METODY OBLICZENIOWE
Elementy analizy matematycznej I
SYMBOLICZNE OBLICZANIE GRANIC I POCHODNYCH
OBLICZANIE GRANIC
limit (wyrażenie, punkt, kierunek)
wyrażenie  wyrażenie algebraiczne.
punkt  równanie określające punkt, w którym obliczana jest granica wyrażenia np.
x = x0 . Zamiast skończonej wartości x0 można padać nazwę infinity
(nieskończoność).
kierunek  dodatkowy parametr pozwalający liczyć granice jednostronne. Przyjmuje
wartości right lub left.
OBLICZANIE POCHODNYCH
diff (wyrażenie, symbol)
wyrażenie  różniczkowane wyrażenie.
symbol  określa zmienną ze względu na którą liczona jest pochodna. Dla pochodnych
wyższych rzędów drugim parametrem komendy jest sekwencja odpowiednich
symboli.
D [n](funkcja)
funkcja  nazwa funkcji lub procedury zdefiniowanej przez użytkownika zawierającej
różniczkowane wyrażenie, albo nazwa wbudowanej funkcji matematycznej
Maple a.
n  numer argumentu funkcji, ze względu na który liczona jest pochodna lub, dla
pochodnych wyższych rzędów, sekwencja odpowiednich liczb całkowitych.
Zadania
1. Obliczyć następujące granice:
a) lim 2tg(x) , lim 2tg(x) , lim 2tg(x) Odp: nieokreślona, ",0
- +
Ä„
Ä„ Ä„
x
x x
2
2 2
cos(t) - sin(t) 2
b) lim Odp.
Ä„
cos(2t) 2
t
4
n
1
ëÅ‚1+ öÅ‚
c) lim Odp. e
ìÅ‚ ÷Å‚
n"
n
íÅ‚ Å‚Å‚
2. Za pomocą komendy diff i operatora D obliczyć następujące pochodne:
10cos(2 x)
2
a) f (x), f (x) = 5arctg sin(2 x) Odp.
( )
1+ sin2(2 x)
2 2
b) f (x), f (x) = x2 ln(x) w punkcie x = 0.5 Odp. 1.6137
"3 f (x, y) x2 3
c) , f (x, y) = + ex y w punkcie x = 1, y = -2 Odp.
"x "y2 y2 4
3. Wyznaczyć ekstrema funkcji f (x) = x2 + 3 x - ex . Określić ich charakter (minimum,
maksimum).
NUMERYCZNE OBLICZANIE POCHODNYCH
fdiff (wyrażenie, symbol, punkt)
wyrażenie  różniczkowane wyrażenie.
symbol  określa zmienną ze względu na którą liczona jest pochodna. Dla pochodnych
wyższych rzędów drugim parametrem komendy jest lista odpowiednich
symboli.
punkt  równanie postaci x = x0 lub, dla pochodnych funkcji wielu zmiennych, lista
równań określających punkt, w którym liczona jest pochodna.
Zadania
sin xy
( )
"3 f
1. Obliczyć numerycznie pochodną funkcji f (x, y) = w punkcie x = 3, y = 2 .
"x2 "y x + y
Odp: 55.79782256
2. Dla wygenerowanej w oparciu o poniższy kod funkcji dyskretnej (Xi, Yi), i = 1, ..., n
obliczyć pierwszą pochodną (w każdym punkcie) za pomocą wzorów różnicowych
trójpunktowych. Zbadać dokładność otrzymanych wyników w zależności od liczby
punktów.
> f:=x->x^x;
> n:=10: # liczba punktów
> a:=1.: b:=3.: h:=(b-a)/(n-1):
> X:=[seq(a+i*h,i=0..n-1)]; # lista pierwszych wspólrzędnych
> Y:=map(f,X); # lista drugich wspólrzędnych
> plot(zip((x,y)->[x,y],X,Y),style=point);
Tok postępowania:
a) Wprowadzić w formie funkcji poniższe wzory trójpunktowe. Argumentem funkcji
będzie numer punktu w którym obliczana jest pochodna.
-3Yi + 4Yi+1 -Yi+2
i  wzór prawostronny
2h
Yi+1 -Yi-1
i  wzór centralny
2h
Yi-2 - 4Yi-1 + 3Yi
i  wzór lewostronny
2h
b) Wykorzystać wprowadzone wzory do obliczenia pochodnej w każdym punkcie, w
którym określona jest funkcja. W punktach skrajnych użyć wzorów jednostronnych, w
pozostałych punktach wykorzystać wzór centralny.
c) Obliczyć błąd względny procentowy pomiędzy otrzymanymi rezultatami, a
wartościami pochodnej obliczonej symbolicznie z funkcji analitycznej (zmienna f) i
ewaluowanej w odpowiednich punktach.
d) Dokonać identycznych obliczeń jak w punkcie b i c zwiększając liczbę punktów, w
których określona jest funkcja na n = 20.
3. Obliczyć pochodną funkcji dyskretnej z zadania 2 wykorzystując wielomian
interpolacyjny. Zbadać dokładność obliczeń w zależności od liczby punktów, przyjąć
n = 10 i 20.
Tok postępowania:
a) Dokonać interpolacji punktów (Xi, Yi), i = 1, ..., n z zadania 2. Przyjąć precyzję
obliczeń Digits:=20.
b) Zróżniczkować otrzymany wielomian interpolacyjny.
c) Obliczyć wartość pochodnej wielomianu interpolacyjnego w każdym punkcie Xi,
i =1,...,n .
d) Obliczyć błąd względny procentowy pomiędzy otrzymanymi rezultatami, a
wartościami pochodnej obliczonej symbolicznie z funkcji analitycznej (zmienna f w
zadaniu 2) i ewaluowanej w odpowiednich punktach.