Przykład 10.3. Obliczenie wartości obciążenia granicznego układu belko-
wo-słupowego
Obliczyć wartość obciążenia granicznego qgr działającego na poniższy układ.
3
q
2ql
3
1
2 2
1
Ãpl = 300 MPa
l l
D 2 D 2 l
l = 2 m
1-1 2-2 3-3
1
4
4
[cm]
Do obliczeń przyjąć, że materiał z jakiego wykonane są pręty jest jednakowy, zaś pręt nr 2 jest
zabezpieczony przed wyboczeniem.
RozwiÄ…zanie
W celu znalezienia obciążenia granicznego rozpatrzymy kinematycznie możliwe schematy zni-
szczenia, dla każdego z nich obliczając odpowiadające mu obciążenie zapewniające równowagę
układu. Obciążeniem granicznym qgr będzie najmniejsze z tak obliczonych obciążeń.
Uplastycznienie prętów 1 i 3 następuje w wyniku zginania, w przypadku pręta 2 uplastycznie-
nie spowodowane jest siłą osiową.
Odpowiednie wielkości charakterystyczne przekrojów prętów mają wartości:
4 · 82
p1
Wpl = = 64 cm3
4
4 · 42
p3
Wpl = = 16 cm3
4
Ap2 = 1 cm2
Tak więc momenty zginające, które powodują uplastycznienie prętów 1 i 3 są odpowiednio
1
1
4
8
równe:
p1 p1
Mpl = Ãpl · Wpl = 300 · 103 · 64 · 10-6 = 19,2 kNm
p3 p3
Mpl = Ãpl · Wpl = 300 · 103 · 16 · 10-6 = 4,8 kNm
Do uplastycznienia pręta 2 dochodzi, gdy siła normalna w tym pręcie ma wartość
p2
Spl = Ãpl · Ap2 = 300 · 103 · 1 · 10-4 = 30 kN
Rozpatruje się uplastycznienie tych przekrojów prętów 1 i 3, w których występują ekstrema
momentów zginających, bądz
też w pręcie nr 2, na który działa obciążenie osiowe.
Poniższy rysunek przedstawia układ rozłożony na pojedyncze pręty. Zaznaczono na nim rów-
nież schematycznie punkty, w których można spodziewać się powstania przegubów (punkt B
oznacza punkt należący do pręta 3, odpowiadający miejscu występowania lokalnego ekstremum
momentu zginajÄ…cego).
q
B A
S
S
S
2ql
S
D C
l l
D 2 D 2 l
Przy konstruowaniu kinematycznie dopuszczalnych schematów zniszczenia należy pamiętać, że
należy przyjmować kierunek przemieszczenia układu w taki sposób, aby praca sił zewnętrznych
na tych przemieszczenia była dodatnia. Jednocześnie praca sił wewnętrznych musi być ujemna,
a co za tym idzie, przyjęte momenty plastyczne muszą mieć takie zwroty, aby przeciwdziałać
założonym obrotom.
2
Schemat I - uplastycznienie przekrojów A i B
q
B A
p3
Mpl
p3
p3
S
Mpl Mpl
x
l
Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy
´ ´ ´ ´
p3 p3
q · x · + q · (l - x) · - Mpl · - 2 · Mpl · = 0 =Ò!
2 2 x l - x
p3
Mpl
ql 1 2 l + x
p3
=Ò! = + Mpl =Ò! q = 2
2 x l - x x (l - x) l
Nieznaną wartość x można łatwo obliczyć korzystając z faktu, że długość odcinka x musi
dq(x)
odpowiadać minimalnej wartości obciążenia q, tak więc = 0. Stąd
dx
p3
Mpl
dq (x) x (l - x) - (l + x) (l - 2x)
= 0 =Ò! 2 = 0 =Ò!
dx l
x2 (l - x)2
p3
lx - x2 - l2 + 2lx - lx + 2x2 Mpl
=Ò! 2 = 0 =Ò!
l
x2 (l - x)2
p3
x2 + 2lx - l2 Mpl
=Ò! 2 = 0 =Ò! x2 + 2lx - l2 = 0
x2 (l - x)2 l
pierwiastek z " jest równy
" " "
" = 4l2 + 4l2 = 2 2l
dq(x)
Stąd = 0 dla następujących wartości x:
dx
"
"
-2l - 2 2l
x1 = = - 2 + 1 l
2
"
"
-2l + 2 2l
x2 = = 2 - 1 l
2
Uwzględnienie faktu, że x musi mieć wartość z przedziału (0, l) prowadzi do odrzucenia roz-
wiązania x1, jako niespełniającego warunków zadania. Tak więc
"
x = x2 = 2 - 1 l
3
´
Obciążenie q odpowiadające rozpatrywanemu schematowi zniszczenia ma zatem wartość
"
p3 p3
Mpl Mpl
l + 2 - 1 l
l + x
q = 2 = 2 " " =
x (l - x) l l
2 - 1 l l - 2 - 1 l
" " "
p3 p3 p3
Mpl Mpl 2 2 Mpl
2 2
= 2 " " = 2 " " = " =
l2 2 2 - 2 - 2 + 2 l2 3 2 - 4 l2
2 - 1 2 - 2
" "
"
p3 p3 p3
"
Mpl 12 + 8 2 Mpl Mpl
2 2 3 2 + 4
= " " = = 2 3 + 2 2 =
l2 18 - 16 l2 l2
3 2 - 4 3 2 + 4
"
"
12 3 + 2 2
4,8 kN
= 2 3 + 2 2 = H" 13,99
22 5 m
Schemat II - uplastycznienie przekroju A i pręta 2
q
A
p3
Mpl
p2
S = Spl
p2
S = Spl
p2
S = Spl
l
Wartość, odpowiadającego schematowi uplastycznienia, obciążenia q obliczamy z warunku ze-
rowania się sumy momentów obliczanej względem punktu A.
p2 p3
Spl Mpl 30 4,8
l kN
p2 p3
Spl · l - q · l · + Mpl = 0 =Ò! q = 2 + 2 = 2 + 2 = 32,4
2 l l2 2 22 m
4
Schemat III - uplastycznienie przekrojów A i C
q
A
2ql
p3
Mpl
C
p1 p1
Mpl Mpl
l l
D 2 D 2 l
Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy
´ ´ ´ ´
p1 p3
2ql · + q · l · - 2 · Mpl · - Mpl · = 0 =Ò!
2 2 l l
p1 p3
2Mpl + Mpl
3
=Ò! ql = =Ò!
2 l
p1 p3
2 2Mpl + Mpl 2 (2 · 19,2 + 4,8)
kN
=Ò! q = = = 7,2
3l2 3 · 22 m
Schemat IV - uplastycznienie przekrojów A i D
q
A
2ql
p3
Mpl
D
p1 p1
Mpl Mpl
l l
D 2 D 2 l
5
´
´
Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy
l
´
3
1 l ´ ´ l
p1 p1 p3
2
2ql · ´ + q · l · · ´ - Mpl · - Mpl · - Mpl · = 0 =Ò!
3 l 3
2 l l l
2 2 2
p1 p3
Mpl 2 Mpl
7 8
=Ò! ql = + =Ò!
3 3 l 3 l
p1 p3
2 4Mpl + Mpl 2 (4 · 19,2 + 4,8) 204
kN
=Ò! q = = = H" 5,83
7l2 7 · 22 35 m
Schemat V - uplastycznienie przekroju C i pręta 2
p2
S = Spl
p2
S = Spl
2ql p2
S = Spl
C
p1 p1
Mpl Mpl
l l
D 2 D 2 l
Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy
p1 p2
2Mpl + Spl l
´ ´ 2 · 19,2 + 30 · 2
p2 p1
2ql · - Spl · ´ - 2 · Mpl · = 0 =Ò! q = = =
2 l l2 22
kN
= 24,6
m
6
´
Schemat VI - uplastycznienie przekroju D i pręta 2
p2
S = Spl
p2
S = Spl
2ql p2
S = Spl
D
p1 p1
Mpl Mpl
l l
D 2 D 2 l
Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy
l ´ ´
p2 p1 p1
2ql · ´ - Spl · ´ - Mpl · - Mpl · = 0 =Ò!
3 l 3
l l
2 2 2
p1
Mpl 2 p2
8
=Ò! 2ql = + Spl =Ò!
3 l 3
p1 p2
4Mpl + Spl l
4 · 19,2 + 30 · 2 kN
=Ò! q = = = 11,4
3l2 3 · 22 m
7
´
Schemat VII - uplastycznienie przekrojów C i D
q
2ql
D C
p1
Mpl
p1 p1
Mpl Mpl
l l
D 2 D 2 l
Z równania pracy wirtualnej otrzymujemy
p1
Mpl
´ 19,2 kN
p1
2ql · ´ - 3 · Mpl l = 0 =Ò! q = 3 = 3 · = 14,4
l2 22 m
2
Poszukiwana wartość obciążenia granicznego qgr jest równa najmniejszej spośród obliczonych
wartości q, czyli
"
12 3 + 2 2
204
qgr = min H" 13,99; 32,4; 7,2; H" 5,83; 24,6; 11,4; 14,4 =
5 35
204 kN kN
= H" 5,83
35 m m
zaś konstrukcja przekształca się w mechanizm wg schematu IV.
Sprawdz
my, czy uzyskane rozwiązanie jest rozwiązaniem zupełnym.
q
gr
G
2q l
A HA
gr
p3
Mpl
VA
E
F
HE C
DM p1
p1
VE Mpl pl
RF
l l
D 2 D 2 l
8
´
W celu wyznaczenia reakcji dokonano następujących obliczeń:
l
p p3
MG = 0 =Ò! VA · l - Mpl - qgr · l · = 0 =Ò!
2
204
· 22
35
=Ò! VA · 2 = 4,8 + =Ò!
2
48 408 12 · 7 + 204
=Ò! 2VA = + =Ò! VA = =Ò!
10 35 35
288
=Ò! VA = kN H" 8,23kN
35
l
g p3
MC = 0 =Ò! VA · l - Mpl - qgr · l · + HA · |CG| = 0 =Ò!
2
p
=Ò! MG + HA · |CG| = 0 =Ò!
=Ò! 0 + HA · |CG| = 0 =Ò! HA = 0
Px = 0 =Ò! HE = HA =Ò! HE = 0
l 2 · 19,2
p1
l
MD = 0 =Ò! VE · - Mpl = 0 =Ò! VE = =Ò!
2 2
=Ò! VE = 19,2kN
Py = 0 =Ò! VE - 2qgrl - qgrl + VF + VA = 0 =Ò!
204 288
=Ò! VE = -19,2 + 3 · · 2 - =Ò!
35 35
192 6 · 204 - 288
=Ò! VE = - + =Ò!
10 35
96 936
=Ò! VE = - + =Ò!
5 35
-96 · 7 + 936 264
=Ò! VE = =Ò! VE = kN H" 7,54kN
35 35
Siła normalna w pręcie nr 2 jest więc równa
204 288 120 24
p2
S = qgr · l - VA = · 2 - = = kN H" 3,43kN < Spl = 30kN
35 35 35 7
Stąd wykresy siły normalnej i tnącej mają postać:
3,43
N
.kN
(-)
9
x
T
19,2
3,43
(+)
(-)
(+)
8,23
(-)
(-)
4,11
.kN
7,54
Zerowanie się wykresu siły tnącej w odległości x od podpory A świadczy o występowaniu
w tym miejscu lokalnego ekstremum momentu zginajÄ…cego.
288
VA 72
35
VA - qgr · x = 0 =Ò! x = =Ò! x = =Ò! x = m H" 1,41m
204
qgr 51
35
x
p3
Mmax = VA · x - Mpl - qgr · x · =Ò!
2
288 72 204 72 36
=Ò! Mmax = · - 4,8 - · · =Ò!
35 51 35 51 51
6912 24 3456
=Ò! Mmax = - - =Ò!
595 5 595
120
=Ò! Mmax = kNm H" 1,01kNm
119
4,8
1,01
M
1,41 m
.kNm
15,09
19,2
Warunki plastyczności są spełnione (|M| 19,2kNm w przypadku pręta nr 1 i |M| 4,8kNm
w przypadku pręta nr 3 oraz |S| Spl w przypadku pręta nr 2). Oznacza to, że otrzymane
rozwiązanie jest rozwiązaniem zupełnym, ponieważ spełnia wszystkie równania: warunki kine-
matyczne, równania równowagi i warunki plastyczności. Przewidując, że dany schemat zni-
szczenia odpowiada obciążeniu granicznemu wystarczy wyznaczyć siły przekrojowe i spraw-
dzić, czy spełniają one warunki plastyczności. Wyznaczenie sił przekrojowych nie zawsze jest
proste, ponieważ nieruchoma cześć układu może pozostać układem statycznie niewyznaczal-
nym.
10