Macierze i wyznaczniki
Zdefiniujemy teraz wyznaczniki i omówimy uklady równań liniowych z wieloma
niewiadomymi. Zaczniemy od definicji.
Definicja 8.1 (macierzy)
�ł
a1,1 a1,2 . . . a1,n �ł
a2,1 a2,2 . . . a2,n
�ł �ł
Tablice prostoka tna A =�ł . . .. . �ł nazywać bedziemy macierza o
�ł łł
. . .
.
. . .
am,1 am,2 . . . am,n
m wierszach i n kolumnach. Czasem stosować bedziemy oznaczenie A = (ai,j)1d"id"m
1d"jd"n
lub A = (ai,j) , gdy nie bedzie wa tpliwości, o macierz jakiego wymiaru chodzi.
Macierze można mnożyć przez liczby mnoża c każdy wyraz macierzy przez te liczbe:
�ł
a1,1 a1,2 . . . a1,n �ł �ł ca1,1 ca1,2 . . . ca1,n �ł
a2,1 a2,2 . . . a2,n ca2,1 ca2,2 . . . ca2,n
�ł �ł �ł �ł
cA =�ł . . .. . �ł=�ł .
. .
.. . �ł.
�ł łł �ł łł
. . . . .
. .
. . . . . .
am,1 am,2 . . . am,n cam,1 cam,2 . . . cam,n
Macierze tego samego wymiaru można dodawać dodaja c odpowiednie wyrazy:
�ł
a1,1 . . . a1,n �ł �ł b1,1 . . . b1,n �ł �ł a1,1 + b1,1 . . . a1,n + b1,n �ł
a2,1 . . . a2,n b2,1 . . . b2,n a2,1 + b2,1 . . . a2,n + bn,n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł.
. . . . . .
.. . �ł+�ł . .. . �ł=�ł . ..
�ł łł �ł łł �ł łł
. .
. . .
. . . . . .
am,1 . . . am,n bm,1 . . . bm,n am,1 + bm,1 . . . am,n + bm,n
Mnożenie macierzy przez liczby i ich dodawanie z punktu widzenia wlasności
formalnych nie różni sie od dodawania liczb rzeczywistych. Inaczej jest z mnożeniem
macierzy, które zaraz zdefiniujemy. Zdefiniujemy iloczyn macierzy A = (ar,s) , która
ma m kolumn przez macierz B = (bs,t) , która ma m wierszy. W wyniku otrzymamy
macierz C = (cr,t) , która ma tyle wierszy co macierz A i tyle kolumn co macierz B .
�ł
a1,1 a2,1 . . . a1,m �ł �ł b1,1 b1,2 . . . b1,n �ł �ł c1,1 c1,2 . . . c1,n �ł
a2,1 a2,2 . . . a2,m b2,1 b2,2 . . . b2,n c2,1 c2,2 . . . c2,n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł
. . . . . . . . .
.. . �ł��ł . . .. . �ł=�ł . . .. . �ł,
�ł łł �ł łł �ł łł
. .
. . .
. . . . . . . . .
ak,1 ak,2 . . . ak,m bm,1 bm,2 . . . bm,n ck,1 ck,2 . . . ck,n
m
gdzie cr,t = ar,sbs,t dla dowolnego r " {1, 2, . . . , k} , t " {1, 2, . . . , n} . Oz-
s=1
nacza to, że wyraz cr,t macierzy C możemy potraktować jako iloczyn skalarny r 
tego wiersza macierzy A i t  tej kolumny macierzy B . Wlaśnie po to, by móc mówić
1
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
o tym iloczynie skalarnym musimy zalożyć, że pierwsza macierz ma tyle samo kolumn
co druga wierszy. Pomnożymy teraz dwie macierze:
�ł �ł
1 2
1 2 3
łł= 1 � 1 + 2 � 3 + 3 � 5 1 � 2 + 2 � 4 + 3 � 6 = 22 28 .
��ł 3 4
4 5 6 4 � 1 + 5 � 3 + 6 � 5 4 � 2 + 5 � 4 + 6 � 6 49 64
5 6
A teraz pomnożymy je w przeciwnej kolejności:
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 2 1 � 1 + 2 � 4 1 � 2 + 2 � 5 1 � 3 + 2 � 6 9 12 15
�ł łł� 1 2 3 =�ł 3 � 1 + 4 � 4 3 � 2 + 4 � 5 3 � 3 + 4 � 6 łł=�ł łł.
3 4 19 26 33
4 5 6
5 6 5 � 1 + 6 � 4 5 � 2 + 6 � 5 5 � 3 + 6 � 6 29 40 51
Widać, że otrzymaliśmy różne wyniki, nawet wymiary sie nie zgadzaja . Oznacza to,
że to mnożenie macierzy nie jest przemienne  wynik zależy od kolejności czynników!
Oznacza to, że na ogól A � B = B � A .

Mnożenie to jest la czne, tzn. (A � B) � C = A � (B � C) . Wykażemy to twierdze-
nie. Niech A = (ar,s) 1d"rd"k , B = (bs,t) 1d"sd"l , C = (ct,u) 1d"td"m . Znajdziemy
1d"sd"l 1d"td"m 1d"ud"n
najpierw wyraz macierzy A � B znajduja cy sie w r  tym wierszu i t  tej kolum-
l
nie: ar,sbs,t. Wobec tego w r  tym wierszu i u  tej kolumnie iloczynu (AB)C
s=1
m l
znajduje sie ar,sbs,t ct,u . Jest to suma iloczynów postaci ar,sbs,tct,u ,
t=1 s=1
w których wskaz
niki s, t przyjmuja dowolne dopuszczalne wartości, tzn. 1 d" s d" l ,
1 d" t d" m . Powtarzaja c te obliczenia w przypadku iloczynu A(BC) otrzymu-
l
jemy ar,s m bs,tct,u , co jak latwo stwierdzić jest suma iloczynów postaci
s=1 t=1
ar,sbs,tct,u , w których wskaz
niki s, t przyjmuja dowolne dopuszczalne wartości, tzn.
1 d" s d" l , 1 d" t d" m , co oznacza, że otrzymaliśmy ten sam wynik, co w poprzednim
iloczynie.
Bez trudu można stwierdzić, że prawdziwe sa nastepuja ce stwierdzenia:
1ć% A + B = B + A dla dowolnych macierzy A, B tego samego wymiaru;
2ć% (A + B) + C = A + (B + C) dla dowolnych macierzy A, B, C tego samego
wymiaru;
3ć% A + O = O + A dla dowolnej macierzy A , tu i dalej O oznacza macierz tego
samego wymiaru co A , w której wszystkie wyrazy sa równe 0;
4ć% dla dowolnej macierzy A istnieje macierz B tego samego wymiaru taka, że
A + B = B + A = O (oczywiście bi,j = -ai,j );
5ć% (A � B) � C = A � (B � C) dla dowolnych macierzy A, B, C , dla których mnożenie
jest zdefiniowane;
2
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
6ć% A � I = A dla dowolnej macierzy A , I oznacza tu i dalej macierz kwadra-
towa , która ma tyle wierszy ile A kolumn i której wszystkie wyrazy na glównej
przeka tnej* sa równe 1, a poza nia sa równe 0, tzn. ii,i = 1 oraz ii,j = 0 dla
i = j ; również I � A = A , ale teraz macierz I ma tyle kolumn ile wierszy ma

macierz A ;
7ć% A � (B + C) i (B + C) � A dla dowolnych macierzy, dla których dzialania sa
zdefiniowane.
Macierz kwadratowa
�ł �ł
1 0 0 0 . . . 0
�ł �ł
0 1 0 0 . . . 0
�ł �ł
�ł �ł
0 0 1 0 . . . 0
I =�ł 0 0 0 1 . . . 0 �ł,
�ł �ł
�ł
. . . . .
.. . �ł
�ł . . . . łł
.
. . . . .
0 0 0 0 . . . 1
która wysta pila w punkcie 6ć% nazywana jest macierza jednostkowa , wlasność 6ć%
mówi, że pelni ona w zbiorze macierzy role podobna do tej, która pelni liczba 1
w mnożeniu liczb rzeczywistych. Różnica polega na tym, że jest wiele macierzy
jednostkowych: w każdym wymiarze jedna.
Uklad l równań liniowych z k niewiadomymi
a1,1x1 + a1,2x2 + a1,3x3 + � � � + a1,kxk = b1
a2,1x1 + a2,2x2 + a2,3x3 + � � � + a2,kxk = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
al,1x1 + al,2x2 + al,3x3 + � � � + al,kxk = bl
można zapisać w postaci
A � x = b,
gdzie A = (ai,j) 1d"id"l , x jest pionowo zapisanym wektorem o k wspólrzednych,
1d"jd"k
czyli macierza o jednej kolumnie i k wierszach, analogicznie b . Niewiadomymi sa
x1, x2, . . . , xk . Nie zakladamy, że liczba niewiadomych równa jest liczbie równań:
może być k < l , k = l , k > l . Przeanalizujemy teraz rozwia zywanie ukladu równań
liniowych. Oczywiście nie można spodziewać sie, że w każdej sytuacji otrzymamy
jedno rozwia zanie. Nawet wtedy, gdy liczba równań jest równa liczbie niewiadomych,
*Glówna przekatna macierzy kwadratowej C=(ci,j) sklada sie z wyrazów ci,i , laczy wiec lewy górny
róg macierzy z prawym dolnym.
3
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
uklad może mieć nieskończenie wiele rozwia zań lub może ich nie mieć wcale. Be-
dziemy mnożyć równania przez liczby różne od 0 , dodawać je stronami, zmieniać
kolejność równań. Nie bedziemy przepisywać niewiadomych. Oznacza to, że bedziemy
zajmować sie tzw. rozszerzona macierza ukladu równań liniowych, czyli macierza
�ł
a1,1 a1,2 . . . a1,k b1 �ł
a2,1 a2,2 . . . a2,k b2
�ł �ł
�ł
. . . .
.. . . �ł,
�ł łł
. .
.
. . . .
al,1 al,2 . . . al,k bk
bo zawiera ona wszystkie informacje o ukladzie równań, wiec nie ma potrzeby prze-
pisywać niewiadomych. Czesto używany jest termin macierz ukladu  różni sie ona
od macierzy rozszerzonej brakiem ostatniej kolumny.
Pokażemy na przykladach metode zwana eliminacja Gaussa*. Rozważymy uklad
równań:
x2 + 2x3 + 3x4 = 20;
x1 + x2 - x3 + x4 = 4;
2x1 - x2 + x3 + x4 = 7;
3x1 + x2 - x3 - x4 = -2 .
Zgodnie z zapowiedzia nie bedziemy pisać niewiadomych, wystarczy macierz rozsze-
rzona.
�ł �ł
0 1 2 3 20
1 1 -1 1 4
�ł �ł
W macierzy zamienimy pierwszy i drugi wiersz po to, by
�ł łł
2 -1 1 1 7
3 1 -1 -1 -2
w lewym górnym rogu znalazla sie jedynka:
�ł �ł
1 1 -1 1 4
0 1 2 3 20
�ł �ł.
�ł łł
2 -1 1 1 7
3 1 -1 -1 -2
Czytelnik zechce sprawdzić, że
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 1 0 0 0 1 2 3 20 1 1 -1 1 4
1 0 0 0 1 1 -1 1 4 0 1 2 3 20
�ł �ł��ł �ł=�ł �ł
�ł łł �ł łł �ł łł
0 0 1 0 2 -1 1 1 7 2 -1 1 1 7
0 0 0 1 3 1 -1 -1 -2 3 1 -1 -1 -2
 oznacza to, że zamiast mówić o przestawianiu wierszy możemy mówić o mnożeniu
macierzy z lewej strony przez odpowiednio dobrana macierz. Czytelnik zastanowi sie,
*Chodzi o eliminowanie niewiadomych z kolejnych równań
4
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
przez jaka macierz należy pomnożyć wyjściowa macierz, by czwarty wiersz zamienil
sie miejscem z pierwszym lub trzecim i ogólnie, by zamienily sie miejscami wiersze
i  ty oraz j  ty.
Nastepna operacje nie zmieni pierwszego ani drugiego wiersza, za to od trzeciego
odejmiemy pierwszy pomnożony przez 2 i jednocześnie od czwartego wiersza odej-
miemy pierwszy pomnożony przez 3 . W rezultacie otrzymujemy:
�ł �ł
1 1 -1 1 4
0 1 2 3 20
�ł �ł
�ł łł
0 -3 3 -1 -1
0 -2 2 -4 -14
Czytelnik zechce zwrócić uwage na to, że
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 0 0 1 1 -1 1 4 1 1 -1 1 4
0 1 0 0 0 1 2 3 20 0 1 2 3 20
�ł �ł��ł �ł=�ł �ł,
�ł łł �ł łł �ł łł
-2 0 1 0 2 -1 1 1 7 0 -3 3 -1 -1
-3 0 0 1 3 1 -1 -1 -2 0 -2 2 -4 -14
wiec również to przeksztalcenie macierzy można potraktować jako mnożenie jej z le-
wej strony przez odpowiednio dobrana macierz. Zauważmy przy okazji, że
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
�ł �ł=�ł �ł��ł �ł,
�ł łł �ł łł �ł łł
-2 0 1 0 0 0 1 0 -2 0 1 0
-3 0 0 1 -3 0 0 1 0 0 0 1
co oznacza, że operacje można bylo przeprowadzić w dwóch etapach i wtedy również
można bylo to potraktować jak mnożenie przeksztalcanej macierzy z lewej strony
przez odpowiednio dobrana macierz. W wyniku otrzymaliśmy macierz, w pier-
wszej kolumnie której wystepuje w jednym miejscu jedynka a  poza nia same
zera. Z punktu widzenia ukladu równań oznacza to, że niewiadoma x1 wystepuje
teraz w jednym tylko równaniu, w pierwszym! Oznacza to, że pozostale niewiadome
możemy znalez
ć używaja c pozostalych trzech równań, a nastepnie z pierwszego rów-
c&
nania wyliczyć x1 .
Teraz wyeliminujemy x2 z trzeciego i z czwartego równania. Dla uproszczenia
rachunków najpierw podzielimy czwarty wiersz przez 2 . Otrzymamy
�ł �ł
1 1 -1 1 4
0 1 2 3 20
�ł �ł.
�ł łł
0 -3 3 -1 -1
0 -1 1 -2 -7
Również ta operacja może być przedstawiona jako mnożenie macierzy z lewej strony
przez odpowiednio dobrana macierz:
c&
Niewiadoma x1 zostala wyeliminowana z trzech równań, kolej na x2 .
5
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 0 0 1 1 -1 1 4 1 1 -1 1 4
0 1 0 0 0 1 2 3 20 0 1 2 3 20
�ł �ł��ł �ł=�ł �ł.
�ł łł �ł łł �ł łł
0 0 1 0 0 -3 3 -1 -1 0 -3 3 -1 -1
1
0 0 0 0 -2 2 -4 -14 0 -1 1 -2 -7
2
Teraz do trzeciego wiersza dodamy drugi pomnożony przez 3 , a do czwartego do-
damy drugi:
�ł �ł
1 1 -1 1 4
0 1 2 3 20
�ł �ł.
�ł łł
0 0 9 8 59
0 0 3 1 13
Podobnie jak poprzednio można uzyskać ten sam rezultat przez mnożenie z lewej
strony przez odpowiednio dobrana macierz:
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 0 0 1 1 -1 1 4 1 1 -1 1 4
0 1 0 0 0 1 2 3 20 0 1 2 3 20
�ł �ł��ł �ł=�ł �ł.
�ł łł �ł łł �ł łł
0 3 1 0 0 -3 3 -1 -1 0 0 9 8 59
0 1 0 1 0 -1 1 -2 -7 0 0 3 1 13
Teraz zamienimy (tylko dla uproszczenia obliczeń) miejscami trzeci i czwarty wiersz:
�ł �ł
1 1 -1 1 4
0 1 2 3 20
�ł �ł.
�ł łł
0 0 3 1 13
0 0 9 8 59
I znów widzimy, że
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 0 0 1 1 -1 1 4 1 1 -1 1 4
0 1 0 0 0 1 2 3 20 0 1 2 3 20
�ł �ł��ł �ł=�ł �ł.
�ł łł �ł łł �ł łł
0 0 0 1 0 0 9 8 59 0 0 3 1 13
0 0 1 0 0 0 3 1 13 0 0 9 8 59
Teraz od czwartego wiersza odejmujemy trzeci pomnożony przez 3 :
�ł �ł
1 1 -1 1 4
0 1 2 3 20
�ł �ł.
�ł łł
0 0 3 1 13
0 0 0 5 20
Można ten ostatni krok przedstawić w postaci mnożenia z lewej strony przez macierz:
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 0 0 1 1 -1 1 4 1 1 -1 1 4
0 1 0 0 0 1 2 3 20 0 1 2 3 20
�ł �ł��ł �ł=�ł �ł.
�ł łł �ł łł �ł łł
0 0 1 0 0 0 3 1 13 0 0 3 1 13
0 0 -3 1 0 0 9 8 59 0 0 0 5 20
W zasadzie zrobiliśmy nieomal wszystko: w czwartym równaniu jest już tylko jedna
niewiadoma, w trzecim  dwie, w drugim  trzy, tylko w pierwszym sa wszyst-
kie. Oznacza to, że możemy znalez
ć kolejno wartości niewiadomych. Zrobimy to nie
używaja c w dalszym cia gu niewiadomych jawnie. Podzielimy najpierw ostatni wiersz
przez 5 :
6
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
�ł �ł
1 1 -1 1 4
0 1 2 3 20
�ł �ł
�ł łł
0 0 3 1 13
0 0 0 1 4
�ł �ł
1 0 0 0
0 1 0 0
�ł �ł.
 bylo to mnożenie z lewej strony przez macierz
�ł łł
0 0 1 0
1
0 0 0
5
Teraz wyeliminujemy x4 z pierwszych trzech równań: odejmujemy czwarty wiersz
od trzeciego i pierwszego, a od drugiego odejmujemy czwarty pomnożony przez 3 :
�ł �ł
1 1 -1 0 0
0 1 2 0 8
�ł �ł.
�ł łł
0 0 3 0 9
0 0 0 1 4
Wykonaliśmy teraz takie mnożenie:
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 0 -1 1 1 -1 1 4 1 1 -1 0 0
0 1 0 -3 0 1 2 3 20 0 1 2 0 8
�ł �ł��ł �ł=�ł �ł.
�ł łł �ł łł �ł łł
0 0 1 -1 0 0 3 1 13 0 0 3 0 9
0 0 0 1 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4
Teraz dzielimy trzeci wiersz przez 3 :
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 0 0 1 1 -1 0 0 1 1 -1 0 0
0 1 0 0 0 1 2 0 8 0 1 2 0 8
�ł �ł��ł �ł=�ł �ł.
�ł łł �ł łł �ł łł
1
0 0 0 0 0 3 0 9 0 0 1 0 3
3
0 0 0 1 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4
Usuniemy teraz x3 z pierwszych dwóch równań:
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 1 0 0 3
0 1 -2 0 0 1 2 0 8 0 1 0 0 2
�ł �ł��ł �ł=�ł �ł.
�ł łł �ł łł �ł łł
0 0 1 0 0 0 1 0 3 0 0 1 0 3
0 0 0 1 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4
Ostatnia operacja to usuniecie x2 z pierwszego równania:
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 -1 0 0 1 1 0 0 3 1 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 2
�ł �ł��ł �ł=�ł �ł.
�ł łł �ł łł �ł łł
0 0 1 0 0 0 1 0 3 0 0 1 0 3
0 0 0 1 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4
No to wszystko sie udalo i po tych przeksztalceniach uklad równań przybral taka
postać:
x1 = 1;
x2 = 2;
x3 = 3;
x4 = 4;
co oznacza, że udalo nam sie go rozwia zać! Ma on dokladnie jedno rozwia zanie.
Pokazaliśmy, że rozwia zywanie ukladu można potraktować jako mnożenie przez kolej-
7
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
ne macierze (uwaga na kolejność!)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 -1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 -1
0 1 0 0 0 1 -2 0 0 1 0 0 0 1 0 -3
�ł �ł��ł �ł��ł �ł��ł �ł�
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 -1
3
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
�ł��ł �ł��ł �ł��ł �ł�
��ł
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 3 1 0
1
0 0 0 0 0 -3 1 0 0 1 0 0 1 0 1
5
�ł �ł
1 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 5 5
1 1 7 11
�ł �ł
- -
0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
�ł �ł �ł
3 6 15 30
�ł �ł.
��ł ��ł ��ł =
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł 1 2 1 4 łł
0 0 1 0 -2 0 1 0 0 0 1 0
- -
3 3 15 15
1
1 1 3
0 0 0 -3 0 0 1 0 0 0 1
2 0 -
2 5 15
Widzimy wiec, że rozwia zywanie ukladu równań można interpretować jako mnożenie
macierzy:
�ł �ł
1 1
�ł �ł �ł �ł
0 0
5 5 0 1 2 3 20 1 0 0 0 1
1 1 7 11
�ł
- -15 30 �ł
3 6
�ł �ł��ł 1 1 -1 1 4 �ł=�ł 0 1 0 0 2 �ł.
�ł łł �ł łł
�ł 1 2 1 4 łł
0 0 1 0 3
- -15 15 2 -1 1 1 7
3 3
1 1 3
3 1 -1 -1 -2 0 0 0 1 4
0 -
2 5 15
Dodać należy, że mnoża c wiersze przez liczby, dodaja c je, zmieniaja c ich kolejność
wykonywaliśmy operacje odwracalne, zawsze mogliśmy przeksztalcić macierz ,,z pow-
rotem . Dzieki temu wszystkie kolejne uklady równań byly równoważne, zatem os-
tatni uklad równań byl równoważny pierwszemu.
Omówimy jeszcze jeden przyklad, ale już nie bedziemy tlumaczyć, jak operacje
na wierszach macierzy można zasta pić mnożeniem z lewej strony przez odpowiednio
dobrana macierz.
x1 - 2x2 + x3 = 0;
4x1 - 5x2 + 2x3 = 0;
5x1 + 2x2 - 3x3 = 0.
Zaczniemy od wypisania macierzy rozszerzonej tego ukladu:
�ł �ł
1 -2 1 0
�ł łł.
4 -5 2 0
5 2 -3 0
Teraz odejmiemy od drugiego wiersza pierwszy pomnożony przez 4, a od wiersza
trzeciego  pierwszy pomnożony przez 5:
�ł �ł
1 -2 1 0
�ł łł.
0 3 -2 0
0 12 -8 0
Teraz od trzeciego wiersza odejmujemy drugi pomnożony przez 4 :
8
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
�ł �ł
1 -2 1 0
�ł łł.
0 3 -2 0
0 0 0 0
Dzielimy drugi wiersz przez 3 :
�ł �ł
1 -2 1 0
2
�ł łł.
0 1 - 0
3
0 0 0 0
Dodajemy do pierwszego wiersza drugi pomnożony przez 2
�ł �ł
1
1 0 - 0
3
2
�ł łł.
0 1 - 0
3
0 0 0 0
Tym razem rezultat jest ale nieco inny niż poprzednio. Uklad ma nieskończenie wiele
1 2
rozwia zań. Wartość x3 jest dowolna i wtedy x1 = x3 , x2 = x3 . Jak widać może
3 3
sie tak zdarzyć również wtedy, gdy liczba równań jest równa liczbie niewiadomych.
Obejrzymy ten sam uklad po drobnej zmianie:
x1 - 2x2 + x3 = 0;
4x1 - 5x2 + 2x3 = 3;
5x1 + 2x2 - 3x3 = 6.
Wykonujemy kolejno te same operacje, które wykonaliśmy przed chwila . Różnica po-
jawi sie tylko w czwartej kolumnie (czyli po prawej stronie równań). Otrzymujemy
w końcu:
�ł �ł
1 0 -1 2
3
�ł łł.
0 1 -2 1
3
0 0 0 -6
Uklad jest wiec sprzeczny  równanie 0 = -6 rozwia zań nie ma. Natomiast bez
1 2 2
trudu stwierdzamy, że punkt ( x3 + 2, x3 + 1, x3) = (2, 1, 0) + x3(1, , 1) jest
3 3 3 3
rozwia zaniem zarówno pierwszego jak i drugiego równania dla każdej liczby x3 , wiec
jest rozwia zaniem ukladu
x1 - 2x2 + x3 = 0
.
4x1 - 5x2 + 2x3 = 3
Do przeksztalcania dwóch pierwszych równań nie użyliśmy ani razu równania trze-
ciego, zatem ten ostatni uklad dwóch równań jest równoważny ukladowi
1
x1 - x3 = 2
3
.
2
x2 - x3 = 1
3
Przeksztalcaja c w podobny sposób uklad
4x1 - 5x2 + 2x3 = 3
.
5x1 + 2x2 - 3x3 = 6
9
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
12
stwierdzamy, że jest on spelniony przez punkt (16 , 1, ) i że dla każdej liczby t
11 11
trójka
12 16 12
(16 + t, 1 + 2t, + 3t) = ( , 1, ) + t(1, 2, 3)
11 11 11 11
również jest rozwia zaniem tego ukladu dwóch równań.
Zostala jeszcze jedna możliwość:
x1 - 2x2 + x3 = 0;
5x1 + 2x2 - 3x3 = 6.
1
Bez trudu stwierdzamy, że punkt (1, , 0) spelnia ten uklad równań oraz że dla każdej
2
1 1
liczby t uklad ten spelniony jest przez (1, , 0) + t(1, 2, 3) = (1 + t, + 2t, 3t) .
2 2
Widzimy wiec, że chociaż uklad trzech równań jest sprzeczny, to uklady dowolnych
dwóch maja rozwia zania, które jesteśmy w stanie opisać. Geometria zwia zana z ty-
mi równaniami nie jest skomplikowana. Każde z równań opisuje jaka ś plaszczyzne.
W przypadku ukladu
x1 - 2x2 + x3 = 0;
4x1 - 5x2 + 2x3 = 0;
5x1 + 2x2 - 3x3 = 0.
te trzy plaszczyzny maja wspólna prosta przechodza ca przez punkt 0 = (0, 0, 0) ,
równolegla do wektora (1, 2, 3) . W przypadku ukladu
x1 - 2x2 + x3 = 0;
4x1 - 5x2 + 2x3 = 3;
5x1 + 2x2 - 3x3 = 6.
jest nieco inaczej. Przesuniete zostaly dwie plaszczyzny. W wyniku tego nie ma
punktu wspólnego dla trzech plaszczyzn, ale każde dwie maja wspólna prosta . Każda
z trzech prostych jest równolegla do wektora (1, 2, 3) .
Bez trudu można zauważyć, że za pomoca opisanych przeksztalceń macierzy
rozszerzonej można ja doprowadzić do postaci schodkowej: każdy nastepny wiersz
zawierać bedzie wiecej zer na pocza tku, czyli w odpowiadaja cym temu wierszowi
`&
równaniu wysta pi mniej niewiadomych niż w poprzednim. Jeśli ostatni nieze-
rowy wiersz zawiera tylko jeden wyraz różny od 0 i to na samym końcu, to uklad
jest sprzeczny. Jeśli nie, to ma rozwia zania. Może zdarzyć sie, że rozwia zań jest
nieskończenie wiele, a może też zdarzyć sie, że tylko jedno. W szczególy nie bedziemy
wchodzić. Warto jednak nadmienić, że jeśli znajdziemy dwa rozwia zania ukladu li-
`&
Interesuje nas tylko poczatkowy blok samych zer, zera wystepujace na dalszych miejscach nic nas
chwilowo nie obchodza.
10
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
niowego, np. x i y , to dla każdej liczby rzeczywistej ą wektor ą x+(1-ą) y również
okaże sie rozwia zaniem. Mamy bowiem: A x = b i A y = b , zatem
A ą x + (1 - ą) y = ąA x + (1 - ą)A y = ą b + (1 - ą) b = b .
Zbiór punktów postaci ąx+(1-ą)y = y +ą(x-y) , ą " R , to prosta przechodza ca
--
przez punkt y w kierunku wektora x--y , wiec przechodza ca również przez punkt x .
Wykazaliśmy, że wraz z każdymi dwoma punktami zbiór rozwia zań ukladu liniowego
zawiera prosta , która przechodzi przez te punkty. Takie zbiory matematycy nazywaja
podprzestrzeniami afinicznymi.
Podprzestrzenie afiniczne przechodza ce przez 0 nazywane sa liniowymi. Pod-
przestrzenie liniowe maja te szczególna wlasność, że suma wektorów z takiej pod-
przestrzeni jest jej elementem. To samo dotyczy iloczynu wektora przez liczbe. Mamy
z nimi do czynienia w przypadku rozwiz
ań równania Ax = 0 Póz
niej okaże sie, że
sa one szczególnie ważne również z powodów algebraicznych.
Z macierzami kwadratowymi wia ża sie wyznaczniki. Przypomnijmy ich definicje.
Definicja 8.2 (wyznacznika macierzy kwadratowej)
Wyznacznikiem det(A) = |A| macierzy (a1,1) nazywamy liczbe a1,1 . Zalóżmy, że
zdefiniowaliśmy już wyznaczniki macierzy kwadratowych wymiaru mniejszego niż n .
Niech A = (ai,j) bedzie macierza o n wierszach i n kolumnach. Wyznacznikiem
det(A) = |A| macierzy A nazywamy liczbe
a2,2 a2,3 . . . a2,n a2,1 a2,3 . . . a2,n
a3,2 a3,3 . . . a3,n a3,1 a3,3 . . . a3,n
a1,1 . . .. . - a1,2 . . .. . + � � � +
. . . . . .
. .
. . . . . .
an,2 an,3 . . . an,n an,1 an,3 . . . an,n
a2,1 a2,2 . . . a2,n-1
a3,1 a3,2 . . . a3,n-1
+(-1)1+na1,n . . .. . .
. . .
.
. . .
an,1 an,2 . . . an,n-1
Na wszelki wypadek opiszemy slowami ten wzór. Wyznacznik macierzy 1 � 1,
to po prostu jedyny jej wyraz (w tym przypadku lepiej pisać np. det(-2) = -2 niż
używać pionowych kresek i ryzykować skojarzenie z wartościa bezwzgledna ). Wyz-
nacznik macierzy n � n znajdujemy rozwijaja c go wzgledem pierwszego wiersza:
liczbe (-1)1+ja1,j mnożymy przez wyznacznik macierzy wymiaru n - 1 � n - 1
powstalej z danej macierzy przez wykreślenie pierwszego wiersza i j  tej kolumny.
Pokażemy na przykladach jak to dziala.
1 5 a b
= 1 � 7 - 5 � 2 = -3 i ogólnie = ad - bc ;
2 7 c d
11
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
1 -2 1
-5 2 4 2 4 -5
4 -5 2 = 1 � - (-2) � + 1 � =
2 -3 5 -3 5 2
5 2 -3
= 1� (-5)�(-3)-2�2 -(-2)� 4�(-3)-2�5 +1� 4�2-(-5)�5 = 11+2�(-22)+33 = 0 ;
0 1 2 3
1 -1 1 1 -1 1 1 1 1
1 1 -1 1
= 0 � -1 1 1 - 1 � 2 1 1 + 2 � 2 -1 1 +
2 -1 1 1
1 -1 -1 3 -1 -1 3 1 -1
3 1 -1 -1
1 1 -1
+ 3 � 2 -1 1 =
3 1 -1
1 1 2 1 2 1 -1 1 2 1 2 -1
= - + + + 2 - + -
-1 -1 3 -1 3 -1 1 -1 3 -1 3 1
-1 1 2 1 2 -1
- 3 - - =
1 -1 3 -1 3 1
= -(0 - 5 - 5) + 2(0 + 5 + 5) - 3(0 + 5 - 5) = 10 + 20 - 0 = 30 .
Mamy nadzieje, że definicja zostala wyjaśniona. Pokażemy teraz jeszcze na-
jprostsze zastosowania pojecia wyznacznika. Udowodniliśmy, że pole równolegloboku
rozpietego przez wektory (u1, u2) , (v1, v2) równe jest |u1v2 - u2v1| . Możemy wiec
u1 u2
napisać, że to pole równe jest | | .*
v1 v2
Kwadrat pola równolegloboku rozpietego przez wektory u, v " R3 jest równy
u � u u � v
2 2
u v - ( u � v)2 =
v � u v � v
 ten wyznacznik nazywany jest wyznacznikiem Grama wektorów u, v . Można też
rozważać wyznacznik Grama trzech lub wiekszej liczby wektorów, ale o tym opowiemy
póz
niej.
Niech i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0) , k = (0, 0, 1) . Wtedy
i j k
u2 u3 u1 u3 u1 u2
= i + k =
u � v =
u1 u2 u3 v2 v3 - j
v1 v3 v1 v2
v1 v2 v3
u2 u3 u1 u3 u1 u2
= , - , = (u2v3 -u3v2, -u1v3 +u3v1, u1v2 -u2v1) .
v2 v3 v1 v3 v1 v2
Widać wiec, że jeśli spamietamy, co to jest wyznacznik, to nie bedziemy mieć klopotu
z iloczynem wektorowym. Po zapoznaniu sie z wlasnościami wyznaczników przeko-
namy sie, że moga nam jeszcze w co najmniej kilku przypadkach ulatwić życie.
Do sformulowania twierdzenia opisuja cego podstawowe wlasności wyznaczników
przyda nam sie nastepuja ce oznaczenie: Di;j oznacza wyznacznik macierzy powstalej
*Niskie pionowe kreski oznaczaja wartość bezwzgledna, wysokie  wyznacznik.
12
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
z macierzy A przez wykreślenie i  tego wiersza i j  tej kolumny, Di,j;k,l oznacza
wyznacznik macierzy powstalej z A przez wykreślenie i  tego i j  tego wiersza oraz
kolumn o numerach k, l . Niech
�ł
a1,1 a1,2 . . . a1,n �ł
a2,1 a2,2 . . . a2,n
�ł �ł
A =�ł . . .. . �ł
�ł łł
. . .
.
. . .
an,1 an,2 . . . an,n
Zachodzi wtedy
Twierdzenie 8.3 (o podstawowych wlasnościach wyznacznika)
1ć% Dla dowolnej liczby i " {1, 2, . . . , n} zachodzi równość
det(A) = (-1)i+1ai,1Di,1 + (-1)i+2ai,2Di,2 + � � � + (-1)i+nai,nDi,n  jest to
rozwiniecie Laplace a wzgledem i  tego wiersza;
2ć% Dla dowolnej liczby j " {1, 2, . . . , n} zachodzi równość
det(A) = (-1)1+ja1,jD1,j + (-1)2+ja2,jD2,j + � � � + (-1)i+nan,jDn,j  jest to
rozwiniecie Laplace a wzgledem i  tej kolumny;
3ć% Zachodzi równość
a1,1 a1,2 a1,1 a1,3
det(A) = (-1)1+2+1+2 D1,2;1,2 + (-1)1+2+1+3 D1,2;1,3 +
a2,1 a2,2 a2,1 a2,3
a1,1 a1,n a1,2 a1,3
+ � � � + (-1)1+2+1+n D1,2;1,n + (-1)1+2+2+3 D1,2;2,3 +
a2,1 a2,n a2,2 a2,3
a1,2 a1,4 a1,2 a1,n
+(-1)1+2+2+4 D1,2;2,4 + � � � + (-1)1+2+2+n D1,2;2,n +
a2,2 a2,4 a2,2 a2,n
a1,n-1 a1,n
+ � � � + (-1)1+2+n-1+n D1,2;n-1,n
a2,n-1 a2,n
 jest rozwiniecie Laplace a wzgledem dwóch pierwszych wierszy. Wystepuje
n n(n-1)
w tej sumie = skladników (2 kolumny spośród n kolumn wybrać
2 2
n
można na sposoby). Wykladnik potegi to suma numerów wierszy (czyli
2
1+2 ) i numerów kolumn, z których wybrane zostaly wyrazy wyznacznika 2�2 ;
4ć% Jeśli jakiś wiersz (lub kolumne) pomnożymy przez liczbe c , to wyznacznik też
zostanie pomnożony przez c .
5ć% Jeśli zamienimy miejscami dwa wiersze (dwie kolumny), to wyznacznik zmieni
znak, w szczególności jeśli dwa wiersze (dwie kolumny) pokrywaja sie, to wyz-
nacznik jest równy 0 ;
6ć% Jeśli do jednego wiersza dodamy drugi pomnożony przez jaka kolwiek liczbe, to
wyznacznik nie ulegnie zmianie.
13
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
7ć% Jeśli ai,j = bi,j dla wszystkich j i wszystkich i = i0 , to det(ai,j) + det(bi,j) =

= det(ci,j) , gdzie ci,j = ai,j = bi,j dla i = i0 oraz ci ,j = ai ,j + bi ,j , czyli

0 0 0
wyznaczniki, w których wszystkie wiersze sa identyczne z jednym wyja tkiem
dodajemy sumuja c wyja tkowe wiersze w obu, a pozostale przepisujemy.
Obliczanie wyznaczników na podstawie tej definicji lub definicji klasycznej, któ-
rej nawet nie przytoczymy, prowadzi do wielu rachunków, które w wypadku wyznacz-
ników dużego wymiaru sa klopotliwe nawet przy użyciu komputerów. Twierdzenie
o podstawowych wlasnościach wyznacznika pozwoli upraszczać te rachunki. Zanim
udowodnimy wlasności 1ć%  7ć% pokażemy na przykladzie, jak można z nich ko-
rzystać. Obliczymy jeszcze raz wyznacznik
0 1 2 3
1 1 -1 1
.
2 -1 1 1
3 1 -1 -1
Bedziemy stosować sformulowane wlaśnie wlasności wlasności doprowadzaja c wyz-
nacznik do jak najprostszej postaci. Mamy wiec kolejno
0 1 2 3 1 1 -1 1 1 1 -1 1
ć%
1 1 -1 1
5ć% 0 1 2 3 6ć% 0 1 2 3
= - = - = =2= =
= = = = = =
2 -1 1 1 2 -1 1 1 0 -3 3 -1
wg. I kol.
3 1 -1 -1 3 1 -1 -1 0 -2 2 -4
1 2 3 1 2 3
ć%
6ć% 9 8 4ć% 3 8 4ć%
= - -3 3 -1 = - 0 9 8 = =2= = - = - 3 � =
= = = = = = =
6 2 2 2
wg. I kol.
-2 2 -4 0 6 2
3 8
= -3 � 2 � = -6 � (3 - 8) = 30 .
1 1
Jak widać rachunki nie byly przesadnie skomplikowane. Jasne jest, że celem tych
przeksztalceń bylo doprowadzanie do pojawiania sie wielu zer w jednej kolumnie,
a nastepnie rozwiniecie wzgledem tej kolumny, co pozwalalo na kolejne zmniejszanie
wymiaru wyznacznika. Nie bedziemy mnożyć przykladów tego rodzaju, bo każdy
sam powinien obliczyć kilka wyznaczników, by dojść do pewnej wprawy w ich prze-
ksztalcaniu.
Udowodnimy teraz twierdzenie o podstawowych wlasnościach wyznaczników.
Zacznijmy od stwierdzenia, że w przypadku wyznaczników macierzy wymiaru 2 � 2
wszystkie cześci twierdzenia można latwo sprawdzić bezpośrednio z definicji. Zalo-
żymy, że twierdzenie zachodzi dla wszystkich wyznaczników wymiarów mniejszych
niż 5 i wykażemy jego prawdziwość dla wyznaczników wymiaru 5 . Dowód ogólny
14
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
różni sie od tego, który podamy za chwile, tym jedynie, że zamiast liczby 5 po-
jawić sie musi literka n . Obliczany wyznacznik oznaczamy przez D . Zaczniemy od
wykazania wlasności 3ć% . Mamy
a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 a1,5
a2,2 a2,3 a2,4 a2,5
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a2,5
a3,2 a3,3 a3,4 a3,5
D = a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 a3,5 = a1,1 -
a4,2 a4,3 a4,4 a4,5
a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 a4,5
a5,2 a5,3 a5,4 a5,5
a5,1 a5,2 a5,3 a5,4 a5,5
a2,1 a2,3 a2,4 a2,5 a2,1 a2,2 a2,4 a2,5
a3,1 a3,3 a3,4 a3,5 a3,1 a3,2 a3,4 a3,5
-a1,2 + a1,3 -
a4,1 a4,3 a4,4 a4,5 a4,1 a4,2 a4,4 a4,5
a5,1 a5,3 a5,4 a5,5 a5,1 a5,2 a5,4 a5,5
a2,1 a2,2 a2,3 a2,5 a2,1 a2,2 a2,3 a2,4
a3,1 a3,2 a3,3 a3,5 a3,1 a3,2 a3,3 a3,4
-a1,4 + a1,5 =
a4,1 a4,2 a4,3 a4,5 a4,1 a4,2 a4,3 a4,4
a5,1 a5,2 a5,3 a5,5 a5,1 a5,2 a5,3 a5,4
= a1,1D1;1 - a1,2D1;2 + a1,3D1;3 - a1,4D1;4 + a1,5D1;5 =
= a1,1 a2,2D1,2;1,2 - a2,3D1,2;1,3 + a2,4D1,2;1,4 - a2,5D1,2;1,5 -
-a1,2 a2,1D1,2;1,2-a2,3D1,2;2,3+a2,4D1,2;2,4-a2,5D1,2;2,5 +
+ a1,3 a2,1D1,2;1,3 - a2,2D1,2;2,3 + a2,4D1,2;3,4 - a2,5D1,2;3,5 -
- a1,4 a2,1D1,2;1,4 - a2,2D1,2;2,4 + a2,3D1,2;3,4 - a2,5D1,2;4,5 +
+ a1,5 a2,1D1,2;1,5 - a2,2D1,2;2,5 + a2,3D1,2;3,5 - a2,4D1,2;4,5 =
= a1,1a2,2 - a1,2a2,1 D1,2;1,2 - a1,1a2,3 - a1,3a2,1 D1,2;1,3 +
+ a1,1a2,4 - a1,4a2,1 D1,2;1,4 - a1,1a2,5 - a1,5a2,1 D1,2;1,5 +
+ a1,2a2,3 - a1,3a2,2 D1,2;2,3 - a1,2a2,4 - a1,4a2,2 D1,2;2,4 +
+ a1,2a2,5 - a1,5a2,2 D1,2;2,5 + a1,3a2,4 - a1,4a2,3 D1,2;3,4 -
- a1,3a2,5 - a1,5a2,3 D1,2;3,5 + a1,4a2,5 - a1,5a2,4 D1,2;4,5 =
a1,1 a1,2 a1,1 a1,3 a1,1 a1,4
= D1,2;1,2 - D1,2;1,3 + D1,2;1,4 -
a2,1 a2,2 a2,1 a2,3 a2,1 a2,4
a1,1 a1,5 a1,2 a1,3 a1,2 a1,4
- D1,2;1,5 + D1,2;2,3 - D1,2;2,4 +
a2,1 a2,5 a2,2 a2,3 a2,2 a2,4
a1,2 a1,5 a1,3 a1,4
+ D1,2;2,5 + D1,2;3,4 -
a2,2 a2,5 a2,3 a2,4
a1,3 a1,5 a1,4 a1,5
- D1,2;3,5 + D1,2;4,5 .
a2,3 a2,5 a2,4 a2,5
Zakończyliśmy dowód wlasności 3ć% . Po zakończeniu dowodu calego twierdzenia to
samo rozumowanie zostalo zapisane bez dodatkowych oznaczeń. Można wiec sobie
obejrzeć jak to wygla da.
Może wypada dodać, że ten dowód można przeprowadzić nie używaja c aż tylu
15
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
wzorów. Jest jasne, że jeśli rozwijamy wyznacznik najpierw wedlug pierwszego wier-
sza, a potem wg. drugiego, to w rozwinieciu pojawia sie wszystkie wyznaczniki
postaci D1,2;i,j , i < j , bo ,,wycinamy z macierzy dwa pierwsze wiersze i jakieś
dwie kolumny. Należy zobaczyć z jakim wspólczynnikiem ten wyznacznik sie pojawi.
Możemy z pierwszego wiersza wybrać i  ty wyraz a z drugiego j  ty lub odwrot-
nie. W pierwszym przypadku wspólczynnik jest równy (-1)1+ia1,i(-1)1+j-1a2,j =
(-1)1+i+ja1,ia2,j , bo wyraz a2,j to j - 1  y wyraz w wyznaczniku powstalym po
usunieciu pierwszego wiersza i i  tej kolumny. W drugim przypadku wspólczynnik
równy jest (-1)1+ja1,j(-1)1+i = (-1)2+i+ja1,ja1,i . Sta d wynika, że wyznacznik
D1,2;i,j pojawia sie ze wspólczynnikiem
a1,i a1,j a1,i a1,j
(-1)1+i+j = (-1)1+2+i+j .
a2,i a2,j a2,i a2,j
W wykladniku wystepuje wiec suma numerów wszystkich tych wierszy i kolumn, które
,,wycieliśmy . W tym rozumowaniu wymiar macierzy nie odgrywal najmniejszej roli,
nawet z punktu widzenia zapisu.
W ten sposób wykazana zostala wlasność trzecia dla wyznaczników macierzy
wymiaru 5 � 5 . Z niej natychmiast wynika, że jeśli zamienimy miejscami wiersz pier-
wszy i drugi, to caly wyznacznik zmieni znak (bo tak jest w przypadku wyznaczników
macierzy 2 � 2 ). Jeśli zamienimy miejscami którekolwiek dwa wiersze o numerach
wiekszych niż 1 , to zmienia znaki wszystkie wyznaczniki macierzy 4 � 4 , zatem
caly wyznacznik zmieni znak. Zamiane miejsc wiersza pierwszego i np. czwartego
zrealizować można jako trzy kolejne zamiany: pierwszy z drugim, drugi z czwartym
i wreszcie pierwszy z drugim. To oznacza, że w wyniku zamiany miejscami dwóch
wierszy wyznacznik zmienia znak.
Teraz wykażemy, że to samo jest prawda w wyniku zamiany miejscami dwu
sa siednich (na razie) kolumn. Jeśli np. zamieniamy miejscami kolumne trzecia i
czwarta , to wyrazy a1,3 i a1,4 wysta pia w rozwinieciu wyznacznika ze zmienionymi
znakami, natomiast wyznaczniki przez które mnożymy te wyrazy nie ulegna zmianie.
Znaki, z którymi wystepuja a1,1 , a1,2 i a1,5 nie zmienia sie, ale zmieni sie kole-
jność kolumn w wyznacznikach, przez które mnożymy te wyrazy, wiec te wyznaczniki
(macierzy 4 � 4 ) zmienia znak. Zamiane miejscami dwu kolumn niesa siednich real-
izujemy jako wiele zamian kolumn sa siednich, np. zamiana drugiej kolumny z pia ta
to cia g zamian: druga z trzecia , trzecia z czwarta , czwarta z pia ta , czwarta z trze-
cia , trzecia z druga . W opisanym przypadku zamienialiśmy kolejne kolumny 5 razy,
czyli wyznacznik zmienial znak 5 , wiec go zmienil. Bez trudu stwierdzamy, że liczba
16
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
zamian kolejnych kolumn jest zawsze nieparzysta. Wykazana zostala wlasność pia ta.
Czwarta też bardzo latwo wynika z prawdziwości twierdzenia dla wyznaczników
niższego wymiaru: mnożenie pierwszego wiersza przez liczbe c z definicji wyznacznika
powoduje pomnożenie go przez c . Pomnożenie innego wiersza powoduje pomnożenie
każdego z wyznaczników stopnia 4 wystepuja cych w definicji wyznacznika stopnia
5 przez c , wiec również w tym przypadku wyznacznik zostaje pomnożony przez c .
Podobnie jest z kolumnami: w każdym iloczynie a1,jD1;j mnożony przez c jest
dokladnie jeden czynnik, wiec iloczyn mnożony jest przez c . To kończy dowód
wlasności czwartej.
Rozwijanie wg. dowolnego wiersza jest możliwe, bo zamieniamy wiersz pierwszy
z tym, wg. którego mamy ochote rozwina ć wyznacznik, nastepnie rozwijamy wg.
pierwszego wiersza, nastepnie w wyznacznikach stopnia cztery zamieniamy pierwszy
wiersz z tym, w którym znalazly sie wyrazy a1,1, a1,2, . . .
Wykażemy, że wyznaczniki można rozwijać wzgledem kolumn. Ponieważ już
wiemy, że można przestawiaja c kolumny zmieniamy jedynie znak wyznacznika, wiec
wystarczy wykazać, że można wyznacznik rozwina ć wzgledem pierwszej kolumny.
Należy udowodnić, że wyznacznik D jest równy
a1,1D1;1 - a2,1D2;1 + a3,1D3;1 - a4,1D4;1 + a5,1D5;1 .
Rozwijamy każdy z wyznaczników Di;1 , i = 2, 3, 4, 5 , wzgledem pierwszego wiersza.
W wyniku tego pojawiaja sie wyznaczniki D1,i;1;j . Wspólczynnik przy wyznaczniku
D1,i;1;j to:
(-1)i+1ai,1 � (-1)1+j-1a1,j = (-1)i+j+1ai,1a1,j
 wyraz a1,j znajduje sie w j - 1 kolumnie wyznacznika Di,1 .
Teraz rozwijamy wyznacznik D wzgledem pierwszego wiersza:
D = a1,1D1;1 - a1,2D1;2 + a1,3D1;3 - a1,4D1;4 + a1,5D1;5 .
Teraz rozwijamy każdy z wyznaczników D1;j , j = 2, 3, 4, 5 , wzgledem jego pierwszej
kolumny. W rozwinieciu pojawi sie wyznacznik D1,i;1,j ze wspólczynnikiem
(-1)1+ja1,j(-1)i-1+1ai,1 = (-1)i+j+1a1,jai,1 ,
czyli z takim samym jak poprzednio. Wynika z tego, że
a1,1D1;1 - a2,1D2;1 + a3,1D3;1 - a4,1D4;1 + a5,1D5;1 =
= a1,1D1;1 - a1,2D1;2 + a1,3D1;3 - a1,4D1;4 + a1,5D1;5 = D ,
a to kończy dowód tej cześci twierdzenia.
To, że dwa wyznaczniki, w których wszystkie wiersze z wyja tkiem i  tego sa iden-
tyczne można dodawać dodaja c i  te wiersze (wlasność 7ć% ) wynika od razu z tego,
że można rozwina ć wyznacznik wzgledem dowolnego, np. i  tego wiersza. Sta d i z
17
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
tego, że wyznacznik, w którym dwa wiersze sie pokrywaja jest równy 0 oraz z tego,
że mnożenie wiersza przez liczbe c jest równoważne mnożeniu wyznacznika przez
c , wynika, że dodanie do i  tego wiersza wiersza j  tego pomnożonego przez c nie
zmienia wyznacznika: do danego wyznacznika dodajemy wyznacznik różnia cy sie od
danego tylko tym, że w miejscu i  tego wiersza pojawia sie j  ty pomnożony przez
c , czyli dodajemy 0 . W ten sposób zakończyliśmy dowód twierdzenia.
Na deser pokazujemy jak wygla da uzasadnienie wlasności trzeciej bez wprowa-
dzania dodatkowych oznaczeń, ale to tylko ciekawostka, a nie zacheta (wrecz próba
zniechecenia) do dowodzenia w ten sposób.
a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 a1,5
a2,2 a2,3 a2,4 a2,5
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a2,5
a3,2 a3,3 a3,4 a3,5
D = a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 a3,5 = a1,1 -
a4,2 a4,3 a4,4 a4,5
a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 a4,5
a5,2 a5,3 a5,4 a5,5
a5,1 a5,2 a5,3 a5,4 a5,5
a2,1 a2,3 a2,4 a2,5 a2,1 a2,2 a2,4 a2,5
a3,1 a3,3 a3,4 a3,5 a3,1 a3,2 a3,4 a3,5
-a1,2 + a1,3 -
a4,1 a4,3 a4,4 a4,5 a4,1 a4,2 a4,4 a4,5
a5,1 a5,3 a5,4 a5,5 a5,1 a5,2 a5,4 a5,5
a2,1 a2,2 a2,3 a2,5 a2,1 a2,2 a2,3 a2,4
a3,1 a3,2 a3,3 a3,5 a3,1 a3,2 a3,3 a3,4
-a1,4 + a1,5 =
a4,1 a4,2 a4,3 a4,5 a4,1 a4,2 a4,3 a4,4
a5,1 a5,2 a5,3 a5,5 a5,1 a5,2 a5,3 a5,4
a3,3 a3,4 a3,5 a3,2 a3,4 a3,5 a3,2 a3,3 a3,5
= a1,1 a2,2 a4,3 a4,4 a4,5 - a2,3 a4,2 a4,4 a4,5 + a2,4 a4,2 a4,3 a4,5 -
a5,3 a5,4 a5,5 a5,2 a5,4 a5,5 a5,2 a5,3 a5,5
a3,2 a3,3 a3,4 a3,3 a3,4 a3,5 a3,1 a3,4 a3,5
-a2,5 a4,2 a4,3 a4,4 - a1,2 a2,1 a4,3 a4,4 a4,5 - a2,3 a4,1 a4,4 a4,5 +
a5,2 a5,3 a5,4 a5,3 a5,4 a5,5 a5,1 a5,4 a5,5
a3,1 a3,3 a3,5 a3,1 a3,3 a3,4 a3,2 a3,4 a3,5
+a2,4 a4,1 a4,3 a4,5 - a2,5 a4,1 a4,3 a4,4 + a1,3 a2,1 a4,2 a4,4 a4,5 -
a5,1 a5,3 a5,5 a5,1 a5,3 a5,4 a5,2 a5,4 a5,5
a3,1 a3,4 a3,5 a3,1 a3,2 a3,5 a3,1 a3,2 a3,4
-a2,2 a4,1 a4,4 a4,5 + a2,4 a4,1 a4,2 a4,5 - a2,5 a4,1 a4,2 a4,4 -
a5,1 a5,4 a5,5 a5,1 a5,2 a5,5 a5,1 a5,2 a5,4
a3,2 a3,3 a3,5 a3,1 a3,3 a3,5 a3,1 a3,2 a3,5
-a1,4 a2,1 a4,2 a4,3 a4,5 - a2,2 a4,1 a4,3 a4,5 + a2,3 a4,1 a4,2 a4,5 -
a5,2 a5,3 a5,5 a5,1 a5,3 a5,5 a5,1 a5,2 a5,5
a3,1 a3,2 a3,3 a3,2 a3,3 a3,4 a3,1 a3,3 a3,4
-a2,5 a4,1 a4,2 a4,3 + a1,5 a2,1 a4,2 a4,3 a4,4 - a2,2 a4,1 a4,3 a4,4 +
a5,1 a5,2 a5,3 a5,2 a5,3 a5,4 a5,1 a5,3 a5,4
18
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
a3,1 a3,2 a3,4 a3,1 a3,2 a3,3
+a2,3 a4,1 a4,2 a4,4 - a2,4 a4,1 a4,2 a4,3 =
a5,1 a5,2 a5,4 a5,1 a5,2 a5,3
a3,3 a3,4 a3,5 a3,2 a3,4 a3,5
= a1,1a2,2 - a1,2a2,1 a4,3 a4,4 a4,5 - a1,1a2,3 - a1,3a2,1 a4,2 a4,4 a4,5 +
a5,3 a5,4 a5,5 a5,2 a5,4 a5,5
a3,2 a3,3 a3,5 a3,2 a3,3 a3,4
+ a1,1a2,4 - a1,4a2,1 a4,2 a4,3 a4,5 - a1,1a2,5 - a1,5a2,1 a4,2 a4,3 a4,4 +
a5,2 a5,3 a5,5 a5,2 a5,3 a5,4
a3,1 a3,4 a3,5 a3,1 a3,3 a3,5
+ a1,2a2,3 - a1,3a2,2 a4,1 a4,4 a4,5 - a1,2a2,4 - a1,4a2,2 a4,1 a4,3 a4,5 +
a5,1 a5,4 a5,5 a5,1 a5,3 a5,5
a3,1 a3,3 a3,4 a3,1 a3,2 a3,5
+ a1,2a2,5 - a1,5a2,2 a4,1 a4,3 a4,4 + a1,3a2,4 - a1,4a2,3 a4,1 a4,2 a4,5 -
a5,1 a5,3 a5,4 a5,1 a5,2 a5,5
a3,1 a3,2 a3,4 a3,1 a3,2 a3,3
- a1,3a2,5 - a1,5a2,3 a4,1 a4,2 a4,4 + a1,4a2,5 - a1,5a2,4 a4,1 a4,2 a4,3 =
a5,1 a5,2 a5,4 a5,1 a5,2 a5,3
a3,3 a3,4 a3,5 a3,2 a3,4 a3,5
a1,1 a1,2 a1,1 a1,3
= a4,3 a4,4 a4,5 - a4,2 a4,4 a4,5 +
a2,1 a2,2 a2,1 a2,3
a5,3 a5,4 a5,5 a5,2 a5,4 a5,5
a3,2 a3,3 a3,5 a3,2 a3,3 a3,4
a1,1 a1,4 a1,1 a1,5
+ a4,2 a4,3 a4,5 - a4,2 a4,3 a4,4 +
a2,1 a2,4 a2,1 a2,5
a5,2 a5,3 a5,5 a5,2 a5,3 a5,4
a3,1 a3,4 a3,5 a3,1 a3,3 a3,5
a1,2 a1,3 a1,2 a1,4
+ a4,1 a4,4 a4,5 - a4,1 a4,3 a4,5 +
a2,2 a2,3 a2,2 a2,4
a5,1 a5,4 a5,5 a5,1 a5,3 a5,5
a3,1 a3,3 a3,4 a3,1 a3,2 a3,5
a1,2 a1,5 a1,3 a1,4
+ a4,1 a4,3 a4,4 + a4,1 a4,2 a4,5 -
a2,2 a2,5 a2,3 a2,4
a5,1 a5,3 a5,4 a5,1 a5,2 a5,5
a3,1 a3,2 a3,4 a3,1 a3,2 a3,3
a1,3 a1,5 a1,4 a1,5
- a4,1 a4,2 a4,4 + a4,1 a4,2 a4,3 .
a2,3 a2,5 a2,4 a2,5
a5,1 a5,2 a5,4 a5,1 a5,2 a5,3
Z udowodnionego twierdzenia wynika od razu, że jeśli w macierzy zasta pimy
wiersze jej kolumnani (z zachowaniem kolejności), to wyznacznik nie ulegnie zmianie:
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n a1,1 a2,1 a3,1 . . . an,1
a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n a1,2 a2,2 a3,2 . . . an,2
a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n = a1,3 a2,3 a3,3 . . . an,3
. . . . . . . .
.. . . . . .. .
. . .
. .
. . . . . . . .
an,1 an,2 an,3 . . . an,n a1,n a2,n a3,n . . . an,n
 wynika to z tego, że wyznacznik można rozwijać wzgledem wierszy lub kolumn.
19
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
Macierz otrzymana z danej macierzy A przez opisana zamiane wierszy i kolumn
nazywamy macierza transponowana i oznaczamy przez AT , operacja ta stosowana
jest nie tylko do macierzy kwadratowych, np.
�ł �ł
T 1 4
1 2 3
łł.
=�ł 2 5
4 5 6
3 6
Ostatnio wymieniona wlasność wyznaczników można wiec zapisać tak:
det(A) = det(AT )
dla każdej macierzy kwadratowej A .
Twierdzenie 8.4 (Cramera)
Uklad n równań liniowych z n niewiadomymi ma dokladnie jedno rozwia zanie wtedy
i tylko wtedy, gdy wyznacznik tego ukladu jest różny od 0 .
Dowód.
Rozważamy uklad równań
a1,1x1 + a1,2x2 + a1,3x3 + � � � + a1,nxn = c1;
a2,1x1 + a2,2x2 + a2,3x3 + � � � + a2,nxn = c2;
a3,1x1 + a3,2x2 + a3,3x3 + � � � + a3,nxn = c3;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an,1x1 + an,2x2 + an,3x3 + � � � + an,nxn = cn.
Przeksztalcamy go stosuja c opisane wcześniej operacje na wierszach: zamieniamy
miejscami wiersze, mnożymy wiersz przez liczbe c = 0 , dodajemy jeden wiersz do

drugiego. Po pierwszej z tych operacji wyznacznik
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n
a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n
a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n
. . . .
.. .
. . .
.
. . . .
an,1 an,2 an,3 . . . an,n
zmienia znak, po drugiej jest pomnożony przez c , po trzeciej nie ulega zmianie. Po
pewnym czasie macierz zostanie sprowadzona do postaci schodkowej. Wyznacznik
tej ostatniej macierzy jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik wyjściowej
macierzy jest równy 0 . Warto zauważyć, że
ą1,1 ą1,2 ą1,3 . . . ą1,n
0 ą2,2 ą2,3 . . . ą2,n
0 0 ą3,3 . . . ą3,n = ą1,1 � ą2,2 � ą3,3 � . . . � ąn,n
. . . .
.. .
. . .
.
. . . .
0 0 0 . . . ąn,n
20
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
 wynik otrzymujemy rozwijaja c wyznacznik wzgledem pierwszej kolumny
ą1,1 ą1,2 ą1,3 . . . ą1,n
ą2,2 ą2,3 . . . ą2,n
0 ą2,2 ą2,3 . . . ą2,n
0 ą3,3 . . . ą3,n
0 0 ą3,3 . . . ą3,n = ą1,1 � . .
.
.. . ,
. .
. . . .
.. . .
. . .
. . .
.
. . . .
0 0 . . . ąn,n
0 0 0 . . . ąn,n
nastepnie powtarzamy te operacje na wyznaczniku niższego stopnia. Jeśli na prze-
ka tnej otrzymanej macierzy schodkowej nie ma zer, to wyznacznik ukladu też jest
różny od 0 . Uklad ma wtedy dokladnie jedno rozwia zanie, bo ostatnie równanie
wyznacza xn , przedostanie xn-1 itd.
Jeśli natomiast pojawi sie co najmniej jedno 0 , to wyznacznik ukladu jest
równy 0 . Jeśli ostatni niezerowy wiersz ma postać 0, 0, . . . , 0, dl przy czym dl = 0 ,

to uklad jest sprzeczny. Jeśli natomiast wygla da on tak 0, 0, . . . , 0, ćl,j, . . . , dl przy
czym ćl,j = 0 , to można potraktować niewiadome xj+1, xj+2, . . . , xn jako parame-

try, tzn. podstawić w ich miejsce dowolne liczby i nastepnie obliczyć wartość xj z
1
wzoru xj = dl - al,j+1xj+1 - al,j+2xj+2 - � � � - al,nxn . Potem można zaja ć sie
al,j
znalezieniem xj-1 . Jeśli Al-1,j-1 = 0 , to można wartość niewiadomej xj-1 wyz-

naczyć z l - 1  ego równania. Jeśli al-1,j-1=0 , to traktujemy xj-1 jako nastepny
parametr. W tej sytuacji znajdujemy xj-2 chyba, że al-2,j-2 = 0 . W tym przy-
padku zaczynamy zajmować sie xj+2 itd. Widać wiec, że w tej sytuacji uklad równań
ma nieskończenie wiele rozwia zań.
Definicja 8.5 (rzedu macierzy)
Rzedem macierzy prostoka tnej nazywamy najwiekszy ze stopni wyznaczników róż-
nych od 0 .
Z tej definicji wynika, że rza d nie może przekroczyć ani liczby wierszy macierzy,
ani też liczby jej kolumn.
Poprawiaja c nieco dowód twierdzenia Cramera można udowodnić nastepuja ce
Twierdzenie 8.6 (Kroneckera  Capelli)
Rzedy macierzy ukladu równań i macierzy rozszerzonej tego ukladu sa równe wtedy
i tylko wtedy, gdy uklad ma co najmniej jedno rozwia zanie:
jedno, jeśli rzedy sa równe liczbie niewiadomych,
nieskończenie wiele rozwia zań, jeśli rzedy sa mniejsze od liczby niewiadomych.
Dowodu tego twierdzenia nie podajemy, zreszta formulujemy je tylko po to, by
poinformować studentów, że można je sformulować. Student chemii nie mosi go
pamietać.
21
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
Twierdzenie 8.7 ( wzory Cramera)
Jeśli
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n
a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n
a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n = 0 ,

. . . .
.. .
. . .
.
. . . .
an,1 an,2 an,3 . . . an,n
to jedynym rozwia zaniem ukladu
a1,1x1 + a1,2x2 + a1,3x3 + � � � + a1,nxn = c1;
a2,1x1 + a2,2x2 + a2,3x3 + � � � + a2,nxn = c2;
a3,1x1 + a3,2x2 + a3,3x3 + � � � + a3,nxn = c3;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an,1x1 + an,2x2 + an,3x3 + � � � + an,nxn = cn.
jest punkt (x1, x2, x3, . . . , xn) zdefiniowany za pomoca równości:
c1 a1,2 a1,3 . . . a1,n a1,1 c1 a1,3 . . . a1,n
c2 a2,2 a2,3 . . . a2,n a2,1 c2 a2,3 . . . a2,n
c3 a3,2 a3,3 . . . a3,n a3,1 c3 a3,3 . . . a3,n
. . . . . . . .
.. . .. .
. . . . . .
. .
. . . . . . . .
cn an,2 an,3 . . . an,n an,1 cn an,3 . . . an,n
x1 =
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n , x2 = a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n ,
a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n
a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n
. . . . . . . .
.. . .. .
. . . . . .
. .
. . . . . . . .
an,1 an,2 an,3 . . . an,n an,1 an,2 an,3 . . . an,n
a1,1 a1,2 c1 . . . a1,n a1,1 a1,2 a1,3 . . . c1
a2,1 a2,2 c2 . . . a2,n a2,1 a2,2 a2,3 . . . c2
a3,1 a3,2 c3 . . . a3,n a3,1 a3,2 a3,3 . . . c3
. . . . . . . .
.. . .. .
. . . . . .
. .
. . . . . . . .
an,1 an,2 cn . . . an,n an,1 an,2 an,3 . . . cn
x3 =
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n , . . . , xn = a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n .
a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n
a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n
. . . . . . . .
.. . .. .
. . . . . .
. .
. . . . . . . .
an,1 an,2 an,3 . . . an,n an,1 an,2 an,3 . . . an,n
Dowód. Z twierdzenia Cramera udowodnionego powyżej wynika, że uklad ma dok-
ladnie jedno rozwia zanie. Wystarczy sprawdzić, że można je wyrazić za pomoca
wzorów Cramera. Zrobimy to w przypadku n = 3 . Ogólny od tego nie różni sie
22
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
niczym istotnym. Wykażemy, że a1,1x1 + a1,2x2 + a1,3x3 = c1 . Obliczamy:
c1 a1,2 a1,3 a1,1 c1 a1,3 a1,1 a1,2 c1
a1,1 c2 a2,2 a2,3 + a1,2 a2,1 c2 a2,3 + a1,3 a2,1 a2,2 c2 =
c3 a3,2 a3,3 a3,1 c3 a3,3 a3,1 a3,2 c3
a2,2 a2,3 a1,2 a1,3 a1,2 a1,3
= a1,1c1 - a1,1c2 + a1,1c3 -
a3,2 a3,3 a3,2 a3,3 a2,2 a2,3
a2,1 a2,3 a1,1 a1,3 a1,1 a1,3
- a1,2c1 + a1,2c2 - a1,2c3 +
a3,1 a3,3 a3,1 a3,3 a2,1 a2,3
a2,1 a2,2 a1,1 a1,2 a1,1 a1,2
+ a1,3c1 - a1,3c2 + a1,3c3 =
a3,1 a3,2 a3,1 a3,2 a2,1 a2,2
a1,1 a1,2 a1,3 a1,1 a1,2 a1,3 a1,1 a1,2 a1,3
= c1 a2,1 a2,2 a2,3 + c2 a1,1 a1,2 a1,3 + c3 a2,1 a2,2 a2,3 =
a3,1 a3,2 a3,3 a3,1 a3,2 a3,3 a1,1 a1,2 a1,3
a1,1 a1,2 a1,3
= c1 a2,1 a2,2 a2,3 .
a3,1 a3,2 a3,3
W ten sposób zakończyliśmy dowód równości a1,1x1 + a1,2x2 + a1,3x3 = c1 , nie
przepisywaliśmy mianownika, wiec pojawil sie on na końcu wraz z c1 . W taki sam
sposób można wykazać, że zachodza równości a2,1x1 + a2,2x2 + a2,3x3 = c2 oraz
a3,1x1 + a3,2x2 + a3,3x3 = c3 .
Wzorów Cramera na ogól sie nie stosuje, bo obliczanie wyznaczników jest klopot-
liwe, a jeśli już mamy przeprowadzać operacje na wierszach, to lepiej od razu zaja ć sie
macierza rozszerzona . Komputery pomagaja oczywiście troche, ale gdy liczba równań
jest duża, to i tak, nawet przy użycia komputera, nie oblicza sie wyznaczników,
lecz raczej eliminuje sie niewiadome metoda Gaussa. Tym nie mniej można też
napisać jawny wzór na macierz A-1 odwrotna do macierzy A = ai,j , czyli taka ,
że A � A-1 = I = A-1 � A . Zachodzi wzór Cramera:
�ł
(-1)1+1D1;1 (-1)1+2D1;2 (-1)1+3D1;3 . . . (-1)1+nD1;n �łT
(-1)2+1D2;1 (-1)2+2D2;2 (-1)2+3D2;3 . . . (-1)2+nD2;n
�ł �ł
�ł
1
(-1)3+1D3;1 (-1)3+2D3;2 (-1)3+3D3;3 . . . (-1)3+nD3;n �ł
�ł �ł
A-1 =
�ł �ł
det A
. . . .
..
�ł łł
. . . .
.
. . . .
(-1)n+1Dn;1 (-1)n+2Dn;2 (-1)n+3Dn;3 . . . (-1)n+nDn;n
Sprawdzenie poprawności tego wzoru to w zasadzie powtórzenie dowodu poprawności
wzoru na rozwia zania ukladu n równań liniowych z n niewiadomymi. Wzór ten
w przypadku macierzy niewielkiego rozmiaru może być z powodzeniem używany, jed-
nak w przypadku macierzy dużego wymiaru nie warto go używać, bo liczba obliczeń
wzrasta z wymiarem macierzy bardzo szybko. Znów, podobnie jak poprzednio, można
23
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
stosować operacje na wierszach. Pokażemy jak to wygla da w przypadku macierzy,
której odwrotna już raz znalez
liśmy. Rozważaliśmy wcześniej uklad równań lin-
iowych, którego macierz rozszerzona wygla dala tak:
�ł �ł
0 1 2 3 20
1 1 -1 1 4
�ł �ł.
�ł łł
2 -1 1 1 7
3 1 -1 -1 -2
Stosowaliśmy eliminacje Gaussa. Prowadzi to do znalezienia macierzy odwrotnej
macierzy
�ł �ł
0 1 2 3
1 1 -1 1
�ł �ł,
�ł łł
2 -1 1 1
3 1 -1 -1
co teraz jest naszym najbliższym celem. Bedziemy przeprowadzać te same operacje
co poprzednio, na macierzy
�ł �ł
0 1 2 3 1 0 0 0
1 1 -1 1 0 1 0 0
�ł �ł.
�ł łł
2 -1 1 1 0 0 1 0
3 1 -1 -1 0 0 0 1
Przypomnijmy, że każda z trzech operacji przeprowadzanych na wierszach możemy
traktować jako wynik mnożenia odpowiednio dobranej macierzy przez dana macierzy.
Macierz M , która zamierzamy przeksztalcać, to dwie macierze napisane obok siebie:
macierz A , a tuż za nia macierz I , można ja oznaczyć przez (A I)  to nie iloczyn!
Dodaja c np. wiersz drugi do wiersza trzeciego mnożymy macierz M przez macierz
�ł �ł
1 0 0 0
0 1 0 0
�ł,
B =�ł
�ł łł
0 1 1 0
0 0 0 1
ale to oznacza, że obliczmy dwa iloczyny: B � A i B � I . Nastepne operacje można
interpretować w taki sam sposób. Oznacza, że jeśli po pewnej liczbie tych ope-
racji dojdziemy do macierzy postaci (I C) (to nie iloczyn!), to macierz C bedzie
macierza odwrotna do A jako iloczyn macierzy, który pomnożony przez A daje I .
Przystepujemy do przeksztalcania:
�ł �ł
0 1 2 3 1 0 0 0
1 1 -1 1 0 1 0 0
�ł �ł
�ł łł
2 -1 1 1 0 0 1 0
3 1 -1 -1 0 0 0 1
24
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
�ł �ł
1 1 -1 1 0 1 0 0
0 1 2 3 1 0 0 0
�ł �ł
 przestawiliśmy wiersze,
�ł łł
2 -1 1 1 0 0 1 0
3 1 -1 -1 0 0 0 1
�ł �ł
1 1 -1 1 0 1 0 0  odjeliśmy pierwszy wiersz
0 1 2 3 1 0 0 0 pomnożony przez 2 od trze-
�ł �ł
�ł łł
ciego i pomnożony przez 3 od
0 -3 3 -1 0 -2 1 0
czwartego;
0 -2 2 -4 0 -3 0 1
�ł �ł
1 1 -1 1 0 1 0 0
 dodaliśmy drugi wiersz
0 1 2 3 1 0 0 0 pomnożony przez 3 do trze-
�ł �ł
�ł łł
ciego i pomnożony przez 2 od
0 0 9 8 3 -2 1 0
czwartego;
0 0 6 2 2 -3 0 1
�ł �ł
1 1 -1 1 0 1 0 0
 odjeliśmy trzeci wiersz
0 1 2 3 1 0 0 0
�ł �ł
2
�ł łł
pomnożony przez od
0 0 9 8 3 -2 1 0
3
10 2
czwartego.
0 0 0 - 0 -5 - 1
3 3 3
Do tej pory stosowaliśmy jedynie takie operacje na wierszach, które zachowywaly
wartości bezwzgledna wyznacznika lewej macierzy kwadratowej, znak zmienil sie raz,
gdy przestawiliśmy wiersze. Teraz bedzie inaczej.
�ł �ł
1 1 -1 1 0 1 0 0
 pomnożyliśmy trzeci
1
�ł �ł
0 1 2 3 1 0 0 0
wiersz przez , czwarty
�ł �ł 9
8 1 2 1
�ł łł 3
0 0 1 - 0
9 3 9 9 przez - ;
10
1 1 3
0 0 0 1 0 -
2 5 10
�ł �ł
1 1 3
 odjeliśmy czwarty wiersz
1 1 -1 0 0 -
2 5 10
�ł 3 3 9 �ł
od pierwsze go, pomnożony
0 1 2 0 1 - -
�ł �ł
2 5 10
�ł �ł przez 3 od drugiego,
1 2 1 4
�ł 0 0 1 0 - - łł
8
3 3 15 15
pomnożony przez od trze-
9
1 1 3
0 0 0 1 0 -
2 5 10 ciego;
�ł �ł
1 1 4 17
1 1 0 0 - -
 dodaliśmy trzeci wiersz
3 6 15 30
�ł 1 1 7 11 �ł
do pierwszego, odjeliśmy
0 1 0 0 - -
�ł �ł
3 6 15 30
�ł �ł
trzeci pomnożony przez 2 od
1 2 1 4
�ł 0 0 1 0 - - łł
3 3 15 15
drugiego;
1 1 3
0 0 0 1 0 -
2 5 10
�ł �ł
1 1
1 1 0 0 0 0
 dodaliśmy trzeci wiersz
5 5
�ł 1 1 7 11 �ł
do pierwszego, odjeliśmy
0 1 0 0 - -
�ł �ł
3 6 15 30
�ł �ł
trzeci pomnożony przez 2 od
1 2 1 4
�ł 0 0 1 0 - - łł
3 3 15 15
drugiego.
1 1 3
0 0 0 1 0 -
2 5 10
Po tych przeksztalceniach możemy napisać:
25
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
�ł �ł
1 1
�ł �ł-1
0 0
5 5
0 1 2 3
�ł 1 7
-1 -15 11 �ł
1 1 -1 1
�ł �ł �ł=
30
=�ł 3 6
�ł łł �ł �ł
1 1 4
2 -1 1 1
�ł
-2 -15 15 łł
3 3
3 1 -1 -1
1 1 3
0 -10
2 5
�ł �ł
0 0 6 6
1
10
�ł -5 -14 11
�ł
= .
�ł łł
10 -20 -2 8
30
0 15 6 -9
Jak widać odwracanie macierzy wymaga troche pracy, ale żadnych trudności tu
nie ma. Jeśli macierz odwrotnej nie ma, to oczywiście w trakcie operacji na wierszach
w pewnym momencie natkniemy sie na zbyt duży ,,uskok , co oznacza, że na glównej
przeka tnej ,,lewej macierzy pojawia sie zera i już na niej pozostana , co uniemożliwi
kontynuacje konstrukcji macierzy odwrotnej. W terminach wyznaczników: w tym
momencie stwierdzimy, że wyznacznik ,,lewej macierzy jest równy 0 .
Twierdzenie 8.8 (Cauchy ego o wyznaczniku iloczynu macierzy)
Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych tego samego wymiaru A i B jest
równy iloczynowi ich wyznaczników:
det(A � B) = det(A) � det(B) .
Dowód. Przypomnijmy, że
ą1,1 ą1,2 ą1,3 . . . ą1,n
0 ą2,2 ą2,3 . . . ą2,n
0 0 ą3,3 . . . ą3,n = ą1,1 � ą2,2 � ą3,3 � . . . � ąn,n .
. . . .
.. .
. . .
.
. . . .
0 0 0 . . . ąn,n
Bez trudu można sprawdzić, że w iloczynie
�ł
ą1,1 ą1,2 ą1,3 . . . ą1,n �ł �ł �1,1 �1,2 �1,3 . . . �1,n �ł
0
�ł ą2,2 ą2,3 . . . ą2,n 0 �2,2 �2,3 . . . �2,n
�ł �ł �ł
�ł
0 0 ą3,3 . . . ą3,n �ł �ł 0 0 �3,3 . . . �3,n �ł
�ł �ł��ł �ł
�ł
. . . . . . . .
.. . �ł �ł . . . .. . �ł
�ł łł �ł łł
. . .
. .
. . . . . . . .
0 0 0 . . . ąn,n 0 0 0 . . . �n,n
pod glówna przeka tna sa same zera a na glównej przeka tnej pojawiaja sie kolejno
liczby
ą1,1�1,1 , ą2,2�2,2 , . . . , ąn,n�n,n .
Sta d i z równości
26
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
(ą1,1�1,1) � (ą2,2�2,2) � . . . � (ąn,n�n,n) = (ą1,1 � ą2,2 � . . . � ąn,n) � (�1,1 � �2,2 � . . . � �n,n) ,
wynika, że twierdzenie jest prawdziwe, gdy obie macierze sa trójka tne, tzn. sa postaci
�ł
ą1,1 ą1,2 ą1,3 . . . ą1,n �ł
0
�ł ą2,2 ą2,3 . . . ą2,n
�ł
�ł
0 0 ą3,3 . . . ą3,n �ł .
�ł �ł
�ł
. . . .
.. . �ł
�ł łł
. . .
.
. . . .
0 0 0 . . . ąn,n
Z tego, co udowodniliśmy do tej pory wynika, że jeśli w macierzy kwadratowej B
zasta pimy i  ty wiersz przez sume tego wiersza i wiersza j  tego pomnożonego przez
liczbe c , to wyznacznik nie ulegnie zmianie. Ta operacja może być opisana jako
mnożenie Ci,j(c) � B , gdzie Ci,j(c) oznacza macierz, na której glównej przeka tnej
sa jedynki, poza ta przeka tna zera z wyja tkiem przeciecia i -tego wiersza z j  ta
kolumna , gdzie znajduje sie liczba c . Poniżej przyklad dla n = 4
�ł �ł
1 0 0 0
0 1 0 5
�ł
C2,4(5) =�ł .
�ł łł
0 0 1 0
0 0 0 1
Bez trudu można sprawdzić, że
�ł �ł
1 0 0 0
0 1 0 -5
�ł= C2,4(-5) .
C2,4(5)-1 =�ł
�ł łł
0 0 1 0
0 0 0 1
Latwo można zauważyć, że iloczyn A � Ci,j(-c) jest macierza , której wszystkie
kolumny z wyja tkiem j  tej sa takie same jak kolumny macierzy A , j  ta kolumna
iloczynu A � Ci,j(-c) jest suma j  tej kolumny macierzy A oraz i  tej pomnożonej
przez -c . Wobec tego det A � Ci,j(-c) = det(A) . Ponieważ mnożenie macierzy
jest la czne, wiec AB = (A � Ci,j(-c)) � (Ci,j(c) � B) i wobec tego
det(A � B) = det (A � Ci,j(-c)) � (Ci,j(c) � B) .
Aby udowodnić, że det(AB) = det(A) � det(B) , wystarczy wiec dowieść, że
det (A � Ci,j(-c)) � (Ci,j(c) � B) = det A � Ci,j(-c) � det Ci,j(c) � B ,
czyli udowodnić twierdzenie dla macierzy A � Ci,j(-c) i Ci,j(c) � B  wcześniej
wykazaliśmy, że det(Ci,j(c) � B) = det(B) i det(A � Ci,j(-c)) = det(A) .
Zamiana i  tego wiersza z j  tym to mnożenie przez macierz Pi,j , której wszyst-
kie wiersze z wyja tkiem i  tego i j  tego sa takie same, jak w macierzy jednostkowej,
27
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
zaś w i  tym wierszu jedynka jest na miejscu j  tym, a w wierszu j  tym  na
miejscu i  tym. Np. dla n = 4 mamy
�ł �ł �ł �ł
0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
�ł, P3,4 =�ł �ł
P1,3 =�ł .
�ł łł �ł łł
1 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 1 0
-1
Z latwościa przekonujemy sie, że Pi,j = P i, j (dwukrotna zamiana i -tego i j  tego
wiersza niczego nie zmienia). Mamy det(Pi,j�B) = - det(B) , det(A�Pi,j) = - det(A)
 ostatnia równość wynika z tego, że macierz A � Pi,j różni sie od macierzy A tylko
tym, że zamienione zostaly kolumny o numerach i, j , co jak wiemy powoduje jedynie
zmiane znaku wyznacznika. Wobec tego zamiast dowodzić twierdzenie dla macierzy
A, B można je udowodnić dla macierzy A � Pi,j, Pi,jB .
Stosuja c opisane operacje wielokrotnie sprowadzamy dowód twierdzenia do przy-
� � �
padku A � B , gdzie macierz B jest trójka tna (czyli ma pod przeka tna same zera).
�
Nastepnie mnożymy macierz A z lewej strony przez macierze typu Ci,j(c) oraz
� � � �
macierze typu Pi,j . Zachodzi równość det Ci,j(c) � (A � B) = det(A � B)  ope-
� �
racja na wierszach macierzy A � B , wiec dzieki la czności mnożenia macierzy:
� � � � � �
det(A � B) = det Ci,j(c) � (A � B) = det (Ci,j(c) � A) � B) .
� � � �
Mamy też det(Ci,j(c)�A) = det(A) , wiec możemy zasta pić pare macierzy A, B para
� �
Ci,j(c) � A , B .
Podobnie jest z mnożeniem przez Pi,j , które powoduje zmiane znaków obu wyz-
� � �
naczników: det(A) i det(A � B) . Możemy wiec po pewnym czasie doprowadzić
�
również macierz A do postaci trójka tnej. Dowód zostal zakończony.
Wniosek 8.9 (o wyznaczniku macierzy odwrotnej)
1
Jeśli macierz A ma odwrotna (czyli, gdy det(A) = 0 ), to det(A-1) = .

det(A)
Twierdzenie 8.10 (Objetość równoleglościanu rozpietego przez wektory
u, v, w " R3 )
Niech u = (u1, u2, u3) , v = (v1, v2, v3) , w = (w1, w2, w3) . Wtedy objetość równo-
leglościanu rozpietego przez wektory u, v, w (zaczepione w punkcie 0 ) równa jest
u1 u2 u3
|( u � v) � w| = | v1 v2 v3 | ,
w1 w2 w3
28
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
a jej kwadrat równy jest
u � u u � v u � w
v � u v � v v � w .
w � u w � v w � w
Dowód. Objetość równoleglościanu równa jest iloczynowi pola podstawy przez jego
wysokość. Niech podstawa bedzie równoleglobok rozpiety przez wektory u i v . Pole
tego równolegloboku to u � v . Trzeba wiec znalez
ć wysokość. Wektor u � v jest
prostopadly do każdego z wektorów u, v , wiec wysokość jest odcinkien równoleglym
do wektora u � v . Innymi slowy należy zrzutować prostopadle wektor w na prosta
w�( u� v)
wyznaczona przez wektor u � v . Ten rzut to wektor
u � v . Jego dlugość,
u� v 2
w�( u� v)
czyli wysokość równoleglościanu, to . Wobec tego objetość równa jest
u� v
w�( u� v)
= w � ( u � v) ,
u � v �
u� v
u1 u2 u3
co mieliśmy udowodnić. Równość ( u � v) � w = v1 v2 v3 wykazujemy bez
w1 w2 w3
trudu rozwijaja c wyznacznik wzgledem trzeciego wiersza (po przypomnieniu sobie
definicji iloczynu wektorowego). Wreszcie
2
u1 u2 u3 u1 u2 u3 u1 u2 u3
v1 v2 v3 = v1 v2 v3 � v1 v2 v3 =
w1 w2 w3 w1 w2 w3 w1 w2 w3
u1 u2 u3 u1 v1 w1 u � u u � v u � w
= v1 v2 v3 � u2 v2 w2 = v � u v � v v � w .
w1 w2 w3 u3 v3 w3 w � u w � v w � w
Wniosek 8.11 Trzy wektory u, v, w " R3 , zaczepione w punkcie 0 = (0, 0, 0) leża
w jednej plaszczyz
nie wtedy i tylko wtedy, gdy
u1 u2 u3
u � u u � v u � w
v1 v2 v3 = 0 �!�! v � u v � v v � w = 0 .
w1 w2 w3 w � u w � v w � w
Definicja 8.12 (trójki wektorów dodatnio zorientowanej)
Trzy wektory u, vw " R3 nieleża ce w jednej plaszczyz
nie tworza uklad dodatnio
zorientowany w przestrzeni trójwymiarowej wtedy i tylko wtedy, gdy
u1 u2 u3
v1 v2 v3 > 0 .
w1 w2 w3
Z definicji wynika natychmiast, że jeśli trójka ( u, v, w) jest ukladem dodatnio
zorientowanym, to trójka ( v, u, w) ukladem dodatnio zorientowanym nie jest 
29
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
zmiana kolejności wierszy powoduje zmiane znaku wyznacznika.
Można i należy sobie wyobrażać, że uklad trzech wzajemnie prostopadlych wek-
torów jest dodatnio zorientowany, gdy można ten uklad obrócić (kilka razy) wokól
prostych przechodza cych przez 0 tak, by po obrotach wektor u byl zgodnie rów-
nolegly (czyli równolegly i skierowany w te sama strone) do wektora i = (1, 0, 0) ,
wektor v  do wektora j = (0, 1, 0) i wektor w  do wektora k = (0, 0, 1) .
Temu stwierdzeniu można nadać bardzo precyzyjne znaczenie i wtedy je udowodnić.
Można zreszta to stwierdzenie uogólnić na trójki wektorów niekoniecznie wzajem-
nie prostopadlych. Warto w tym miejscu dodać, że iloczyn wektorowy wektorów
u, v " R3 może być zdefiniowany geometrycznie jako wektor, który
jest prostopadly do obu wektorów u, v ,
ma dlugość równa polu równolegloboku rozpietego przez te wektory,
i taki, że trójka u, v, u � v jest dodatnio zorientowana.
W matematyce od wielu lat jednym z kluczowych pojeć jest pojecie funkcji.
Zalóżmy, że dana jest funkcja przeksztalcaja ca plaszczyzne R2 lub przestrzeń R3 w
siebie i to taka, że odleglość x - y obrazów x , y punktów x, y jest równa
odlegości x - y punktów x, y . Zalóżmy dodatkowo, że punkt 0 jest przek-
sztalcany na siebie (nie rusza sie, czyli 0 = 0 ). Wykażemy, że w tej sytuacji istnieje
`&
taka macierz kwadratowa A , że dla każdego x " Rn , n = 2, 3 zachodzi równość
x = A � x (tu wektory sa traktowane jako macierze o jednej kolumnie i n wier-
szach). Wykażemy, że wtedy A jest taka macierza , że A � AT = I i odwrotnie: jeśli
A � AT = I , to Ax - Ay = x - y dla dowolnych x, y " Rn .* Przejdziemy do
dowodu.
2 2 2 2 2
Mamy x = x -0 = x -0 = x-0 = x dla dowolnego x " Rn ,
2 2 2
w tym y = y . Mamy też x - y = (x - y) � (x - y) = x � x - 2x � y + y � y =
2 2 2 2 2
= x - 2x � y + y i analogicznie x - y = x - 2x � y + y , a ponieważ
x - y = x - y , wiec dla dowolnych x, y zachodzi równość x � y = x � y .
Mamy wiec
2 2
(x + y) - (x + y ) = (x + y) - 2(x + y) � (x + y ) + (x + y ) � (x + y ) =
2
= (x + y) - 2(x + y) � x - 2(x + y) � y + x � x + 2x � y + y � y =
2
= (x + y) - 2(x + y) � x - 2(x + y) � y + x � x + 2x � y + y � y =
2
= (x + y) - 2(x + y) � (x + y) + (x + y) � (x + y) =
= (x + y) - (x + y) � (x + y) - (x + y) = 0 .
`&
n może być dowolne; mówimy o 2 i 3, by w razie potrzeby latwiej można bylo sobie coś narysować.
*Tzn. że przyporzadkowanie punktowi x punktu x =Ax jest izometria.
30
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
Sta d wynika, że (x + y) = x + y dla dowolnych x, y . Analogicznie dowodzimy, że
(tx) = tx dla dowolnej liczby t i dowolnego punktu x . Niech ej oznacza wektor,
którego wszystkie wspólrzedne sa równe 0 z wyja tkiem j  tej, która jest równa 1 .
Niech ai,j oznacza i  ta wspólrzedna wektora e j . W kolumnach macierzy (ai,j)
znajduja sie wektory e 1 , e 2 , . . . Mamy x = x1 e1 + x2 e2 + � � � + xn en . Wobec tego
x = x1 e1 + x2 e2 + � � � + xn en = x1 e 1 + x2 e 2 + � � � + xn e n = A x .
Mamy również e j � e j = ej � ej = 1 oraz e i � e j = ei � ej = 0 dla i = j . Te równości

oznaczaja , że A � AT = I . Udowodniliśmy wiec obiecane twierdzenie.
Dla przykladu opiszemy macierz obrotu o ka t ą wokól punktu 0 = (0, 0) .
Z definicji funkcji sinus i kosinus wynika, że w wyniku obrotu punkt (1, 0) przechodzi
Ą Ą
na punkt (cos ą, sin ą) , a punkt (0, 1) przechodzi na punkt cos(ą+ ), sin(ą+ ) =
2 2
= -sin ą, cos ą . Wynika sta d, że w obrocie o ka t ą wokól punktu 0 = (0, 0) punkt
x
przechodzi na punkt
y
x
cos ą - sin ą x x cos ą - y sin ą
= = .
sin ą cos ą y x sin ą + y cos ą
y
Teraz znajdziemy analityczny opis symetrii wzgledem prostej y = 2x . Niech
(u, v) oznacza punkt symetryczny do punktu (1, 0) wzgledem prostej y = 2x . Środek
u+1 v+0
odcinka o końcach (1, 0) i (u, v) , czyli punkt , leży na prostej y = 2x ,
2 2
v+0 u+1
zatem = 2 � , czyli v = 2u + 2 . Wektor (u - 1, v - 0) jest prostopadly do
2 2
wektora (1 - 0, 2 - 0) , zatem 0 = (u - 1, v) � (1, 2) = u - 1 + 2v . Musza wiec być
spelnione równania:
2u - v = -2,
u + 2v = 1.
3 4
Sta d u = - = -0,6 i v = = 0,8 . Analogicznie, jeśli obrazem punktu (0, 1) w tej
5 5
r+0 s+1
symetrii jest punkt (r, s) , to 2 � = oraz 0 = (r - 0, s - 1) � (1, 2) , zatem
2 2
2r - s = 1,
r + 2s = 2.
4 3
Wynika sta d, że r = = 0, 8 i s = = 0,6 . Sta d wnioskujemy, że obrazem punktu
5 5
x
w symetrii wzgledem prostej y = 2x jest punkt
y
x -0,6 0,8
x -0,6x + 0,8y
= = .
0,8 0, 6
y y 0,8x + 0,6y
31
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
Widać, że stosunkowo tanim kosztem uzyskujemy wzory na obrazy punktu w przek-
sztalceniach izometrycznych.
Oczywiście nie dla każdej macierzy przeksztalcenie, które punktowi x przypisuje
punkt x = Ax jest izometria , na ogól nie jest. Tym nie mniej takie przeksztalcenia
z wielu przyczyn sa bardzo interesuja ce. Nazywane sa liniowymi.* Omówimy jeszcze
jeden przyklad. Zanim jednak to nasta pi wprowadzimy definicje bardzo ważnego
pojecia.
Definicja 8.13 (wartości wlasnej i wektora wlasnego macierzy)
Liczbe  nazywamy wartościa wlasna macierzy kwadratowej A wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje wektor v = 0 taki, że A v =  v . W takiej sytuacji mówimy, że v jest

wektorem wlasnym macierzy A .
Wektor zerowy też czasem bedziemy nazywać wektorem wlasnym odpowiadaja -
cym wartości wlasnej. To ulatwia w niektórych momentach wypowiadanie twierdzeń,
choć w innych może prowadzić do nieporozumień.
Ponieważ I v = v dla każdego wektora v , wiec liczba 1 jest wartościa wlasna
macierzy I . Innych wartości wlasnych ta macierz nie ma.
Jedyna wartościa wlasna macierzy zerowej O (wszystkie jej wyrazy sa równe 0 )
jest liczba 0 , bo O v = 0 = 0 � v dla każdego wektora v .
�ł �ł
1 0 0
"
łł.
Niech A =�ł 0 2 0 Wartościami wlasnymi macierzy A sa liczby 1, 2, 5 ,
"
0 0 5
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0
�ł łł��ł łł łł, �ł łł��ł łł łł łł
bowiem 0 2 0 0 =�ł 0 0 2 0 1 =�ł 2 = 2 ��ł 1 i
" "
0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 0 0 0 0
"
�ł łł��ł łł=�ł łł= 5 ��ł 0 łł.
0 2 0 0 0
" "
0 0 5 1 5 1
Innych wartości wlasnych ta macierz nie ma, bo jeśli
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 0 0 x x
�ł łł��ł łł= łł,
0 2 0 y �ł y
"
0 0 5 z z
"
to zachodza równości x = x , 2y = y i z 5 = z . Szukamy niezerowego wektora
o wspólrzednych x, y, z . Jeśli x = 0 , to  = 1 i y = z = 0 . Jeśli y = 0 , to  = 2

"
i wtedy x = z = 0 . Wreszcie jeśli z = 0 , to  = 5 i x = y = 0 .

*O przeksztalceniach linowych jeszcze coś opowiemy. Te, o których teraz mówimy to tylko przyklad,
pojecie jest istotnie szersze!
32
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
�ł �ł
2 1 0
łł.
Niech A =�ł 0 2 1 Zalóżmy, że A v =  v dla pewnej liczby  i pewnego
0 0 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł
x 2 1 0 x 2x + y
łł. łł łł łł.
�ł
wektora v = 0 . Niech v =�ł y Mamy A v =�ł 0 2 1 y =�ł 2y + z

z 0 0 2 z 2z
Musi wiec być spelniony uklad równań
x = 2x + y
,
y = 2y + z
z = 2z
zatem y = ( - 2)x , z = ( - 2)y i z( - 2) = 0 . Jeśli  - 2 = 0 , to z = 0

(z ostatniego równania), zatem y = 0 (z drugiego równania) i wobec tego x = 0
(z pierwszego równania). Wobec tego jedynym kandydatem na wartość wlasna jest 2 .
Wtedy musi być z = 0 = y , natomiast x może być dowolna liczba rzeczywista .
Wobec tego jedyna wartościa wlasna tej macierzy jest liczba 2 , wektory wlasne jej
�ł �ł
x
�ł łł.
odpowiadaja ce to wektory postaci 0
0
Zauważmy, że jeśli  jest wartościa wlasna macierzy A wymiaru n , to jed-
norodny* uklad równań liniowych, którego macierza jest A-I ma oprócz zerowego
rozwia zanie niezerowe (wektor wlasny). Skoro tak, to musi być det(A - I) = 0 .
Niech p() = det(A-I) . Z definicji wyznacznika dosyć latwo można wywnioskować,
że p jest wielomianem n  tego stopnia zmiennej  . Wynika sta d, że liczba wartości
wlasnych macierzy A wymiaru n nie przekracza liczby n . Zauważmy jeszcze, że
jeśli liczba 0 jest pierwiastkiem wielomianu p , to jest wartościa wlasna macierzy
A , bo wtedy uklad równań
(a1,1 - )x1 + a1,2x2 + a1,3x3 + � � � + a1,nxn = 0
a2,1x1 + (a2,2 - )x2 + a2,3x3 + � � � + a2,nxn = 0
a3,1x1 + a3,2x2 + (a3,3 - )x3 + � � � + a3,nxn = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an,1x1 + an,2x2 + an,3x3 + � � � + (an,n - )xn = 0
ma niezerowe rozwia zanie, ma ich zreszta nieskończenie wiele.
*prawe strony wszystkich równań sa równe 0 .
33
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
Definicja 8.14 (wielomianu charakterystycznego macierzy)
Wielomian det(A-I) zmiennej  nazywany jest wielomianem charakterystycznym
macierzy A .
Z rozważań poprzedzaja cych definicje wielomianu charakterystycznego wynika,
że prawdziwe jest
Twierdzenie 8.15 (o wartościach wlasnych i wielomianie
charakterystycznym)
 jest wartościa wlasna macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy p() = 0 , gdzie p
jest wielomianem charakterystycznym macierzy A (wartości wlasne to pierwiastki
wielomianu charakterystycznego).
A teraz pora na obiecany przyklad. Omówimy teraz pewien problem pochodza cy
z trzynastego wieku. W rekopisie z 1202 r Leonarda z Pizy, zwanego Fibonaccim,
znajduje sie nastepuja ce zadanie: Ile par królików może być splodzonych przez pare
plodnych królików i jej potomstwo w cia gu roku, jeśli każda para daje w cia gu
miesia ca żywot jednej parze, para staje sie plodna po miesia cu, króliki nie zdychaja
w cia gu tego roku. Jasne jest, że po miesia cu mamy już dwie pary przy czym jedna
z nich jest plodna, a druga jeszcze nie. Wobec tego po dwóch miesia cach żyja już trzy
pary królików: dwie plodne, jedna jeszcze nie. Po trzech miesia cach żyje już pieć par
królików: trzy plodne, dwie jeszcze nie. Po czterech miesia cach jest już 8 = 5+3 par
królików. Kontynuuja c to postepowanie stwierdzamy po niezbyt dlugim czasie, że po
roku żyje już 377 = 233 + 144 par królików. Naturalnym problemem jest: znalez
ć
wzór na liczbe an , jeśli a0 = 1 , a1 = 2 i an = an-1 + an-2 dla n = 2, 3, 4, . . . .
Na problem można spojrzeć tak: maja c dane liczby a1, a2 znajdujemy nastepna
pare a2, a3 . Mówimy o parach, bo jedna liczba nie wystarcza do znalezienia nastep-
nej, trzeba znać dwie kolejne liczby. Pare liczb możemy potraktować jako punkt
plaszczyzny. Maja c wiec punkt (a1, a2) znajdujemy punkt (a2, a3) = (a2, a1 + a2) ,
potem znajdujemy punkt (a3, a4) = (a3, a2 + a3) itd. Mamy wiec przeksztalcenie na
x
plaszczyz
nie, które punktowi przypisuje punkt
y
y x
0 1
= .
1 1
x + y y
Chodzi o znalezienie wzoru na an , czyli o znalezienie
an 1
0 1 0 1 0 1
= � � . . . � � ,
1 1 1 1 1 1
an+1 1
34
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
przy czym w powyższym iloczynie macierz kwadratowa wystepuje n - 1 razy. For-
malnie rzecz biora c można odpowiedzieć
n-1
an 1
0 1
= � ,
1 1
an+1 1
tylko że tego rodzaju odpowiedz
może być latwo uznana za wymijaja ca . Przecież
nie chodzi o przeformulowanie problemu, lecz o jego rozwia zanie. Oznacza to, że we
wzorze powinny wysta pić znane funkcje, a nie nowe oznaczenia.
0 1
Zaczniemy od znalezienia wartości i wektorów wlasnych macierzy . Trze-
1 1
ba rozwia zać równanie kwadratowe
"
2 2
0 -  1
1 5
0 = = -(1 - ) - 1 = 2 -  - 1 =  - - .
2 2
1 1 - 
" "
1+ 5 1- 5
Równanie to ma dwa pierwiastki: 1 = oraz 2 = . Odpowiadaja im
2 2
wektory wlasne, np. v1 = (1, 1) i v2 = (1, 2) , można każdy z nich pomnożyć
0 1
przez dowolna liczbe różna od 0 . Zauważmy, że � v1 = 1 v1 , zatem
1 1
2
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
(1 v1) = 1
v1 = v1 = v1 = 2 v1 .
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Sta d, powtarzaja c ten rachunek wielokrotnie otrzymujemy
n-1 n-1
0 1 0 1
v1 = n-1 v1 i analogicznie v2 = n-1 v2 .
1 2
1 1 1 1
Można zapytać, co z tego wynika, znalez
liśmy jakieś wzory, ale nie te, o które chodzi.
Poprawimy sie nieco. Znajdziemy liczby b, c takie, że (1, 1) = b v1 + c v2 .* Ma wiec
być spelniona równość:
1 b
1 1
= ,
1 2
1 c
czyli
-1
1 1 1 2 - 1
1 1 2 -1
b 1
= = = =
c
1 2 1
2 - 1 -1 1
1 2 - 1 1 - 1
1 -1
=
2 - 1 2
 skorzystaliśmy z tego, że 1 + 2 = 1 (wzór ViŁte a). Mamy wobec tego
*Mówiac uczenie: znajdziemy wspólrzedne wektora (1,1) w ukladzie wspólrzednych, w którym role
wektorów jednostkowych osi pelnia wektory v1 i v2
35
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
n-1 n-1
an 1 -1 2
0 1 0 1
= =
v1 + v2 =
1 1 1 1
an+1 1 2 - 1 2 - 1
n-1 n-1
-1 2 -n n
0 1 0 1
1 2
= � v1 + � v2 = � v1 + � v2 .
1 1 1 1
2 - 1 2 - 1 2 - 1 2 - 1
"
Mamy oczywiście 2 - 1 = - 5 . Wobec tego
" "
n n
1 1 + 5 1 - 5
an = " - .
2 2
5
Uzyskany wzór nazywany jest wzorem Bineta (1786 1856). Autor tego tekstu nie
wierzy jednak, że np. Leonhard Euler (1707  1783) nie znal tego wzoru, bo z pew-
nościa umial go wyprowadzić. To jednak nie jest istotne. Ważne jest to, że musialo
uplyna ć musialo kilkaset lat zanim znaleziono wzór. Jasne jest, że w zasadzie nie jest
możliwe odgadniecie takiego wzoru bez jakiegoś pomyslu np. ,,szukamy w postaci
sumy cia gów geometrycznych . Pamietać też należy, że pierwszy czlowiek, który go
znalazl nie wiedzial przecież, co znajdzie! Dodajmy jeszcze, że cia g Fibonacciego
pojawia sie w wielu miejscach w matematyce z zadziwiaja ca konsekwencja , ale nie
ma tu miejsca, by o tym mówić.
36
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
Zadania
8. 01 Wykazać, że przez każde trzy punkty plaszczyzny, z których żadne dwa nie
leża na jednej prostej pionowej przechodzi wykres dokladnie jednego wielomianu
stopnia 2 lub mniejszego.
8. 02 Wykazać, że przez każde cztery punkty plaszczyzny, z których żadne dwa nie
leża na jednej prostej pionowej przechodzi wykres dokladnie jednego wielomianu
stopnia nie wiekszego niż 3. Uogólnić to twierdzenie i spróbować je udowodnić.
8. 03 Obliczyć wyznaczniki nastepuja cych macierzy:
1 2 1 -2 13 8 0 2
, , , .
0 3 2 1 8 5 1 3
8. 04 Obliczyć wyznaczniki nastepuja cych macierzy:
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 2 3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 -2
�ł łł, �ł łł, �ł łł, �ł łł, �ł łł,
0 2 3 1 0 1 1 0 1 -1 0 1 0 1 0
0 0 3 1 1 0 1 1 0 -1 -1 0 2 0 1
�ł �ł �ł �ł
et tet t2et cos � cos � -r cos � sin � -r sin � cos �
�ł łł.
et (1 + t)et (2t + t2)et łł, �ł cos � sin � r cos � cos � -r sin � sin �
et (2 + t)et (2 + 4t + t2)et sin � 0 r cos �
8. 05 Znalez
ć iloczyn AB macierzy, jeśli
2 1 2 0 0 2 0 5
1ć% A = , B = 2ć% A = , B =
0 2 1 2 0 0 0 0
2 0 2 1 0 2 0 0
3ć% A = , B = 4ć% A = , B =
1 2 0 2 0 0 5 0
3 1 3 1 9 6 3 1
5ć% A = , B = 6ć% A = , B =
0 3 0 3 0 9 0 3
27 27 3 1 27 108 3 1
7ć% A = , B = 8ć% A = , B =
0 27 0 3 0 27 0 3
8. 06 Znalez
ć iloczyn AB macierzy, jeśli
�ł �ł �ł �ł
3 1 0 3 1 0
łł, B =�ł 0 3 1 łł;
1ć% A =�ł 0 3 1
0 0 3 0 0 3
�ł �ł �ł �ł
9 6 1 3 1 0
łł, B =�ł 0 3 1 łł;
2ć% A =�ł 0 9 6
0 0 9 0 0 3
�ł �ł �ł �ł
27 27 9 3 1 0
łł, łł;
3ć% A =�ł 0 27 27 B =�ł 0 3 1
0 0 27 0 0 3
�ł �ł �ł �ł
81 108 54 3 1 0
łł, łł;
4ć% A =�ł 0 81 108 B =�ł 0 3 1
0 0 81 0 0 3
37
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
1 t 1 s
5ć% A = , B = ;
0 1 0 1
1 0 1 0
6ć% A = , B = ;
t 1 s 1
cos ą - sin ą cos � - sin �
7ć% A = , B = ;
sin ą cos ą sin � cos �
et cos ą -et sin ą e2t cos � -e2t sin �
8ć% A = , B = .
et sin ą et cos ą e2t sin � e2t cos �
8. 07 Znalez
ć macierz odwrotna M-1 do macierzy M , jeśli M =
cos ą - sin ą 1 t 1 t 4 t
1ć% , 2ć% , 3ć% , 4ć% .
sin ą cos ą 0 1 s 1 s 3
8. 08 Znalez
ć macierz odwrotna M-1 do macierzy M , jeśli M =
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 1 1 1 2 3 -1 1 0 4 0 -3
łł, łł, łł, łł.
1ć% �ł 1 -1 1 2ć% �ł -1 -1 1 3ć% �ł 0 -1 1 4ć% �ł 0 2 0
1 2 4 5 -4 1 0 0 -1 3 0 4
8. 09 Rozwia zać uklady równań:
2x - y - z = 4 x + y + 2z = -1
3x + 4y - 2z = 11 , 2x - y + 2z = -4 ,
3x - 2y + 4z = 11 4x + y + 4z = -2
3x + 2y + z = 5 x + 2y + 4z = 31
2x + 3y + z = 1 , 5x + y + 2z = 29 ,
2x + y + 3z = 11 3x - y + z = 10
ńł ńł
w + x + 2y + 3z = 1 w + 2x + 3y - 2z = 6
�ł �ł
�ł �ł
3w - x - y - 2z = -4 2w - x - 2y - 3z = 8
, ,
2w + 3x - y - z = -6 3w + 2x - y + 2z = 4
�ł �ł
ół ół
w + 2x + 3y - z = -4 2w - 3x + 2y + z = -8
ńł
w + 2x + 3y + 4z = 5
�ł
�ł
2w + x + 2y + 3z = 1
.
3w + 2x + y + 2z = 1
�ł
ół
4w + 3x + 2y + z = -5
Należy popracować z macierza ukladu i sprowadzić ja za pomoca operacji elemen-
tarnych na wierszach do prostszej postaci. Warto też zastosować druga metode:
napisać uklad w postaci macierzowej Ax = b , znalez
ć macierz odwrotna A-1
i obliczyć x = A-1b , jeśli macierz A jest odwracalna.
3 4
-
5 5
8. 10 Niech A = . Niech x = A x dla dowolnego wektora x " R2 ,
4 3
5 5
x1
x = teraz zapisujemy wektory jako macierze, które maja jedna kolumne.
x2
Udowodnić, że jeśli x, y " R2 , to x - y = x - y .
12 -5
8. 11 Niech A = . Niech x = A x dla dowolnego wektora x " R2 .
5 12
38
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
Wykazać, że dla każdej pary wektorów x, y " R2 spelniona jest nastepuja ca
równość x - y = 13 x - y .
a b ą �
ąx+�
ax+b
8. 12 Niech f(x) = , g(x) = i niech M1 = , M2 = ,
cx+d łx+�
c d ł �
p q
px+q
M = M1 � M2 . Wykazać, że jeśli M = , to f(g(x)) = .
rx+s
r s
8. 13 Udowodnić, że jeśli izometria przestrzeni R3 zachowuje 0 , tzn. 0 = 0 , to
istnieje wektor x taki, że x = x lub x = - x . Oznacza to, że istnieje prosta
przechodza ca przez punkt 0 , która izometria przeksztalca na siebie: albo punkty
tej prostej nie zmieniaja swego polożenia, albo przechodza na symetryczne wz-
gledem punktu 0 . Czy twierdzenie jest prawdziwe dla izometrii IR2 ?
8. 14 Znalez
ć wartości i wektory wlasne macierzy A , jeśli A =
0 1 0 2
1ć% ; 2ć% ;
1 2 1 1
21 13 -1 1
3ć% ; 4ć% ;
13 8 -1 -3
1 -2 2 -1
5ć% ; 6ć% ;
5 3 4 -2
�ł �ł �ł �ł
5 0 3 1 0 0
łł; łł;
7ć% �ł 0 1 0 8ć% �ł 0 3 2
3 0 2 0 2 1
�ł �ł �ł �ł
-7 -6 -2 2 6 4
łł; łł;
9ć% �ł 30 24 8 10ć% �ł -3 -20 -14
-45 -33 -10 6 35 24
�ł �ł �ł �ł
-8 -3 -6 -27 -2 45
łł; łł.
11ć% �ł -3 2 -2 12ć% �ł -36 -6 60
15 5 11 -21 -2 35
8. 15 Niech � " R , w " R3 . Definiujemy
sin �
w� x w� x
F ( x) = cos � x - w + w � x + +w�w w
w�w w
dla dowolnego x " R3 .
Wykazać, że F jest izometria , tzn. że F ( x1) - F ( x2) = x1 - x2 dla
dowolnych x1, x2 " R3 . Znalez
ć F (w) .
Znalez
ć macierz tej izometrii dla w = (0, 0, 1) , dla w = (1, 0, 0) oraz dla w =
=(1, 1, 1) i obliczyć wartości wlasne znalezionych macierzy.
8. 16 Narysować obraz kwadratu o wierzcholkach (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) w prze-
ksztalceniu liniowym zdefiniowanym za pomoca macierzy A , jeśli A =
39
Macierze i wyznaczniki Michal Krych
1
1 1 1 0 1 2 1 -1 0 2 0 1 -1
2
, , , , , , .
0 1 1 1 0 1 0 1 0 2 0 3 1 1
8. 17 Wykazać, że macierze A i C-1 � A � C maja ten sam wielomian charakterysty-
czny, zakladamy oczywiście, że det(C) = 0 .

8. 18 Wykazać, że dla dowolnej macierzy A wymiaru m � n i dowolnego wektora (pi-
onowego) x " Rn i dowolnego wektora (pionowego) y " Rm zachodzi równość
A x � y = x � AT y
8. 19 Wykazać, że jeśli macierz rzeczywista A jest symetryczna, czyli A = AT , to jej
wartości wlasne sa liczbami rzeczywistymi.
8. 20 Wykazać, że jeśli macierz rzeczywista A jest symetryczna, czyli A = AT , to
wektory wlasne odpowiadaja ce różnym wartościom wlasnym sa prostopadle.
40