1
Szeregi potęgowe
Definicja Szeregiem potęgowym o danych współczynnikach rzeczy-
wistych a0, a1, a2, . . . i środku x0 " R nazywamy szereg funkcyjny
postaci:
"

a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)2 + . . . = an(x - x0)n.
n=0
Uwaga: tu przyjmujemy, że (x - x0)0 def 1 dla x = x0.
=
Definicja Mówimy, ze szereg potegowy jest zbieżny w punkcie
"

x = x1, jeżeli zbieżny jest szereg liczbowy an(x1 - x0)n.
n=0
2
"

Uwaga Szereg potęgowy an(x-x0)n jest zbieżny w punkcie
n=0
x = x0 a jego suma w tym punkcie jest równa a0.
Przykłąd Zbadać zbieżność szeregu:
(-4)n x2n+1
"

.
n=0 2n + 1
"

Twierdzenie (Abela) Jeżeli an xn jest zbieżny w punk-
n=0
cie x1 = 0 , to jest zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie

x " (-|x1|, |x1|) .
"

Wniosek Jeżeli an xn jest rozbieżny w punkcie x1 = 0 , to

n=0
jest rozbieżny w każdym punkcie x " (-", -|x1|) *" (|x1|, +") .
3
Definicja (Promienia zbieżności)
"

" Liczbę R > 0 nazywamy promieniem zbieżności szeregu an xn ,
n=0
jeżeli szereg ten jest zbieżny w przedziale (-R, R) i rozbieżny
w przedziałach (-", -R) *" (R, +") .
"

" Jeżeli szereg an xn jest zbieżny dla wszystkich x " R , to
n=0
przyjmujemy, że R = " .
"

" Jeżeli szereg an xn jest zbieżny tylko dla x = 0 , to
n=0
przyjmujemy, że R = 0 .
4
Twierdzenie (Cauchy ego - Hadamarda o promieniu zbieżności)
"

Jeżeli dla szeregu potęgowego an xn istnieje granica (skończona
n=0
lub nieskończona):




an+1

n


lim |an| =  lub lim = ,


n" n"

an
to promień zbieżności tego szeregu wynosi:
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ gdy 0 <  < +"
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
R =
ôÅ‚ 0 gdy  = +"
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ +" gdy  = 0.
ół
5
Uwaga Stosując podstawienie t = x - x0 szereg potęgowy
" "

an(x - x0)n sprowadzimy do postaci an tn . Zatem szereg
n=0 n=0
"

an(x - x0)n jest zbieżny w przedziale (x0 - R, x0 + R) i roz-
n=0
bieżny w przedziałach (-", x0-R)*"(x0+R, +") , gdzie promień
zbieżności R wyliczamy zgodnie z powyższym twierdzeniem.
Przykład Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego,
przedział zbieżności, oraz zbadać zbieżność na krańcach przedziału
zbieżności:
" "
(-x)n (x-5)n

"
a) b)
3n-1 n 7n (n2+7)
n=1 n=1
" "
(3n)! (2x-3)3n

x2n
c) d)
(2n)! (n)!
n=1 n=1
6
Własności szeregów potęgowych
"

Twierdzenie Jeżeli szereg potęgowy an xn ma niezerowy
n=0
promien zbieżności R, 0 < R +" , to jego suma S(x) jest funk-
cją ciągłą na przedziale (-R, R) . Ponadto jeżeli szereg jest zbieżny
na krańcach przedziału zbieżności, to suma jest w nich jednostronnie
ciągła.
Twierdzenie (O rózniczkowaniu szeregu potęgowego) Jeże-
"

li szereg potęgowy an xn ma niezerowy promien zbieżności
n=0
R, 0 < R +" , to jego suma S(x) jest funkcją różniczkowalną
oraz
" "

S (x) = ( an xn ) = n an xn-1.
n=0 n=1
7
Uwaga
" W wyniku różniczkowania otrzymaliśmy ponownie szereg potęgo-
wy o tym samym promieniu zbieżności.
" Powyższe twierdzenie można stosować dowolną ilość razy, zatem
suma S(x) ma pochodne każdego rzędu w przedziale (-R, R) .
Przykład Oblicz sumę podanego szeregu potęgowego wewnątrz
przedziału zbieżności:
"

n xn.
n=1
8
Twierdzenie (O całkowaniu szeregu potęgowego) Jeżeli szereg
"

potęgowy an xn ma niezerowy promien zbieżności R, 0 <
n=0
R +" , to jego suma S(x) jest funkcją całkowalną oraz
ëÅ‚ öÅ‚
x x
an
" "
ìÅ‚ ÷Å‚

ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"x"(-R,R) S(t) dt = an tn dt = xn+1.
íÅ‚ Å‚Å‚
n=0 n=1 n + 1
0 0
Uwaga Przedział całkowania [0, x] w powyższym twierdzeniu
można zastÄ…pić dowolnym przedziaÅ‚em [a, b] ‚" (-R, R). Wówczas
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
b b
an
" " "
ìÅ‚ ÷Å‚

ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ an xn Å‚Å‚ dx = an xn dx = xn+1 |x=b.
íÅ‚ Å‚Å‚
x=a
a a
n=0 n=0 n=1 n + 1
9
Przykład Oblicz sumę podanego szeregu potęgowego wewnątrz
przedziału zbieżności, a następnie oblicz sumy podanych szeregów
liczbowych:
xn
"

,
n=1 n (n + 1)
(-1)n 1
" "

.
n=1 n (n + 1) n=1 3n n (n + 1)