Zestaw 8. CiÄ…gi liczbowe oraz szeregi liczbowe i funkcyjne
Tw. o trzech ciągach: Jeżeli lim an = lim cn = g , a ponadto istnieje taka liczba N, że dla każdego
n" n"
n e" N spełniona jest nierówność an d" bn d" cn , to lim bn = g .
n"
n
1
ëÅ‚1+ öÅ‚
n n
Ważne granice: lim n = 1 dla a >0 lim a = 1 lim = e
ìÅ‚ ÷Å‚
n" n" n" n
íÅ‚ Å‚Å‚
1) Znalez
ć granice ciągów o wyrazie ogólnym lub wykazać że nie istnieje:
n
6n7 - n4 + 2n3 -1 1+ 2 +K+ n n 2 + n n2 +1 - n
a) b) - c) n +1 - n + 2 d) ëÅ‚ öÅ‚ e)
ìÅ‚ ÷Å‚
4
n + 2 2 3 + n
- n5 + 2 íÅ‚ Å‚Å‚
n3 + n - n
n
1 1 1 1+ (-1)n 2n 2 -1
n
1
f) + + K+ g) h) sin Ä„ n i) j) 2n + 6n +10n
2
2 n + 3
n2 +1 n2 + 2 n2 + n 2 + (-1)n
"
Warunek konieczny zbieżności szeregu: jest zbieżny, to lim an = 0
"an
n"
n=1
" Kryterium d Alemberta: Jeżeli wyrazy szeregu an są dodatnie oraz istnieje granica
"
an+1
lim = g to szereg jest zbieżny, gdy g < 1, a rozbieżny, gdy g > 1
"an
n" an
n=1
" Kryterium Cauchy ego: Jeżeli wyrazy szeregu an są nieujemne oraz istnieje granica
"
n
lim an = g to szereg jest zbieżny, gdy g < 1, a rozbieżny, gdy g > 1
"an
n"
n=1
" "
" Kryterium porównawcze: Jeżeli wyrazy szeregów i są nieujemne, i dla n>N, an # bn
"an "bn
n=1 n=1
" " " "
to zbieżny Ò! zbieżny oraz rozbieżny Ò! rozbieżny
"bn "an "an "bn
n=1 n=1 n=1 n=1
"
n
" Kryterium Leibnitza: Jeżeli ciąg an jest nierosnący i lim an = 0 , to szereg
"(-1) an jest zbieżny.
n"
n=1
" Kryterium całkowe: Jeżeli m 0 N oraz funkcja f (x) jest nierosnąca i nieujemna na przedziale +m, +",
+"
"
to f (x)dx jest zbieżna f (n) jest zbieżny.
"
+"
n=m
m
1) Zbadać zbieżność szeregów:
" " " " "
1 + n 2n n2 + 1 n! 2n " n!3n " 2 + n
n
a) , b) c) d) , e)
"11 + n " " " " " "(-1) 3 + n2
+ n2 2 + n3 2n2 + 5 nn nn
n 3n + 1
n=1 n=1 n=1 ( ) n=1 n=1 n=1 n=1
" " " " "
2n ! 2n " 2 + 3n
sin n 1 nn-1 ( )
f) ìÅ‚ ÷Å‚ h) i) k)
j)
"lnëÅ‚1 + 1öÅ‚ g) " " " " "
íÅ‚ n
nłł n n + 1 ( ) n2n 5 + n4
( ) n ln n ln ln n
()
n=1
n=1 n=1 n=3 n=1 n=1
2n2 + n
()
2) Znalez
ć przedziały zbieżności szeregów:
" " " "
x )n " )n
( - 2 4 + (-1 x - 5
n n+1
a) b) + 1 x + 3 c) d) xn f)
" "(2n )( )n "(-1) xn " "(-1) ( )n
n
n3 n 3n
n2 + n
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
" "
nn 2n ! n 3n + 2
( )n " ( )
g) x h) i) x2n
" "((x +1)n "
3n !
( ) n + 5)5n 3n
n=1
n=1 n=1
1 x
3) Rozwinąć w szereg potęgowy w punkcie x0 = 0 funkcje: a) f (x) = b) f (x) =
1 + x3 x2 - 5x + 6
x
c) f (x) = d) f(x) = arc tg x e) f(x) = ln (1 + x)
1 )
( - x 1 - x2
( )