Obliczanie granic ciągów liczbowych
Poniżej podamy sposób obliczania typowych granic ciągów liczbowych. Wszystkie rachunki
wykonamy za pomocą kalkulatora ClassPad 300 Plus.
Przykład 1. Obliczyć granicę
lim(�5n4 -� 3n3 +� 2n -�1)�
n��Ą�
Jest to granica z wielomianu; wyciągamy największą potęgę przed nawias:
3 2 1
��
lim(�5n4 -� 3n3 +� 2n -�1)�=� lim n4ć�5 -� +� -�
�� ��
n��Ą� n��Ą�
n n3 n4 ł�
Ł�
Tak więc, wyrażenie w nawiasie dąży do 5, zaś wyrażenie przed nawiasem dąży do Ą� , czyli
lim(�5n4 -� 3n3 +� 2n -�1)�=� Ą�
n��Ą�
Przykład 2. Obliczyć granicę
2n4 -� 5n3 +� 2n2 -� 7n -�1
lim
n��Ą�
3n4 +� 2n2 -� 8n +�11
W przypadku ilorazu dwóch wielomianów, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę
zmiennej z mianownika, czyli w tym przypadku przez n4 :
5 2 7 1
2 -� +� -� -�
n n2 n3 n4
lim
n��Ą�
2 8 11
3 +� -� +�
n2 n3 n4
Tak więc, wszystkie składniki licznika za wyjątkiem 2 i wszystkie składniki z mianownika za
wyjątkiem 3 dążą do zera, czyli
2n4 -� 5n3 +� 2n2 -� 7n -�1 2
lim =�
n��Ą�
3n4 +� 2n2 -� 8n +�11 3
Uwaga. A
atwo zauważyć, że jeżeli licznik i mianownik są wielomianami tego samego stopnia,
to granica jest ilorazem współczynników przy najwyższych potęgach wielomianu z licznika i
wielomianu z mianownika.
Przykład 3. Obliczyć granicę
-� 5n3 +� 2n2 -�1
lim
n��Ą�
3n4 +� 2n2 -� 8n +� 2
W przypadku ilorazu dwóch wielomianów, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę
zmiennej z mianownika, czyli w tym przypadku przez n4 :
5 2 1
-� +� -�
n n2 n4
lim
n��Ą�
2 8 2
3 +� -� +�
n2 n3 n4
Tak więc, wszystkie składniki licznika i wszystkie składniki z mianownika za wyjątkiem 3 dążą do
zera, czyli
-� 5n3 +� 2n2 -�1
lim =� 0
n��Ą�
3n4 +� 2n2 -� 8n +� 2
Uwaga. A
atwo zauważyć, że jeżeli licznik jest wielomianem stopnia niższego niż mianownik,
to granica jest zawsze równa zero.
Przykład 4. Obliczyć granicę
5n3 +� 2n2 -�1
lim
n��Ą�
3n2 -� 8n +� 2
W przypadku ilorazu dwóch wielomianów, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę
zmiennej z mianownika, czyli w tym przypadku przez n2 :
1
5n +� 2 -�
n2
lim
n��Ą�
8 2
3 -� +�
n n2
Tak więc, licznik dąży do Ą� i wszystkie składniki z mianownika za wyjątkiem 3 dążą do zera, czyli
5n3 +� 2n2 -�1
lim =� Ą�
n��Ą�
3n2 -� 8n +� 2
Uwaga. A
atwo zauważyć, że jeżeli licznik jest wielomianem stopnia wyższego niż mianownik,
to granica jest zawsze równa Ą� ze znakiem plus lub minus, który zależy od znaku ilorazu
współczynników przy najwyższych potęgach licznika i mianownika.
-� 5n3 +� 2n2 -�1 5n3 +� 2n2 -�1 -� 5n3 +� 2n2 -�1
lim =� -�Ą� lim =� -�Ą� lim =� Ą�
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
3n2 -� 8n +� 2 -� 3n2 -� 8n +� 2 -� 3n2 -� 8n +� 2
Przykład 5. Obliczyć granicę
4n +� 3
lim
n��Ą�
3n +� 4
Licznik i mianownik są funkcjami wykładniczymi, dzielimy każdy składnik przez 3n :
n
4 3
ć� ��
+�
�� ��
3 3n
Ł� ł�
lim
n��Ą�
4
1+�
3n
4n +� 3
lim =� Ą�
n��Ą�
3n +� 4
Przykład 6. Obliczyć granicę
lim(� n2 +� n -� n2 -� n)�
n��Ą�
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: (a -� b)(a +� b) =� a2 -� b2 , zatem
2 2
(� n2 +� n)� -�(� n2 -� n)� 2n 2n
lim =� lim =� lim
n��Ą� n��Ą� n��Ą�
1 1 1 1
n2 +� n +� n2 -� n
n2(1+� ) +� n2(1-� ) n 1+� +� n 1-�
n n n n
Po skróceniu przez n dostajemy
2
lim
n��Ą�
1 1
1+� +� 1-�
n n
czyli ostatecznie
2
lim(� n2 +� n -� n2 -� n)�=� =�1
n��Ą�
1+�1
Sprawdz
my:
Przykład 7. Obliczyć granicę przy x różnym od zera
ć� 1 1 1 1 ��
��
lim�� +� +� +� ... +� ��
��
n��Ą�
x(x +�1) (x +�1)(x +� 2) (x +� 2)(x +� 3) (x +� n -�1)(x +� n)
Ł� ł�
Zauważmy, że
zatem
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
�� ��
limć� -� +� -� +� -� +� ... +� -� =� limć� -�
�� �� �� ��
n��Ą� n��Ą�
x x +�1 x +�1 x +� 2 x +� 2 x +� 3 x +� n -�1 x +� n x x +� n
Ł� ł� Ł� ł�
Ostatecznie
ć� 1 1 1 1 �� 1
��
lim�� +� +� +� ... +� �� =�
��
n��Ą�
x(x +�1) (x +�1)(x +� 2) (x +� 2)(x +� 3) (x +� n -�1)(x +� n) x
Ł� ł�