Analiza matematyczna 1/Wykład 5: Obliczanie granic - Studia Informatyczne

/**/






/**/











Analiza matematyczna 1/Wykład 5: Obliczanie granic

From Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 1

Spis treści [schowaj]

1 Obliczanie granic
2 Liczba e
3 Arytmetyka granic niewłaściwych
4 Granice specjalne
5 Granica górna i granica dolna

if (window.showTocToggle) { var tocShowText = "pokaż"; var tocHideText = "schowaj"; showTocToggle(); }
[Edytuj]Obliczanie granic
Wykład ten jest kontynuacją poprzedniego wykładu dotyczącego
ciągów o wyrazach rzeczywistych. Wykład rozpoczynamy od
definicji liczby jako granicy pewnego ciągu.
Podajemy twierdzenia o arytmetyce granic niewłaściwych i liczymy
pewne granice specjalne.
Wprowadzamy pojęcia granicy dolnej i granicy górnej ciągu.

[Edytuj]Liczba e
Zajmiemy się teraz pewnym przykładem ciągu zbieżnego, którego
granica odgrywa ważną rolę w matematyce.


Twierdzenie 5.1. [Liczba , symbol ]


(1)
Ciąg o wyrazach

jest zbieżny.
Jego granicę oznaczamy przez przy czym


(2)
Jeśli jest ciągiem o wyrazach
dodatnich takim, że
to




W dowodzie powyższego twierdzenia wykorzystamy następujący lemat,
którego dowód indukcyjny zostawiamy jako proste ćwiczenie.
Lemat 5.2.


Dla każdego mamy


Dowód 5.2.


(Ad (1))
Krok 1. Pokażemy, że ciąg jest rosnący.
W tym celu dla dowolnego obliczymy iloraz:






Jakob Bernoulli (1654-1705)Zobacz biografięStosując nierówność Bernoullego
(patrz uwaga 2.16.)
z oraz

dostajemy



Pokazaliśmy zatem, że



czyli ciąg jest rosnący.
Krok 2.
Pokażemy, że ciąg jest ograniczony.
Ponieważ jest to ciąg liczb dodatnich, więc wystarczy pokazać,
że jest on ograniczony z góry.
Korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona
(patrz twierdzenie 1.40.), mamy


Korzystając z Lematu lematu 5.2., mamy


Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego
(patrz przyklad 1.12.),
dostajemy


Pokazaliśmy zatem, że


czyli że ciąg jest ograniczony.
Krok 3.
Ponieważ ciąg jest rosnący i ograniczony, więc
korzystając z twiedzenia 4.15., wnioskujemy, że jest on
zbieżny.
(Ad (2)) [Dowód nadobowiązkowy]
Niech

oraz
Zauważmy, że


Niech będzie dowolnym ciągiem
o wyrazach dodatnich takim, że

W celu udowodnienia naszego twierdzenia skorzystamy
z twierdzenia 3.25.(5).
W tym celu weźmy dowolny
podciąg ciągu
Wybierzmy z kolei podciąg
ciągu
który jest monotonicznie
rosnący do oraz taki, że

oraz
Dla każdego wyraz jest zawarty
w pewnym przedziale o końcach naturalnych
(przy czym ciąg jest silnie rosnący).
Korzystając z monotoniczności funkcji potęgowej oraz funkcji
wykładniczej (o podstawie większej od ), mamy


gdzie zbieżności ciągów

i

do liczby
wynikają z faktów, iż są to podciągi ciągów
i mających granicę
Zatem korzystając z
twierdzenia o trzech ciągach (twierdzenia 4.11.),
wnioskujemy, że

Ponieważ wystartowaliśmy od dowolnego podciągu
ciągu
zatem korzystając z twierdzenia 3.25.(5),
dostajemy, że



Kolejne twierdzenie będzie przydatne przy wyznaczaniu pewnych
granic ciągów.
Jego dowód jak i zastosowania pozostawione są na ćwiczenia
(patrz zadanie 5.6.).


Twierdzenie 5.3.


Jeśli
jest ciągiem liczbowym o wyrazach dodatnich
(to znaczy
),
to
(1) jeśli
to
;
(2) jeśli
to




[Edytuj]Arytmetyka granic niewłaściwych
Analogicznie do twierdzeń o "arytmetyce" granic
(twierdzenie 4.9.), można sformułować cały szereg
twierdzeń dotyczący "arytmetyki" granic niewłaściwych.
Poniższe twierdzenie zbiera informacje dotyczące granicy sumy,
różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów, gdy przynajmniej jeden z
ciągów ma granicę niewłaściwą.
Podamy dowód jednego z poniższych punktów.
Pozostałe dowody można zrobić analogicznie.


Twierdzenie 5.4. [O "arytmetyce" granic niewłaściwych]


(1)
dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i gdzie
to


(2)
dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i gdzie
to


(3)
dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i gdzie
to


(4)
dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i gdzie
to


(5)
dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i
oraz dla to


(6a)

dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i gdzie
oraz dla
to


(6b)

dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i gdzie
oraz dla
to


(7a)

dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i gdzie
oraz dla
to


(7a)

dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i gdzie
oraz dla
to


(8a)

dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i gdzie
oraz dla
to


(8b)

dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i gdzie
oraz dla
to


(9a)

dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i gdzie

to


(9b)

dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i gdzie

to


(10)

dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i gdzie

to


(11)

dla to znaczy
jeśli i są ciągami liczbowymi takimi,
że i gdzie

to




Dowód 5.4.


(Ad (1))
Załóżmy, że


Ustalmy dowolne
Ponieważ
(gdzie ),
więc ciąg jest ograniczony od dołu, to znaczy


Ponieważ
więc


Zatem dla dowolnego mamy


Ponieważ było wybrane dowolnie,
więc pokazaliśmy, że


zatem udowodniliśmy, że



Uwaga 5.5. [Symbole nieoznaczone]

Dla pewnych działań na ciągach nie można z góry przewidzieć, jaka
jest granica "wynikowa" mimo, że znane są granice
poszczególnych ciągów.
Dla przykładu rozważmy dwa ciągi i rozbieżne do
i zbadajmy ich różnicę
Okazuje się, że w zależności od konkretnych ciągów
i ich różnica może mieć granicę właściwą
lub niewłaściwą lub nie mieć granicy. Mówimy wówczas, że
jest
symbolem nieoznaczonym.
Oznacza to w szczególności, że dla takiego symbolu nie możemy
sformułować twierdzenia analogicznego do twierdzenia 5.4..
Mamy siedem takich symboli nieoznaczonych:



Przykład 5.6.


Dla każdego z powyższych symboli nieoznaczonych podamy przykłady
ciągów mających granicę, dających w wyniku wykonania wskazanych działań
ciągi o różnych granicach lub bez granicy.

















[Edytuj]Granice specjalne


Rysunek do dowodu lematu 5.7.

W następnym lemacie podamy pewne nierówności liczbowe przydatne
w następnym twierdzeniu.
Lemat 5.7.


Zachodzą następujące nierówności liczbowe:
(1)
(2)



Dowód 5.7. [nadobowiązkowy]


(Ad (1))
Wobec rysunku znajdującego się obok mamy następujące nierówności między polami:

gdzie:
oznacza pole trójkąta
oznacza pole wycinka koła
oznacza pole trójkąta
Podstawiając wzory na poszczególne pola, dostajemy:

Zatem

Zatem dla

nierówność (1) jest udowodniona.
Zauważmy, że dla zachodzi równość, natomiast dla
nierówność jest oczywista, gdyż

Zatem pokazaliśmy nierówność (1) dla dowolnego
(Ad (2))
Powróćmy raz jeszcze do wyprowadzonych w pierwszej części
nierówności

Pierwsza z powyższych nierówności implikuje, że

Druga z powyższych nierówności implikuje, że











Zatem łącząc dwie otrzymane nierówności, dostajemy


przy czym


(gdzie wykorzystaliśmy udowodnioną już nierówność ).
Zatem ostatecznie


skąd dostajemy dowodzoną nierówność


Podamy teraz granice pewnych funkcji specjalnych.
Znajomość tych granic będzie przydatna do rozwiązywania zadań.


Twierdzenie 5.8. [Granice specjalne]


(1)



(2)
jeśli oraz to
;






Wykres ciągu



Wykres ciągu



(3)
jeśli to
;
(4)
jeśli to
;






Wykres ciągu



Wykres ciągu



(5)
;
(6)
jeśli to







Wykres ciągu



Wykres ciągu



(7)
.
(8)

gdzie
jest dowolnym ciągiem takim, że






Wykres ciągu



Wykres ciągu




Dowód 5.8. [nadobowiązkowy]


(Ad (1))
Gdy to mamy do czynienia z symbolem
(z ). Z twierdzenia 5.4. (11)
wynika, że
Gdy to ciąg jest stały oraz

Gdy to mamy do czynienia z symbolem
(z ). Z twierdzenia 5.4. (10)
wynika, że
(Ad (2))
Niech dla
Liczymy


Ponieważ więc
Korzystając z twierdzenia 5.3., wnioskujemy,
że
(Ad (3))
Na początku policzmy granicę ciągu gdzie
(gdzie ).
Policzmy


Z (1) wiemy, że ostatni ciąg dąży do zatem

Korzystając z Twierdzenia twierdzenia 5.3.,
wnioskujemy, że

Z kolei korzystając z twierdzenia 4.9. (7),
wnioskujemy, że

(Ad (4))
Przypadek
Gdy
Wówczas jest ciągiem niemalejącym i
ograniczonym, zatem zbieżnym
(z twierdzenia 4.15.) oraz


(patrz twierdzenie 4.14.).
Zatem
a więc


Pokażemy, że Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

Wówczas przechodząc do granicy w powyższej nierówności dostajemy


sprzeczność z założeniem, że
Zatem i

Przypadek
Gdy
Wówczas
więc z udowodnionej już części dostajemy, że


skąd wynika, że
(Ad (5))
Ustalmy dowolny
Oznaczmy
Ponieważ


zatem


Korzystając z (4), wiemy, że
zatem


Niech
Wówczas dla dowolnego mamy


czyli


Ponieważ było dowolne, więc pokazaliśmy, że


zatem

(Ad (6))
Gdy to mamy znany nam ciąg geometryczny zbieżny do
zera (patrz przykład 3.22.).
Gdy to ciąg jest ciągiem stałym, którego
wszystkie wartości wynoszą zatem
Gdy to dla dowolnej liczby ustalając
dla każdego mamy


zatem pokazaliśmy, że


co oznacza, że
Gdy to zauważmy, że
oraz (dla dowolnego ).
Zatem ciąg nie ma granicy
(ani właściwej ani niewłaściwej).
(Ad (7))
Wykorzystamy tu lemat 5.7.
Podstawiając

w nierówności z lematu, mamy


Ponieważ
więc
korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach,
mamy


a zatem


co należało dowieść.
(Ad (8)) Ponieważ
więc od pewnego miejsca wyrazy ciągu
są w przedziale

to znaczy


Z lematu 5.7
wnioskujemy zatem, że


Ponieważ mamy
więc
korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach,
mamy


a zatem


co należało dowieść.


[Edytuj]Granica górna i granica dolna


Ciąg mający trzy punkty skupienia

Jak już wiemy nie wszystkie ciągi mają granicę.
Na przykład ciągi
i nie mają granic
nawet niewłaściwych.
Zauważmy jednak, że z tych ciągów można wybrać podciągi,
które mają granice
(właściwe lub niewłaściwe)
(na przykład i ).
Co więcej,
z poprzedniego wykładu
(patrz wniosek 4.18.)
wiemy, że z każdego ciągu liczbowego można wybrać podciąg
posiadający granicę
(właściwą lub niewłaściwą).
Takie , które są granicami jakichś podciągów danego
ciągu
będziemy nazywać punktami skupienia wyjściowego ciągu.
Postawmy następującą definicję.
Definicja 5.9.


Niech będzie ciągiem.
(1)
Mówimy, że jest
punktem skupienia ciągu
jeśli istnieje podciąg
taki, że

(2)
Granicą dolną ciągu nazywamy



gdzie jest zbiorem punktów skupienia ciągu
(3)
Granicą górną ciągu nazywamy




gdzie jest zbiorem punktów skupienia ciągu


Wykres ciągu

{{przyklad|5.10.||
Obliczyć granicę dolną i górną dla ciągu
gdzie

Ponieważ

(patrz twierdzenie 5.8. (7)),
oraz
zatem jedynymi punktami skupienia ciągu są liczby
i
Zatem



Dla ciągów zbieżnych zarówno granica górna jak i granica dolna
są równe granicy.
Okazuje się, że jest również na odwrót,
to znaczy, jeśli policzymy granicę dolną i granicę górną
i okaże się, że są sobie równe,
to ten ciąg jest zbieżny.
Dokładniej, zachodzi następujące twierdzenie.


Twierdzenie 5.11.


Jeśli

jest ciągiem liczbowym,
to
ma granicę
wtedy i tylko wtedy, gdy




Dowód 5.11. [nadobowiązkowy]


Niech będzie ciągiem liczbowym.
"":
Jeśli to dla dowolnego podciągu
ciągu także

(patrz twierdzenie 3.25.).
Zatem jedynym punktem skupienia ciągu jest
oraz


co należało pokazać.
"":
Załóżmy teraz, że

Oznacza to w szczególności, że jest jedynym punktem
skupienia ciągu
Przypadek Załóżmy, że
Należy pokazać, że


Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że


Możemy wówczas skonstruować podciąg
ciągu
którego elementy nie leżą w przedziale
w następujący sposób:


Z Wniosku wniosek 4.18. wiemy, że z tego ciągu można wybrać
podciąg mający granicę
(właściwą lub niewłaściwą).
Oczywiście ,
czyli
Zatem otrzymaliśmy sprzeczność z faktem, że jest jedynym
punktem skupienia ciągu

Przypadek i Załóżmy, że lub
Dowód w tych dwóch przypadkach jest podobny do dowodu
przypadku i pozostawiamy go jako ćwiczenie.





Źródło: "http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_5:_Obliczanie_granic"







if (window.isMSIE55) fixalpha();

Nawigacja


Strona główna
Przedmioty
Uczelnie
O nas
MIMINF
MIMMAT





Szukaj



 



Napisz do nas

[e-mail]






Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 18:05, 16 sty 2007; Tę stronę obejrzano 26339 razy; O Wikipedii Disclaimers





_uacct = "UA-321791-4";
urchinTracker();