Elementy geometrii analitycznej, c.d.
Poprawi 10 paz
dziernika 2012, godz 17:20
lem
Znajdziemy teraz wzór na odleg punktu (x0, y0) od prostej opisanej równa-
lość
niem ax + by + c = 0 . Oczywiście po to, by to równanie przedstawia prosta trzeba
lo
za że wektor [a, b] ma co najmniej jedna wspó
lożyć, lrzedna różna od 0 . Oznacza to,
że a2 + b2 > 0 .
Za óżmy, że ruszamy z punktu (x0, y0) i poruszamy sie ze sta predkościa wek-
l la
torowa [a, b] . Po czasie t przemieÅ›cimy sie o wektor t · [a, b] , znajdziemy sie wiec w
punkcie (x0, y0) + t · [a, b] = (x0 + at, y0 + bt) . Ponieważ poruszamy sie w kierunku
prostopad do prostej , wiec predzej czy póz
niej natrafimy na nia  w tym przy-
lym
padku może zdarzyć sie, że t < 0 , co oznacza że byliśmy już w przesz na
loby, lości
prostej i oddalamy sie od niej. Za óżmy, że po czasie t1 trafiliśmy w punkt pros-
l
tej . Mamy wiec 0 = a(x0 + t1a) + b(y0 + t1b) + c = ax0 + by0 + c + t1(a2 + b2) ,
0
a sta d wnioskujemy, że t1 = -ax +by0+c . Wobec tego przemieszczenie równe jest
a2+b2
ax0+by0+c
t1 · [a, b] = - · [a, b] , a to oznacza, że d przebytej drogi, czyli od-
lugość
a2+b2
leg punktu (x0, y0) od prostej równa jest
lość


ax0 + by0 + c |ax0 + by0 + c|

- · a2 + b2 = " .

a2 + b2
a2 + b2
Rozumuja c analogicznie możemy otrzymać wzór na odleg punktu od p
lość lasz-
czyzny, szczegó dowodu pozostawiamy czytelnikom.
ly
Twierdzenie 3.1 (o odleg punktu od p
lości laszczyzny)
Odleg punktu (x0, y0, z0) od p
lość laszczyzny o równaniu ax + by + cz + d = 0 równa
jest
|ax0 + by0 + cz0 + d|
" .
a2 + b2 + c2
Wypada tu stwierdzić, że równanie

ad bd cd
0 = ax + by + cz + d = a x + + b y + + z + ,
a2+b2+c2 a2+b2+c2 a2+b2+c2
czyli równanie

-ad -bd -cd
[a, b, c] · x - , y - , z - = 0 ,
a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2

-ad -bd -cd
opisuje p , ,
laszczyzne, która przechodzi przez punkt
a2+b2+c2 a2+b2+c2 a2+b2+c2
i jest prostopad do wektora [a, b, c]  suma wszystkich prostych prostopad do
la lych
prostej przechodza cych przez ustalony punkt P " jest p
laszczyzna przechodza ca
przez punkt P prostopad do prostej .
la
1
Elementy geometrii analitycznej, c.d. Micha Krych
l
Zajmiemy sie teraz wzorem na pole równoleg o wierzcho
loboku lkach
(0, 0) , (x1, y1) , (x1 + x2, y1 + y2) , (x2, y2) ,
wiec równoleg v1 v2
loboku rozpietego przez wektory = [x1, y1] i = [x2, y2] . Jak
wiemy, jest ono równe

2 2
· - ( · = (x2 + y1) · (x2 + y2) - (x1x2 + y1y2)2 =
v1 2 v2 2 v1 v2)2
1 2

2 2 2 2 2 2
= x2 · x2 + y1 · x2 + x2 · y2 + y1 · y2 - (x2x2 + 2x1x2y1y2 + y1y2) =
1 2 2 1 1 2

2 2
= x2 · y2 + y1 · x2 - 2x1x2y1y2 = (x1 · y2 - y1 · x2)2 = |x1 · y2 - y1 · x2| =
1 2


x1 y1

=| | .

x2 y2
Wykazaliśmy wiec, że zachodzi nastepuja ce
Twierdzenie 3.2
Pole równoleg v1 v2
loboku rozpietego przez wektory = [x1, y1] i = [x2, y2] jest
równe


x1 y1

| | .

x2 y2
Wniosek 3.3
Wektory = [x1, y1] i = [x2, y2] sa wspó
v1 v2 lliniowe (czyli leża na jednej prostej)


x1 y1

wtedy i tylko wtedy, gdy = 0 .

x2 y2
Przyjmujemy, że wektor zerowy jest wspó
lliniowy z każdym wektorem.
Znajdziemy teraz obraz punktu (x, y) w obrocie o ka t ² wokó punktu (0, 0) .
l

Niech r = x2 + y2 i niech ą oznacza taki ka t, że x = r cos ą i y = r sin ą . Po
obrocie o ka t ² wokó punktu (0,0) punkt (x, y) = (r cos Ä…, r sin Ä…) trafia w punkt
l

(x , y ) = r cos(Ä… + ²), r sin(Ä… + ²) =

= r cos Ä… cos ² - r sin Ä… sin ², r sin Ä… cos ² + r cos Ä… sin ² =
= (x cos ² - y sin ², x sin ² + y cos ²) .


x1 y1

Udowodnimy teraz twierdzenie o zachowywaniu wartości wyznacznika

x2 y2
przy obrotach wokó punktu (0, 0) .
l
Twierdzenie 3.4 (o zachowywaniu wartości wyznacznika pary wektorów)
JeÅ›li obrazem punktu (x1, y1) w obrocie o ka t ² wokó punktu (0, 0) jest punkt
l

(x , y1) , a obrazem punktu (x2, y2)  punkt (x , y2) , to
1 2



x1 y1 x y1
1

= .


x2 y2 x y2
2

Dowód. Mamy x = x1 cos ² - y1 sin ² , y1 = x1 sin ² + y1 cos ² ,
1

x = x2 cos ² - y2 sin ² , y2 = x2 sin ² + y2 cos ² . Wynika sta d, że
2
2
Elementy geometrii analitycznej, c.d. Micha Krych
l



x y1
1

= x y2 - y1x = (x1 cos ² - y1 sin ²)(x2 sin ² + y2 cos ²) -
2

x y2 1
2
-(x1 sin ² + y1 cos ²)(x2 cos ² - y2 sin ²) = x1x2(cos ² sin ² - sin ² cos ²) +
+ x1y2(cos2 ² + sin2 ²) - y1x2(sin2 ² + cos2 ²) + y1y2(sin ² cos ² - cos ² sin ²) =


x1 y1

= x1y2 - y1x2 = . Dowód zosta zakończony.
l

x2 y2
Definicja 3.5 (dodatnio zorientowanej pary wektorów)
Uporza dkowana para wektorów niewspó v1 v2
liniowych = [x1, y1] , = [x2, y2] jest


x1 y1

dodatnio zorientowana wtedy i tylko wtedy, gdy > 0 , w przypadku prze-

x2 y2
ciwnym para ta jest zorientowana ujemnie.
Za óżmy, że uporza dkowana para wektorów niewspó v1
l liniowych = [x1, y1] ,
= [x2, y2] jest dodatnio zorientowana. Możemy za że wektor = [x1, y1]
v2 lożyć, v1
jest zaczepiony w punkcie (0, 0) , tzn. ten wektor zaczyna sie w punkcie 0 = (0, 0) ,
a kończy sie w punkcie (x1, y1) . Analogicznie wektor = [x2, y2] zaczyna sie
v2
w punkcie 0 = (0, 0) , a koÅ„czy w punkcie (x2, y2) . Obróćmy oba o ka t ² wokó
l

punktu 0 tak, by obraz (x , y1) punktu (x1, y1) znalaz sie na dodatniej pó OX .
l losi
1

Oznacza to, że x > 0 i y1 = 0 . Niech (x , y2) bedzie obrazem punktu (x2, y2)
1 2



x1 y1 x y1 x 0
1 1

w tym obrocie. Mamy 0 < = = = x y2 , wiec y2 > 0 .


x2 y2 x y2 x y2 1
2 2
Wynika sta d, że jeśli para wektorów , jest dodatnio zorientowana, to pierw-
v1 v2
szy należy obracać w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, by trafić
na pó
lprosta , na której leży drugi (oczywiście mowa o obrocie o ka t mniejszy niż
Ą radianów). Oczywiście w przypadku pary zorientowanej ujemnie należy pierwszy
wektor obracać zgodnie z ruchem wskazówek zegara, by trafić na pó
lprosta , na której
leży drugi wektor.
Twierdzenie 3.6 (o objetości równoleg u,
lościanu rozpietego przez wektory v,w"R3 )
Niech = (u1, u2, u3) , = (v1, v2, v3) , w = (w1, w2, w3) . Wtedy objetość równo-
u v
leg u, v,
lościanu rozpietego przez wektory w (zaczepione w punkcie 0 ) równa jest


u1 u2 u3


|( × · w| = | v1 v2 v3 | ,
u v)


w1 w2 w3
a jej kwadrat równy jest


· · · w
u u u v u


· · · w .
v u v v v


u v
w · w · w · w
3
Elementy geometrii analitycznej, c.d. Micha Krych
l
Dowód. Objetość równoleg
lościanu równa jest iloczynowi pola podstawy przez jego
wysokość. Niech podstawa bedzie równoleg rozpiety przez wektory i . Pole
lobok u v
tego równoleg to × . Trzeba wiec znalez
ć wysokość. Wektor × jest
loboku u v u v
prostopad do każdego z wektorów , wiec wysokość jest odcinkien równoleg
ly u, v lym
do wektora × . Innymi s należy zrzutować prostopadle wektor w na prosta
u v lowy
u×
w·( v)
wyznaczona przez wektor × . Ten rzut to wektor × . Jego d
u v u v lugość,
v 2
u×


u×
v)
czyli wysokość równoleg . Wobec tego objetość równa jest
lościanu, to
w·(
v
u×



u×
v)
w u v)
× · = · ( × ,
u v
w·(
v
u×


u1 u2 u3


co mieliÅ›my udowodnić. Równość ( × · w = v1 v2 v3 wykazujemy bez
u v)


w1 w2 w3
trudu rozwijaja c wyznacznik wzgledem trzeciego wiersza (po przypomnieniu sobie
definicji iloczynu wektorowego).

2

u1 u2 u3 · · · w
u u u v u


Równość v1 v2 v3 = · · · w
v u v v v


u v
w1 w2 w3 w · w · w · w
wykażemy póz
niej, gdy poznamy wiecej w
lasności wyznaczników.
Wniosek 3.7

Trzy wektory w " R3 , zaczepione w punkcie 0 = (0, 0, 0) leża w jednej
u, v,
p
laszczyz
nie wtedy i tylko wtedy, gdy


u1 u2 u3 · · · w
u u u v u


v1 v2 v3 = 0 Ð!Ò! · · · w = 0 .
v u v v v


u v
w1 w2 w3 w · w · w · w
Opisaliśmy poprzednio obrót na p l
laszczyz
nie wokó punktu (0, 0) . To pozwala
opisać natychmiast obrót w przestrzeni wokó osi OZ o ka t ² : obrazem punktu
l
(x, y, z) jest punkt (x , y , z ) przy czym x = x cos ² - y sin ² , y = x sin ² + y cos ² ,
z = z . Obrazem punktu (x, y, z) w obrocie o ka t ² wokó osi OY jest punkt
l
(x cos ² - z sin ², y, x sin ² + z cos ²) . Wreszcie obrazem punktu (x, y, z) w obrocie
o ka t ² wokó osi OX jest punkt (x, y cos ² - z sin ², y sin ² + z cos ²) .
l
Możemy teraz udowodnić (ale na wyk ten dowód pomina
ladzie lem)
Twierdzenie 3.8 (o zachowaniu wartości wyznacznika trójki wektorów)
Jeśli w obrocie wokó jednej z osi obrazem wektora = [x1, y1, z1] jest wektor
l v1

= [x , y1, z1] , obrazem wektora = [x2, y2, z2]  wektor = [x , y2, z2] , a
v1 1 v2 v2 2
4
Elementy geometrii analitycznej, c.d. Micha Krych
l

wektora = [x3, y3, z3]  wektor = [x , y3, z3] , to
v3 v3 3



x1 y1 z1 x y1 z1
1



x2 y2 z2 = x y2 z2
2



x3 y3 z3 x y3 z3
3
Dowód. We wszystkich trzech przypadkach jest taki sam. Przeprowadzimy go dla
obrotu wokól osi OZ korzystaja c z lasności wyznaczników,
latwych do wykazania w
które jednak uzasadnimy póz
niej. Mamy



x y1 z1 x1 cos ² - y1 sin ² x1 sin ² + y1 cos ² z1
1



x y2 z2 = x2 cos ² - y2 sin ² x2 sin ² + y2 cos ² z2 =
2



x y3 z3 x3 cos ² - y3 sin ² x3 sin ² + y3 cos ² z3
3


x1 x1 sin ² + y1 cos ² z1 y1 x1 sin ² + y1 cos ² z1


= cos ² x2 x2 sin ² + y2 cos ² z2 - sin ² y2 x2 sin ² + y2 cos ² z2 =


x3 x3 sin ² + y3 cos ² z3 y3 x3 sin ² + y3 cos ² z3


x1 x1 z1 x1 y1 z1


= cos ² sin ² x2 x2 z2 + cos2 ² x2 y2 z2 -


x3 x3 z3 x3 y3 z3


y1 x1 z1 y1 y1 z1


- sin2 ² y2 x2 z2 - sin ² cos ² y2 y2 z2 =


y3 x3 z3 y3 y3 z3


x1 y1 z1 y1 x1 z1

powtórzone

= = = = = cos2 ² x2 y2 z2 - sin2 ² y2 x2 z2 =
= = = =

kolumny

x3 y3 z3 y3 x3 z3


x1 y1 z1 x1 y1 z1 x1 y1 z1

przestawiamy

= = = = = cos2 ² x2 y2 z2 + sin2 ² x2 y2 z2 = x2 y2 z2 .
= = = = =

kolumny

x3 y3 z3 x3 y3 z3 x3 y3 z3
Definicja 3.9 (trójki wektorów dodatnio zorientowanej)
Uporza dkowana trójka niewspó laszczyznowych (tj. nieleża cych w jednej p
lp laszczyz
-
nie) wektorów " R3 jest dodatnio zorientowana w przestrzeni trójwymia-
v1, v2, v3


x1 y1 z1


rowej wtedy i tylko wtedy, gdy x2 y2 z2 > 0 .


x3 y3 z3
Z definicji wynika latwo, że jeśli trójka ( jest uk dodatnio zorien-
v1, v2, v3) ladem
towanym, to trójka ( uk dodatnio zorientowanym nie jest  zmiana
v2, v1, v3) ladem
kolejności wierszy powoduje zmiane znaku wyznacznika.
Można i należy sobie wyobrażać, że uk trzech wzajemnie prostopad wek-
lad lych
torów jest dodatnio zorientowany, gdy można ten uk obrócić (kilka razy, np. trzy
lad
wokó różnych osi ) wokó osi uk wspó
l l ladu lrzednych tak, by po tych obrotach wektor

by zgodnie równoleg (czyli równoleg i skierowany w te sama strone) do wek-
v1 l ly ly


tora i = (1, 0, 0) , wektor  do wektora j = (0, 1, 0) i wektor  do wektora
v2 v3
5
Elementy geometrii analitycznej, c.d. Micha Krych
l

k = (0, 0, 1) . Temu stwierdzeniu można nadać bardzo precyzyjne znaczenie i wtedy
je udowodnić.
Gdy wektory nie sa prostopad to za pomoca kilku obrotów przekszta
le, lcamy

pierwszy z trójki w pó lp
lprosta wyznaczona przez i = (1, 0, 0) , drugi trafia w pó lasz-


x 0 0
1



czyzne {(x, y, z): y > 0, z = 0} . Wyznacznik ma wtedy postać x y2 0 , jest
2



x y3 z3
3
wiec dodatni, gdy z3 > 0 .
Dodajmy, że iloczyn wektorowy wektorów " R3 można zdefiniować geo-
v1, v2
metrycznie. Oczywiście mimo użycia innych s ów definiujemy dok ten sam wek-
l ladnie
tor. Iloczyn wektorowy v1 × v2 jest wektorem
prostopad do obu wektorów ,
lym v1, v2
o d równej polu równoleg rozpietego przez te wektory,
lugości loboku
o takim zwrocie, że trójka × jest dodatnio zorientowana.
v1, v2, v1 v2
Zadania
1. Na paraboli y = x2 znalez
ć punkt leża cy najbliżej punktu (0, 2) . Znalez
ć kosinus
ka ta miedzy wektorem [1, 0] i wektorem la cza cym punkt (0, 2) ze znalezionym

punktem.
2. Niech A = (-3, -3) , B = (5, -1) , C = (1, 5) . Znalez
ć środek okregu opisanego
na trójka cie ABC i pole tego trójka ta. Wyjaśnić, czy trójka t jest ostroka tny,
prostoka tny czy rozwartoka tny.
3. Niech A = (1, 2) , B = (5, 4) , C = (3, 8) . Znalez
ć środek okregu opisanego
na trójka cie ABC i pole tego trójka ta. Wyjaśnić, czy trójka t jest ostroka tny,
prostoka tny czy rozwartoka tny.


1 -2 3 1 -2 4 1 3 5


4. Obliczyć wyznaczniki 2 4 -1 , 2 4 8 , -1 3 -5 .


-1 0 -3 -1 3 9 2 111 -1
6 1
1
6 4
5. (1) Niech = i = . Znalez
ć wspó u v
u v lrzedne wektora w := × .
9
3 8
Znalez
ć d u v u v
lugości i wektorów i .
(2) Znalez
ć kosinusy obu ka tów, które tworza p
laszczyzny o równaniach:
6x + 6y + 3z = 15 i x + 4y + 8z = 13 .
1 1 1
(3) Niech A = (1, 1, 1) , B = A + × w , C = A + × w + × w ,
u u v
3 3 3
1
D = A + × w .
v
3
Znalez
ć pole czworoka ta ABCD i jego środek symetrii, jeśli ten czworoka t
jest środkowosymetryczny.
6
Elementy geometrii analitycznej, c.d. Micha Krych
l
1 3
2 2
6. (1) Niech = i = . Znalez
ć wspó u v
u v lrzedne wektora w := -1 × .
4
3 1
Znalez
ć d u v u v
lugości i wektorów i .
(2) Znalez
ć kosinusy obu ka tów, które tworza p
laszczyzny o równaniach:
x + 2y + 3z = 0 i 3x + 2y + z = 0 .
(3) Niech A = (1, -2, 1) , B = A+ , C = A+ v×w , D = A+ .
u×w u×w+ v×w
Znalez
ć pole czworoka ta ABCD i jego środek symetrii, jeśli ten czworoka t
jest środkowosymetryczny.
(4) Znalez
ć punkt symetryczny do punktu E = (3, 0, 4) wzgledem p
laszczyzny
x + 2y + 3z = 0 .
7. Niech A = (1, 1, 2) , B = (9, 1, 1) , C = (1, 3, 1) , O = (0, 0, 0) .
Znalez
ć objetość czworościanu OABC .

Znalez
ć jakikolwiek wektor = 0 = [0, 0, 0] prostopad do p
v ly laszczyzny ABC .
Znalez
ć pole trójka ta ABC .
Znalez
ć równanie p
laszczyzny ABC .
Znalez
ć kosinusy obu ka tów utworzonych przez p laszczyzne
laszczyzne ABC i p
o równaniu x + y + z = 1 .
8. Niech A = (1, 1, 3) , B = (4, 1, 1) , C = (5, 2, 0) , O = (0, 0, 0) .
Znalez
ć objetość czworościanu OABC .

Znalez
ć jakikolwiek wektor = 0 = [0, 0, 0] prostopad do p
v ly laszczyzny ABC .
Znalez
ć pole trójka ta ABC .
Znalez
ć równanie p la
laszczyzny zawieraja cej punkt O, która jest równoleg do
p
laszczyzny ABC .
Znalez
ć kosinus ka ta miedzy p
laszczyzna ABC i osia OX .
9. Niech A = (16, 38, 55) , B = (-8, -10, -5) , C = (1, 2, 3) .
Znalez
ć jakiś (niezerowy) wektor prostopad do p
ly laszczyzny ABC .
Znalez
ć pole trójka ta ABC .
10. Niech A = (16, 38, 55) , B = (-8, -10, -5) , C = (1, 2, 3) .
Znalez
ć środek MC odcinka AB .
Znalez
ć punkt X na odcinku CMC , który dzieli ten odcinek w stosunku
2 : 1 , tzn. odleg punktu X od wierzcho C ma być dwukrotnie
lość lka
wieksza od jego odleg od punktu MC .
lości
Znalez
ć dowolny punkt Y = (y1, y2, y3) , który leży na dwusiecznej (to
pó
lprosta) ka ta ACB .
Informacja: d odcinków AC i BC sa liczbami ca
lugości lkowitymi.
7
Elementy geometrii analitycznej, c.d. Micha Krych
l
11. Niech A = (4, 8, 9) , B = (4, 8, 25) , C = (1, 2, 3) .
- -
- -
Znalez
ć wektory CB , CA , BA i AB oraz ich d
lugości.
Znalez
ć kosinus najwiekszego z ka tów trójka ta ABC .
Znalez
ć jakiś (niezerowy) wektor prostopad do p
ly laszczyzny ABC .
Znalez
ć pole trójka ta ABC .
Znalez
ć środek MC odcinka AB .
Znalez
ć punkt X na odcinku CMC , który dzieli ten odcinek w stosunku
2 : 1 , tzn. odleg punktu X od wierzcho C ma być dwukrotnie
lość lka
wieksza od jego odleg od punktu MC .
lości
12. Niech A = (1, 0, 0) , B = (0, 2, 2) , C = (15, 5, 2) , O = (0, 0, 0) .
Znalez
ć objetość czworościanu OABC .

Znalez
ć jakikolwiek wektor = 0 = [0, 0, 0] prostopad do p
v ly laszczyzny ABC .
Znalez
ć pole trójka ta ABC i wyjaśnić, czy ten trójka t jest ostroka tny, pro-
stoka tny czy rozwartoka tny.
Znalez
ć równanie p
laszczyzny ABC .
Znalez
ć kosinusy obu ka tów utworzonych przez p laszczyzne
laszczyzne ABC i p
o równaniu x + y + z = 1 .
13. Niech A = (1, 1, 1) , B = (7, 4, 3) , C = (3, 2, 3) .
- - - -
- - - -
Znalez
ć wektory CB , CA , BA i AB oraz ich d
lugości.
Znalez
ć kosinus najwiekszego z ka tów trójka ta ABC .
- -
-
Znalez
ć AB × AC .
Znalez
ć pole trójka ta ABC .
Znalez
ć środek MA odcinka BC .
Znalez
ć punkt X na odcinku AMA , który dzieli ten odcinek w stosunku 3 : 1 ,
tzn. odleg punktu X od wierzcho A ma być trzykrotnie wieksza od jego
lość lka
odleg od punktu MA .
lości


1 -1 2


14. Obliczyć wyznacznik -1 1 3 .


-2 1 7
Znalez
ć iloczyn wektorowy i skalarny wektorów [1, 2, -2] i [14, 5, -2] oraz ko-
sinus i sinus ka ta miedzy tymi wektorami.
Znalez
ć pole trójka ta o wierzcho (0, 0, 0, ) , (1, 2, -2) i (14, 5, -2) . Czy
lkach
wszystkie trzy ka ty tego trójka ta sa ostre?
8
Elementy geometrii analitycznej, c.d. Micha Krych
l
15. Niech O = (1, 0, 1) , A = (2, 2, 3) , B = (4, 2, 7) , C = (2, 4, 9) .
- - -
- - -
Znalez
ć wektory OA , OC i OB oraz ich d
lugości.
Znalez
ć kosinus najwiekszego z ka tów trójka ta ABO .
- -
-
Znalez
ć OA × OB .
Znalez
ć pole trójka ta ABO .
Znalez
ć objetość czworościanu ABCO .
Znalez
ć odleg punktu C od p
lość laszczyzny OAB .


2 4
"1 " "

16. Dla jakich liczb rzeczywistych x zachodzi równość 2 -2 2 4 2 = 0 ?


1 x x2
Dla jakich liczb rzeczywistych x wektor [1, x, x2] jest prostopad do iloczynu
ly
wektorowego [1, 2, 4] × [1, -2, 4] ?
Znalez
ć punkt X , który dzieli odcinek o końcach (1, 2, 4) , (4, 0, -1) , w sto-
sunku 3 : 2 .
17. Niech O = (0, 0, 0) , A = (-2, 2, 3) , B = (-3, 2, 6) , C = (2, -1, 2) .
Znalez
ć iloczyn [O, A] × [O, B] i obliczyć pole trójka ta OAB .
Obliczyć odleg punktu A od prostej OB .
lość
Obliczyć objetość czworościanu OABC .
Obliczyć odleg punktu C od p
lość laszczyzny OAB .
Znalez
ć sinus ka ta jaki tworzy wektor [OC] z p
laszczyzna OAB .
18. Niech O = (0, 0, 0) , A = (2, -6, 9) , B = (12, -3, -4) , C = (2, -1, 2) .
- -
-
Znalez
ć iloczyn OA × OB i obliczyć pole trójka ta OAB .
Obliczyć odleg punktu A od prostej OB .
lość
Obliczyć objetość czworościanu OABC .
- -
-
Znalez
ć kosinus ka ta miedzy wektorami OA i OB .
Napisać równanie p
laszczyzny OAB .
9