Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
I. Newton sformu l podstawowe zasady dynamiki. Druga zasada dynamiki
lowa
ma postać wzoru
F = m a .
F oznacza tu si dzia na cia o masie m , a oznacza przyspieszenie tego cia
le laja ca lo la.
Przyspieszenie to druga pochodna po
lożenia w chwili t , oczywiście przyspieszenie na
ogó zależy od czasu. Jest to oczywiście wielkość wektorowa, wiec dlatego stosujemy
l
 t druk albo strza (to rzecz gustu). Oznaczaja c po w chwili t przez
lusty lke lożenie

x(t) = x1(t), x2(t), x3(t) otrzymujemy a(t) = x (t) . W ogólności si jest wekto-
la
rem zależnym od po (np. grawitacyjna), predkości poruszaja cego sie cia (np.
lożenia la
tarcie) i czasu (np. zwiekszamy lub zmniejszamy obroty silnika). Powinniśmy wiec
traktować wektor F jako funkcje zależna od zmiennych x , x oraz t . Wtedy druga
zasada dynamiki przyjmuje postać

F x(t), x (t), t = mx (t) .
Z jednej strony wystepuje druga pochodna funkcji x , a z drugiej funkcja zależna od
x , x oraz t . Zwykle naszym celem po napisaniu takiego równania jest znalezienie
funkcji x  chcemy zbadać ruch, czyli móc powiedzieć w jakim punkcie w danej
chwili znajduje sie poruszaja cy sie obiekt.
Równania tego typu nazywane sa równaniami różniczkowymi, w tym konkretnym
przypadku drugiego rzedu, bowiem w równaniu wystepuja pochodne drugiego rzedu
niewiadomej funkcji, a pochodne wyższego rzedu już nie.
Jeśli równanie nie daje sie rozwia zać, to możemy próbować przybliżyć roz-
wia zanie, czasem przybliżyć równanie i rozwia zać równanie przybliżone w nadziei,
że jego rozwia zania przybliżaja rozwia zania wyjściowego równania. Zagadnienia te
sa trudne. W trakcie tego wyk zajmować sie bedziemy jedynie najprostszymi
ladu
typami równań różniczkowych i to tylko takimi, które można rozwia zać używaja c
jedynie elementarnych funkcji.
W szkole uczniowie spotykaja sie na lekcjach fizyki z wahad matematycz-
lem
nym, poznaja prawa jego ruchu. Zaczyna sie to wszystko od stwierdzenia, że jeśli
x(t) oznacza ka t o jaki wahad odchylone jest od pionu w chwili t , to spe jest
lo lniona
równość x (t) = - sin x(t) . Zak tu, że jednostki sa tak dobrane, że przyspie-
ladam
szenie ziemskie równe jest 1 , d wahad też jest 1 i dlatego nie ma żadnych
lugość la
1
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
wspó
lczynników w rodzaju g , l , . . . Nastepnie nauczyciel oświadcza, że ponieważ
zajmujemy sie jedynie sytuacja , w której amplituda wahań jest ma wiec możemy
la,
przyja ć, że sin x H" x ,* co pozwala na zajecie sie równaniem x (t) = -x(t) . To
ostatnie daje sie latwo rozwia zać, nauczymy sie tego w nieodleg przysz
lej lości.
Można równanie x (t) = - sin x(t) pomnożyć stronami przez x (t) , w wy-
niku otrzymamy x (t)x (t) = -x (t) sin x(t) . Korzystaja c z wzoru na pochodna
2
1
z możemy napisać równość x (t) = cos x(t) . Wynika sta d, że funkcja
lożenia
2
2
1
x (t) - cos x(t) jest sta Fizycy te funkcje zwykli nazywać energia i dodaja c, że
la.
2
2
1
x (t) to energia kinetyczna, a - cos x(t) to energia potencjalna. Nie ma wiec nic
2
dziwnego w tym, że suma energii kinetycznej i potencjalnej jest sta Oznaczmy te
la.
sta przez E . Może ona przyjmować różne wartości, jednak nie moga one być mniej-
la
2
1
sze niż -1 . Jeśli x (t) - cos x(t) = -1 , to musi być x (t) = 0 i cos x(t) = 1 dla
2
każdej liczby t . Odpowiada to temu, że wahad znajduje sie w swym najniższym
lo
po
lożeniu i nie porusza sie. Zajmiemy sie inna ciekawa z punktu widzenia autora tek-
stu wartościa E , mianowicie przyjmiemy, że E = 1 . Nasze równanie ma wiec teraz
postać:
1 2
x (t) - cos x(t) = 1
2
Nie jest trudno odgadna ć jedno z rozwia zań. Funkcja sta x(t) = Ą spe to
la lnia
równanie. Rozwia zanie to odpowiada temu, że wahad znajduje sie bez ruchu w
lo
swych górnym po
lożeniu. Oczywiście tego rodzaju bezruch jest bardzo niestabilny
i trudno go zrealizować w praktyce. Przepiszmy równanie w postaci


x(t)
x (t) = Ä… 2(1 + cos x(t)) = Ä… 4 cos2 x(t) = Ä…2 cos .
2 2
x(t)
Zajmiemy sie równaniem x (t) = 2 cos . Przepiszemy je w postaci
2
x (t)
1 = .
x(t)
2 cos
2
Ca obie strony otrzymujemy
lkuja c

x (t) x=x(t)/2 dx cos xdx
t + C = 1 · dt = dt = = = = = = = = =
= = = = =
x(t)
dx=x (t)/2 dt cos x
1 - sin2 x
2 cos
2


dz 1 1 1
= = = = = = + dz =
=z=sin x
= = =
dz=cos x dx - z2 2 1 - z 1 + z
1
*Jeśli f jest funkcja różniczkowalna w punkcie p , to dla dostatecznie ma |h| zachodzi równość
lych
przybliżona f(p+h)H"f(p)+f (p)h . Te przybliżona równość stosujemy tu dla f(x)=sin x , p=0 . Za-
stepujemy wiec funkcje sinus funkcja liniowa.
2
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych


x(t) x(t)

1
1 + sin 1 + sin
1 1 + z 1 1

2 2

= (- ln |1 - z| + ln |1 + z|) = ln = ln = ln =

1
x(t) x(t)
2 2 - z 2 2
1 - sin 1 - sin
2 2
2
x(t)
1 + sin
1 2
= ln .
2
cos2 x(t)
2
x(t) x(t) x(t)
(1 + sin )2 (1 + sin )2 1 + sin
2 2 2
Można wiec napisać e2(t+C) = = = .
x(t)
cos2 x(t) 1 - sin2 x(t) 1 - sin
2 2 2
x(t) e2(t+C) - 1 e2(t+C) - 1
Sta d wyznaczamy sin = , czyli x(t) = 2 arcsin .
2 e2(t+C) + 1 e2(t+C) + 1
Bez trudu można stwierdzić, że funkcja x jest na ca prostej (-", +") ściśle ro-
lej
Ä„
sna ca. Mamy też x(t)- 2 = Ą . Fizyczna interpretacja znalezionego rozwia zania
---
2
t"
jest nastepuja ca: wahad zosta popchniete z taka si że bedzie poruszać sie z ma-
lo lo la ,
leja ca predkościa w kierunku swego górnego po
lożenia, ale nigdy go nie osia gnie! W
szczególności to rozwia zanie nie jest funkcja okresowa .
Rozważony przyk to szczególny przypadek równania o zmiennych rozdzielo-
lad
nych

x (t) = f(t)g x(t)
zapisywanego czesto nieca precyzyjnie w postaci x = f(t)g(x) . W omówionym
lkiem
x
przyk mieliśmy f(t) = 1 dla każdego t " R oraz g(x) = 2 cos dla każdej
ladzie
2
liczby x " R .
Podamy bez dowodu twierdzenie, którego ogólniejsza wersja zostanie podana
póżniej.
Twierdzenie 11.1 (o istnieniu i jednoznaczności dla równania o zmiennych
rozdzielonych)
JeÅ›li funkcja f jest cia g na przedziale (Ä…, ²) , a funkcja g jest ma cia g pochodna
la la
na przedziale (a, b) , to dla każdej pary punktów t0 " (Ä…, ²) , x0 " (a, b) istnieje liczba

´ > 0 taka, że na przedziale (t0 - ´, t0 + ´) Ä…" (Ä…, ²) równanie x (t) = f(t)g x(t)
×
ma dok jedno rozwia zanie x(t) spe
ladnie lniaja ce warunek x(t0) = x0 .
Przyk 11.1 Zajmiemy sie równaniem
lad
x (t) = x(t) ,
w którym  oznacza dana liczbe, a x poszukiwana funkcje zmiennej t . Nie jest
trudno zauważyć, że funkcja et jest rozwia zaniem tego równania. Oczywiście nie
"
3
jedynym. Jeśli pomnożymy te funkcje np. przez 11 , to też otrzymamy rozwia zanie.
3
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Ogólnie funkcja Cet jest rozwia zaniem równania x (t) = x(t) dla każdej liczby

C , bo Cet = Cet . Wykażemy, że innych rozwia zań to równanie nie ma.

Jeśli x (t) = x(t) , to x(t)e-t = x (t)e-t - x(t)e-t = x(t)e-t -
x(t)e-t = 0 dla każdej liczby t . Oznacza to, że funkcja x(t)e-t jest sta na
la
przedziale, na którym jest określona (zak
ladamy, że dziedzina funkcji x jest pe-
wien przedzia Oznaczaja c wartość funkcji x(t)e-kt przez C otrzymujemy równość
l).
x(t) = Cekt . Wykazaliśmy, że odgadniete rozwia zania sa jedynymi.
Przy okazji możemy zauważyć, że rozwia zania te tworza jednowymiarowa prze-
strzeń liniowa . Równanie to pojawia sie np. przy badaniu rozszerzalności cieplnej
(d jako funkcja temperatury), przy rozpadzie promieniotwórczym (masa jako
lugość
funkcja czasu), badaniu liczebności populacji (np. liczba zajecy na danym obszarze
jako funkcja czasu) i wielu innych okazjach.
x (t)
Przyk 11.2 Rozwia żemy równanie x (t) = tx(t) . Piszemy t = . Ca
lad lku-
x(t)
jemy obie strony wzgledem t . Otrzymujemy

x (t)
1 dx
t2 + C = tdt = dt = = ln |x| .
2 x(t) x
2 2
Sta d |x| = eC · et /2 i wobec tego x(t) = Ä…ec · et /2 . Niech C1 oznacza dowolna
2
liczbe rzeczywista (dodatnia , ujemna lub 0 ) i niech x(t) = C1et /2 . Ta funkcja
jest rozwia zaniem równania x (t) = tx(t) , co można bez trudu sprawdzić (z prze-
prowadzonych wcześniej obliczeń wynika, że tak jest dla C1 = 0 ). Innych rozwia zań

nie ma, bowiem funkcja t jest cia g na ca prostej (a nawet różniczkowalna i to
la lej
nieskończenie wiele razy), funkcja x jest różniczkowalna i jej pochodna jest cia g
la
(bo jest sta wiec sa spe za
la), lnione lożenia twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności,
2 2 2
0 0
zatem teza też. Przyjmuja c C1 = x0e-t i x(t) = C1et /2 = x0et /2-t2/2 otrzymu-
jemy rozwia zanie spe
lniaja ce warunek x(t0) = x0 , a to oznacza, że innych rozwia zań
już nie ma.

3
Przyk 11.3 Zajmiemy sie teraz równaniem x (t) = x(t)2 . Postepuja c tak,
lad
jak poprzednio otrzymujemy

x (t) x (t)
" " "1
1 = , zatem t + C = dt = dt = dx = 3x1/3 ,
3
3 3
x2
x(t)2 x(t)2
3
t+c
zatem x(t) = .
3
Wydawać by sie mog że rozwia zaliśmy równanie, czyli że znalez
liśmy wszystkie
lo,
jego rozwia zania. Jednak tym razem mamy k W tym przypadku f(t) = 1 , wiec
lopot.
"
3
funkcja f jest cia g a nawet różniczkowalna (bo jest sta ale funkcja g(x) = x2
la la),
nie jest różniczkowalna w punkcie 0 . g (0) istnieje, ale jest nieskończona: g (0) = " .
4
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Za lnione.
lożenia twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności nie sa spe Bez trudu
sprawdzamy, że funkcja określona wzorami

t3
dla x e" 0
27
x(t) =
0 dlax < 0

3
spe równanie x (t) = x(t)2 , funkcja tożsamościowo równa 0 , też spe to
lnia lnia
równanie, obie przyjmuja wartość 0 w punkcie t = 0 i oczywiście nie pokrywaja sie
na żadnym przedziale o środku w punkcie 0 .
Przyk 11.4 Znajdziemy rozwia zania równania x (t) = x(t)2 . Możemy to
lad
x (t)
równanie przepisać w postaci 1 = . Ca obie strony otrzymujemy
lkuja c
x(t)2

x (t)
1 1
t + C = dt = dt = dx = - .
x(t)2 x2 x
-1
Wynika sta d od razu, że x(t) = . Jeśli chcemy, by x(t0) = x0 , gdzie t0 i x0
t+C
-1
sa dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to musi być spe równość x0 = ,
lniona
t0+C
1 -1 x0
zatem C = -t0 - . Wynika sta d, że x(t) = = .
1
x0
t-t0- 1-x0(t-t0)
x0
Zwykle ża da sie, by rozwia zania równania różniczkowego określone by na pew-
ly
nym przedziale (być może nieskończonym). W tym przypadku należy wykluczyć z
1
dziedziny rozwia zania punkt t0 + . Dzieli on prosta na dwie pó
lproste. Dziedzina
x0
poszukiwanego rozwia zania tego równania jest ta z nich, która zawiera punkt t0 :
1
jeśli x0 > 0 , to dziedzina jest pó
lprosta (-", t0 + ) , a jeśli x0 < 0 , to dziedzina
x0
1
rozwia zania jest pó
lprosta (t0 + , ") .
x0
5
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

x (t) = f(t, x),
Zwykle uk równań nazywany jest zagadnieniem Cauchy ego:
lad
x (t0) = x0,
dane sa funkcja f oraz liczby t0 , x0 . Należy znalez
ć funkcje x .
Kilka zadań
W niektórych zadaniach z listy poniżej można nie znajdować jawnego wzoru na funk-
cje x i podać wynik w postaci f(t, x(t)) = 0 .
11. 01 Rozwia zać równanie x + tx2 = 0 .
11. 02 Rozwia zać równanie x + t2x = 0 .
11. 03 Rozwia zać równanie x + tx2 = t .
11. 04 Rozwia zać równanie x + tx = 0 .
11. 05 Rozwia zać równanie tx + x = 0 .
11. 06 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego tx + x = 0 , x(0) = 0 .
11. 07 Rozwia zać równanie tx - x = 0 .
11. 08 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego tx - x = 0 , x(0) = 0 .
11. 09 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego x + tx = 0, x(0) = 1 .
11. 10 Rozwia zać równanie x + t sin x = 0 .
11. 11 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego x + t sin x = 0, x(0) = Ą .
11. 12 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego (t2 - 1)x + 2tx2 = 0, x(0) = 1 .
11. 13 Rozwia zać równanie 2t2xx + x2 = 2 .
11. 14 Rozwia zać równanie x - tx2 = 2tx .
11. 15 Rozwia zać równanie x = cos(t - x) . Można ewentualnie podstawić y = x - t .
"
11. 16 Rozwia zać równanie x = 4t + 2x - 1 . Tu też można coś podstawić, ale co?
11. 17 Rozwia zać równanie (t + 1)x + tx = 0 .
"
11. 18 Rozwia zać równanie tx x = 1 + x2 .
1
11. 19 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego tx + x = x2 , x(1) = .
2
11. 20 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego x cos t + x sin t = 2 sin t , x(0) = -1 .
11. 21 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego x cos t + x sin t = 2 sin t , x(0) = 2 .
11. 22 Rozwia zać zagadnienie Cauchy ego x - x = 3t - 3 , x(0) = 0 .
6