v) = ex+u cos(y + v) + i sin(y + v) =

= exeu cos y +i sin y cos v +i sin v = ex cos y +i sin y eu cos v +i sin v = ezew .
Widzimy wiec, że w zdefiniowanej potedze liczby e przys podstawowa
laśnie luguje
w la
lasność poteg. Definicja potegi by stopniowo rozszerzana: najpierw uczniowie po-
znaja potegi o wyk lkowitych ujemnych, potem
ladnikach naturalnych, potem o ca
o dowolnych wymiernych. Potega o wyk
ladniku rzeczywistym jest określana tak, by
zachować monotoniczność i równość ea+b = eaeb . Ponieważ zajmujemy sie liczbami
zespolonymi, wiec nie można mówić o monotoniczności  w zbiorze liczb zespolonych
nie ma nierówności. Zamiast monotoniczności można zaża dać istnienia pochodnej
w punkcie 0 .
Twierdzenie 9.11 (charakteryzuja ce funkcje ez )
Funkcja ez jest jedyna funkcja f: C - C taka , że spe sa warunki
lnione
1ć% f(z + w) = f(z)f(w) dla dowolnych liczb zespolonych z, w oraz
f(z)-f(0)
2ć% lim = 1 .
z
z0
Drugi warunek wymaga wyjaśnienia. Mówimy, że lim h(z) = G " C wtedy
zz0

h(z) - G = 0 , w ostatnim wyrażeniu liczby zespolone
i tylko wtedy, gdy lim
|z-z0|0
wystepuja tylko pozornie, wiec to ostatnie pojecie nie jest nam obce. Ta definicja to
proste uogólnienie pojecia granicy stosowanego w przypadku liczb rzeczywistych 
jeśli odleg miedzy liczbami z i z0 jest dostatecznie ma to odleg miedzy licz-
lość la, lość
f(z)-f(0)
bami h(z) i G też jest ma Rozpatrywana granica lim ma być pochodna
la.
z
z0
funkcji f w punkcie 0 . Nasza funkcja ma być rozszerzeniem funkcji wyk
ladniczej o
6
Liczby zespolone
podstawie e i wyk
ladniku rzeczywistym, wiec jej pochodna w punkcie 0 , powinna
być równa pochodnej funkcji ex w punkcie 0 , czyli powinna być równa 1 .
Tego, że warunki 1ć% i 2ć% definiuja funkcje wyk
ladnicza nie bedziemy dowodzić.
Wcześniej wykazaliśmy, że warunek 1ć% jest spe
lniony. Naszkicujemy dowód tego,
że funkcji ez przys w ly
luguje lasność 2ć% . Można dowieść, np. za pomoca regu de
cos y-1 sin y-y
ex-1-x
l Hospitala*, że lim = 0 , lim = 0 i lim = 0 . Niech r(x) =
x y y
x0 y0 y0
x
cos y-1
=e -1-x dla x = 0 i r(0) = 0 , r(y) = dla y = 0 i r(0) = 0 oraz r(y) =
Ć Ć Ü
x y
=sin y-y dla y = 0 i r(0) = 0 . Mamy wiec ex - 1 = x[1 + r(x)] , cos y - 1 = yr(y)
Ü Ć
y
oraz sin y = y[1 + r(y)] . Wobec tego
Ü
(ex-1)(eiy-1)+(ex-1)+(eiy-1)
ez-1 ex+iy-1 exeiy-1
= = = =
z x+iy x+iy x+iy
x[1+r(x)]·y[r(y)+i+ir(y)]+x[1+r(x)]+y[r(y)+i+ir(y)]
Ć Ü Ć Ü
= =
x+iy

xy y
x
= 1 + [1 + r(x)][i + r(y) + ir(y)] + r(x) + r(y) + ir(y) .
Ć Ü Ć Ü
x+iy x+iy x+iy
Zachodza równości lim r(x) = 0 , limr(y) = 0 oraz limr(y) = 0 . Prawdziwe sa też
Ć Ü
x0 y0 y0
" "

x2+y2· x2+y2
|x| y |y| xy
x

" " "
wzory = d" 1 , = d" 1 i d" =
x+iy x+iy x+iy
x2+y2 x2+y2 x2+y2

ez-e0
= x2 + y2 = |z| - 0 . Sta d wynika, że lim = 1 .
--
z
z0 z0
ez-1 ew+z-ew
Z tego, że lim = 1 wynika, że lim = ew dla każdej liczby ze-
z z
z0 z0
spolonej w . Zwykle te ostatnia równość z oczywistych przyczyn zapisujemy jako
(ew) = ew .
Rozszerzaja c wiec dziedzine funkcji wyk
ladniczej otrzymaliśmy funkcje, która
z formalnego punktu widzenia ma w ladniczej w dzie-
lasności podobne do funkcji wyk
dzinie rzeczywistej. Sa jednak istotne różnice. Wg sie w nie nie możemy z braku
lebiać
miejsca i czasu, ale o jednej coÅ› powiemy. Funkcja wyk
ladnicza o podstawie e i wy-
1 2
k
ladniku rzeczywistym jest ściśle rosna ca: jeśli x1 < x2 , to ex < ex , wiec różno-
wartościowa (potegi o podstawie e sa równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wyk
ladniki
sa równe). Z funkcja wyk
ladnicza ez jest inaczej. Mamy e2Ä„i = cos 2Ä„ + i sin 2Ä„ = 1 ,
zatem dla każdego z " C zachodzi równość ez+2Ąi = eze2Ąi = ez . Funkcja wyk
ladni-
cza w dziedzinie zespolonej jest wiec okresowa, jej okresem jest 2Ä„i  liczba czysto
urojona. Wartościami tej funkcji sa wszystkie liczby zespolone (w tym rzeczywiste)
z jednym wyja tkiem: 0 = ez dla z " C . Wynika to natychmiast z tego, że każda liczbe

dodatnia r = |w| można zapisać w postaci ex , x " R . Wystarczy przyja ć x = ln r
(jest to oczywiście jedyny wybór). Nastepnie przyjmujemy y = Argw i otrzymujemy
*W z definicji pochodnej i wzorów (ex) =ex , (cos y) =- sin y , (sin y) =cos y .
laściwie
7
Liczby zespolone
równość w = ez , gdzie z = x + iy = ln |w| + iArgw . Piszemy wtedy z = ln w jed-
nak trzeba pamietać o tym, że w dziedzinie zespolonej symbol ln w może oznaczać
która kolwiek z nieskończenie wielu liczb z , dla których zachodzi równość w = ez .
Można wiec napisać ln(-1) = Ąi albo ln(-1) = -5Ąi itp. Logarytmów zespolonych
używać nie bedziemy, natomiast w niektórych przypadkach bedziemy stosować potegi
o podstawie e i wyk
ladniku nierzeczywistym.
Informacja:
Liczby zespolone sa używane, bo w niektórych sytuacjach nie sposób sie bez nich
obejść. Historycznie pierwszym przypadkiem tego rodzaju by wzór na pierwiastki
l
równania trzeciego stopnia:


3
q p3 q2 3 q p3 q2
jeżeli x3 + px + q = 0 , to x = - + + + - - + .
2 27 4 2 27 4
Wyprowadzenie tego wzoru nie jest d ale opuścimy je. Można przecież po pro-
lugie,
stu sprawdzić, że zdefiniowana za jego pomoca liczba jest pierwiastkiem równania
x3 + px + q = 0 wstawiaja c ja w miejsce x do tego równania. Pokażemy natomiast,
że stosowanie tego wzoru może być k
lopotliwe. Niech p = -63 , q = -162 , zajmu-
3 2
p3 q2 p q
jemy sie wiec równaniem x3 - 63x - 162 = 0 . Mamy + = + =
27 4 3 2
=(-21)3 + 812 = -2700 < 0 . Teraz z tej liczby należy wycia gna ć pierwiastek kwa-
dratowy. Ten pierwiastek nie jest liczba rzeczywista ! Można pomyśleć, że to dlatego,
że nasze równanie nie ma rozwia zań rzeczywistych. Tak jednak nie jest. Mamy bo-
wiem (-3)3 - 63 · (-3) - 162 = 0 , (-6)3 - 63 · (-6) - 162 = 0 , 93 - 63 · 9 - 162 = 0 ,
wiec nasze równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste! Otrzymujemy wiec wzory

" " " "
3 3 3 3
-3 = 81 + -2700 + 81 - -2700 , -6 = 81 + -2700 + 81 - -2700 ,

" "
3 3
9 = 81 + -2700 + 81 - -2700 . Wygla da to nieco podejrzanie: prawe strony
sa równe, a lewe różne. To jednak tylko pozór. Sa dwie wartości pierwiastka kwadra-
towego z danej liczby zespolonej = 0 i trzy wartości pierwiastka trzeciego stopnia.

Przy tej interpretacji można sie spodziewać do trzydziestu sześciu pierwiastków tego
równania. To jednak nie jest możliwe. Równanie stopnia trzeciego ma najwyżej trzy
pierwiastki (po prostu nie można wybierać wartości tych pierwiastków w sposób do-
wolny). Udowodniono, że nie jest możliwe napisanie wzorów na pierwiastki równania
stopnia trzeciego z użyciem dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i pierwiast-
kowania, które nie prowadzi do wycia gania pierwiastków kwadratowych z liczb
lyby
ujemnych w przypadku rzeczywistych wspó
lczynników i trzech rzeczywistych pier-
wiastków! Oznacza to, że w tym przypadku bez liczb zespolonych obyć sie nie można.
Zaczeto ich wiec używać w XVI wieku, choć  ich nie by Zosta ostatecznie zaak-
lo . ly
8
Liczby zespolone
ceptowane na pocza tku XIX wieku, gdy C.F.Gauss pokaza że można je potraktować
l,
jako punkty p lania
laszczyzny i że wtedy dzia na liczbach zespolonych zaczynaja mieć
sens geometryczny. Dziś trudno sobie wyobrazić matematyke bez nich.
Kilka zadań
C .1 Rozwia zać równanie w zbiorze liczb zespolonych
1
a. z2 + 4z + 5 = 0 ; b. z + = 0 ;
z
c. z2 - z2 = 0 ; d. z2 = z ;
Å»
e. z2004 = z ; f. ez = 1 ;
g. ez = -1 ; h. ez = i ;
i. z2 - (3 + i)z + 8 - i = 0 ; j. z2 - (3 + 7i)z - 10 + 11i = 0 ;
k. z4 + 5z2 + 9 = 0 ; l. z4 + 8z3 + 16z2 + 9 = 0 ;
"

l. |z + i| + |z - i| = 2 ; m. |z + i| + |z - i| = 5 ;
o. z6 + 7z3 - 8 = 0 ; p. z = z3 ;
q. z8 - 15z4 - 16 = 0 ; r. z = -z2 ;
s. z6 + 7z3 - 8 = 0 ; t. z = z3 .
u. z6 + 26 = 0 ; v. z6 - 26 = 0 .
C .2 Znalez
ć liczby rzeczywiste x, y , dla których
a. (5 - 8i)x + (7 + 3i)y = 2 - i b. (7 + 2i)x - (5 - 4i)y = -1 - i
C .3 Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby zespolone
a. -5 , b. -1 - i , c. 9 - 9i
" "
"
1 3 3
d. - i , e. -1 - i , f. 1 - i 3
2 2 2 2
C .4 Ze znanego wzoru na sume pierwszych n wyrazów cia gu geometrycznego wypro-
wadzić wzór na sume: sin Õ + sin(2Õ) + · · · + sin nÕ oraz na sume
cos Õ + cos(2Õ) + · · · + cos(nÕ) .
C .5 z to punkt symetryczny do punktu z wzgledem osi rzeczywistej. Znalez
ć punkty
Å»
symetryczne do punktu z wzgledem
a. osi urojonej, b. prostej o równaniu y = x ,
"
"
3
c. prostej o równaniu y = x , d. prostej o równaniu y = 3x .
3
C .6 a. Znalez
ć zbiór X z z tych wszystkich liczb zespolonych z , dla których
lożony
zachodzi równość z · z · |z| + |z3 + 1| = 1 . Narysować X na p
Å» laszczyz
nie.
b. Znalez
ć zbiór X z z tych wszystkich liczb zespolonych z , dla których
lożony
zachodzi równość z · z · |z| + |z3 - i| = 1 . Narysować X na p
Å» laszczyz
nie.
C .7 Niech L oznacza zbiór z ze wszystkich liczb zespolonych z , dla których
lożony
zachodzi równość iz = z . Naszkicować zbiór L na p
laszczyz
nie. Opisać za po-
moca równania zbiór M powsta w wyniku obrócenia L o 45ć% zgodnie z ru-
ly
9
Liczby zespolone
chem wskazówek zegara wokó punktu 0 = (0, 0) . Można użyć liczb zespolonych,
l
ewentualnie rzeczywistych.
C .8 Niech L oznacza zbiór z ze wszystkich liczb zespolonych z , dla których
lożony
zachodzi równość -iz = z . Naszkicować zbiór L na p
laszczyz
nie. Opisać za
pomoca równania zbiór M powsta w wyniku obrócenia L o 45ć% zgodnie z
ly
ruchem wskazówek zegara wokó punktu 0 = (0, 0) . Można użyć liczb zespolo-
l
nych, ewentualnie rzeczywistych.
10