�ż

Rozdział 3 Analiza statyczna i dynamiczna wybranych mostów. 3.1 Cel i zakres analizy numerycznej.










To jest wersja
html pliku http://www.wbi.budmedia.pl/pdfs/141.pdf.G o o g l e
automatycznie generuje wersję html dokumentu podczas indeksowania
Sieci.Aby utworzyć łącze lub zakładkę do tej strony, użyj
następującego adresu url:
http://www.google.com/search?q=cache:1eaDeqhrpTAJ:www.wbi.budmedia.pl/pdfs/141.pdf+wyznaczenie+logarytmicznego+dekrementu&hl=pl
Google nie jest w żaden sposób związany z
autorami tej strony i nie odpowiada za jej
treść.





Znalezione
słowa zostały podświetlone: 
wyznaczenie 
logarytmicznego 
dekrementu 


.goohl0 {
COLOR: black; BACKGROUND-COLOR: #ffff66
}
.goohl1 {
COLOR: black; BACKGROUND-COLOR: #a0ffff
}
.goohl2 {
COLOR: black; BACKGROUND-COLOR: #99ff99
}











Page 1
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

Rozdział 3

Analiza
statyczna i dynamiczna wybranych mostów.
3.1 Cel i
zakres analizy numerycznej.
Przeprowadzone
przy pomocy programu komputerowego ABAQUS 6.3
obliczenia, miały
na celu uzyskanie charakterystycznych wielkości
statycznych i
dynamicznych, odpowiadających poszczególnym konstrukcjom,
takich jak:

- deformacja
konstrukcji,
- maksymalne
ugięcie,
- rozkład
naprężeń,
- spektrum
częstości drgań własnych,
- odpowiadające
postaci drgań własnych.
Obliczenia
wykonane zostały w zakresie liniowej teorii sprężystości.
3.2 Opis
modeli numerycznych.
Wybrane obiekty
to następujące kamienne mosty łukowe:
- Pont du Gard,

- Puente Viejo,

- Pont Royal,

- Ponte Santa
Trinita,
W dwóch
przypadkach zostały wprowadzone do numerycznych obliczeń
w postaci
jednorodnych, masywnych brył, a w pozostałych dwóch
wyodrębniono
część konstrukcyjną (kamień) oraz część wypełniającą
(materiał
luźny).
Wymiary
geometryczne modeli nie są dokładnym odwzorowaniem
rzeczywistych
wymiarów mostów. Przyjęto je na podstawie informacji
zawartych w
literaturze oraz zdobytych przez autorów materiałów
archiwalnych
[40]. Pozwalają one jednak na dokonanie, z wystarczającą
dokładnością,

oszacowania

wybranych

wielkości

statycznych

i dynamicznych.







Page 2
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

Wprowadzone
warunki brzegowe mają na celu jak najlepsze
odwzorowanie
tych rzeczywistych. W miejscach posadowienia na
fundamencie
przyjęto sztywne zamocowanie, natomiast kontakt konstrukcji
z nabrzeżem
zamodelowano jako podparcie nieprzesuwne z możliwością
obrotu w
dowolnym kierunku.
Geometrycznym
modelom nadano cechy fizyczne przez wprowadzenie
charakterystyk:

- ciężaru
własnego,
- modułu
sprężystości,
- współczynnika
Poissona,
- wytrzymałości
na ściskanie.
Powyższe
wielkości są wielkościami odpowiadającymi wbudowanym
w poszczególne
konstrukcje materiałom lub zbliżonymi, odpowiadającymi
materiałom z
danej epoki, stosowanym w okolicy analizowanego obiektu.
Wybrane
konstrukcje poddano działaniu ciężaru własnego oraz
obciążenia
umownego przyjętego, z powodu braku bliższych informacji
o rzeczywistych
obciążeniach, na podstawie polskich wytycznych zawartych
między innymi w
[35], [36].
Szczegóły
dotyczące tych obciążeń zamieszczone są w poszczególnych
przykładach.

W ostatnim
etapie dokonano podziału na przestrzenne elementy
skończone typu
tetragonalnego, zawarte w bibliotekach programu, oznaczone
jako TET C3D4
(rys. 3.1).
Rys. 3.1
Element typu TET C3D4.
Tak przygotowane
modele, poddano analizie numerycznej.






Page 3
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

3.3
Wprowadzenie do numerycznych obliczeń dynamicznych.
Konstrukcja
mostu to przestrzenny układ ciągły, zbudowany
z materiałów
odkształcalnych, o nieskończonej liczbie stopni swobody.
W zastosowanej
do obliczeń metodzie elementów skończonych, układ ciągły
zastąpiony
zostaje układem dyskretnym o skończonej liczbie stopni swobody.
Dyskretyzacja
układu jest pewnym przybliżeniem, pozwalającym na
określenie, z
wystarczającą do celów inżynierskich dokładnością, wartości
i
odpowiadających im postaci drgań własnych. Układ dyskretny jest
takim
układem, w
którym równania ruchu są wyrażone za pomocą zbioru równań
różniczkowych
zwyczajnych dla skończonej liczby poszukiwanych funkcji

jednej zmiennej
rzeczywistej – czasu
n
q
q
q
,...,
,
2
1
t .

Macierzowe
równanie ruchu układu dyskretnego ma postać:
)(t
F
q
K
q
C
q
B
=
�
+
�
+
�
&
&&
(1)
gdzie:

q -
wektor uogólnionych współrzędnych Lagrange’a
B -
macierz bezwładności
C -
macierz tłumienia
K -
macierz sztywności
)(t
F
- wektor
obciążenia
Zagadnienie
własne, dotyczące drgań swobodnych nietłumionych, opisuje
ruch układu
dynamicznego bez sił wymuszających
)(t
F i bez
uwzględnienia
tłumienia
C. Stąd równanie (1) przyjmuje postać:
0
=
�
+
�
q
K
q
B
&&
(2)
gdzie:

0 – wektor
zerowy
Ruch jest
spowodowany warunkami początkowymi tj. nadaniem układowi
początkowego
przemieszczenia lub początkowej prędkości.
0
)0
(
q
q
=
0
)0
(
q
q
&
&
=
(3)
Po przyjęciu
założenia, że drgania własne są ruchem harmonicznym,
rozwiązania
równania (2) z warunkami początkowymi (3), poszukuje
się
w postaci
funkcji harmonicznych o częstości
ω
i fazie
początkowej
ϕ
:
)
sin(
)(
ϕ
ω
+
�
�
=
t
q
t
q
(4)






Page 4
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

gdzie:

q -
wektor amplitud drgań własnych, reprezentujący kształt
przemieszczeń
elementów
masowych układu w kierunku współrzędnych uogólnionych
Po podstawieniu
(4) i jego drugiej pochodnej do równania (2) otrzymuje się:
0
)
sin(
)
(
2
=
+
�
�
�
+
�
�ł
ϕ
ω
ω
t
q
K
B
(5)
Równanie (5)
musi być spełnione dla dowolnej chwili czasu t , dlatego

upraszcza się
do:
0
)
(
2
=
�
�
�ł
q
B
K
ω
(6)
Jest to układ
liniowych, jednorodnych równań algebraicznych, który ma
rozwiązanie
tylko wówczas, gdy:
0
)
det(
2
=
�
�ł
B
K
ω
(7)
Po rozwinięciu
powyższego wyznacznika, otrzymuje się wielomian n-tego
stopnia
względem
2
ω
, dla układu
mającego n dynamicznych stopni swobody.
Równanie (7)
nazywa się równaniem charakterystycznym zagadnienia
własnego
(równaniem częstości), którego pierwiastkami są częstości kołowe
drgań własnych

n
ω
ω
ω
,...,
,
2
1
.
Wektor utworzony
ze zbioru częstości uporządkowanych w kolejności
wartości
rosnących, nazywa się wektorem częstości, a pierwszą
częstość
1
ω
częstością
podstawową. Każdej częstości
i
ω
odpowiada takie
rozwiązanie
i
w
q
=
(8)
że:

0
)
(
2
=
�
�
�ł
i
i
w
B
K
ω
(9)
Wektor

opisuje
odkształconą postać układu dynamicznego drgającego
z daną
częstością drgań własnych
i
w
i
ω
.
Algorytm
zaimplementowany w programie ABAQUS 6.3 wykorzystuje
do obliczeń
częstości i postaci drgań własnych numeryczną metodę Lanczosa,
polegającą na
budowie i przekształceniach macierzy do postaci
trójprzekątniowej
oraz rozwiązaniu układu równań dla określonej liczby
elementów
skończonych.






Page 5
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

3.4 Tłumienie
drgań mostów.
Wielkości
tłumienia w rozważanych konstrukcjach mostów.
Tłumienie drgań
odgrywa istotną rolę w diagnostyce konstrukcji
mostowych, gdyż
ogranicza drgania wywołane wpływami obciążeń
zewnętrznych
zarówno użytkowych, eksploatacyjnych jak i wywołanych
obciążeniami sił
przyrody jak wiatr, trzęsienie ziemi, nagłe zmiany
klimatyczne.
Fizycznym przejawem tłumienia jest zmniejszanie się amplitud
drgań, którego
bezpośrednią przyczyną jest dysypacja energii mechanicznej
ruchu
konstrukcji. Określenie tłumienia wykorzystuje interpretację
zmniejszania się
amplitudy i wyraża się pojęciem logarytmicznego
tłumienia
drgań .

�ą
1
ln
+
n
n
a
a
Rys. 3.2
Amplitudy drgań do wyznaczenia logarytmicznego
dekrementu tłumienia.

1
ln
+
=
�ą
n
n
a
a
(10)

Wzór ten wynika
z rozwiązania równania drgań o jednym stopniu swobody
z modelem
tłumienia Kelvina-Voigta to jest proporcjonalnego do prędkości
drgań. Dla
konstrukcji określa się �ą z bezpośrednich pomiarów drgań przy
odpowiednim
wzbudzeniu i już dość bogaty jest zasób informacji
pomiarowych
tłumienia z różnych konstrukcji, w tym mostowych. Trwają
badania wpływu
tłumienia, które określa się w kilku działaniach:
a) ujęcie teorii
samego zjawiska tłumienia układów technicznych,






Page 6
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

b) opis efektów
tłumienia i ustalenia jego modeli fizycznych,
c) powiązanie
efektów tłumienia z konkretnymi, głównymi właściwościami
konstrukcji
inżynierskich jak:
- materiałem i
jego strukturą,
- typem
konstrukcji, tak generalnym jak i szczegółowym, np. kształt,
połączenia,
podparcia,
- ograniczeniami
i wpływami wewnętrznymi i zewnętrznymi.
d) możliwość
regulacji efektów tłumienia przez dodatkowe zabiegi
technologiczne,
konstrukcyjne lub kształtowaniu układów w aspekcie
regulacji
tłumienia oraz wprowadzanie dodatkowych urządzeń tłumiących.
Opis fizyczny
tłumienia drgań mostów musi uwzględniać wymienione trzy
czynniki to jest
materiał (tłumienie materiałowe wewnętrzne), rodzaj
konstrukcji,
kształt połączenia, podparcia (tłumienie konstrukcyjne
wewnętrzne) oraz
tłumienie wynikające z zewnętrznych oporów ruchu (opór
powietrza-
tłumienie aerodynamiczne, opór ośrodka – np. tarcie, dodatkowe
ograniczenia
kinematyczne.)
Omawiając
generalnie materiał konstrukcji mostowych to z badań wynika,
że największe
tłumienie występuje przy konstrukcjach murowanych (�ą od
0,15 do 0,35),
następnie żelbetowych (�ą od 0,10 do 0,30), sprężonych (�ą od
0,05 do 0,20),
drewnianych (�ą od 0,07 do 0,20) do stalowych ( od 0,015
do 0,20). Widać
bardzo duże rozrzuty wartości. Można je wyrażać również
miarą tzw.
ułamka tłumienia krytycznego lub miarą dysypacji energii
(por. [29]).

�ą
W
W
�ą
=
ψ
(11)
Dodatkową
okolicznością jest sztywność mostu i tak najmniejsze tłumienie
wykazują kładki
dla pieszych, mosty wiszące, wantowe a największe sztywne
mosty murowane
sklepione. W literaturze spotyka się i wyższe wartości
(np. do

). Nie są one
jednak potwierdzone wieloma badaniami
i zwykle
wynikają z dodatkowych okoliczności np. więzy.
50
,0
=
�ą
Opisując drgania
tłumione konstrukcji mostowych stosuje się różne równania
(wzory).







Page 7
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

Najczęściej
równanie dla układu o jednym stopniu swobody
0
2
2
=
�
+
�
+
�
y
C
dt
dy
dt
y
d
m
κ
(12)

Po
przekształceniach oraz podstawieniu do (12)

2
ω
=
m
C
(13)

ε
κ
�
= 2
m
(14)

otrzymujemy:

0
2
2
2
2
=
�
+
�
�
+
y
dt
dy
dt
y
d
ω
ε
(15)

Stąd wyznaczamy
rozwiązanie:
)
sin
cos
(
)(
2
2
2
2
2
1
t
C
t
C
e
t
y
t
�
�ł
�
+
�
�ł
�
=
�
�ł
ε
ω
ε
ω
ε
(16)

Drugie
najczęściej stosowane równanie dla układu dyskretnego o wielu
stopniach
swobody ma postać:
0
)(
2
2
=
�
+
�
+
�
t
y
K
dt
dy
C
dt
y
d
M
(17)

Macierze M, C, K
mają wymiar liczby stopni swobody i są macierzami
symetrycznymi,
kwadratowymi. W przypadku drgań wymuszonych
(lub
wzbudzonych), prawa strona równania przyjmuje postać
F
p
(t), to
jest
macierzy
kolumnowej (wektora). Macierz C jest przedstawiana różnymi
opisami. Często
stosuje się tzw. tłumienie Rayleigha
K
M
C
�
+
�
=
2
1
κ
κ
(18)

Co ujmuje
równanie (17) zastępując opis tłumienia macierzami mas M
i sztywności K.







Page 8
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

Należy jeszcze
wspomnieć o zwiększeniu drgań mostów w przypadku
rezonansu (rys.
3.3) oraz stosowanym pojęciu współczynnika dynamicznego,
który wyraża się
wzorem:
Zs
t
Zd
t
)(
)(
=
β
(19)

Zwykle jednak
chodzi o wartość maksymalną:
Zs
Zd
t
max
max
)(
=
β
(20)

Rys. 3.3
Zwiększenie drgań w rezonansie dla kolejnych częstości własnych
n
i
Szczegółowe
objaśnienia i meandry stosowania tego wzoru podane są
w literaturze
(np. [11], [29])
W przypadkach
mostów należy uzależnić tłumienie od kierunku i typu drgań
(postaci).
Zwykle tłumienie drgań pionowych jest większe od poziomych.
Wielkość
tłumienia zmienia się od największych drgań podłużnych poprzez
drgania giętne
do skrętnych, przy czym oddzielnego rozpatrzenia wymagają
drgania
osobliwe, np. parametryczne (przy działaniu wiatru).
Podsumowując w
omawianych siedmiu mostach można z pewnym
przybliżeniem
przyjąć następujące tłumienia:
5 �Ź

konstrukcja
kamienna łukowa
35
,0
30
,0
�ł
≈
�ą
y
10 �Ź

konstrukcja
kamienna łukowa
30
,0
≈
�ą
y
20 �Ź

konstrukcja
kamienna łukowa
25
,0
≈
�ą
y
20
,0
≈
�ą
ϕ
50 �Ź

konstrukcja
kamienna łukowa
25
,0
≈
�ą
y






Page 9
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

100 �Ź
konstrukcja kamienna łukowa
15
,0
≈
�ą
y
10
,0
≈
�ą
ϕ
200 �Ź
konstrukcja żeliwna łukowa
12
,0
≈
�ą
y
500 �Ź
konstrukcja wantowa
07
,0
≈
�ą
y
05
,0
≈
�ą
x
03
,0
≈
�ą
ϕ
dodatkowo inne
jest tłumienie drgań wantów.
Przy ustrojach
o wielu stopniach swobody na ogół dla wyższych postaci
drgań
zwiększają się tłumienia, tak że generalnie dla danej konstrukcji mostu

nie ma jednej
wartości współczynnika tłumienia i jest to przedmiotem
prowadzonych
wielu pomiarów i badań doświadczalnych.






Page 10
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

3.5 Przykład
1 - Pont du Gard.
Dane
materiałowe.
Rodzaj

Ciężar
właściwy
[kg/m
3
]

Moduł Younga

[GPa]
Współczynnik

Poissona

Wytrzymałość
na ściskanie

[MPa]
Wapień
żółty
1800
40,0
0,3
10
Liczba
elementów MES: 115477
Liczba węzłów
MES: 30037
Siatka MES
przedstawiona na rysunku 3.5
Układ dyskretny
posiada 90111 stopni swobody.
Przybliżony
czas obliczeń numerycznych: 9 min
Obliczenia
statyczne przeprowadzono dla 3 wariantów obciążenia:
a) ciężar
własny,
b) ciężar
własny + ciężar płynącej w korycie wody,
c) ciężar
własny + ciężar płynącej w korycie wody + umowne parcie wiatru.
Wartości i
sposób przyłożenia obciążenia:
- ciężar
własny: konstrukcja 1800 [kg/m
3
]

- ciężar
płynącej w korycie wody: 10 [kN/m
2
]
- umowne parcie
wiatru: 2,5 [kN/m
2
],
prostopadle do płaszczyzny mostu.
Rys. 3.4
Schemat obciążenia mostu.






Page 11
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

Wyniki obliczeń
statycznych:
a) ciężar
własny
Deformacja
konstrukcji
por. Rys.
3.6
Przemieszczenia
pionowe U
2
por. Rys.
3.7
Maksymalna
strzałka ugięcia pionowego [mm]
0,86
Rozkład
naprężeń normalnych S
11
por. Rys.
3.8
Maksymalne
naprężenie ściskające [MPa]
3,30
b) ciężar
własny + ciężar płynącej w korycie wody
Deformacja
konstrukcji
por. Rys.
3.9
Przemieszczenia
pionowe U
2
por. Rys.
3.10
Maksymalna
strzałka ugięcia pionowego [mm]
0,87
Rozkład
naprężeń normalnych S
11
por. Rys.
3.11
Maksymalne
naprężenie ściskające [MPa]
3,33
c) ciężar
własny + ciężar płynącej w korycie wody + umowne parcie
wiatru
Deformacja
konstrukcji
por. Rys.
3.12
Przemieszczenia
pionowe U
2
por. Rys.
3.13
Maksymalna
strzałka ugięcia pionowego [mm]
1,11
Przemieszczenia
poziome U
3
por. Rys.
3.14
Maksymalna
strzałka wychylenie z płaszczyzny [mm]
3,38
Rozkład
naprężeń normalnych S
11
por. Rys.
3.15
Maksymalne
naprężenie ściskające [MPa]
4,91
Wyniki
obliczeń dynamicznych.
Obliczone
wartości częstości drgań własnych.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
]
[Hz
n
i
2,24
2,87
3,85
4,98
6,23
7,64
9,14
9,72
9,91 10,61
10,85 12,26
]
/
[
s
rad
i
ω
14,06 18,00
24,17 31,30 39,16 47,98 57,43 61,10 62,27 66,64 68,16
77,00
Odpowiadające
im postaci drgań przedstawiają rysunki od 3.16 do 3.27.
Podstawowa
postać drgań ma charakter giętnego wychylenia z płaszczyzny
konstrukcji.
Podobnie postaci od 2 do 8. Postać 9 to drgania podłużne
w płaszczyźnie
konstrukcji, natomiast kolejne to przestrzenne drgania giętno
skrętne. Biorąc
pod uwagę stosunek wymiarów przekroju poprzecznego do
długości mostu,
można stwierdzić, że otrzymane postaci są prawidłowe.







Page 12
Rys. 3.5
Siatka MES.






Page 13
Rys. 3.6
Deformacja konstrukcji przy obciążeniu ciężarem własnym
[m].






Page 14
Rys. 3.7
Przemieszczenia pionowe U
2
przy
obciążeniu ciężarem własnym [m].






Page 15
Rys. 3.8
Rozkład naprężeń normalnych S
11
przy
obciążeniu ciężarem własnym [kPa].






Page 16
Rys. 3.9
Deformacja konstrukcji przy obciążeniu: ciężarem własnym, płynącą w korycie wodą
[m].






Page 17
Rys. 3.10
Przemieszczenia pionowe U
2
przy
obciążeniu: ciężarem własnym, płynącą w korycie wodą
[m].






Page 18
Rys. 3.11
Rozkład naprężeń normalnych S
11
przy
obciążeniu: ciężarem własnym, płynącą w korycie wodą
[kPa].






Page 19
Rys. 3.12
Deformacja konstrukcji przy obciążeniu: ciężarem własnym, płynącą w korycie
wodą, parciem wiatru [m].






Page 20
Rys. 3.13
Przemieszczenia pionowe U
2
przy
obciążeniu: ciężarem własnym, płynącą w korycie wodą, parciem wiatru
[m].






Page 21
Rys. 3.14
Przemieszczenia poziome U
3
przy
obciążeniu: ciężarem własnym, płynącą w korycie wodą, parciem wiatru
[m].






Page 22
Rys. 3.15
Rozkład naprężeń normalnych S
11
przy
obciążeniu: ciężarem własnym, płynącą w korycie wodą, parciem wiatru
[kPa].






Page 23
Rys. 3.16
Pierwsza postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 24
Rys. 3.17
Druga postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 25
Rys. 3.18
Trzecia postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 26
Rys. 3.19
Czwarta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 27
Rys. 3.20
Piąta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 28
Rys. 3.21
Szósta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 29
Rys. 3.22
Siódma postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 30
Rys. 3.23
Ósma postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 31
Rys. 3.24
Dziewiąta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 32
Rys. 3.25
Dziesiąta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 33
Rys. 3.26
Jedenasta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 34
Rys. 3.27
Dwunasta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 35
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

3.6 Przykład
2 – Puente Viejo.
Dane
materiałowe.
Rodzaj

Ciężar
właściwy
[kg/m
3
]

Moduł Younga

[GPa]
Współczynnik

Poissona

Wytrzymałość
na ściskanie

[MPa]
Kamień
*
1800
12
0,3
12
*
Autorzy nie
dotarli do informacji na temat zastosowanego materiału.
Przyjęto
charakterystyki materiałowe dostępne w literaturze.

Liczba
elementów MES: 185711
Liczba węzłów
MES: 40060
Siatka MES
przedstawiona na rysunku 3.29
Układ dyskretny
posiada 120180 stopni swobody.
Przybliżony
czas obliczeń numerycznych: 14 min
Obliczenia
statyczne przeprowadzono dla 3 wariantów obciążenia:
a) ciężar
własny,
b) ciężar
własny + obciążenie umowne,
c) ciężar
własny + obciążenie umowne + umowne parcie wiatru.
Wartości i
sposób przyłożenia obciążenia:
- ciężar
własny: konstrukcja 1800 [kg/m
3
]

- obciążenie
umowne: 5 [kN/m
2
],
równomiernie rozłożone na jezdni mostu,
100 [kN],
skupione w środku centralnego przęsła,
- umowne parcie
wiatru: 2,5 [kN/m
2
],
prostopadle do płaszczyzny mostu.
Rys. 3.28
Schemat obciążenia mostu.






Page 36
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

Wyniki obliczeń
statycznych:
a) ciężar
własny
Deformacja
konstrukcji
por. Rys.
3.30
Przemieszczenia
pionowe U
2
por. Rys.
3.31
Maksymalna
strzałka ugięcia pionowego [mm]
2,68
Rozkład
naprężeń normalnych S
11
por. Rys.
3.32
Maksymalne
naprężenie ściskające [MPa]
0,59
b) ciężar
własny + obciążenie umowne
Deformacja
konstrukcji
por. Rys.
3.33
Przemieszczenia
pionowe U
2
por. Rys.
3.34
Maksymalna
strzałka ugięcia pionowego [mm]
2,80
Rozkład
naprężeń normalnych S
11
por. Rys.
3.35
Maksymalne
naprężenie ściskające [MPa]
0,62
c) ciężar
własny + obciążenie umowne + umowne parcie
wiatru
Deformacja
konstrukcji
por. Rys.
3.36
Przemieszczenia
pionowe U
2
por. Rys.
3.37
Maksymalna
strzałka ugięcia pionowego [mm]
2,83
Przemieszczenia
poziome U
3
por. Rys.
3.38
Maksymalna
strzałka wychylenie z płaszczyzny [mm]
0,42
Rozkład
naprężeń normalnych S
11
por. Rys.
3.39
Maksymalne
naprężenie ściskające [MPa]
0,65
Wyniki
obliczeń dynamicznych.
Obliczone
wartości częstości drgań własnych.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
]
[Hz
n
i
3,64
4,55
5,66
5,98
6,91
8,17
8,45
9,44 11,16
11,46 12,47 12,73
]
/
[
s
rad
i
ω
22,87 28,57
35,55 37,55 43,40 51,36 53,11 59,32 70,10 72,03 78,38
79,96
Odpowiadające
im postaci drgań przedstawiają rysunki od 3.40 do 3.51
Podstawowa
postać drgań ma charakter giętnego wychylenia z płaszczyzny
konstrukcji.
Podobnie postaci od 2 do 6. Postać 7, 10 i 11 to drgania podłużne
w płaszczyźnie
konstrukcji, natomiast 8, 9, i 12 to przestrzenne drgania giętno
skrętne.
Podobnie jak w przykładzie 1 przekrój poprzeczny mostu jest
smukły, co
pozwala wnioskować, że otrzymane postaci są prawidłowe.







Page 37
Rys. 3.29
Siatka MES.






Page 38
Rys. 3.30
Deformacja konstrukcji przy obciążeniu ciężarem własnym
[m].






Page 39
Rys. 3.31
Przemieszczenia pionowe U
2
przy
obciążeniu ciężarem własnym [m].






Page 40
Rys. 3.32
Rozkład naprężeń normalnych S
11
przy
obciążeniu ciężarem własnym [kPa].






Page 41
Rys. 3.33
Deformacja konstrukcji przy obciążeniu: ciężarem własnym, obciążeniem umownym
[m].






Page 42
Rys. 3.34
Przemieszczenia pionowe U
2
przy
obciążeniu: ciężarem własnym, obciążeniem umownym
[m].






Page 43
Rys. 3.35
Rozkład naprężeń normalnych S
11
przy
obciążeniu: ciężarem własnym, obciążeniem umownym
[kPa].






Page 44
Rys. 3.36
Deformacja konstrukcji przy obciążeniu: ciężarem własnym, obciążeniem umownym,
parciem wiatru [m].






Page 45
Rys. 3.37
Przemieszczenia pionowe U
2
przy
obciążeniu: ciężarem własnym, obciążeniem umownym, parciem wiatru
[m].






Page 46
Rys. 3.38
Przemieszczenia poziome U
3
przy
obciążeniu: ciężarem własnym, obciążeniem umownym, parciem wiatru
[m].






Page 47
Rys. 3.39
Rozkład naprężeń normalnych S
11
przy
obciążeniu: ciężarem własnym, obciążeniem umownym, parciem wiatru
[kPa].






Page 48
Rys. 3.40
Pierwsza postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 49
Rys. 3.41
Druga postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 50
Rys. 3.42
Trzecia postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 51
Rys. 3.43
Czwarta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 52
Rys. 3.44
Piąta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 53
Rys. 3.45
Szósta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 54
Rys. 3.46
Siódma postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 55
Rys. 3.47
Ósma postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 56
Rys. 3.48
Dziewiąta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 57
Rys. 3.49
Dziesiąta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 58
Rys. 3.50
Jedenasta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 59
Rys. 3.51
Dwunasta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 60
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

3.7 Przykład
3 – Pont Royal.
Dane
materiałowe.
Rodzaj

Ciężar
właściwy
[kg/m
3
]

Moduł Younga

[GPa]
Współczynnik

Poissona

Wytrzymałość
na ściskanie

[MPa]
Piaskowiec
2400
8,0
0,3
30
Zasypka
2200
1,5
0,3
–
Liczba
elementów MES: 101051
Liczba węzłów
MES: 23159
Siatka MES
przedstawiona na rysunku 3.53
Układ dyskretny
posiada 69477 stopni swobody.
Przybliżony
czas obliczeń numerycznych: 10 min
Obliczenia
statyczne przeprowadzono dla 2 wariantów obciążenia:
a) ciężar
własny,
b) ciężar
własny + obciążenie umowne.
Wartości i
sposób przyłożenia obciążenia:
- ciężar
własny: konstrukcja 2400 [kg/m
3
]

zasypka 2200
[kg/m
3
]

- obciążenie
umowne: 5 [kN/m
2
],
równomiernie rozłożone na jezdni mostu,
100 [kN],
skupione w środku centralnego przęsła.
Rys. 3.52
Schemat obciążenia mostu.






Page 61
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

Wartości i
sposób przyłożenia obciążenia:
- ciężar
własny: konstrukcja 2400 [kg/m
3
]

zasypka 2200
[kg/m
3
]

- obciążenie
umowne: 5 [kN/m
2
],
równomiernie rozłożone na jezdni mostu,
100 [kN],
skupione w środku centralnego przęsła.
Wyniki obliczeń
statycznych:
a) ciężar
własny
Deformacja
konstrukcji
por. Rys.
3.54
Przemieszczenia
pionowe U
2
por. Rys.
3.55
Maksymalna
strzałka ugięcia pionowego [mm]
2,98
Rozkład
naprężeń normalnych S
11
por. Rys.
3.56
Maksymalne
naprężenie ściskające [MPa]
0,96
b) ciężar
własny + obciążenie umowne
Deformacja
konstrukcji
por. Rys.
3.57
Przemieszczenia
pionowe U
2
por. Rys.
3.58
Maksymalna
strzałka ugięcia pionowego [mm]
3,20
Rozkład
naprężeń normalnych S
11
por. Rys.
3.59
Maksymalne
naprężenie ściskające [MPa]
1,04
Wyniki
obliczeń dynamicznych.
Obliczone
wartości częstości drgań własnych.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
]
[Hz
n
i
6,19
7,62
8,33
8,93
9,10 10,13
10,82 11,02 11,49 11,68 12,23 12,88
]
/
[
s
rad
i
ω
38,92 47,91
52,31 56,08 57,19 63,69 67,99 69,23 72,17 73,39 76,80
80,92
Odpowiadające
im postaci drgań przedstawiają rysunki od 3.60 do 3.71
W
przeciwieństwie do poprzednich przykładów, szerokość mostu ma
wymiar
porównywalny do
wysokości (krępy przekrój poprzeczny), wpływa to na
podstawową
postać drgań, która w tym przypadku ma charakter podłużny.







Page 62
Rys. 3.53
Siatka MES.






Page 63
Rys. 3.54
Deformacja konstrukcji przy obciążeniu ciężarem własnym
[m].






Page 64
Rys. 3.55
Przemieszczenia pionowe U
2
przy
obciążeniu ciężarem własnym [m].






Page 65
Rys. 3.56
Rozkład naprężeń normalnych S
11
przy
obciążeniu ciężarem własnym [kPa].






Page 66
Rys. 3.57
Deformacja konstrukcji przy obciążeniu: ciężarem własnym, obciążeniem umownym
[m].






Page 67
Rys. 3.58
Przemieszczenia pionowe U
2
przy
obciążeniu: ciężarem własnym, obciążeniem umownym
[m].






Page 68
Rys. 3.59
Rozkład naprężeń normalnych S
11
przy
obciążeniu: ciężarem własnym, obciążeniem umownym
[kPa].






Page 69
Rys. 3.60
Pierwsza postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 70
Rys. 3.61
Druga postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 71
Rys. 3.62
Trzecia postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 72
Rys. 3.63
Czwarta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 73
Rys. 3.64
Piąta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 74
Rys. 3.65
Szósta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 75
Rys. 3.66
Siódma postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 76
Rys. 3.67
Ósma postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 77
Rys. 3.68
Dziewiąta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 78
Rys. 3.69
Dziesiąta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 79
Rys. 3.70
Jedenasta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 80
Rys. 3.71
Dwunasta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 81
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

3.8 Przykład
4 – Ponte Santa Trinita.
Dane
materiałowe.
Rodzaj

Ciężar
właściwy
[kg/m
3
]

Moduł Younga

[GPa]
Współczynnik

Poissona

Wytrzymałość
na ściskanie

[MPa]
Kamień
*
2000
12
0,3
15
Zasypka
*
1500
1,8
0,3
–
*
Autorzy nie
dotarli do informacji na temat zastosowanego materiału.
Przyjęto
charakterystyki materiałowe dostępne w literaturze.

Liczba
elementów MES: 88722
Liczba węzłów
MES: 19899
Siatka MES
przedstawiona na rysunku 3.73
Układ dyskretny
posiada 59697 stopni swobody.
Przybliżony
czas obliczeń numerycznych: 9 min
Obliczenia
statyczne przeprowadzono dla 2 wariantów obciążenia:
c) ciężar
własny,
d) ciężar
własny + obciążenie umowne.
Wartości i
sposób przyłożenia obciążenia:
- ciężar
własny: konstrukcja 2000 [kg/m
3
]

zasypka 1500
[kg/m
3
]

- obciążenie
umowne: 5 [kN/m
2
],
równomiernie rozłożone na jezdni mostu,
100 [kN],
skupione w środku centralnego przęsła.
Rys. 3.72
Schemat obciążenia mostu.






Page 82
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

Wyniki obliczeń
statycznych:
a) ciężar
własny
Deformacja
konstrukcji
por. Rys.
3.74
Przemieszczenia
pionowe U
2
por. Rys.
3.75
Maksymalna
strzałka ugięcia pionowego [mm]
4,07
Rozkład
naprężeń normalnych S
11
por. Rys.
3.76
Maksymalne
naprężenie ściskające [MPa]
1,94
b) ciężar
własny + obciążenie umowne
Deformacja
konstrukcji
por. Rys.
3.77
Przemieszczenia
pionowe U
2
por. Rys.
3.78
Maksymalna
strzałka ugięcia pionowego [mm]
4,54
Rozkład
naprężeń normalnych S
11
por. Rys.
3.79
Maksymalne
naprężenie ściskające [MPa]
2,16
Wyniki
obliczeń dynamicznych.
Obliczone
wartości częstości drgań własnych.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
]
[Hz
n
i
9,08 10,01
10,06 10,07 10,93 11,76 11,80 14,78 15,38 15,48 16,22
17,23
]
/
[
s
rad
i
ω
57,08 62,90
63,21 63,24 68,68 73,91 74,11 92,89 96,64 97,28 101,9
108,3
Odpowiadające
im postaci drgań przedstawiają rysunki od 3.80 do 3.91.
W grupie
dwunastu przeanalizowanych postaci drgań, przeważają te,
o charakterze
podłużnym. Można to tłumaczyć wymiarami konstrukcji,
znajdując
analogię w poprzednim przykładzie.






Page 83
Rys. 3.73
Siatka MES.






Page 84
Rys. 3.74
Deformacja konstrukcji przy obciążeniu ciężarem własnym
[m].






Page 85
Rys. 3.75
Przemieszczenia pionowe U
2
przy
obciążeniu ciężarem własnym [m].






Page 86
Rys. 3.76
Rozkład naprężeń normalnych S
11
przy
obciążeniu ciężarem własnym [kPa].






Page 87
Rys. 3.77
Deformacja konstrukcji przy obciążeniu: ciężarem własnym, obciążeniem umownym
[m].






Page 88
Rys. 3.78
Przemieszczenia pionowe U
2
przy
obciążeniu: ciężarem własnym, obciążeniem umownym
[m].






Page 89
Rys. 3.79
Rozkład naprężeń normalnych S
11
przy
obciążeniu: ciężarem własnym, obciążeniem umownym
[kPa].






Page 90
Rys. 3.80
Pierwsza postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 91
Rys. 3.81
Druga postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 92
Rys. 3.82
Trzecia postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 93
Rys. 3.83
Czwarta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 94
Rys. 3.84
Piąta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 95
Rys. 3.85
Szósta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 96
Rys. 3.86
Siódma postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 97
Rys. 3.87
Ósma postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 98
Rys. 3.88
Dziewiąta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 99
Rys. 3.89
Dziesiąta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 100
Rys. 3.90
Jedenasta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 101
Rys. 3.91
Dwunasta postać drgań własnych – deformacja konstrukcji.







Page 102
Właściwości
statyczne i dynamiczne mostów prezentowanych na banknotach EURO.

3.9 Wnioski
z obliczeń.
Przeprowadzone
obliczenia numeryczne mające na celu wyznaczenie
charakterystyk
statycznych i dynamicznych zabytkowych mostów
kamiennych
wykazały, że konstrukcje te spełniają wymogi wytrzymałości
w zakresie
obciążeń, jakim zostały poddane. Analiza potwierdziła znaczny
zapas nośności
w każdym z rozważanych przypadków. Jak przewidywano,
ze względu na
łukową budowę wybranych do obliczeń mostów,
dominującymi
naprężeniami w konstrukcji są naprężenia ściskające. Ugięcia
w najbardziej
obciążonych przęsłach są bardzo małe i zawierają się
w
dopuszczalnych granicach.
Otrzymane
częstości drgań własnych mieszczą się w przedziałach typowych
dla masywnych
konstrukcji kamiennych, a odpowiadające im postaci drgań
nie budzą
zastrzeżeń. Wyznaczone charakterystyki dynamiczne pozwalają na
dalszą analizę,
z uwzględnieniem wpływu ewentualnych wymuszeń
komunikacyjnych,
parasejsmicznych, sejsmicznych lub pochodzących od
podmuchów
wiatru oraz ocenę ich szkodliwości dla konstrukcji.