F U N K C J E R Ó Ż N I C Z K O W A L N E
1. Podstawowe pojecia i wzory
Funkcje s do opisu różnych zjawisk fizycznych, ekonomicznych, biologicz-
luża
nych itd. Uzyskanie samego opisu matematycznego jest na ogó pierwszym krokiem
l
do zbadania zjawiska. Wielokrotnie jedna z dróg prowadza cych do celu jest pozna-
nie w
lasności funkcji. Jednym z pierwszych problemów, które trzeba rozwia zywać
jest ustalenie, jak szybko zmieniaja sie wartości funkcji. Tego rodzaju kwestie napo-
tykamy przy próbach znalezienia najwiekszych lub najmniejszych wartości funkcji,
przy ustalaniu predkości z jaka porusza sie interesuja cy nas obiekt, przy znajdowaniu
przyspieszenia, zmiany liczby ludzi lub zwierza t na jakimÅ› obszarze itd.
Do pojecia pochodnej, czyli wielkości mierza cej tempo zmian funkcji, ludzie do-
chodzili stopniowo. Matematycy i fizycy w wieku XVII i XVIII (Fermat, Newton, Leib-
niz i inni), ekonomiści nieco póz
niej, niezależnie od matematyków i fizyków (sta d nieco
inna terminologia: np. koszt krańcowy, dochód krańcowy, . . . ). Za pocza tek rachunku
różniczkowego i ca lom
lkowego przyjmuje sie prze wieków XVII i XVIII. Najważniejsze
odkrycia zosta dokonane przez Newtona (1643 1727) i Leibniza (1646 1716). Po-
ly
cza tkowo nie istnia jezyk, którym można by opisywać uzyskiwane rezultaty, ale na
l
pocza tku XIX wieku i póz
niej teoria zosta usystematyzowana dzieki pracom wielu
la
matematyków, g ównie wspominanego już Augusta Cauchy ego.
l
To, co w momencie powstawania by zrozumia jedynie dla niewielu i to tylko
lo le
najwybitniejszych, sta sie przedmiotem obowia zkowych wyk dla pocza tkuja -
lo ladów
cych studentów, a nawet uczniów szkó średnich. Oczywiście nie wszyscy poznaja
l
teorie z taka sama dok
ladnościa i tak samo dobrze ja rozumieja , jednak jest ona
powszechnie studiowana od momentu powstania i nic nie zapowiada zmian w tym za-
kresie. Wielu studentów ma trudności ze zrozumieniem różnych twierdzeń. Przyczyn
jest wiele, ale w wiekszości przypadków sprowadzaja sie one do nieopanowania pod-
stawowych twierdzeń matematyki elementarnej i prób uproszczenia sobie życia przez
opanowanie tzw. niezbednego minimum. Tacy studenci staraja sie opanować zlepek
twierdzeń, które nie tworza ca W zwia zku z tym zrozumienie ich jest prawie
lości.
niemożliwe. Jeden z nauczycieli licealnych autora tego tekstu, nieżyja cy już chemik
i fizyk, t l lo .
lumaczy niektórym uczniom, że  nie można nauczyć sie za ma Myśle,
że jest to g prawda. Droga do poznania jakiejś teorii nie jest wybieranie z niej
leboka
najprostszych faktów, twierdzeń. Trzeba starać sie zrozumieć ca To czasem jest
lość.
trudne i wymaga powracania do podstaw, ale bez tego nie ma szans na sukces.
1
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
Po tym przyd wstepie przejdziemy do definicji kilku podstawowych pojeć
lugim
matematycznych.
Definicja 5.1 (granicy funkcji) *
Niech p oznacza dowolny punkt skupienia dziedziny funkcji f , tzn. punkt, który jest
granica jakiegoś cia gu (xn) punktów z dziedziny funkcji różnych od p . Mówimy, że
g " R jest granica funkcji f w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego cia gu
(xn) zbieżnego do p , którego wszystkie wyrazy sa różne od p , ma miejsce równość
lim f(xn) = g . Granice funkcji f w punkcie p oznaczamy symbolem lim f(x) .
n" xp
Definicja 5.2 (granicy lewostronnej)
g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy można
znalez
ć w dziedzinie cia g (xn) o wyrazach mniejszych (ściśle!) niż p , zbieżny do p
i gdy dla każdego takiego cia gu odpowiadaja cy mu cia g wartości (f(xn)) ma grani-
ce g . Stosujemy oznaczenie lim f(x) .
xp-
1
Latwo można udowodnić, że funkcja ma jednostronne granice w punkcie 0 :

x
1
prawostronna jest równa +" , zaś lewostronna jest -" . Funkcja sin nie ma gra-
x
nicy prawostronnej w punkcie 0  wykazaliśmy to w przyk 6, wskazuja c dwa
ladzie
cia gi dodatnich argumentów tej funkcji zbieżne do 0 , takie że odpowiadaja ce im cia gi
wartości maja różne granice.
Bez trudu można udowodnić  funkcyjna  wersje twierdzenia o scalaniu.
Twierdzenie 5.3 ( o scalaniu)
Funkcja f określona na zbiorze zawieraja cym cia g liczb mniejszych niż p , zbieżny
do p oraz cia g liczb wiekszych niż p , zbieżny do p , ma granice w punkcie p wtedy
i tylko wtedy, gdy ma obie granice jednostronne i sa one równe.
Dowód. Jest jasne, że z istnienia granicy wynika istnienie granic jednostronnych
 zamiast wszystkich cia gów zbieżnych do p , których wyrazy sa różne od p , roz-
patrujemy jedynie ich cześć. Jeśli natomiast wiemy, że istnieja granice jednostronne,
to cia g o wyrazach różnych od p możemy rozbić na podcia g o wyrazach mniejszych
niż p i na podcia g o wyrazach wiekszych niż p . Odpowiadaja ce im cia gi wartości
maja te sama granice, wiec cia g wartości odpowiadaja cy naszemu cia gowi ma granice
i to równa wspólnej wartości obu granic jednostronnych. Oczywiście jeśli cia g argu-
mentów zawiera jedynie skończenie wiele wyrazów wiekszych niż p , to nie możemy
*Ta definicja jest nazywana ciagowa lub definicja Heinego
2
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
rozpatrywać granicy prawostronnej, ale to niczemu nie przeszkadza, bo w tym przy-
padku wystarczy skorzystać z istnienia granicy lewostronnej.
Podobnie jak w przypadku twierdzenia o scalaniu, można przenieść inne twier-
dzenia dotycza ce granic cia gów na ogólniejszy przypadek granicy funkcji.
Twierdzenie 5.4 (o arytmetycznych w
lasnościach granicy)
A1. Jeśli istnieja granice lim f(x) , lim g(x) i określona jest ich suma, to istnieje
xp xp
granica lim (f(x) + g(x)) i zachodzi wzór:
xp
lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) .
xp xp xp
A2. Jeśli istnieja granice lim f(x) , lim g(x) i określona jest ich różnica, to istnieje
xp xp
granica lim (f(x) - g(x)) i zachodzi wzór:
xp
lim (f(x) - g(x)) = lim f(x) - lim g(x) .
xp xp xp
A3. Jeśli istnieja granice lim f(x) , lim g(x) i określony jest ich iloczyn, to istnieje
xp xp
granica lim (f(x)·g(x)) i zachodzi wzór: lim (f(x)·g(x)) = lim f(x)· lim g(x) .
xp xp xp xp
A4. Jeśli istnieja granice lim f(x) , lim g(x) i określony jest ich iloraz, to istnieje
xp xp
f(x) f(x) limxpf(x)
granica lim i zachodzi wzór: lim = .
g(x) g(x) limxpg(x)
xp xp
Dowód tego twierdzenia jest natychmiastowa konsekwencja twierdzenia o aryt-
metycznych w
lasnościach granicy cia gu.
Z twierdzenia o trzech cia gach wynika analogiczne twierdzenie dla granic funkcji.
Definicja 5.5 (o trzech funkcjach)
Jeśli dla wszystkich argumentów x dostatecznie bliskich punktowi p zachodzi nie-
równość podwójna f(x) d" g(x) d" h(x) i istnieja granice lim f(x) , lim h(x) oraz
xp xp
lim f(x) = lim h(x) , to również funkcja g ma granice w punkcie p i zachodzi
xp xp
równość lim f(x) = lim g(x) = lim h(x) .
xp xp xp
Twierdzenie 5.6 (o granicy z
lożenia dwu funkcji)
Za óżmy, że dziedzina funkcji f zawiera zbiór wartości funkcji g , że funkcja g ma
l
granice G w punkcie p , że granica G jest punktem skupienia dziedziny funkcji f i
funkcja f ma granice H w punkcie G oraz że wartości funkcji g w punktach do-
statecznie bliskich p sa różne od G . Przy tych za
lożeniach funkcja f ć% g określona
wzorem (f ć% g)(x) = f(g(x)) ma w punkcie p granice, ta granica jest równa H .
Za
lożenia tego twierdzenia sa tak dobrane, że dowód wynika od razu z definicji
3
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
cia gowej granicy funkcji w punkcie.
Definicja 5.7 (funkcji cia g
lej)
Funkcja f jest cia g w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy p jest argumentem
la
funkcji i zachodzi jedna z dwu możliwości:
(i) p nie jest punktem skupienia dziedziny funkcji f ;
(ii) p jest punktem skupienia dziedziny funkcji f , która ma granice w punkcie p
i ta granica jest równa wartości funkcji w punkcie p : lim f(x) = f(p) .
xp
Twierdzenie 5.8 ( charakterystyka cia g
lości)
Funkcja f jest cia g w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej
la
µ istnieje liczba ´ > 0 , taka że jeÅ›li |x - p| < ´ , to |f(x) - f(p)| < µ .
Dowód. Jeżeli p nie jest punktem skupienia dziedziny funkcji f , to istnieje liczba
´ > 0 , taka że jedynym punktem x dziedziny funkcji f , dla którego |x - p| < ´ jest
punkt p  w tym przypadku |f(x) - f(p)| = |f(p) - f(p)| = 0 < µ , niezależnie od
wyboru liczby dodatniej µ .
Za óżmy teraz, że punkt p jest granica pewnego cia gu punktów z dziedziny funk-
l
cji f , różnych od p . Za óżmy, że dla każdego cia gu (xn) punktów z dziedziny funkcji
l
f , zbieżnego do punktu p zachodzi równość lim f(xn) = f(p) . Za óżmy też, że ist-
l
n"
nieje taka liczba µ > 0 , że dla każdej liczby ´ > 0 istnieje taki punkt x , że |x-p| < ´
1
i jednoczeÅ›nie |f(x) - f(p)| e" µ . Niech xn bedzie punktem dobranym do liczby ,
n
czyli |xn - p| < ´ i |f(xn) - f(p)| e" µ . Z twierdzenia o trzech cia gach wynika, że
lim xn = p i wobec tego lim f(xn) = f(p) wbrew temu, że lim f(x) = f(p) .
n" n" xp
Za óżmy dla odmiany, że dla każdej liczby dodatniej µ istnieje taka dodatnia
l
liczba ´ , że jeÅ›li |x - p| < ´ , to |f(x) - f(p)| < µ . JeÅ›li lim xn = p , to dla
n"
dostatecznie dużych n zachodzi nierówność |xn - p| < ´ . Wtedy |f(xn) - f(p)| < µ .
Z definicji granicy cia gu wynika, że lim f(xn) = f(p) . Dowód zosta zakończony.
l
n"
Uwaga 5.9 Warunek sformu laśnie
lowany w dowiedzionym w twierdzeniu nazywany
jest otoczeniowa definicja cia g
lości.
Z poznanych twierdzeń o granicach funkcji wynika od razu nastepuja ce twierdze-
nie.
Twierdzenie 5.10 (o operacjach na funkcjach cia g
lych)
Za óżmy, że funkcje f i g określone na wspólnej dziedzinie sa cia g w punkcie p .
l le
f
Wtedy nastepuja ce funkcje sa cia g w punkcie p : f + g , f - g , f · g oraz
le
g
4
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
pod warunkiem g(p) = 0 .

Ważna operacja jest sk
ladanie (superponowanie) funkcji. Polega ono na  wyko-
naniu po kolei dwu funkcji: (f ć% g)(x) = f(g(x)) . Okazuje sie, że sk
ladaja c funkcje
cia g otrzymujemy w rezultacie funkcje cia g
le la .
Twierdzenie 5.11 (o cia g z
lości lożenia dwu funkcji)
Jeżeli funkcja g jest cia g w punkcie p, funkcja f określona na zbiorze zawieraja cym
la
zbiór wartości funkcji g jest cia g w punkcie g(p) , to z la
la lożenie f ć%g jest funkcja cia g
w punkcie p .
Dowód. Wynika to od razu z otoczeniowej definicji cia g jeÅ›li µ > 0 , to istnieje
lości:
´ > 0 , takie że jeÅ›li |y - g(p)| < ´ , to |f(y) - f(g(p))| < µ , istnieje też · > 0 , takie
że jeÅ›li |x-p| < · , to |g(x)-g(p)| < ´ , a wobec tego |f(g(x))-f(g(p))| < µ . Dowód
zosta zakończony.
l
Nie jest natomiast prawda , że funkcja odwrotna do funkcji f cia g w punkcie p
lej
musi być cia g w punkcie f(p) . Zachecamy czytelników do samodzielnego skonstru-
la
owania przyk Musi on być nieco dziwaczny, bowiem jeśli za
ladu. lożymy, że funkcja
f jest cia g w ca dziedzinie, która jest przedzia to wtedy funkcja odwrotna
la lej lem,
musi być cia g mówimy o funkcji, której wartościami sa liczby rzeczywiste. Tego
la ,
twierdzenia jednak nie udowodnimy teraz, bowiem jego dowód stanie sie latwiejszy

póz
niej.
Przyk 5.1 Funkcja sta jest cia g w każdym punkcie.
lad la la
Przyk 5.2 Funkcja identyczność, czyli funkcja, której wartościa w punkcie x
lad
jest liczba x jest cia g w każdym punkcie prostej  wynika to natychmiast z definicji
la
cia g Zamiast mówić funkcja identyczność bedziemy mówić funkcja x , rozumieja c,
lości.
że jest ona określona na ca prostej.
lej
Przyk 5.3 Funkcje x2 , x3 , . . . sa cia g w każdym punkcie prostej. Wy-
lad le
nika to natychmiast z twierdzenia o cia g iloczynu funkcji cia g i poprzedniego
lości lych
przyk
ladu.
Przyk 5.4 Każdy wielomian, czyli funkcja postaci a0 + a1x + · · · + anxn , gdzie
lad
a0, a1, . . . , an sa dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest cia g w każdym punkcie
la
prostej. Wynika to z poprzednich przyk oraz twierdzenia o cia g iloczynu
ladów lości
i sumy funkcji: funkcja postaci ajxj jest iloczynem funkcji sta o wartości aj oraz
lej
funkcji xj , wielomian jest suma takich funkcji.
5
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
x-1
Przyk 5.5 Funkcja , której dziedzina jest zbiór z ze wszystkich liczb
lad lożony
x+3
rzeczywistych z wyja tkiem liczby -3 jest cia g w każdym punkcie swej dziedziny,
la
bo jest ilorazem funkcji cia g
lych.
Przyk 5.6 Funkcja wyk la.
lad ladnicza ex jest cia g Wykazaliśmy to wcześniej
(twierdzenie o cia g funkcji wyk
lości ladniczej).
Przyk 5.7 Logarytm naturalny (o podstawie e ) jest funkcja cia g Zosta to
lad la . lo
wykazane wcześniej.
Przyk 5.8 Dla każdej liczby rzeczywistej a funkcja potegowa xa o wyk
lad ladniku
a jest cia g w każdym punkcie pó lości
la lprostej (0, +") . Wynika to z cia g logarytmu
naturalnego, cia g funkcji wyk lości
lości ladniczej o podstawie e i cia g iloczynu oraz
z lych:
lożenia funkcji cia g xa = ea ln x .
Przyk 5.9 Jeśli a > 0 , to funkcja xa jest cia g w punkcie 0, jej wartość
lad la
w punkcie 0 definiujemy w tym przypadku jako 0. Trzeba jeszcze wykazać, że jeśli
1
lim xn = 0 i xn > 0 , to lim xa = 0 . Jest tak dla a = , k  dowolna liczba
n
k
n" n"
"
k
ca
lkowita wieksza niż 1, bo x1/k = x . W przypadku dowolnego a znajdujemy
1
najpierw dodatnia liczbe ca
lkowita k > . Dla każdej liczby nieujemnej x < 1
a
mamy wtedy 0 d" xa d" x1/k . Teza wynika teraz z twierdzenia o trzech cia gach.
p
Przyk 5.10 Jeśli a = , gdzie q jest nieparzysta liczba ca
lad lkowita dodatnia ,
q
"
q
zaÅ› p liczba ca la
lkowita ujemna , to funkcja xa = xp jest cia g w każdym punkcie
pó lości
lprostej (-", 0) . Wynika to od razu z cia g funkcji pierwiastek q  tego stopnia,
cia g wielomianu i cia g ilorazu funkcji cia g oraz twierdzenia o cia g
lości lości lych lości
z
lożenia.
W ostatnich trzech przyk wykazaliśmy, że funkcja potegowa jest cia g
ladach la
wszedzie tam, gdzie jest określona.
Przyk 5.11 Funkcje sinus i kosinus sa cia g w każdym punkcie prostej. Wynika
lad le
to od razu z nierówności | sin x - sin y| d" |x - y .
Przyk 5.12 Niech arcsin x oznacza taka liczbe, że sin(arcsin x) = x oraz
lad
Ä„
-Ą d" arcsin x d" , oczywiście zak
ladamy, że -1 d" x d" 1 . Jasne jest, że te warunki
2 2
określaja jednoznacznie liczbe arcsin x . Zdefiniowaliśmy wiec na przedziale [-1, 1]

Ä„ Ä„
funkcje, która go przekszta na przedzia - , . Wykażemy , że funkcja arcsin
lca l
2 2
jest cia g na przedziale [-1, 1] . Za óżmy, że tak nie jest. Oznacza to, że istnieje cia g
la l
6
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
(xn) punktów przedzia [-1, 1] zbieżny do pewnej liczby g , taki że cia g (arcsin xn)
lu

nie jest zbieżny do arcsin g . Z cia gu (arcsin xn) można wybrać podcia g arcsin xk
n
Ä„ Ä„
zbieżny do granicy G = arcsin g . Oczywiście - d" G d" . Sta d i z cia g funkcji
lości
2 2
sinus wynika, że
g = lim xk = lim sin(arcsin(xk )) = sin(G) = sin(arcsin g) = g .

n n
n" n"
Otrzymaliśmy sprzeczność g = g . Wobec tego każdy podcia g cia gu (arcsin xn) , który

ma granice, jest zbieżny do liczby arcsin g , wiec lim arcsin xn = arcsin g .
n"
Ä„ Ä„
Przyk 5.13 Niech arctg x oznacza taka liczbe, że - < arctg x < oraz
lad
2 2
tg(arctg x) = x . Jasne jest, że te dwa warunki wyznaczaja liczbe arctg x jedno-
znacznie. Zdefiniowaliśmy wiec funkcje, która przekszta zbiór wszystkich liczb rze-
lca

Ä„ Ä„
czywistych na przedzia otwarty - , . Funkcja arctg jest cia g na ca prostej.
l la lej
2 2
Dowód, który można przeprowadzić podobnie do podanego w poprzednim przyk
ladzie
dowodu cia g funkcji arcsin pozostawiamy czytelnikom, by mogli sprawdzić, na
lości
ile zrozumieli metode. Oczywiście w dowodzie należy skorzystać z cia g funkcji
lości
tangens, która cia g jako iloraz funkcji cia g
la lych.
Przyk 5.14 Dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 funkcja wyk
lad ladnicza ax
jest cia g w każdym punkcie prostej rzeczywistej. Wynika to z tego, że ax = ex ln a ,
la
twierdzeń o cia g iloczynu i z oraz cia g funkcji wyk
lości lożenia lości ladniczej o podstawie
e i cia g identyczności oraz funkcji sta
lości lej.
Z tych przyk wynika, że każda funkcja, która można zdefiniować  wzorem
ladów
używaja c standardowych funkcji, jest cia g w ca swojej dziedzinie, np.
la lej

"
sin(x2-12x+2)
exp - sin x4 - 113 .
tg(cos x+ln x)
Wynika to z wielokrotnego stosowania twierdzeń o cia g z
lości lożenia, sumy, różnicy,
iloczynu i ilorazu. Mog wiec powstać wrażenie, że wszystkie funkcje sa cia g Tak
loby le.
jednak nie jest. Podamy poniżej kilka przyk
ladów.
|x|
Przyk 5.15 sgn(x) = dla x = 0 oraz f(0) = 0 , ta funkcja jest cia g
lad la
x
w każdym punkcie p = 0 , bo wtedy jest sta w pewnym przedziale otwartym zawie-
la
raja cym p , w punkcie 0 ta funkcja jest niecia g bowiem jej granica prawostronna
la,
jest w tym punkcie równa 1, lewostronna jest równa -1 , wiec funkcja sgn (znak
liczby) nie ma granicy w punkcie 0.
1
Przyk 5.16 Niech f(x) = sin dla x = 0 , f(0) = 0 . Funkcja tak zdefinio-
lad
x
wana nie ma granicy w punkcie 0, wiec nie jest w tym punkcie cia g We wszystkich
la.
7
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
1
innych punktach jest cia g jako z funkcji cia g sinus z funkcja cia g .
la lożenie lej la x
Przyk 5.17 Niech f(x) = 1 dla x = 0 i f(0) = 0 . Funkcja ta jest niecia g
lad la
w punkcie 0 , choć ma w tym punkcie granice, jednak ta granica nie jest równa wartości
funkcji w punkcie 0 . W innych punktach p funkcja jest cia g bo jest sta na
la, la
pewnym przedziale otwartym zawieraja cym punkt p . Oczywiście można uznać ten
przyk za sztuczny.
lad
Przyk 5.18 Niech V (t) oznacza objetość jednego kilograma wody w tempera-
lad
turze t , ciśnienie jest sta tzw. normalne i niezależne od temperatury. Ze szkolnych
le,
lekcji fizyki wiadomo, że funkcja V ma niecia g w punkcie 0 tj. w temperaturze,
lość
w której nastepuje przejście ze stanu ciek w sta lub odwrotnie, zreszta w punk-
lego ly
cie 0 funkcja jest z punktu widzenia fizyki niezdefiniowana, ze wzgledu na zmiane
stanu skupienia. Granice jednostronne istnieja : prawostronna jest mniejsza niż lewo-
stronna (dlatego lód p w wodzie wystaja c z niej). Przyk ten podajemy po to,
lywa lad
by czytelnicy tego tekstu zdawali sobie sprawe, że w niektórych sytuacjach funkcje
niecia g pojawiaja sie w naturalnych sposób.
le
Definicja 5.12 (pochodnej)
Za óżmy, że funkcja f jest określona w dziedzinie zawieraja cej przedzia otwarty
l l
f(p+h)-f(p)
o środku p oraz że istnieje granica lim . Granice te nazywamy pochodna
h
h0
df
funkcji f w punkcie p i oznaczamy symbolem f (p) lub (p) . Jeśli pochodna
dx
jest skończona, to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p . Funkcje
liniowa przypisuja ca liczbie h liczbe f (p)h nazywamy różniczka funkcji f w punkcie
p i oznaczamy symbolem df(p) , a wartość tej funkcji liniowej w punkcie h oznaczamy
przez df(p)(h) lub df(p)h .
Definicja 5.13 (prostej stycznej do wykresu funkcji)
Za óżmy, że funkcja f ma pochodna w punkcie p oraz że jest cia g w punkcie p .*
l la
Jeśli pochodna f (p) jest skończona, to mówimy, że prosta styczna do wykresu funkcji
f w punkcie (p, f(p)) jest prosta, której wspó
lczynnik kierunkowy jest równy f (p)
przechodza ca przez punkt (p, f(p)) . Jeśli f (p) = " lub f (p) = -" , to mówimy,
że styczna do wykresu w punkcie (p, f(p)) jest prosta pionowa przechodza ca przez
ten punkt, czyli prosta o równaniu x = p .
* Wykażemy póz
niej, że jeśli pochodna f (p) funkcji f w punkcie p jest skończona, czyli że f jest
różniczkowalna w punkcie p , to funkcja f jest ciag w punkcie p , wiec w tym przypadku nie ma
la
potrzeby dodatkowo zak ciag funkcji w punkcie p .
ladać lości
8
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
Z tej definicji wynika od razu, że jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie
p , to prosta styczna do wykresu tej funkcji w punkcie (p, f(p)) ma równanie
y = f (p)(x - p) + f(p) .
Póz
niej przekonamy sie, że próby przenoszenia definicji stycznej do okregu (jako pro-
stej maja cej z okregiem dok jeden punkt wspólny) na przypadek stycznej do
ladnie
wykresu funkcji nie maja wiekszego sensu, bo prowadza do wyników niezgodnych z in-
tuicja . Motywy wprowadzenia podanej przez nas definicji sa nastepuja ce. Jeśli |h| = 0

jest nieduża liczba , to wspó
lczynnik kierunkowy prostej przechodza cej przez punkty
f(p+h)-f(p)
(p, f(p)) oraz (p + h, f(p + h)) jest równy ilorazowi różnicowemu , który
h
jest w przybliżeniu równy f (p) .
Prosta styczna jest wiec  granica prostych przechodza cych przez punkt (p, f(p))
i jeszcze jeden punkt wykresu leża cy blisko wymienionego. Nie zamierzamy tu precy-
zować pojecia  granicy prostych , bo używamy go jedynie w tym miejscu i to jedy-
nie w celu wyjaśnienia, ska d sie taka definicja stycznej bierze. Mówia c jeszcze mniej
dok prosta styczna ma przylegać możliwie ściśle do wykresu w pobliżu punktu
ladnie:
(p, f(p)) , daleko od tego punktu wykres i styczna moga sie rozchodzić. Podamy teraz
kilka przyk
ladów.
Przyk 5.19 Niech f(x) = ax + b . W tym przypadku iloraz różnicowy
lad
f(p+h)-f(p) a(p+h)-ap
= = a
h h
jest niezależny od h , zreszta również od p . Wobec tego pochodna funkcji liniowej
ax + b jest równa a . Z tego wynika, że prosta styczna do prostej y = ax + b jest ona
sama, co nie powinno dziwić, bo ona sama do siebie przylega najlepiej ze wszystkich
prostych. Czesto stosowany jest zapis (ax + b) = a .
Przyk 5.20 Niech f(x) = x2 i niech p bedzie dowolna liczba rzeczywista . Bez
lad
f(p+h)-f(p)
trudu stwierdzamy, że = 2p+h --- 2p , co oznacza, że pochodna funkcji
h
h0
f w punkcie p jest liczba 2p . Zwykle piszemy (x2) = 2x . Ponieważ f (0) = 0 ,
wiec styczna do wykresu tej funkcji w punkcie (0, 0) jest pozioma. Jeśli natomiast
p = 10 , to wspó
lczynnik kierunkowy stycznej do wykresu jest równy 20 , wiec styczna
w punkcie (20, 400) jest prawie pionowa.
f(p+h)-f(p)
Przyk 5.21 Niech f(x) = x3 . Mamy = 3p2 + 3ph + h2 --- 3p2 ,
lad
h
h0
co oznacza, że pochodna funkcji f w punkcie p jest 3p2 , tzn. (p3) = 3p2 . I tym
razem f (0) = 0 , wiec styczna do wykresu funkcji f w punkcie (0, f(0)) = (0, 0) jest
pozioma, czyli jest opisana równaniem y = 0 . Jednak w tym przypadku wykres nie
9
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
leży po jednej stronie stycznej, lecz przechodzi z jednej strony tej prostej na druga .
Pochodna jest dodatnia z jednym wyja tkiem: f (0) = 0 . Bez trudu można stwierdzić,
że styczna do wykresu tej funkcji w każdym punkcie, z wyja tkiem punktu (0, 0) ,
przecina wykres w jeszcze jednym punkcie*, wiec w tym przypadku nie jest prawda ,
że styczna ma z wykresem funkcji dok jeden punkt wspólny.
ladnie
Przyk 5.22 Teraz zajmiemy sie funkcja f(x) = |x| . Jeśli p > 0 i |h| < p ,
lad
f(p+h)-f(p) p+h-p
to = = 1 = 1 --- 1 , co oznacza, że pochodna funkcji f
h h
h0
w punkcie p jest 1 . W taki sam sposób pokazać można, że f (p) = -1 dla każdej
liczby p < 0 . Pozosta jeszcze jeden przypadek do rozważenia, mianowicie p = 0 .
l
f(0+h)-f(0) f(0+h)-f(0)
Jeśli h > 0 , to = 1 i wobec tego lim = 1 . Analogicznie
h
h0+ h
f(0+h)-f(0)
lim = -1 . Z tych dwu równości wynika od razu, że nie istnieje granica
h0- h
f(0+h)-f(0)
lim , czyli że funkcja |x| pochodnej w punkcie 0 nie ma, chociaż jest
h
h0
cia g  ma ona w tym punkcie pochodne jednostronne, ale sa one różne. Na wykresie
la
funkcji jest to widoczne, w punkcie (0, 0) wykres sie za
lamuje. Czesto mówimy, że
wykres ma w tym punkcie  ostrze . Zauważmy, że rezultaty tych rozważań można
|x|
opisać wzorem (|x|) = .
x
Przyk 5.23 Podamy teraz przyk świadcza cy o tym, że istnieja funkcje cia g
lad lad le,
które przynajmniej w niektórych punktach nie maja pochodnych jednostronnych. Stu-
denci zmeczeni tymi przyk moga pomina ć w pierwszym czytaniu ten przyk i
ladami lad
ewentualnie powrócić do niego póz
niej. Warto też spróbować sporza dzić szkic wykresu
funkcji, co może u zrozumienie sytuacji.
latwić
1
Przechodzimy do szczegó ów. Niech f(x) = x sin dla x = 0 oraz f(0) = 0 .
l
x
Z oczywistej nierówności |f(x)| d" |x| wynika, że lim f(x) = 0 = f(0) , a to zna-
x0
czy, że funkcja f jest cia g w punkcie 0 . Cia g w innych punktach jest oczy-
la lość
wistym wnioskiem z twierdzenia o operacjach na funkcjach cia g i twierdzenia o
lych
cia g z lugo
lości lożenia dwu funkcji. Z twierdzeń, które udowodnimy nied wyniknie,
że funkcja ta ma pochodna skończona w każdym punkcie z wyja tkiem punktu 0 .
Wykażemy teraz, że funkcja ta nie ma pochodnej w punkcie 0 , dok
ladniej, że w
tym punkcie funkcja nie ma pochodnej prawostronnej w punkcie 0 . Jeśli h > 0 ,
f(x+h)-f(x)
1 1
to = sin . Udowodniliśmy poprzednio, że funkcja sin nie ma granicy
h h h

1 1
prawostronnej: sin 1 = 0 oraz sin 1 = 1 . Nie istnieje wiec f+(0) ,
2nĄ 2nĄ+Ą/2
*Czytelnik zechce sprawdzić w jakim  to pomaga w zrozumieniu tekstu!
10
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
czyli prawostronna pochodna funkcji f w punkcie 0 .

1
Widzimy, wiec że dla każdej liczby naturalnej n punkt , 0 leży na wykresie
2nĄ
funkcji, co oznacza, że styczna do wykresu funkcji w punkcie (0, 0) powinna być
pozioma oś uk wspó
ladu lrzednych. Jednakże dla każdej liczby naturalnej n punkt

1 1
, leży na wykresie funkcji, wiec styczna powinna być prosta, na
2nĄ+Ą/2 2nĄ+Ą/2
której te punkty leża , czyli prosta o równaniu y = x  styczna ma być prosta
najdok  przylegaja ca do wykresu. Podobnie można uzasadniać, że styczna do
ladniej
wykresu tej funkcji w punkcie (0, 0) powinna być prosta o równaniu y = kx , gdzie
k jest dowolna liczba z przedzia [-1, 1]  na każdej takiej prostej znajduja sie
lu
punkty leża ce na wykresie funkcji f , tworza ce cia g zbieżny do 0 . Można powiedzieć,
1
że wykres funkcji x sin oscyluje miedzy prostymi y = x oraz y = -x i do żadnej
x
z nich ani do żadnej leża cej w ka cie przez nie wyznaczonym w punkcie (0, 0) nie
 przylega .
Przyk 5.24 Obliczymy teraz pochodna funkcji wyk
lad ladniczej. Niech f(x) = ex .
ex+h-ex eh-1
Przypomnieć wypada, że lim = ex lim = ex · 1 = ex . Wobec tego
h h
h0 h0
pochodna w punkcie x funkcji wyk
ladniczej o podstawie e jest liczba ex , czyli
(ex) = ex . Wobec tego równanie stycznej w punkcie (p, ep) do wykresu funkcji
ex ma postać y = ep(x - p) + ep .
Przyk 5.25 Nastepna bardzo ważna funkcja jest logarytm naturalny. Znaj-
lad
dziemy jej pochodna . Niech f(x) = ln x dla każdej liczby dodatniej x . Przypomnijmy,
ln(1+x)
że lim = 1 . Mamy wiec dla x > 0 nastepuja ca równość*:
x
x0
ln(x+h)-ln x ln(1+x/h)
1 1 1
lim = lim · = 1 · = .
h x/h x x x
h0 h0
1
Znaczy to, że pochodna logarytmu naturalnego w punkcie x jest liczba , czyli
x
1
(ln x) = . Wobec tego styczna w punkcie (p, ln p) do wykresu logarytmu natural-
x
1
nego ma równanie y = (x - p) + ln p .
p
Przyk 5.26 Ostatnia z krótkiego cyklu  najważniejszych funkcji elementar-
lad
sin x
nych jest sinus. Przypomnijmy, że lim = 1 . Z niej wynika, że
x
x0
h h
2 sin cos(x+ )
sin(x+h)-sin x sin(h/2)
h
2 2
lim = lim = lim · cos(x + ) = cos x .
h h h/2 2
h0 h0 h0
Uda sie wiec nam wykazać, że pochodna funkcji sinus w punkcie x jest liczba cos x ,
lo
czyli że zachodzi wzór (sin x) = cos x . Sta d wynika, że równanie stycznej W punkcie
(p, sin p) do wykresu funkcji sinus to y = (cos p) · (x - p) + sin p , w szczególnoÅ›ci
x+h
h
*Przypomnijmy, że ln(x+h)-ln x=ln =ln 1+
( )
x x
11
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
styczna do wykresu funkcji sinus w punkcie (0, 0) ma równanie y = x .
Nastepne wzory wyprowadzimy po podaniu regu wed których obliczane sa
l, lug
pochodne. Nie bedziemy w tym przypadku zajmować sie pochodnymi nieskończonymi,
bowiem w zastosowaniach beda nam potrzebne na ogó pochodne skończone.
l
Twierdzenie 5.14 (o arytmetycznych w
lasnościach pochodnej)
Za óżmy, że funkcje f i g sa różniczkowalne w punkcie p . Wtedy funkcje f Ä… g , f · g
l
f
i, jeśli g(p) = 0 , to również sa różniczkowalne w punkcie p i zachodza wzory:

g
(f + g) (x) = f (x) + g (x) , (f - g) (x) = f (x) - g (x) ,

f f (x)g(x)-f(x)g (x)
(f · g) = f (x)g(x) + f(x)g (x) , (x) = .
g g(x)2
f(p+h)-f(p) g(p+h)-g(p)
Dowód. Mamy f (p) = lim oraz g (p) = lim i wiemy, że te
h h
h0 h0
pochodne sa skończone. Sta d i z twierdzenia o arytmetycznych w
lasnościach granicy
funkcji wynika, że
f(p+h)+g(p+h)-f(p)-g(p) f(p+h)-f(p) g(p+h)-g(p)
lim = lim + lim = f (p) + g (p) .
h h h
h0 h0 h0
Udowodniliśmy wiec twierdzenie o pochodnej sumy dwu funkcji różniczkowalnych.
W identyczny sposób dowodzimy twierdzenie pochodnej różnicy funkcji różniczko-
walnych. Zajmiemy sie teraz iloczynem funkcji różniczkowalnych. Tym razem sko-
rzystamy z udowodnionego wcześniej twierdzenia o cia g funkcji różniczkowalnej.
lości
Mamy
f(p+h)g(p+h)-f(p)g(p) [f(p+h)-f(p)]·g(p+h)+f(p)[g(p+h)-g(p)]
lim = lim =
h h
h0 h0
f(p+h)-f(p) g(p+h)-g(p)
= lim · lim g(p + h) + f(p) · lim = f (p)g(p) + f(p)g (p) .
h h
h0 h0 h0
Teraz kolej na iloraz. Mamy teraz dodatkowe za
lożenie: g(p) = 0 . Wynika sta d,
że istnieje taka liczba ´ > 0 , że |g(p + h) - g(p)| < |g(p)| = |0 - g(p)| , jeżeli
|h| < ´ . Wnioskujemy sta d, że liczby g(p) i g(p + h) leża po tej samej stronie zera,
w szczególności g(p + h) = 0 . Mamy zatem

f (p+h) f (p)
-
f(p+h)g(p)-f(p)g(p+h)
g(p+h) g(p)
lim = lim =
h hg(p+h)g(p)
h0 h0
f(p+h)g(p)-f(p)g(p)-[f(p)g(p+h)-f(p)g(p)]
= lim =
hg(p+h)g(p)
h0
f (p+h)-f (p) g(p+h)-g(p)
g(p)-f(p)
f (p)g(p)-f(p)g (p)
h h
= lim = .
g(p+h)g(p) g(p)2
h0
Dowód zosta zakończony.
l
Twierdzenie 5.15 (o pochodnej z
lożenia)
Za óżmy, że funkcja g jest różniczkowalna w punkcie p , zaś funkcja f , określona
l
na zbiorze zawieraja cym wszystkie wartości funkcji g , jest różniczkowalna w punkcie
12
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
g(p) . Wtedy z
lożenie tych funkcji f ć% g jest różniczkowalne w punkcie p i zachodzi
wzór:
(f ć% g) (x) = f (g(x))g (x) .
Wprowadzimy oznaczenie y = g(x) . Można napisać (f ć% g) (x) = f (y)g (x) lub
d(fć%g) df dg df dg d(fć%g) df dg
(x) = (g(x)) · (x) = (y) · (x) lub krócej = · . Czesto
dx dy dx dy dx dx dy dx
d(fć%g) df dg
wzór ten zapisywany jest w postaci = · lub, po oznaczeniu z = f(y) ,
dx dg dx
dy
dz dz
jako = · . W literaturze anglojezycznej nosi nazwe  the Chain Rule , czego
dx dy dx
oczywistym motywem jest jego ostatnia postać, zw
laszcza jeśli zastosujemy go nie
w przypadku z
lożenia dwu funkcji, lecz wiekszej ich liczby  wtedy lańcuch staje sie
bardziej widoczny.
Dowód. Mamy do czynienia z dwiema funkcjami różniczkowalnymi: f w punkcie
g(p+h)-g(p)-g (p)h
q = g(p) oraz g w punkcie p . Niech rg(h) = i niech rg(0) = 0 .
h
Funkcja g jest różniczkowalna w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja rg jest
cia g w punkcie 0. Prawdziwa jest zatem równość: g(p + h) = g(p) + g (p)h + rg(h)h .
la
f(g(p)+H)-f(g(p))
Przyjmijmy teraz, że rf (H) = oraz rf (0) = 0 . Tak jak w przy-
H
padku funkcji g funkcja f jest różniczkowalna w punkcie q = g(p) wtedy i tylko
wtedy, gdy funkcja rf jest cia g w punkcie 0. Również w tym przypadku zachodzi
la
też wzór: f(g(p) + H) = f(g(p)) + f (g(p))H + rf (H)H . Gotowi jesteśmy do  wy-
dzielenia cześci liniowej z
lożenia f ć% g w otoczeniu punktu p :
f(g(p + h)) = f(g(p) + g (p)h + rg(h)h) =

= f(g(p)) + f (g(p)) g (p)h + rg(h)h + rf g (p)h + rg(h)h g (p)h + rg(h)h =

= f(g(p)) + f (g(p))g (p)h + h · rg(h) + rf g (p)h + rg(h)h g (p) + rg(h) .
Jasne jest, że granica wyrażenia znajduja cego sie w nawiasie kwadratowym przy
h 0 jest liczba 0. Sta d zaÅ› wynika od razu, zob. twierdzenie charakteryzuja ce
pochodna jako wspó
lczynnik wielomianu stopnia d" 1 najlepiej przybliżaja cego funk-
cje, że pochodna funkcji f ć% g w punkcie p jest liczba f (g(p))g (p) . Dowód zosta
l
zakończony.
Twierdzenie 5.16 (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Za óżmy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p , że f (p) = 0 , że funkcja
l
f ma funkcje odwrotna oraz że funkcja f-1 odwrotna do f jest cia g w punkcie
la
q = f(p) . Wtedy funkcja f-1 jest różniczkowalna w punkcie q i zachodzi wzór

1
f-1 (q) = .
f (p)

1
Wzór na pochodna funkcji odwrotnej można zapisać tak: f-1 (f(p)) =
f (p)
13
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
-1
dy
1 dx
lub tak: f-1 (q) = . Piszemy też = , oznaczywszy uprzednio
f (f-1(q)) dy dx
dy
dz dz
y = f(x) . Ten ostatni zapis, zw la czeniu z wzorem = , sugeruje,
laszcza w po
dx dy dx
dy
że symbol można traktować jak u Trzeba jednak uważać, bo nie oznacza
lamek.
dx
on u lecz pochodna i pos
lamka, lugiwać sie analogiami z ilorazem jedynie w zakresie
dg d(g+h)
dh
dopuszczonym podawanymi twierdzeniami. Można np. napisać wzór + =
dx dx dx
 oznacza on, że pochodna sumy dwu funkcji wzgledem zmiennej x jest równa sumie
ich pochodnych wzgledem tej samej zmiennej x . Natomiast nie można napisać wzoru
df dg df·dx+dg·dy
+ = np. dlatego, że jego prawa strona nie ma sensu, bo w ogóle
dy dx dy·dx
nie jest zdefiniowana. Póz
niej rozważać bedziemy pochodne wyższych rzedów i tam
sytuacja bedzie jeszcze bardziej skomplikowana.
Dowód. Tym razem wiemy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p , że
f (p) = 0 oraz że funkcja f-1 odwrotna do funkcji f jest cia g w punkcie q = f(p) .
la
f-1(q+h)-f-1(q)
1
Wystarczy teraz wykazać, że lim = .
h f (p)
h0
Niech H = f-1(q + h) - f-1(q) . Oczywiście H zależy od h . Z cia g funkcji
lości
f-1 w punkcie q wynika od razu, że lim H = 0 . Zachodzi wzór h = q + h - q =
h0
= f(f-1(q + h)) - f(f-1(q)) = f(f-1(q) + H) - f(f-1(q)) = f(p + H) - f(p) .
Z tego i z poprzednich wzorów wynika, że
f-1(q+h)-f-1(q)
H 1
lim = lim = .
h f(p+H)-f(p) f (p)
h0 H0
Pokażemy teraz, jak podane przed chwila twierdzenia można stosować.
Ä„
Przyk 5.27 Znajdziemy pochodna funkcji kosinus. Mamy cos x = sin - x .
lad
2
Skorzystamy z wzoru wynikaja cego z wzoru wykazanego w przyk pierwszym:
ladzie

Ä„ Ä„
-x = (-1)x + = -1 . Teraz skorzystamy z twierdzenia o pochodnej z
lożenia:
2 2
Ä„
Ä„
(cos x) = sin - x = cos - x · (-1) = - sin x
2 2
 tutaj role funkcji f z wzoru na pochodna z lni
lożenia pe sinus, którego pochodna
Ä„
jest kosinus, zaś role funkcji g odgrywa funkcja - x , której pochodna jest -1 .
2
Przyk 5.28 Zastosujemy wzór na pochodna ilorazu dla uzyskania wzoru na
lad
pochodna funkcji tangens. Mamy (tg x) =
(sin x)
cos x-(cos x) sin x cos x·cos x-(- sin x) sin x
sin x 1
= = = = = 1 + tg2 x .
cos x cos2 x cos2 x
(cos x)2
Przyk 5.29 Teraz kolej na kotangens. Wzór ten można uzyskać na różne spo-
lad
soby, np. modyfikuja c nieznacznie wyprowadzenie wzoru na pochodna funkcji tangens.
14
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
Można też zastosować metode znana już z wyprowadzenia wzoru na pochodna funkcji
kosinus i w tak posta pimy:
laśnie

Ä„ 1 1
(ctg x) = tg - x = · (-1) = - = -1 - ctg2 x .
2 sin2 x
cos2 Ä„ -x
( )
2
Przyk 5.30 Przypomnijmy, że funkcja odwrotna do funkcji tangens ograniczo-
lad

Ä„
nej do przedzia -Ą , jest funkcja arctg , która przekszta zbiór wszystkich
lu lca
2 2

Ä„ Ä„
liczb rzeczywistych IR na przedzia - , . Zachodzi zatem wzór: tg (arctg x) =
l
2 2
x . Funkcja arctg jest cia g Pochodna funkcji tangens nie jest w żadnym punkcie
la.
mniejsza od 1, wiec jest różna od 0 . Wobec tego z twierdzenia o pochodnej funkcji
odwrotnej wynika, że funkcja arctg ma pochodna w każdym punkcie. Z twierdzenia
o pochodnej z
lożenia wynika, że musi zachodzić wzór:

1 = (x) = (tg (arctg x)) = 1 + tg2 (arctg x) · (arctg x) = 1 + x2 · (arctg x) .
1
Sta d wnioskujemy, że (arctg x) = .
1+x2
Przyk 5.31 Wyprowadzimy wzór na pochodna funkcji arcsin, czyli funkcji od-
lad
Ä„
wrotnej do funkcji sinus ograniczonej do przedzia [-Ä„ , ] . Funkcja arcsinus jest
lu
2 2
Ä„ Ä„
cia g i przekszta przedzia [-1, 1] na przedzia [- , ] . Na tym ostatnim prze-
la lca l l
2 2
Ä„
dziale funkcja kosinus przyjmuje nieujemne wartości. Sta d wynika, że jeśli - d"
2

Ä„
y d" , to cos y = 1 - sin2 y . Ponieważ pochodna funkcji sinus jest różna od 0
2
Ä„ Ä„
w punktach przedzia otwartego (- , ) , wiec funkcja arcsin jest różniczkowalna
lu
2 2
Ä„ Ä„
w punktach odpowiadaja cych punktom przedzia (- , ) , czyli w punktach prze-
lu
2 2
dzia otwartego (-1, 1) . Mamy wiec
lu
1 = (x) = (sin (arcsin(x))) = cos (arcsin(x)) · (arcsin(x)) =

"
= 1 - sin2 (arcsin(x)) · (arcsin) = 1 - x2 · (arcsin(x)) .
1
"
Sta d już latwo wynika, że zachodzi wzór: (arcsin(x)) = . Znalez
liśmy wiec po-

1-x2
chodna funkcji arcsin w punktach wewnetrznych jej dziedziny. W punktach leża cych
na jej brzegu, czyli w punktach -1 i 1 można by mówić jedynie o pochodnych jedno-
stronnych. Pozostawiamy czytelnikom wykazanie tego, że w obu końcach przedzia
lu
[-1, 1] funkcja arcsin ma pochodna jednostronna i że ta pochodna jednostronna równa
jest +" . Warto naszkicować sobie wykres funkcji arcsin  jest on oczywiście sy-
Ä„
metryczny do wykresu funkcji sinus, ograniczonej do przedzia [-Ä„ , ] , wzgledem
lu
2 2
prostej o równaniu y = x .
Przyk 5.32 Niech f(x) = xa , gdzie a jest dowolna liczba rzeczywista , zaÅ› x
lad
15
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
jest liczba dodatnia . Wykażemy, że (xa) = axa-1 .*
Z definicji wynika, że xa = ea ln x . Korzystaja c z twierdzenia o pochodnej z
lożenia
dwu funkcji oraz poprzednio wyprowadzonych wzorów na pochodne funkcji wyk
lad-
niczej, logarytmu i funkcji liniowej otrzymujemy:

1
(xa) = ea ln x = ea ln x · a · = axa-1 .
x
Dodać wypada, że potege xa można zdefiniować też w przypadku x = 0 i a > 0 oraz
w przypadku x < 0 , jeśli a jest liczba wymierna , której mianownik jest ca
lkowita
liczba nieparzysta , a licznik  liczba ca
lkowita , po ewentualnym skróceniu. Pozo-
stawiamy czytelnikom uzasadnienie tego, że w obu tych przypadkach podany przez
nas wzór na pochodna funkcji potegowej pozostaje w mocy. Oczywiście w przypadku
pierwszym mowa jest jedynie o pochodnej prawostronnej, chyba że a jest wyk
ladni-
kiem dodatnim, wymiernym o mianowniku nieparzystym (mowa o zapisie liczby wy-
miernej w postaci u nieskracalnego, którego licznik i mianownik sa liczbami
lamka
ca
lkowitymi).
Przyk 5.33 Zajmiemy sie teraz przez chwile funkcja wyk
lad ladnicza o dowolnej
podstawie. Niech a bedzie dowolna liczba dodatnia , x  dowolna liczba rzeczywista .
Postepuja c tak jak w przypadku funkcji potegowej otrzymujemy wzór:

(ax) = ex ln a = ex ln a · ln a = ax ln a .
Na tym zakończymy krótki przegla d najbardziej podstawowych wzorów na po-
chodne. Bedziemy je obliczać wielokrotnie. Przekonamy sie niebawem, że można ich
używać w celu rozwia zywania rozlicznych problemów, np. znajdowania najwiekszych
i najmniejszych wartości funkcji. Do tego potrzebne beda nam jednak twierdzenia
pozwalaja ce na wia zanie w lasnościami jej pochodnej. Warto nad-
lasności funkcji z w
mienić, że z twierdzeń, które już podaliśmy, wynika, że funkcje zdefiniowane za pomoca
 jednego wzoru , maja pochodna we wszystkich punktach swej dziedziny z wyja tkiem
nielicznych punktów wyja tkowych, np. wzór
1
"
1
3
"
( x) = x1/3 = x-2/3 =
3
3
3 x2
ma miejsce dla wszystkich x = 0 . Istnieja , co prawda, funkcje cia g określone na ca
le lej
prostej, które nie maja pochodnej w żadnym punkcie, ale my sie takimi tworami zaj-
mować nie bedziemy. Jednak w fizyce rozpatrywany jest tzw. ruch Browna, w którego
modelu matematycznym tego rodzaju dziwactwa pojawiaja sie. Zwia zane jest to
z tym, że w tym modelu rozpatrywana jest sytuacja otrzymana przez przejście z liczba
1
*Dla a= jest to znany wielu czytelnikom z nauki w szkole wzór na pochodna pierwiastka kwadrato-
2
wego, dla a=2 oraz a=3 otrzymaliśmy wzory wcześniej, zob, przyk 2,3.
lad
16
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
rozpatrywanych cza stek do nieskończoności, co zważywszy na ich liczbe dziwne nie
jest. Wtedy jednak typowa cza stka zderza sie z innymi  bez przerwy , a to powoduje
za
lamania trajektorii, czyli punkty nieróżniczkowalności. Zwia zany z ruchem Browna
proces Wienera znajduje zastosowania również w modelach ekonomicznych.
Twierdzenie 5.17 (o cia g funkcji różniczkowalnej)
lości
Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p , to jest w tym punkcie cia g
la.
f(p+h)-f(p)
Dowód. lim f(x) = f(p) + lim (f(p + h) - f(p)) = f(p) + lim h · =
h
xp
h0 h0
=f(p) + 0 · f (p) = f(p) . Dowód zosta zakoÅ„czony.
l
Nastepne twierdzenie by używane przez Fermata (1601 1665) w odniesieniu
lo
do wielomianów jeszcze przed wprowadzeniem przez Newtona i Leibniza rachunku
różniczkowego i ca l l
lkowego. Fermat zajmowa sie znajdowa miedzy innymi znajdowa-
niem wartości najwiekszych i najmniejszych wielomianów na przedzia domknie-
lach
tych. Doprowadzi go to w gruncie rzeczy do pojecia pochodnej, choć nie stworzy
lo l
on teorii. Tym nie mniej odkry twierdzenie, którego wage trudno przecenić, choć
l
zarówno twierdzenie jak i jego dowód sa nies
lychanie proste.
Twierdzenie 5.18 (o zerowaniu sie pochodnej w punktach lokalnego ekstremum)
Jeśli f jest funkcja różniczkowalna w punkcie p i przyjmuje w punkcie p wartość
najmniejsza lub najwieksza , to f (p) = 0 , podkreślić wypada, że zak
ladamy tu, że p
jest środkiem pewnego przedzia otwartego zawartego w dziedzinie funkcji.
lu
Dowód. Za óżmy, że funkcja f ma w punkcie p wartość najwieksza . Znaczy to, że
l
dla każdego punktu x z dziedziny funkcji f zachodzi nierówność f(x) d" f(p) , zatem
f(p+h)-f(p) f(p+h)-f(p)
dla h > 0 mamy d" 0 , wobec tego f (p) = lim d" 0 . Mamy
h
h0+ h
f(p+h)-f(p)
też f (p) = lim e" 0 dla h < 0 . Obie te nierówności moga zachodzić
h0- h
jednocześnie jedynie w przypadku f (p) = 0 .
Jeśli f przyjmuje w punkcie p wartość najmniejsza , to funkcja przeciwna -f
przyjmuje w tym punkcie wartość najwieksza , wiec 0 = (-f) (p) = -f (p) . Dowód
zosta zakończony.
l
Wypada podkreślić, że jeśli funkcja określona na przedziale przyjmuje wartość
najwieksza w jego końcu, to nawet w przypadku, gdy jest w tym końcu jednostronnie
różniczkowalna, to jej pochodna nie musi być równa 0 , funkcja x rozpatrywana na
przedziale [7, 13] przyjmuje swa najwieksza wartość w punkcie 13 , w którym jej
pochodna jest liczba 1.
17
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
Uwaga 5.19 ( o pozornej monotnoniczności)
Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p oraz f (p) > 0 , to istnieje liczba
´ > 0 taka, że jeÅ›li 0 < h < ´ , to f(p- h) < f(p) < f(p+ h) , tzn. dostatecznie blisko
punktu p , na lewo od niego wartości funkcji sa mniejsze niż w wartość punkcie p ,
zaś na prawo od tego punktu, w jego pobliżu wartości funkcji sa wieksze niż wartość
w punkcie p .
f(p+h)-f(p)
Dowód. Iloraz różnicowy jest dodatni dla dostatecznie ma h , bo-
lych
h
wiem ma dodatnia granice przy h 0 , zatem licznik i mianownik tego u maja
lamka
taki sam znak.
Twierdzenie 5.20 (Rolle a)
Jeżeli funkcja f jest cia g w przedziale domknietym [a, b] i ma pochodna we wszyst-
la
kich jego punktach wewnetrznych oraz f(a) = f(b) , to istnieje taki punkt c " (a, b) ,
że f (c) = 0 .
Dowód. Za óżmy, że f(a) = f(b) nie jest najwieksza wartościa funkcji f . Niech c
l
bedzie punktem, w którym funkcja f przyjmuje wartość najwieksza spośród przyjmo-
wanych na tym przedziale. Oczywiście a < c < b . Wobec tego f jest różniczkowalna
w punkcie c i na mocy twierdzenia Fermata zachodzi równość f (c) = 0 . Jeśli funk-
cja f nie przyjmuje wewna trz przedzia [a, b] wartości wiekszych niż f(a) = f(b) ,
lu
to albo przyjmuje mniejsze i możemy zamiast niej rozważyć funkcje przeciwna -f ,
albo funkcja f jest sta na przedziale [a, b] . W tym drugim przypadku c może być
la
dowolnym punktem przedzia otwartego (a, b) . Dowód zosta zakończony.
lu l
Interpretacja fizyczna tego twierdzenia może być np. taka: po prostoliniowej dro-
dze porusza sie pojazd, który rozpoczyna i kończy przemieszczanie sie w tym samym

punkcie f(a) = f(b) , ponieważ kończymy podróż w punkcie startu, wiec w którymś
punkcie musieliśmy zawrócić, w momencie zmiany kierunku jazdy nasza predkość by
la
równa 0 .
Na wykresie funkcji punkty, o których jest mowa w dowodzie twierdzenia Rolle a
to te w otoczeniu, których wykres wygla da tak, jak wykres funkcji -x2 w otocze-
niu punktu 0 . Oczywiście to nie sa jedyne punkty, w których pochodna przyjmuje
wartość 0 . Niech f(x) = sin3 x . Wtedy f (x) = 3 sin2 x cos x , zatem f (0) = 0 ,
chociaż w punkcie 0 funkcja f nie ma lokalnego maksimum ani lokalnego minimum,
Ä„
w każdym przedziale postaci (´, ´) , gdzie 0 < ´ < , funkcja f jest Å›ciÅ›le rosna ca.
2
Ä„
Ma ona lokalne ekstrema, ale w innych punktach, np. w punktach Ä… .
2
Przejdziemy teraz do najważniejszego twierdzenia w rachunku różniczkowym,
18
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
twierdzenia o wartości średniej.
Twierdzenie 5.21 (Lagrange a o wartości średniej)
Jeśli funkcja f jest cia g w każdym punkcie przedzia domknietego [a, b] i ma
la lu
pochodna we wszystkich punktach przedzia otwartego (a, b) , to istnieje taki punkt
lu
f(b)-f(a)
c " (a, b) , że f (c) = .
b-a
f(b)-f(a)
Dowód. Niech g(x) = f(x) - (x - a) - f(a)  od funkcji f odejmujemy
b-a
f(b)-f(a)
funkcje (x - a) + f(a) , wiec liniowa , której wartości w końcach przedzia
lu
b-a
[a, b] pokrywaja sie z wartościami funkcji f . Mamy wiec g(a) = 0 = g(b) . Funkcja g
jest funkcja cia g jako różnica funkcji cia g Taki sam argument przekonuje nas
la, lych.
o istnieniu pochodnej g we wszystkich punktach przedzia otwartego (a, b) . Wobec
lu
tego dla funkcji g spe sa za
lnione lożenia twierdzenia Rolle a. Istnieje wobec tego taki
f(b)-f(a)
punkt c " (a, b) , że 0 = g (c) = f (c) - , a to w mieliśmy wykazać.
laśnie
b-a
Dowód zosta zakończony.
l
Każdy czytelnik z pewnościa zauważy że twierdzenie Rolle a jest przypadkiem
l,
szczególnym twierdzenia Lagrange a o wartości średniej. Można też zinterpretować
 fizycznie twierdzenie Lagrange a. Jeśli f(x) oznacza po w chwili x obiektu
lożenie
f(b)-f(a)
poruszaja cego sie po prostej, to f (c) oznacza predkość w chwili c , zaś to
b-a
predkość średnia w okresie od a do b . Wg. tej interpretacji twierdzenie o wartości
średniej mówi, że predkość chwilowa w pewnej chwili c równa jest predkości średniej,
co wygla da na stwierdzenie zupe oczywiste. Geometrycznie twierdzenie to ozna-
lnie
cza, że jeśli poprowadzimy prosta przez dwa punkty leża ce na wykresie funkcji f , to
styczna do wykresu f w pewnym punkcie leża cym miedzy wybranymi punktami jest
równoleg do wybranej prostej.
la
Widzimy wiec, że twierdzenie Lagrange a ma krótki dowód, prosto można je
zinterpretować na różne sposoby. Pokażemy nied że ma ono liczne i ważne kon-
lugo,
sekwencje.
Zadania
5.01 Korzystaja c jedynie z definicji pochodnej oblicz f (0) , jeśli f(x) = x2 cos x .
5.02 Korzystaja c jedynie z definicji pochodnej oblicz f (0) , jeśli f(x) = xex .
5.03 Korzystaja c jedynie z definicji pochodnej oblicz f (0) , jeśli f(x) = x(x - 1) .
5.04 Korzystaja c jedynie z definicji pochodnej oblicz f (1) , jeśli f(x) = x(x - 1) .
1
5.05 Korzystaja c jedynie z definicji pochodnej oblicz f (0) , jeśli f(x) = x2 cos
x
i f(0) = 0 .
19
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
1
5.06 Wykazać, że jeśli f(0) = 0 i f(x) = x cos , to funkcja f jest cia g w punkcie 0 ,
la
x
ale pochodnej w tym punkcie nie ma.
5.07 Korzystaja c jedynie z definicji pochodnej oblicz f (1) , jeśli f(x) = (x - 1)ex .
5.08 Korzystaja c jedynie z definicji pochodnej oblicz f (0) , jeśli

f(x) = x 9 + sin(tg x) .
5.09 Korzystaja c jedynie z definicji pochodnej oblicz f (0) , jeśli


f(x) = sin x 4 + sin(tg x) .
5.10 Korzystaja c jedynie z definicji pochodnej oblicz f (2) , jeśli
f(x) = (x - 2) |x + 3| .
5.11 Korzystaja c jedynie z definicji pochodnej oblicz f (1) , jeśli
"
f(x) = (ln x) 1 + 3x2 .
5.12 Obliczyć pochodna funkcji Ąx2 w tych punktach, w których istnieje.
4
5.13 Obliczyć pochodna funkcji Ąx3 w tych punktach, w których istnieje.
3
5.14 Obliczyć pochodna funkcji 1-3x+7x2+5x3 w tych punktach, w których istnieje.
"
5.15 Obliczyć pochodna funkcji 1 + x w tych punktach, w których istnieje.
"
5.16 Obliczyć pochodna funkcji 1 + 2x w tych punktach, w których istnieje.
"
5.17 Obliczyć pochodna funkcji 1 + x2 w tych punktach, w których istnieje.
"
5.18 Obliczyć pochodna funkcji 1 + sin x w tych punktach, w których istnieje.
2x
5.19 Obliczyć pochodna funkcji w tych punktach, w których istnieje.
1+x2
x
5.20 Obliczyć pochodna funkcji w tych punktach, w których istnieje.
(1-x)2(1+x)3
5.21 Obliczyć pochodna funkcji arccos(sin x) w tych punktach, w których istnieje.
sin2 x
5.22 Obliczyć pochodna funkcji w tych punktach, w których istnieje.
sin(x2)
"
3
5.23 Obliczyć pochodna funkcji x w tych punktach, w których istnieje.
"
5.24 Obliczyć pochodna funkcji sin x + 1 + x2 w tych punktach, w których ist-
nieje.
x x
5.25 Obliczyć pochodna funkcji tg - ctg w tych punktach, w których istnieje.
2 2
5.26 Obliczyć pochodna funkcji xx w tych punktach, w których istnieje.
"
5.27 Obliczyć pochodna funkcji tg x w tych punktach, w których istnieje.
2
5.28 Obliczyć pochodna funkcji e-x w tych punktach, w których istnieje.
5.29 Obliczyć pochodna funkcji esin x w tych punktach, w których istnieje.


"
5.30 Obliczyć pochodna funkcji x + 2x + 3x w tych punktach, w których ist-
nieje.
5.31 Obliczyć pochodna funkcji ln |x| w tych punktach, w których istnieje.
5.32 Obliczyć pochodna funkcji sin2 x w tych punktach, w których istnieje.
20
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
5.33 Obliczyć pochodna funkcji |sin x| w tych punktach, w których istnieje.
5.34 Obliczyć pochodna funkcji ln |sin x| w tych punktach, w których istnieje.
"
5.35 Obliczyć pochodna funkcji ln x + 1 + x2 w tych punktach, w których istnieje.
2x
5.36 Obliczyć pochodna funkcji arcsin w tych punktach, w których istnieje.
1+x2
5.37 Obliczyć pochodna funkcji x |x| w tych punktach, w których istnieje.

3 1+x3
5.38 Obliczyć pochodna funkcji w tych punktach, w których istnieje.
1-x3
5.39 Znalez
ć równanie stycznej do wykresu cos2 x - 2 sin x w punkcie (Ą, 1) lub wy-
kazać, że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.
5.40 Znalez
ć równanie stycznej do wykresu arctg(2x) w punkcie (0, 0) lub wykazać,
że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.
"
3
5.41 Znalez
ć równanie stycznej do wykresu |x - 1| x + 2 w punkcie (-3, -4) lub
wykazać, że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.
2
5.42 Znalez
ć równanie stycznej do wykresu x2 - 1 w punkcie (0, 1) lub wykazać,
że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.
2 "
5.43 Znalez
ć równanie stycznej do wykresu x2 - 1 w punkcie 2, 1 lub wykazać,
że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.
"
3
5.44 Znalez
ć równanie stycznej do wykresu x w punkcie (0, 0) lub wykazać, że w
tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.
"
3
5.45 Znalez
ć równanie stycznej do wykresu ex - 1 w punkcie (0, 0) lub wykazać,
że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.

"
5.46 Znalez
ć równanie stycznej do wykresu 1 - cos x 2 w punkcie (0, 0) lub
wykazać, że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.
"
3
5.47 Znalez
ć równanie stycznej do wykresu x - sin x w punkcie (0, 0) lub wykazać,
że w tym punkcie wykres funkcji f nie ma stycznej.
5.48 Wykazać, że jeśli f(x) = x3 + 3x dla x " (-", +") , to funkcja f określona na
wskazanym przedziale ma funkcje odwrotna f-1 . Znalez
ć dziedzine funkcji f-1

oraz f-1 (0) .
5.49 Wykazać, że jeśli f(x) = x + ex dla x " (-", +") , to funkcja f określona na
wskazanym przedziale ma funkcje odwrotna f-1 . Znalez
ć dziedzine funkcji f-1

oraz f-1 (1) .
5.50 Wykazać, że jeśli f(x) = x + ln x dla x " (0, +") , to funkcja f określona na
wskazanym przedziale ma funkcje odwrotna f-1 . Znalez
ć dziedzine funkcji f-1

oraz f-1 (1) .
5.51 Niech f(x) = 5e3x . Obliczyć f (x) - 3f(x) .
21
Funkcje różniczkowalne Micha Krych
l
5.52 Niech f(x) = 5e-7x . Obliczyć f (x) + 7f(x) .
5.53 Niech f(x) = 5xe3x . Obliczyć f (x) - 3f(x) .
5.54 Niech f(x) = 5x2e3x . Obliczyć f (x) - 3f(x) .
5.55 Niech f(x) = 5x3e3x . Obliczyć f (x) - 3f(x) .
5.56 Niech f(x) = 5xe3x . Obliczyć f (x) - 3f(x) .
5.57 Niech f: R - R bedzie różniczkowalna funkcja parzysta , tzn. f(-x) = f(x)
dla każdej liczby x " R . Wykazać, że f (0) = 0 i ogólnie f (-x) = -f (x) dla
każdego x " R .
5.58 Za óżmy, że funkcja f ma pochodna w każdym punkcie oraz że f (x) = 2f(x)
l
dla każdej liczby x . Obliczyć pochodna funkcji f(x)e-2x .
5.59 Za óżmy, że funkcja f ma pochodna w każdym punkcie oraz że f (x) = 2xf(x)
l
2
dla każdej liczby x . Obliczyć pochodna funkcji f(x)e-x .
5.60 Za óżmy, że funkcja f ma pochodna w każdym punkcie oraz że f (x) + f(x) = 0
l

dla każdej liczby x . Obliczyć f(x)ex .
22