XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Marian KLASZTORNY1
Kazimierz MYÅšLECKI2
Czesław MACHELSKI3
Monika PODWÓ RNA4
ANALIZA DYNAMICZNA TYPOSZEREGU BELKOWYCH
MOSTÓW STALOWYCH OBCI
ŻONYCH POCI
GIEM
PORUSZAJ
CYM SI
Z DUŻYMI PR
DKOÅšCIAMI
1. Wstęp
Jednotorowe, swobodnie podparte, belkowe mosty stalowe, z pełnościenną konstrukcją no-
śną i pomostem zamkniętym, były szeroko stosowane na liniach kolejowych w ubiegłym
stuleciu. W związku z modernizacją wielu linii kolejowych na świecie, w celu dostosowania
ich do ruchu pociągów z prędkościami do 300 km/h, aktualny staje się problem modelowania
fizycznego i matematycznego układu most  tor  pociąg ruchomy (MTP).
Dotychczas, dynamiczne zachowanie układów MTP było badane eksperymentalnie lub
symulowane na dość prostych modelach liniowych, m.in. [1-5]. W niniejszej pracy przepro-
wadzono analizę dynamiczną typoszeregu belkowych mostów stalowych, o rozpiętościach
l = 15-30 m, obciążonych pociągiem poruszającym się z prędkościami 100-300 km/h. W
modelu układu MTP uwzględniono m.in. szybkozmienną konfigurację, tłumienie geome-
tryczne oraz nieliniowe fizycznie elementy, tj. podsypkę i łączniki szyn z podkładami. Ana-
lizę ograniczono do drgań w pionowej płaszczyz
nie quasi-symetrii układu, pokrywającej się
z osią toru. Celem analizy jest określenie przydatności mostów rozpatrywanego typu do
przenoszenia obciążeń poruszających się z dużymi prędkościami.
2. Modelowanie fizyczne i matematyczne układu most  tor  pociąg ruchomy
Układ MTP można podzielić na cztery podukłady inercyjne, tj. stalową konstrukcję nośną
mostu (KN), szyny na moście i w strefach dojazdowych do mostu (S), podkłady na moście
i w strefach dojazdowych (P) oraz zbiór mas resorowanych pojazdów szynowych (MR).
1
Dr hab. inż., prof. PW, Zakład Mechaniki Instytutu Mechaniki i Konstr. Pol. Warszawskiej
2
Dr inż., Zakład Wytrzymałości Materiałów Instytutu Inżynierii Lądowej Pol. Wrocławskiej
3
Dr inż., Zakład Mostów Instytutu Inżynierii Lądowej Politechniki Wrocławskiej
4
Mgr inż., Zakład Dynamiki Budowli Instytutu Inżynierii Lądowej Politechniki Wrocławskiej
86
Modelem fizycznym stalowej konstrukcji nośnej mostu jest balastowana, odcinkowo
pryzmatyczna belka Eulera, wykonana z materiału liniowo lepkosprężystego. Schemat mo-
delu podukładu KN pokazano na rys. 1, gdzie: li  długość i-tego zestawu nakładek; mi 
masa na jednostkę długości, odniesiona do i-tego zestawu nakładek; Ii  centralny moment
bezwładności przekroju porzecznego przy zginaniu w płaszczyz
nie pionowej, odniesiony do
i-tego zestawu nakładek. Drgania belki aproksymowano globalnie szeregiem sinusowym.
Szyny bezstykowe modelowane są przez liniowo lepkosprężystą belkę Eulera, odkształ-
calną giętnie, zarówno na obiekcie mostowym, jak i w strefach dojazdowych do mostu. Do
dyskretyzacji podukładu S zastosowano klasyczne belkowe elementy skończone zginane, o
czterech stopniach swobody. Węzły dyskretyzacji pokrywały się z lokalizacją podkładów.
Tłumienie geometryczne uwzględniono w sposób przybliżony, wprowadzając zewnętrzne
sztuczne tłumienie wiskotyczne nadkrytyczne, o współczynniku ca, w skrajnych elementach
skończonych. Poza strefami dojazdowymi do mostu założono, że tor jest niepodatny.
Współczesne łączniki szyn z podkładami, stosowane na liniach szybkiego ruchu, mają
najczęściej formę łapek sprężystych i podkładek polietylenowych. Modelem fizycznym
łącznikó w są skupione więzi lepkosprężyste, z nieliniową charakterystyką sprężystą pokaza-
ną na rys. 2, gdzie: kc  sztywność na ściskanie, kt  sztywność na rozciąganie układu łączni-
kó w na jednym podkładzie, mr  masa pary szyn (z łącznikami) na jednostkę długości.
Uwzględniono statyczne obciążenie wstępne łącznikó w. Więzi zlokalizowane są nad pod-
kładami, rys. 3. Podkłady strunobetonowe są odwzorowane przez masy skupione, drgające
pionowo.
Rys. 1. Schemat konstrukcji nośnej mostu Rys.2. Charakterystyka sprężysta
łączników szyn z podkładami
Warstwa podsypki tłuczniowej jest modelowana przez gęsty zbiór nieliniowych fizycz-
nie więzi sprężysto-tłumiących, zlokalizowanych pod podkładami, rys. 3. Więzi reagują
tylko na ściskanie i wykazują własności tłumiące zbliżone do tarcia suchego, proporcjonal-
nego do nacisków dynamicznych podkładów na podsypkę. Nieliniowe charakterystyki więzi
odwzorowującej odcinek podsypki o długości równej rozstawowi podkładów d, z uwzględ-
nieniem statycznego obciążenia wstępnego, przedstawiono na rys. 4, gdzie: kb  sztywność
podsypki na Å›ciskanie, Gb  statyczne obciążenie wstÄ™pne, µ  współczynnik tarcia suchego.
W celu zapewnienia zbieżności procesu numerycznego całkowania równań ruchu układu
MTP, charakterystykę tłumią cą uciąglono za pomocą sztucznego tłumienia wiskotycznego
nadkrytycznego w wÄ… skim przedziale (-, ).
Modele matematyczne, odpowiadające modelom fizycznym podukładów KN, S,
szczegółowo sformułowano w pracy [3]. Wzory definiujące siły interakcji, przenoszone
przez łączniki szyn z podkładami i podsypkę, podano w pracy [6].
87
Większość superszybkich pociągów pasażerskich składa się z pojazdów szynowych na
niezależnych dwuosiowych wózkach jezdnych [7]. Płaski model pojazdu szynowego można
wówczas przyjąć w postaci układu o sześciu stopniach swobody, opisanego szczegółowo w
pracach [3, 5, 6]. Zestawy kołowe odwzorowane są przez ruchome masy skupione, przy
czym pominięto siły bezwładności tych mas w ruchu pionowym. Ramy wózków jezdnych
(Å‚Ä…cznie z silnikami trakcyjnymi) oraz nadwozie modelowane sÄ… jako sztywne tarcze,
 sztywno prowadzone w kierunku osi toru. Zawieszenia pierwszego i drugiego stopnia sÄ…
liniowymi więziami lepkosprężystymi.
W niniejszej pracy przyjęto obciążenie ruchome mostu w postaci pociągu typu Shinkansen,
złożonego z powtarzalnych jednostek napędowych, powszechnie stosowanego na liniach japoń-
skich [2]. Założono, że prędkość pociągu v jest stała. Formuły określające dynamiczne interakcje
przenoszone przez zawieszenia pojazdów podano w pracy [6]. Macierzowe ró wnania ró wnowagi
dynamicznej podukładów układu MTP wyznaczono, stosując metodę sformułowaną w monogra-
fii [3] i rozwiniętą w pracach [5, 6]. W metodzie tej wykorzystuje się równania Lagrange a oraz
stosuje się zapis równań równowagi dynamicznej częściowo w niejawnej postaci, z siłami inte-
rakcji jako niewiadomymi pośrednimi. Są to interakcje przenoszone przez zawieszenia pojazdów
szynowych, łączniki szyn z podkładami oraz podsypkę.
Rys. 3. Odcinek toru bezstykowego:
1  belka modelujÄ…ca szyny,
2  więzi modelujące łączniki
szyn z podkładami,
3  podkłady,
4  więzi modelujące podsypkę
tłuczniową, Rys. 5. Przekrój poprzeczny mostu SB15
5  płyta pomostowa. w środku rozpiętości
Wynikowe równania ruchu układu MTP mają postać
&&
Boqo = Fo
Å„Å‚
ôÅ‚B qr + + Ca & + K qr = Fr
&&
(ºK )qr r
ôÅ‚
r r
(1)
òÅ‚
&&
ôÅ‚Bsqs = Fs
ôÅ‚Bbqb + ºKbqb + Kbqb = Fb
&& &
ół
gdzie: qo,qr ,qs ,qb - podwektory współrzędnych uogó lnionych, opisujące drgania podu-
kładów MR, S, P, KN; Bo  macierz bezwładności podukładu MR; Br , Kr  macierz bez-
88
władności i sztywności podukładu S; Ca  macierz tłumienia wynikająca ze sztucznego tłu-
mienia nadkrytycznego, w obszarze skrajnych elementów skoÅ„czonych podukÅ‚adu S; º 
czas retardacji dla stali; Bs  macierz bezwładności podukładu P; Bb, Kb  macierze bez-
władności i sztywności podukładu KN; Fo, Fr , Fs , Fb  podwektory obciążeń uogólnionych
podukładów MR, S, P, KN. Sprzężenie równań (1) jest ukryte w wektorach prawych stron,
wyrażonych przez zbiory interakcji liniowych (zawieszenia pojazdów) i nieliniowych (łącz-
niki szyn z podkładami, podsypka). Szczegółowa struktura macierzy i wektorów występują-
cych w równaniach (1) została podana w pracach [3, 6].
Sprzężone ze sobą równania (1) opisują nieliniowe drgania nieustalone, quasi-ustalone
i swobodne układu MTP, w pionowej płaszczyz
nie quasi-symetrii układu. Opracowano proce-
durę rekurencyjno-iteracyjną numerycznego całkowania tych równań, z częściowym wykorzy-
staniem bezwarunkowej stabilności metody średniego przyspieszenia Newmarka [6].
Rys. 4. Charakterystyka sprężysta i tłumiąca odcinka podsypki o długości d
3. Analiza dynamiczna typoszeregu belkowych mostów stalowych
Opracowano typoszereg belkowych mostów stalowych, o pełnościennej konstrukcji nośnej, z
pomostem zamkniętym, jednotorowych i jednoprzęsłowych [8], zgodnie z polskimi normami
[9, 10]. Typoszereg obejmuje sześć obiektów, o analogicznej geometrii przekroju poprzecz-
nego, pokazanej na rys. 5. Wartości podstawowych parametrów mostów tworzących typo-
szereg podano w tablicy 1, gdzie W3 oznacza wskaz
nik zginania dla włókien dolnych w
środku rozpiętości belek głównych. Belki główne mają trzy zestawy nakładek, dla wszyst-
kich obiektów określone przez wzory
l1 = l , l2 = 0.70l , l3 = 0.45l , I1 = 0.56I3 , I2 = 0.84I3 . (2)
Z przeprowadzonych symulacji drgań swobodnych podukładu most  tor (MT) wyni-
ka, że jest mu przyporządkowana podstawowa częstotliwość quasi-liniowych drgań swobod-
nych, którą można szacować ze wzoru
Ä„ EI3
f1 H" 0.925 , (3)
2l2 m3
gdzie E = 206 GPa jest modułem Younga dla stali.
W układzie MTP podukład MT jest poddany działaniu periodycznego wymuszenia parame-
trycznego i siłowego [3]. Prędkości krytyczne pociągu, którym odpowiadają rezonanse siłowe
podstawowego układu modalnego podukładu MT można prognozować ze wzoru [5]
89
bo f1
vcr,i = 3.6 [km/h] , (4)
i
gdzie i jest numerem składowej harmonicznej wymuszenia siłowego. Prognozowane warto-
ści prędkości krytycznych pociągu typu Shinkansen, odpowiadające obiektom mostowym
wymienionym w tablicy 1, zestawiono w tablicy 2.
Tablica 1. Typoszereg belkowych mostów stalowych [8]
Kod mostu l m3 I3 W3
m kg/m m4 m3
SB15 15 5380 0.0428 0.0558
SB18 18 5780 0.0658 0.0750
SB21 21 6170 0.0967 0.1005
SB24 24 6520 0.1406 0.1280
SB27 27 6650 0.1936 0.1580
SB30 30 6770 0.2688 0.1990
Tablica 2. Prognozowane prędkości krytyczne pociągu Shinkansen dla typoszeregu mostów
Kod mostu f1 v
Hz km/h
i=1 i=2 i=3
SB15 8.27 744 372 248
SB18 6.87 617 309 206
SB21 5.92 533 266 178
SB24 5.32 479 239 160
SB27 4.88 439 220 146
SB30 4.62 415 208 139
Symulacje procesów dynamicznych i quasi-statycznych w układzie MTP zostały wy-
konane przy założeniu toru ustabilizowanego, w okresie letnim. W skład toru wchodzą szyny
UIC 60, łączniki typu SB 3 oraz podkłady strunobetonowe PS 94. Wartości średnie parame-
trów fizycznych toru, opisujące nieliniowy model przyjęty w niniejszej pracy, oszacowano
na podstawie danych zawartych m.in. w pracach [3,11-14] i zestawiono poniżej:
mr = 130 kg/m , Ir = 6110 cm4 , º = 0.00025s ,
kc = 120 MN/m , kt = 32.5 MN/m , c = 16 kNs/m , d = 0.60 m , ms = 294 kg ,
f
kb = 165 MN/m , kbz = 90 MN/m , µ = 0.36 ,
gdzie: Ir  moment bezwładności pary szyn, przy zginaniu w płaszczyz
nie pionowej; cf 
współczynnik tłumienia lepkiego łączników przypadających na jeden podkład; ms  masa
podkładu, kbz  sztywność podsypki na ściskanie na odcinku d, w strefach dojazdowych do
mostu, z uwzględnieniem podatności podtorza. Parametry l', ca,  estymowano na podstawie
symulacji testowych. Przyjęto l' = 8 m , ca = 500 kNs/m/m ,  = 0.05 m/s. Dalsze zwiększa-
nie l', ca lub zmniejszanie  zmienia odpowiedz
dynamiczną podukładu KN o mniej niż 1%.
Wartości parametrów fizycznych pojazdów szynowych, wchodzących w skład pociągu Shin-
kansen, są m.in. zestawione w pracach [2, 5]. Przyjęto liczbę pojazdów N=12.
90
Drgania układu MTP były symulowane z wykorzystaniem własnego programu użytkowego
DYRAB [15]. Program służy do symulacji układu MTP w warunkach dynamicznego i quasi-
statycznego przejazdu pociągu przez most. Postprocesor programu umożliwia graficzną wizuali-
zację dynamicznych i quasi-statycznych przebiegów czasowych ugięć oraz naprężeń normalnych
w skrajnych włóknach belek głównych, w dowolnym przekroju poprzecznym. Jedna seria obli-
czeń na PC 1.3 GHz trwa 1  15 minut, w zależności od parametrów wejścia.
Przeprowadzono studyjną analizę dynamiczną obiektów mostowych z tablicy 1, obciążo-
nych pociągiem Shinkansen, poruszającym się z prędkościami v=100  300 km/h. Analizowano
odpowiedz
dynamiczną i quasi-statyczną podukładu KN, w zakresie przebiegów czasowych
ugięć i naprężeń normalnych oraz współczynników dynamicznych ugięć i naprężeń.
Na rys. 6 pokazano wykresy współczynnika dynamicznego dla naprężeń normalnych w
dolnych włóknach w środku rozpiętości belek głównych, obliczanego z klasycznego wzoru
max Ãd (t)
AÃ = , (5)
max Ãs(t)
gdzie Ãd(t), Ãs(t)  dynamiczny i quasi-statyczny przebieg czasowy naprężeÅ„.
Przebiegi czasowe naprężeń w najbardziej niekorzystnym przypadku, t.j. dla mostu
SB15 obciążonego pociągiem poruszającym się z prędkością v=250 km/h, przedstawiono na
rys. 7. Rysunek ten ilustruje jednocześnie grafikę generowaną przez program DYRAB.
Na podstawie przeprowadzonych symulacji dynamicznych i quasi-statycznych ukła-
dów MTP, częściowo zilustrowanych na rys. 6, 7, sformułowano następujące wnioski dla
belkowych mostów stalowych rozpatrywanego typu:
" Prędkości krytyczne pociągu Shinkansen, odpowiadające rezonansowi siłowemu
podstawowego układu modalnego podukładu MT, wywołanemu przez podstawową
składową harmoniczną wymuszenia siłowego, są praktycznie nieosią galne.
" Teoretyczna prognoza prędkości krytycznych pociągu Shinkansen, odpowiadają-
cych rezonansowi siłowemu podstawowego układu modalnego, wywołanemu przez
trzecią składową harmoniczną wymuszenia siłowego, w większości przypadków
została potwierdzona przez symulacje drgań.
" Liczba N=12 jest wystarczająca do wyznaczenia drgań quasi-ustalonych mostu.
" Mosty małych rozpiętości (l = 12 -15 m) nie są dostosowane do przenoszenia ob-
ciążeń poruszających się z prędkościami v= 240  300 km/h. Mogą wówczas wy-
stÄ…pić stany rezonansowe, którym odpowiadajÄ… współczynniki dynamiczne AÃ > 2 .
Prowadzi to do zmęczenia niskocyklowego nakładek belek głównych.
" W przypadku dużych prędkości pociągów (v = 160  300 km/h) najbardziej ko-
rzystne są mosty średnich rozpiętości (l = 21  30 m). Jest to związane przede
wszystkim ze zmniejszaniem się amplitud wymuszenia podukładu MT ze wzrostem
rozpiętości. Ponadto wzrasta moc tłumienia przez podsypkę w tych mostach.
" Współczynniki dynamiczne dla ugięć KN są o kilka procent mniejsze lub równe
współczynnikom dynamicznym dla naprężeń normalnych w KN.
" Największe współczynniki dynamiczne dla naprężeń normalnych odpowiadają
przekrojowi w środku rozpiętości przęsła.
" Pod względem jakościowym, przebiegi czasowe naprężeń dynamicznych w istotny
sposób zależą od położenia analizowanego przekroju KN.
" Opracowane nieliniowe modele fizyczne układu MTP są dość złożone i zbliżają
prognozowane teoretycznie drgania układu do drgań w układach rzeczywistych.
91
Rys. 6. Wykresy współczynnika dynamicznego dla naprężeń normalnych w dolnych włók-
nach belek głównych obiektów mostowych zestawionych w tablicy 1
Rys. 7. Dynamiczny i quasi-statyczny przebieg czasowy naprężeń normalnych w dolnych
włóknach belek głównych mostu SB15, obciążonego pociągiem Shinkansen z v=250 km/h
92
Literatura
[1] FRYBA L., Vibrations of solids and structures under moving load. Academia, Praha, 1972.
[2] MATSUURA A., Dynamic behaviour of bridge girder for high speed railway bridge.
RTRI Quarterly Reports. 1979, Vol. 20, No. 2.
[3] KLASZTORNY M., Drgania jednotorowych mostów kolejowych wywołane ruchem
pociągów poruszających się z dużymi prędkościami. WPWr, Wrocław, 1987.
[4] NIEMIERKO A., Some design and performance problems related to behaviour of
bridge structures on high speed railway lines. Arch. Civil Eng., 1996, Vol.42, No.4,
pp.401-423.
[5] KLASZTORNY M., Vertical vibrations of a multi-span beam steel bridge induced by a
superfast passenger train. Structural Eng. & Mechanics. 2001, Vol.12, No.3, pp. 267-281.
[6] KLASZTORNY M. & PODWÓ RNA M., New computational algorithms in dynamics
of bridge  track  moving train system. CD Proc. 2nd European Conf. on Computational
Mechanics, Cracow (Poland). 2001, Minisymposium 28. Paper No 110: 1-20.
[7] ROMANISZYN Z., WOLFRAM T., Nowoczesny tabor szynowy. IPS PK, Kraków, 1997.
[8] MACHELSKI Cz., Typoszereg stalowych mostów kolejowych. Raport serii SPR
Nr135/01. Instytut Inżynierii Lądowej PWr, Wrocław, 2001.
[9] PN-82/S-10052. Obiekty mostowe. Konstrukcje stalowe. Projektowanie.
[10] PN-85/S-10030. Obiekty mostowe. Obciążenia.
[11] AHLBECK, D.R., MEACHAM H.C & PRAUSE R.H., The development of analytical
models for railroad track mechanics. Proc. Symp. on Railroad Track Mechanics. Perga-
mon Press, 1975, 239-263.
[12] DUKKIPATI R.V. & AMYOT J.R., Computer aided simulation in railway dynamics.
New York  Basel: Marcel Dekker, Inc, 1988.
[13] ESVELD C., Modern railway track. Germany, 1989.
[14] KRUŻYC
SKI M., PIOTROWSKI A., PODWÓ RNA M., Badania doświadczalne wy-
cinka toru kolejowego. Raport serii SPR Nr1/02, IIL PWr, Wrocław, 2002.
[15] KLASZTORNY M., MYŚLECKI K., Program komputerowy DYRAB do obliczeń dy-
namicznych mostów kolejowych. Raport Nr IMiK/4/1999. IMiK PW, Warszawa, 1999.
DYNAMIC ANALYSIS OF A SERIES-OF-TYPES OF STEEL BEAM
BRIDGES LOADED BY A TRAIN MOVING AT HIGH SPEEDS
Summary
A planar, physical and mathematical, nonlinear model of the bridge  track  moving train
system has been presented. The theory is related to single-track, simply-supported bridges,
with a steel beam superstructure and a ballasted closed platform. A series-of-types of the
bridges undertaken has been designed in accordance with Polish codes. The dynamic and
quasi-static responses of the bridges to a Shinkansen train moving at velocity v = 100  300
km/h have been simulated, using own computer software. Practical usability of steel beam
bridges on high speed railway lines has been verified.
Praca została wykonana w ramach projektu badawczego Nr 8 T07E 024 20, finansowanego
w latach 2001  2003 przez Komitet Badań Naukowych.