S Z E R E G I P O T E G O W E
10 grudnia 2011
Wiele funkcji można przedstawiać w postaci sum szeregów potegowych. Uda
lo
nam sie już przedstawić w takiej postaci funkcje wyk
ladnicza . W tym punkcie przeko-
namy sie, że nie jest ona żadnym wyja tkiem  praktycznie wszystkie funkcje, które sa
zdefiniowane  za pomoca jednego wzoru , można tak zapisać, co u w licznych
latwia
przypadkach poznanie ich w
lasności. Zaczniemy od definicji i twierdzenia opisuja cego
podstawowe w
lasności szeregów potegowych.
Definicja 8.1 (szeregu potegowego)
Szeregiem potegowym o środku w punkcie 0 i wspó
lczynnikach a0, a1, a2, . . . nazy-
wamy szereg sume nieskończona postaci
"

a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + · · · = anxn .
n=0
Mówimy, że szereg taki jest zbieżny dla x " R wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
skoÅ„czona granica lim (a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn) . Te granice nazywamy suma
n"
"

szeregu potegowego i oznaczamy symbolem anxn .
n=0
"

W tej definicji i w przypadku stosowania zapisu anxn przyjmujemy wyja tko-
n=0
wo, że x0 = 1 również dla x = 0 , by nie komplikować oznaczeń.
Dla x = 0 szereg potegowy jest zbieżny. Czasem jest to jedyny punkt zbieżności,
np. jeÅ›li an = nn . JeÅ›li granica lim (a0 + a1x + · · · + anxn) jest skoÅ„czona, to
n"
lim (a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn) = lim (a0 + a1x + a2x2 + · · · + an-1xn-1) , bo
n" n"
granica cia gu i podcia gu jest taka sama, zatem

lim anxn = lim (a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn)-(a0+a1x+a2x2+· · ·+an-1xn-1) = 0 .
n" n"
"

Ze zbieżności szeregu nnxn wynika wiec, że 0 = lim nnxn = lim (nx)n , a ta
n" n"
n=1
równość ma miejsce jedynie dla x = 0 .
Może też zdarzyć sie, że szereg potegowy jest zbieżny dla wszystkich liczb rze-
"

xn 1 1 1
czywistych x . Przyk jest tu szereg = 1 + x + x2 + x3 + · · · ,*
ladem
n! 1! 2! 3!
n=0
1
*Teraz an=
n!
1
Szeregi potegowe Micha Krych
l
którego suma jest ex . Wykazaliśmy to wcześniej mecza c sie nieco. Mamy również
"

1
xn = dla x " (-1, 1)  to znany wzór na sume nieskończonego cia gu geo-
1-x
n=0
metrycznego, tym razem an = 1 dla wszystkich ca
lkowitych n e" 0 .
Widzimy wiec, że zbiór tych liczb x dla których szereg jest zbieżny zależy od wspó
l-
czynników a0, a1, a2, . . . . O tym zbiorze coś jednak można powiedzieć.
Lemat 8.2 (o zbieżności szeregu potegowego)
"

Jeśli szereg potegowy anxn jest zbieżny dla x = x1 i |x2| < |x1| , to szereg
n=0
" "

anxn jest zbieżny. Co wiecej, dla każdej liczby naturalnej k szereg nkanxn
2 2
n=0 n=0
jest zbieżny.
Dowód. *
"

Ponieważ szereg anxn jest zbieżny, wiec lim anxn = 0  wykazaliśmy to przed
1 1
n"
n=0
sformu
lowaniem dowodzonego lematu. Istnieje wiec taka liczba M > 0 , że nierówność

x2
anxn
d" M zachodzi dla każdej liczby n " N . Niech q = . Z za wynika, że
lożenia
1
x1
q n
1+q nkqn
0 d" q < 1 . Niech q1 = . Wtedy q < q1 < 1 , wiec lim = lim nk = 0 .
n
2 q1 n" q1
n"

nkqn

Wobec tego istnieje taka liczba K > 0 , że d" K dla każdej liczby n " N .
n
q1
Niech m, n oznaczaja liczby naturalne i niech n > m . Wtedy
n n n


x j n

2
jk aj xj ajxj ajxj
jk aj xj d" = jk = jkqj d"

2 2 1 1
x1
j=m+1 j=m+1 j=m+1 j=m+1
n n n

jkqj j j
d" M jkqj = M q1 d" MK q1 =
j
q1
j=m+1 j=m+1 j=m+1
n-m
m+1 m+1 1
= MKq1 1-q1 < MKq1 1-q1 ---- 0 .
-
1-q1
m"
Wobec tego dla każdej liczby µ > 0 i dla dostatecznie dużego m " N oraz dowolnego
n > m zachodzi nierówność

(a0 + a1x2 + 2ka2x2 + · · · + nkanxn) - (a0 + a1x2 + 2ka2x2 + · · · + nkamxm) < µ .
2 2 2 2
WykazaliÅ›my wiec, że cia g o wyrazie a0+a1x2+2ka2x2+· · ·+nkanxn spe warunek
lnia
2 2
Cauchy ego, co dowodzi, że ma on skończona granice, a to by naszym celem.
lo
Z lematu o zbieżności szeregu potegowego wynika, że zbiór tych punktów x " R ,
*Należy koniecznie przypomnieć sobie w ciagu geometrycznego w tym wzór na sume nie-
lasności
skończonego ciagu geometrycznego!
2
Szeregi potegowe Micha Krych
l
dla których ten szereg jest zbieżny jest przedzia o środku w punkcie 0 , być może
lem
nieskończonym, czyli ca prosta lub zbiorem z
la lożonym tylko z liczby 0 . Ogólnie
nic nie można powiedzieć na temat końców tego przedzia W każdym z końców
lu.
szereg może być zbieżny lub nie. Przedzia z z punktów, dla których szereg
l lożony

anxn jest zbieżny nazywamy przedzia zbieżności szeregu anxn , a po
lem lowe
jego d
lugości  promieniem zbieżności szeregu. Wobec tego promieniem zbieżności

szeregu nnxn jest liczba 0 , promieniem zbieżności szeregu xm jest liczba 1 ,

xn
promieniem zbieżności szeregu jest +" .
n!
Uwaga 8.3 (o bezwzglednej zbieżności szeregu potegowego)
Dowodza c lemat o zbieżności szeregu potegowego wykazaliśmy, że oprócz szeregu
" "


nkanxn
nkanxn zbieżny jest też szereg . W tej sytuacji matematycy mówia
n=0 n=0
"

o bezwzglednej zbieżności szeregu nkanxn .
n=0
Funkcje, które można przedstawić w postaci sumy szeregu potegowego nie maja
 patologicznych w
lasności. W zasadzie wszystkie podstawowe funkcje można przy-
najmniej lokalnie zapisywać w takiej postaci. Nie bedziemy sie zbytnio wg w te
lebiać
zagadnienia. Wykażemy jeszcze jedno twierdzenie.
Twierdzenie 8.4 (o pochodnej szeregu potegowego)
"

Jeśli szereg potegowy anxn ma dodatni promień zbieżności, to wewna trz prze-
n=0
dzia zbieżności suma tego szeregu jest funkcja różniczkowalna i zachodzi wzór:
lu
"
"

anxn = nanxn-1
n=0 n=1
"

Dowód. Niech r > 0 bedzie promieniem zbieżności szeregu anxn . Wtedy
n=0
"

szereg potegowy nkanxn jest zbieżny każdego x " (-r, r) i dla każdej liczby
n=0
"

k = 0, 1, 2, 3, . . . , zaś jeśli |x| > r , to szereg anxn nie jest zbieżny. W rze-
n=0
czywistości wykazaliśmy, że dla każdego k " N i x " (-r, r) zbieżny jest szereg
"


nkanxn
. Za óżmy dalej, że |x| < r , że d > 0 jest liczba mniejsza niż r - |x|
l
n=0
3
Szeregi potegowe Micha Krych
l
oraz że 0 < |h| d" d . Sta d wynika, że |x + h| d" |x| + |h| d" |x| + d < r , wiec szeregi
" " " "


nanxn-1 anxn an(x + h)n
, , i |an|(|x| + d)n sa zbieżne. Niech
n=0 n=0 n=0 n=0
"

s(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · = anxn . Wtedy
n=0

" "
(x + h)n xn

-

s(x+h)-s(x)
- nanxn-1 = an - nxn-1 =

h
n=0 h
n=0


" n " n
n

n

= an xn-khk-1 d" |h| · |an| |x|n-k|h|k-2 d"

n=2 k=2 k k
n=2 k=2

" n

n - 2
d" |h| · |an|n2 |x|(n-2)-(k-2)|h|k-2 =
k - 2
n=2 k=2
" "

= |h| · n2|an| (|x| + |h|)n-2 d" |h| · n2|an| (|x| + d)n-2 .
n=2 n=2
Przedostatnia nierówność wynika z tego, że jeśli n e" k e" 2 , to

n n · (n - 1) n - 2 n - 2
= · d" n2 .
k (k - 1) · k k - 2 k - 2
"

OczywiÅ›cie lim |h| · n2|an| (|x| + d)n-2 = 0 , zatem
h0
n=2
"

s(x + h) - s(x)
lim - nanxn-1 = 0 ,
h0 h
n=1
wiecx
"

s(x + h) - s(x)
s (x) = lim = nanxn-1 . Dowód zosta zakończony.
l
h0 h
n=1
Z twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potegowego wynika, że wewna trz dzie-
dziny ma on skończona pochodna , która też jest suma szeregu potegowego, wiec jest
różniczkowalna wewna trz swej dziedziny. Z tego wynika, że suma szeregu potegowego
jest funkcja cia g wewna trz jego przedzia zbieżności. Powstaje pytanie: czy jest też
la lu
cia g w końcu, jeśli jest w nim określona. Odpowiedz
na to pytanie znana jest jako
la
c&
Twierdzenie 8.5 (Abela o ciag szeregu potegowego w końcu przedzia zbieżności)
lości lu
"

Jeśli szereg anpn jest zbieżny, |p| = r i r jest promieniem zbieżności szeregu
n=0
c&
Zdecydowanie poza programem dla chemików, zw dowód, który podajemy jedynie dla kom-
laszcza
pletności wyk
ladu
4
Szeregi potegowe Micha Krych
l
" "

anxn , to funkcja, która przypisuje liczbie x liczbe anrn , określona co najmniej
n=0 n=0
na przedziale domknietym o końcach 0 i p , jest cia g w punkcie p .
la
Dowód. Za óżmy, że lim xk = p . Dla dostatecznie dużych k liczba xk znajduje sie
l
k"
xk
w przedziale o końcach 0 i p , zatem |xk| d" |p| = r . Niech tk = , czyli xk = tkp .
p
Ponieważ xk ---- p , wiec tk ---- 1 . Sta d wynika, że dla dostatecznie dużych k
- -
k" k"
" "

zachodzi nierówność 0 d" tk d" 1 . Niech bn = anpn . Mamy wiec anxn = bntn
k k
n=0 n=0
" "

i anpn = bn . Niech sn = b0 +b1 +b2 +· · ·+bn . Bez straty ogólnoÅ›ci rozważaÅ„
n=0 n=0
możemy za że xk = p , czyli tk < 1 . Wtedy
lożyć,
b0 + b1t + b2t2 + . . . = s0 + (s1 - s0)t + (s2 - s1)t2 + . . . =

= s0 + s1t + s2t2 + . . . - s0t + s1t2 + . . . =

= s0(1 - t) + s1(t - t2) + s2(t2 - t3) + . . . = (1 - t) s0 + s1t + s2t2 + . . . .

Te przekszta można wykonać, bo szereg sntn jest zbieżny dla 0 d" t < 1 ,
lcenia
bowiem cia g (sn) jest zbieżny do granicy skończonej, zatem jest ograniczony. Z tego
"


wynika, że szereg sntn+1 też jest zbieżny. Oznaczmy s = bn = lim sn . Niech
n"
n=0
µ bedzie dowolna liczba dodatnia . Istnieje wtedy taka liczba naturalna nµ , że dla
µ
każdej liczby naturalnej k > nµ zachodzi nierówność |sk - s| < . Wybierzmy
2
jaka kolwiek liczbe m > nµ , np. m = nµ + 1 . Niech 0 < t < 1 . Mamy wtedy:

(1-t) s0 + s1t + s2t2 + . . . -s(1-t) 1 + t + t2 + . . .
b0+b1t+b2t2+. . .-s = =


= (1 - t) (s0 - s) + (s1 - s)t + (s2 - s)t2 + . . . d"

d" (1 - t) |s0 - s| + |s1 - s|t + |s2 - s|t2 + . . . + |sm-1 - s|tm-1 +

+(1 - t) |sm - s|tm + |sm+1 - s|tm+1 + . . . <

< (1 - t) |s0 - s| + |s1 - s|t + |s2 - s|t2 + . . . + |sm-1 - s|tm-1 +
µ
+ (1 - t)(tm + tm+1 + . . .) =
2

µ
= (1 - t) |s0 - s| + |s1 - s|t + |s2 - s|t2 + . . . + |sm-1 - s|tk-1 + tm <
2

µ
< (1 - t) |s0 - s| + |s1 - s|t + |s2 - s|t2 + . . . + |sm-1 - s|tm-1 + .
2
Dotychczas t by dowolna liczba z przedzia (0, 1) . Nas interesuje granica przy
lo lu
t 1- . Niech
B = 1 + |s0 - s| + |s1 - s| + |s2 - s| + · · · + |sm-1 - s| >
> |s0 - s| + |s1 - s|t + |s2 - s|t2 + · · · + |sm-1 - s|tm-1 .

µ µ
µ

JeÅ›li 0 < 1 - t < , to b0 + b1t + b2t2 + . . . - s < · B + = µ . Wobec tego
2B
2B 2
5
Szeregi potegowe Micha Krych
l


dla dostatecznie dużych k zachodzi nierówność b0 + b1tk + b2t2 + . . . - s < µ . Sta d
k
i z definicji granicy wynika, że
" "

a0 + a1xk + a2x2 + . . . = b0 + b1tk + b2t2 + . . . ---- s = bn = anpn .
-
k k
k"
n=0 n=0
Dowód zosta zakończony.
l
Teraz pokażemy jak można niektóre funkcje przedstawić jako sumy szeregów
potegowych. Zaczniemy od logarytmu naturalnego. Udowodnimy mianowicie, że
Przyk 8.1 Wykażemy, że
lad
"

1 1 1
ln(1 + x) = (-1)n-1 1 xn = x - x2 + x3 - x4 + . . .
n 2 3 4
n=1
dla każdej liczby x " (-1, 1] . Jeśli |x| < 1 , to

1 1 1 1
(ln(1 + x)) = = 1 - x + x2 - x3 + . . . = x - x2 + x3 - x4 + . . . =
1+x 2 3 4

"

= (-1)n-1 1 xn ,
n
n=1
"

zatem pochodna funkcji ln(1+x)- (-1)n-1 1 xn , określonej i cia g na przedziale
lej
n
n=1
(-1, 1] i różniczkowalnej w jego punktach wewnetrznych jest równa 0. Sta d wynika,
"

że funkcja ln(1 + x) - (-1)n-1 1 xn jest sta na przedziale domknieto otwar-
la
n
n=1
tym (-1, 1] . Wobec tego dla każdej liczby x " (-1, 1] zachodzi równość
" "

1 1
ln(1 + x) - (-1)n-1 xn = ln(1 + 0) - (-1)n-1 0n = 0 .
n n
n=1 n=1
Przedstawiliśmy wiec funkcje ln(1 + x) w postaci sumy szeregu potegowego o środku
w punkcie 0. Z tego wzoru wynika, że jeśli x0 > 0 i 0 < x d" 2x0 , to
"
n

x-x0 x-x0
ln x = ln x0 1 + = ln x0 + ln 1 + = ln x0 + (-1)n-1 1 x-x0 .
x0 x0 n x0
n=1
"

Podstawimy x = 1 w równości ln(1 + x) = (-1)n-1 1 xn . Rezultat to
n
n=1
"

1 1 1
ln 2 = ln(1 + 1) = (-1)n-1 1 = 1 - + - + . . . =
n 2 3 4
n=1
1 1 1
= lim (1 - + - + . . . + (-1)n-1 1 ) .
2 3 4 n
n"
Znalez
liśmy wiec granice cia gu, którego zbieżność stwierdziliśmy już dawno. Przyk
lad
ten świadczy, że innym problemem jest wykazanie zbieżności szeregu, a innym zna-
6
Szeregi potegowe Micha Krych
l
lezienie jego sumy. Dodajmy jeszcze, że szereg ten jest wolno zbieżny i nie warto
przybliżać liczby ln 2 jego sumami cześciowymi. Można natomiast np. zauważyć, że
n " n
"

1 1 1 1 1
ln 2 = - ln = - (-1)n-1 - = .
2 n 2 n 2
n=1 n=1
n
k

1 1
W tym przypadku b jaki pope
la d lniamy przybliżaja c liczbe ln 2 suma
n 2
n=1
n
"

1 1 1 1 1
jest równy = + + + · · · , wiec
n 2 (k + 1)2k+1 (k + 2)2k+2 (k + 3)2k+3
n=k+1
jest mniejszy niż suma
1 1 1 1 1 1
+ + + · · · = = .
(k+1)2k+1 (k+1)2k+2 (k+1)2k+3 (k+1)2k+1 1 (k+1)2k
1-
2
1 1 1
W przypadku szeregu anharmonicznego 1 - + - + · · · wartość bezwzgledna
2 3 4
k

1
b który pope zastepuja c liczbe ln 2 suma (-1)n-1 jest równa
ledu, lniamy
n
n=1
1 1 1 1 1 1
- + - + · · · = + + · · · >
k+1 k+2 k+3 k+4 (k+1)(k+2) (k+3)(k+4)

1 1 1 1 1
> + + + + · · · =
2 (k+1)(k+2) (k+2)(k+3) (k+3)(k+4) (k+4)(k+5)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= - + - + - + - + · · · = . JeÅ›li
2 k+1 k+2 k+2 k+3 k+3 k+4 k+4 k+5 2(k+1)
1
przyjmiemy k = 4 , to w pierwszym przypadku b bedzie mniejszy niż , a w dru-
la d
80
1
gim  wiekszy niż . Dla k = 9 w pierwszym przypadku b jest mniejszy od
la d
10
1 1
, a w drugim  wiekszy niż . Jasne jest wiec, że chca c przybliżyć liczbe ln 2
5120 20
" "

1 n
1
należy użyć sum cześciowych szeregu , a nie szeregu (-1)n-1 1 .
n 2 n
n=1 n=1
1
Przyk 8.2 Teraz zajmiemy sie funkcja arctg . Mamy (arctg x) = . Wobec
lad
1+x2
tego dla x " (-1, 1) zachodzi równość

1 x3 x5 x7
(arctg) = = 1 - x2 + x4 - x6 + · · · = x - + - + · · · .
1+x2 3 5 7
"

x3 x5 x7
Jasne jest, że szereg x- + - +· · · = (-1)n x2n+1 jest zbieżny dla x = Ä…1 .
3 5 7 2n+1
n=0
Wobec tego jego przedzia zbieżności jest [-1, 1]  szereg potegowy jest wewna trz
lem
"

przedzia zbieżności zbieżny. Wykazaliśmy wiec, że funkcja arctg x - (-1)n x2n+1
lu
2n+1
n=0
jest cia g na przedziale [-1, 1] oraz że jej pochodna jest równa 0 w punktach we-
la
wnetrznych tego przedzia Sta d wynika, że ta funkcja jest sta na przedziale [-1, 1] .
lu. la
7
Szeregi potegowe Micha Krych
l
Wobec tego dla każdej liczby x " [-1, 1] zachodzi równość:
" "

x2n+1 02n+1
arctg x - (-1)n = arctg 0 - (-1)n = 0 .
2n + 1 2n + 1
n=0 n=0
Sta d wynika, że dla każdej liczby x " [-1, 1] zachodzi równość:
"

x2n+1
arctg x = (-1)n .
2n + 1
n=0
Podobnie jak w poprzednim przyk tak i tu możemy uzyskać konkretne rezultaty.
ladzie
Np. podstawiaja c x = 1 do otrzymanego wzoru otrzymujemy
"

1
Ä„ 1 1 1
= arctg 1 = 1 - + - + · · · = (-1)n
4 3 5 7
2n + 1
n=0
 ta równość nazywana jest zwykle wzorem Leibniza. Można wykazać, że jeśli chcie-
libyśmy za pomoca tego wzoru znajdować przybliżenia dziesietne liczby Ą , to mu-
sielibyśmy wykonać wiele obliczeń, co nawet w przypadku komputerów ma istotne
znaczenie  konkretnie: dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność podwójna
1 1 1 1 1 1
< - + - + · · · < (nie jest ona oczywista!), wiec b
la d
4(n+1) 2n+1 2n+3 2n+5 2n+7 4n
Ä„ 1 1 1
pope przy zastepowaniu liczby liczba 1 - + - + · · · + (-1)n-1 1
lniany
4 3 5 7 2n-1
1 1
jest zawarty miedzy oraz . Stosuja c wzór z lepiej dobranym x otrzymać
4(n+1) 4n
można bez trudu szeregi  szybciej zbieżne.*
"

Przyk 8.3 Wykażemy teraz, że sin x = (-1)n x2n+1 . Wykazaliśmy po-
lad
(2n+1)!
n=0
przednio, że dla każdej liczby rzeczywistej x > 0 zachodzi nierówność podwójna
x3 x3 x5
x - < sin x < x . Teraz wykażemy, że sin x < x - + . Przyjmijmy, że
3! 3! 5!
x3 x5 x2 x4
f(x) = x - + - sin x . Mamy f (x) = 1 - + - cos x i wobec tego
3! 5! 2! 4!
x3
możemy napisać, że (f ) (x) = -x + + sin x . Z przypomnianej nierówności wy-
3!
nika, że dla każdej liczby x > 0 zachodzi (f ) (x) > 0 , a sta d wynika, że funkcja
f jest ściśle rosna ca na pó
lprostej [0, +") . Ponieważ f (0) = 0 , wiec jeśli x > 0 ,
to f (x) > f (0) = 0 . Sta d wynika, że funkcja f jest ściśle rosna ca na pó
lprostej
x3 x5
[0, +") i wobec tego jeśli x > 0 , to f(x) > f(0) = 0 , czyli x - + > sin x , a to
3! 5!
w chcieliśmy wykazać. Rozumuja c w taki sam sposób wnioskujemy, że dla x > 0
laśnie
x3 x5 x7
zachodzi nierówność x - + - < sin x  obliczamy pochodna różnicy prawej
3! 5! 7!
i lewej strony tej nierówności, potem jej pochodna tej pochodnej, w wyniku otrzymu-
jemy funkcje dodatnia na pó
lprostej (-", 0) itd. Powtarzaja c to rozumowanie, czyli
* Można o tym przeczytać np. w rachunku różniczkowym i ca G.M.Fichtenholza, t.2, rozdzia
lkowym l
XI, $ 8, punkt 410, ksiażce wielokrotnie wznawianej przez PWN.
8
Szeregi potegowe Micha Krych
l
stosuja c indukcje zupe dochodzimy do wniosku, że dla każdej liczby rzeczywistej
lna ,
x > 0 i każdej ca
lkowitej liczby nieujemnej n zachodzi nierówność podwójna:
x3 x5 x7 x3 x5 x7
x- + - +. . .+(-1)2n-1 x4n-1 < sin x < x- + - +. . .+(-1)2n x4n+1
3! 5! 7! (4n-1)! 3! 5! 7! (4n+1)!
x4n+1 x4n+1
Różnica skrajnych sum równa jest . Mamy też lim = 0  można za-
(4n+1)! (4n+1)!
n"
x x 1
uważyć, że jeśli n > x > 0 , to < < , a sta d wynika, że dla dostatecznie
4n+1 4n 4
x4n+1 1 x4n-1
dużych n zachodzi nierówność < · .
(4n+1)! 16 (4n-1)!
x3 x5 x7 x4n+1 x3 x5 x7 x4n-1
Niech s4n+1 = x- + - +. . .+ , s4n-1 = x- + - +. . .+ .
3! 5! 7! (4n+1)! 3! 5! 7! (4n-1)!
Z tego że s4n-1 < sin x < s4n+1 i lim (s4n+1 - s4n-1) = 0 wynika oczywiście, że
n"
"

lim s4n-1 = sin x = lim s4n+1 . Oznacza to, że (-1)n x2n+1 = sin x , czyli
(2n+1)!
n" n"
n=0
x3 x5 x7
że sin x = x - + - + . . . . Na razie wiemy, że równość ta ma miejsce dla
3! 5! 7!
x > 0 , ale w rzeczywistości jest tak dla każdej liczby x " R , bo obie strony, lewa
i prawa, sa funkcjami nieparzystymi zmiennej x . Wykazaliśmy wiec, że dla każdej
liczby rzeczywistej x zachodzi równość
"

x3 x5 x7 x2n+1
sin x = x - + - + . . . = (-1)n (8.3)
3! 5! 7! (2n + 1)!
n=0
k

 Po drodze wykazaliśmy też, że skończona suma (-1)n x2n+1 przybliża sume
(2n+1)!
n=0
|x|2(k+1)+1
nieskończona z b mniejszym niż . Wynika sta d np. że jeśli x jest
ledem
(2(k+1)+1)!
3,16
Ä„ x3
miara ka ta ostrego, czyli 0 < x < < = 1,58 , to różnica miedzy liczbami x -
2 2 3!
1,585
x5 10
i sin x jest mniejsza niż < < < 0,1 . Zwiekszenie liczby sk
ladników
5! 5! 120
x3 x5
o 1 , tj. przybliżanie liczby sin x liczba x - + powoduje zmniejszenie b do
ledu
3! 5!
1,587
x7 1
wartości mniejszej niż < < 0,005 = . Widzimy wiec, że możemy w miare
7! 7! 200
dok znajdować wartości liczbowe sinusów stosunkowo niewielkim kosztem, przy
ladnie
czym można dok ladników nieznacznie.
ladność istotnie zwiekszyć zwiekszaja c liczbe sk
Oczywiście tego typu oszacowania sa przydatne nie tylko do rachowania, ale również
w przypadku rozważań teoretycznych. Zwróćmy jeszcze uwage na to, że jeśli interesu-
jemy sie liczbami x bliskimi 0, to w wyniku zmniejszenia |x| nie tylko b maleje,
la d
ale również b wzgledny zmniejsza sie.
la d
"

x3 x5 x7
Przyk 8.4 Z wzoru sin x = x - + - + . . . = (-1)n x2n+1 wynika
lad
3! 5! 7! (2n+1)!
n=0
9
Szeregi potegowe Micha Krych
l
natychmiast, że
"

x2 x4 x6 x2n
cos x = 1 - + - + . . . = (-1)n
2! 4! 6! (2n)!
n=0
 po prostu obliczamy pochodne obu stron wzoru (8.3) , co wolno zrobić dzieki twier-
dzeniu o pochodnej szeregu potegowego.
Przyk 8.5 Zajmiemy sie teraz dwumianem Newtona. Nie chodzi przy tym
lad
o wzór na obliczanie n -tej potegi sumy dwu liczb, bo ten by z pewnościa znany
l
przed Newtonem, na pewno zna go Pascal, a prawdopodobnie (wg. N.Bourbaki, Ele-
l
menty historii matematyki, PWN, Warszawa, 1980) by znany Arabom w wieku XIII,
l
a Chińczykom w wieku XIV. Chodzi o wzór na (1 + x)a , gdzie wyk a nie musi
ladnik
być liczba naturalna  może być dowolna liczba rzeczywista , liczba x zaś w przy-
padku dowolnego wyk
ladniki nie może być dowolna, musi mieć wartość bezwzgledna
mniejsza niż 1.
Rozpoczniemy od zdefiniowania symbolu Newtona. Jeśli a " IR oraz n " {1, 2, . . .} ,
a a
a(a-1)(a-2)...(a-n+1)
to przyjmujemy, że = . Dodatkowo = 1 dla każdej liczby
n n! 0
rzeczywistej a . Z definicji tej wynika natychmiast, że jeśli a jest liczba naturalna
a
a!
nie mniejsza niż n , to = . Oznacza to, że nasza definicja jest po prostu
n n!(a-n)!
rozszerzeniem definicji znanej ze szko Przy okazji wypada stwierdzić, że jeżeli a jest
ly.
a
liczba naturalna mniejsza niż n , to = 0 , bowiem w tym przypadku w liczniku
n
u definiuja cego symbol Newtona wystepuje liczba a - a = 0 .
lamka
a-n a+1
Z definicji symbolu Newtona i tego, że 1 + = wynika od razu, że
n+1 n+1

a a a - 1 a a a + 1
= · oraz + = . (8.5)
n n n - 1 n n + 1 n + 1
Wykażemy teraz, że jeśli |x| < 1 , to dla każdej liczby rzeczywistej a zachodzi wzór
Newtona:

"

a a a a a
(1 + x)a = + x + x2 + x3 + · · · = xn . (8.5.N)
0 1 2 3 n
n=0
Rozpoczniemy od znalezienia promienia zbieżności szeregu potegowego wystepuja cego
po prawej stronie równości (8.5.N). Znów pos
lużymy sie szeregiem geometrycznym dla
wykazania, że promień zbieżności nie jest mniejszy od 1 . Obliczamy granice ilorazu
10
Szeregi potegowe Micha Krych
l
kolejnych wyrazów szeregu zak
ladaja c, że a nie jest liczba naturalna :

a

xn+1
( )
(a-n)x
n+1

lim = lim = |x| .

a
n+1
xn
n" ( ) n"
n
Sta d wnioskujemy, że w przypadku |x| < 1 szereg jest zbieżny, bo dla dostatecznie

a
xn+1 1+|x|
( )
n+1
dużych n zachodzi nierówność < < 1 , wiec można skorzystać z wa-

a
1
xn
( )
n
1+|x|
`&
runku Cauchy ego* i ze zbieżności szeregu geometrycznego o ilorazie < 1 .
2
"

a
Obliczymy pochodna ilorazu xn (1 + x)a . Mamy
n
n=0
"
" "
a
a
a
xn (1 + x)-a = n xn-1 · (1 + x)-a - a(1 + x)-a-1 xn =
n n n
n=0 n=1 n=0
" "

a-1 a
= a (1 + x)-a-1 (1 + x) xn-1 - xn =
n-1 n
n=1 n=0
" " "

a-1 a
= a(1 + x)-a-1 a-1 xn-1 + xn - xn =
n-1 n-1 n
n=1 n=1 n=0
" " "
a-1 a
= a(1 + x)-a-1 a-1 xn + xn - xn =
n n-1 n
n=0 n=1 n=0
" " "
a-1 a
= a(1 + x)-a-1 a-1 xn + xn - xn =
n n-1 n
n=1 n=1 n=1
" "
a-1 a

= a(1 + x)-a-1 a-1 + - xn = a(1 + x)-a-1 0 · xn = 0 .
n n-1 n
n=1 n=1
Wykazaliśmy, wiec że pochodna ilorazu równa jest 0 w każdym punkcie przedzia
lu
(-1, 1) . Sta d wynika, że na tym przedziale ten iloraz jest funkcja sta wiec jego
la ,
wartość w każdym punkcie x jest taka sama jak wartość w punkcie 0, a w tym punkcie
"

a
a
wartość tego ilorazu jest równa 0n (1 + 0)a = (1 + 0)a = 1 . Wyka-
n 0
n=0

"

a
zaliśmy wiec, że dla każdego x " (-1, 1) zachodzi równość (1 + x)a = xn ,
n
n=0
czyli zrealizowaliśmy nasz plan.
"
-1
1
Zauważmy jeszcze, że dla a = -1 otrzymaliśmy wzór = xn . Czytelnik
1+x n
n=0
-1
(-1)(-2)...(-n)
bez trudu stwierdzi, że = = (-1)n , zatem otrzymana równość
n n!
*Jak w dowodzie lematu o zbieżności szeregu potegowego.
`&
W przypadku |x|>1 szereg jest rozbieżny, bowiem jego wyraz nie daży do 0 przy n-" .
11
Szeregi potegowe Micha Krych
l
" "

1
możemy zapisać jako = (-1)nxn = (-x)n . Widzimy wiec, że wzór (8.5.N)
1+x
n=0 n=0
możemy potraktować nie tylko jako uogólnienie wzoru dwumianowego pozwalaja cego
na zapisywanie w postaci sumy skończonej potegi o wyk
ladniku naturalnym sumy 2
sk
ladników, ale również jako uogólnienie wzoru na sume nieskończonego cia gu geo-
metrycznego (o ilorazie -x ).
1
"
Przyk 8.6 Zastosujemy wzór Newtona do wyrażenia = (1 - x2)-1/2 .
lad
1-x2
-1/2 -1/2 -1/2
1
"
Otrzymujemy = =1 + · (-x2) + · (-x2)2 + · (-x2)3 + . . . .
1 2 3
1-x2
Mamy też

-1/2
(-1/2)·(-3/2)·(-5/2)·...· -(2n-1)/2
· (-x2)n = · (-x2)n =
n 1·2·3·...·n

(1/2)·(3/2)·(5/2)·...· (2n-1)/2
1·3·5·...·(2n-1)
= · (x2)n = · x2n .
1·2·3·...·n 2·4·6·...·(2n)

-1/2
1·3·5·...·(2n-1)
1
Sta d wynika, że · (-x2)n = · · x2n+1 . Konsekwencja tej
n 2n+1 2·4·6·...·(2n)
równości, twierdzenia o różniczkowaniu szeregu potegowego, równości arcsin 0 = 0
1
"
oraz wzoru (arcsin x) = = jest równość
1-x2
"

1 1 1 1 · 3 1 1 · 3 · 5 · . . . · (2n - 1)
arcsin x = x+ · ·x3 + · ·x5 +· · · = · ·x2n+1 ,
3 2 5 2 · 4 2n + 1 2 · 4 · 6 · . . . · 2n
n=0
która zachodzi dla x " (-1, 1) , bo dla tych x prawa strona jest szeregiem zbieżnym
 wynika to latwo z tego, że iloraz dwóch kolejnych wyrazów ma granice x2 < 1 .

Troche trudniejszy dowód zbieżności tego szeregu dla x = ą1 opuszczamy. Ponieważ
dla x " [-1, 1] granica ilorazu dwóch kolejnych wyrazów rozpatrywanego szeregu jest
wieksza niż 1, wiec w tym przypadku szereg jest rozbieżny. Sta d wynika, że równość
w rzeczywistości zachodzi dla wszystkich x " [-1, 1] i żadnych innych. Możemy wiec
1
zastosować ja w przypadku x = . Mamy wiec
2
3 5
Ä„ 1 1 1 1 1 1 1·3 1
= arcsin = + · · + · · + · · · .
6 2 2 3 2 2 5 2·4 2
3 5
Ä„ 1 1 1 1 1·3 1
Jest oczywiste, że przybliżaja c liczbe liczba 1 + · · + · · pope
lniamy
6 2 3 2 2 5 2·4 2
b mniejszy niż suma szeregu geometrycznego, którego pierwszym wyrazem jest
la d
7 7
1 1·3·5 1 1 1 1·3·5 1 4 5
· · , a ilorazem  liczba , czyli · · · = < 0,0005 . Po-
7 2·4·6 2 4 7 2·4·6 2 3 10752
nieważ mamy do czynienia z szeregiem zbieżnym  szybciej  niż szereg geometryczny
1
o ilorazie , wiec wyd ladnik
lużenie sumy o jeden sk spowoduje przynajmniej cztero-
4
krotne zmiejszenie sie b jaki pope zastepuja c sume nieskończonego szeregu
ledu lniamy
jego suma cześciowa . Nie jest to rezultat rewelacyjny, ale jednak znacznie lepszy niż
Ä„ 1 1 1
w przypadku szeregu Leibniza = 1 - + - + · · · .
4 3 5 7
12
Szeregi potegowe Micha Krych
l
Pokazaliśmy rozwiniecia kilku najważniejszych funkcji. Wiadomo jak wygla daja
szeregi, których sumami sa inne funkcje, np. tangens. Jednak nie wszystkie rozwi-
niecia można uzyskać równie prosto, jak te które omówiliśmy wcześniej. Nie bedziemy
wg sie w te tematyke. Pokażemy jeszcze jak z już poznanych rozwinieć można
lebiać
otrzymywać inne.
x
Przyk 8.7 Znajdziemy teraz rozwiniecie funkcji w szereg potegowy
lad
x2+5x+6
o środku w punkcie 0 , a nastepnie w szereg potegowy o środku w punkcie 5 , czyli
zamiast xn wysta pi w rozwinieciu wyrażenie (x - 5)n . Mamy
x x 3 2 1 1
= = - = =
x - x
x2+5x+6 (x+2)(x+3) x+3 x+2 1-(- ) 1-(- )
3 2
" " "

n n n n
x 1 1
= -x - - = - - - xn
3 2 3 2
n=0 n=0 n=0
 to pierwsze z obiecanych rozwinieć.
Niech teraz u = x - 5 . Wtedy
x u+5 u+5 3 2 3 1 2 1
= = = - = · - · =
u u
x2+5x+6 (u+5)2+5(u+5)+6 (u+7)(u+8) u+8 u+7 8 7
1-(- )
1-(- )
8 7
" " "

n 2 n n 2 n
3 u u 3 1 1
= · - - · - = - - - (x - 5)n .
8 8 7 7 8 8 7 7
n=0 n=0 n=0
1
Otrzymaliśmy drugie z obiecanych rozwinieć. Wzór jest poprawny dla x " (-1, ) .
8 8
W obu przypadkach wyprowadzenie sprowadza sie do użycia wzoru na sume szeregu
lo
geometrycznego.
Przyk 8.8 Znajdziemy rozwiniecie funkcji cos2 x wokó punktu 0 . Mamy
lad l

1 1 1 1 1
cos2 x = (1 + cos 2x) = 2 - (2x)2 + (2x)4 - (2x)6 + · · · =
2 2 2! 4! 6!
2 23 25
= 1 - x2 + x4 - x6 + · · · .
2! 4! 6!
Ten wzór zachodzi dla wszystkich x rzeczywistych, bowiem w takim zakresie dzia
la
"

wzór, z którego skorzystaliśmy przy wyprowadzeniu: cos x = (-1)n x2n .
(2n)!
n=0
Przyk 8.9 Z twierdzenia o wzroście wyk
lad ladniczym można np. wywnioskować
" "

xn xn

latwo znany nam już wzór ex = . Można po prostu sprawdzić, że szereg
n! n!
n=0 n=0
jest zbieżny dla wszystkich liczb rzeczywistych x :
|x|n+1/(n+1)! |x|
lim = lim = 0 < 1 ,
|x|n/n! n+1
n" n"
"

xn
wiec szereg jest zbieżny dla każdego x = 0 , argument jak w dowodzie lematu

n!
n=0
o zbieżności szeregu potegowego. Teraz oznaczymy sume tego szeregu przez f(x)
13
Szeregi potegowe Micha Krych
l
i sprawdzimy, że wtedy f (x) = f(x) (prościutki rachunek) i wobec tego f(x) = Cex
dla pewnej liczby rzeczywistej C i wszystkich liczb rzeczywistych x . Pozostaje znalez
ć
sta C . Mamy 1 = f(0) = Ce0 = C .
la
"

(-1)n
Przyk 8.10 Uzasadnimy s x2n+1 i jedno-
lad luszność wzoru sin x =
(2n+1)!
n=0
"

(-1)n
cześnie wzoru cos x = x2n . Jeśli x = 0 , to

(2n)!
n=0
|x|2n+3/(2n + 3)! x2
lim = lim = 0 < 1 ,
n" n"
|x|2n+1/(2n + 1)! (2n + 2)(2n + 3)
"

(-1)n
wiec szereg x2n+1 jest zbieżny dla każdej liczby rzeczywistej x = 0 . Drugi

(2n+1)!
n=0
szereg również jest zbieżny bezwzglednie, co można uzasadnić w taki sam sposób lub
"
"

(-1)n (-1)n
zauważyć, że zachodzi wzór x2n+1 = x2n , ten szereg ostatni
(2n+1)! (2n)!
n=0 n=0
jest zbieżny jako pochodna szeregu potegowego! Mamy też
"
" "

(-1)n (-1)n (-1)n
x2n = x2n-1 = - x2n+1 , (cos x) = - sin x .
(2n)! (2n - 1)! (2n + 1)!
n=0 n=1 n=0
" "

(-1)n (-1)n
Niech f(x) = sin x- x2n+1 i g(x) = cos x- x2n , wiec f (x) = g(x)
(2n+1)! (2n)!
n=0 n=0
oraz g (x) = -f(x) dla każdej liczby rzeczywistej x . Sta d wynika, że dla każdej liczby
rzeczywistej x zachodzi równość

f(x)2 + g(x)2 = 2f(x)f (x) + 2g(x)g (x) = 2f(x)g(x) + 2g(x)(-f (x)) = 0 ,
zatem funkcja f(x)2 + g(x)2 jest sta wiec dla każdego x " R zachodzi równość
la,
f(x)2 + g(x)2 = f(0)2 + g(0)2 = 0 ,
a to oznacza, że wzory f(x) = 0 i g(x) = 0 zachodza dla każdej liczby rzeczywistej x .
W to chcieliśmy wykazać.
laśnie
Metoda, która przedstawiliśmy polega na znalezieniu zwia zku miedzy funkcja
la
i jej pochodna , nastepnie wykazaniu, że funkcji, dla których ma miejsce uzyskana
zależność jest niewiele (tu korzystaliśmy z tego, że funkcja o zerowej pochodnej jest
sta na przedziale). Wiecej na ten temat opowiemy w drugim semestrze, gdy zaj-
la
miemy sie tzw. równaniami różniczkowymi.
Zadania
"


8.01 Znalez
ć taki szereg postaci anxn , że f(x) = anxn w pewnym otoczeniu
n=0
14
Szeregi potegowe Micha Krych
l
punktu 0 , jeśli f(x) =
1 1+x 1
1. (1 + x) ln(1 + x) ; 2. ln + arctg x ;
4 1-x 2
2-2x 2x
3. arctg ; 4. arctg ;
1+4x 2-x2
12-5x
5. ; 6. arccos(1 - 2x2) ;
6-5x-x2
" "
7. x arctg x - ln 1 + x2 ; 8. x arcsin x - 1 - x2 ;
" "
9. x ln(x+ 1+x2) - 1+x2 ; 10. (1 + x)e-x ;
11. ex sin x ; 12. ex cos x ;

2
1+x
13. ln(1 - x) ; 14. ln ;
1-x

15. (1 - x)2 cosh |x| ; 16. (1 + x)-1 ln(1 + x) ;
17. (arctg x)2 ; 18. x-2(arcsin x)2 ;
19. cos2 x ; 20. sin3 x ;
x x
"
21. ; 22. ;
(1-x)(1-x2)
1-2x
23. (1 + x + x2 + x3 + x4)-1 ; 24. (1 + x + x2)-1 ;
1
"
25. sin(3x) sin(5x) ; 26. .
(1-x2) 1-x2

8.02 Przedstawić funkcje ln(2 + 2x + x2) w postaci an(x + 1)n .

1
8.03 Przedstawić funkcje (1 - x)-1 w postaci an xn .
n

x+1
8.04 Przedstawić funkcje ln x w postaci an x-1 .
n

x x
"
8.05 Przedstawić funkcje w postaci an 1+x .
1+x
8.06 Zsumować szereg
" 1 "
a. x2n+1 ; b. (-1)n 1 x2n+1 ;
n=0 2n+1 n=0 2n+1
" x2n " 1
c. ; d. xn ;
n=0 n=1
(2n)! n(n+1)
" 1·3·5·...·(2n-1) "
e. xn ; f. nxn ;
n=1 n=1
2·4·6·...·(2n)
" "
g. (-1)nn2xn ; h. n(n + 1)xn .
n=1 n=1
8.07 Znalez
ć n  ta pochodna w punkcie 0 funkcji
2
a. ex ; b. arctg(2x) .
"
f(x)
(n)
8.08 Niech f(x) = anxn dla x " R i F (x) = dla x < 1 . Znalez
ć F (0) .
n=0
1-x
8.09 Niech a0 = a1 = 1 i an+2 = an+1 + an dla n = 0, 1, 2, . . . . Definiujemy funkcje:
"

f(x) = anxn = 1 + x + 2x2 + 3x3 + 5x4 + 8x5 + 13x6 + . . .
n=0
1
Udowodnić, że f(x) = .
1-x-x2
Przedstawić funkcje f w postaci sumy szeregu potegowego o środku w punkcie 0 .
Napisać jawny wzór na an .
15