311[15] O1 04 Wykonywanie obliczeń w układach statycznych, dynamicznych i kinematycznych

MINISTERSTWO EDUKACJI
NARODOWEJ
Gabriela Poloczek
Wykonywanie obliczeń w układach statycznych,
dynamicznych i kinematycznych 311[15].O1.04
Poradnik dla ucznia
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy
Radom 2007
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
Recenzenci:
mgr in\. Piotr Chudeusz
mgr Stanisław Cyrulski
Opracowanie redakcyjne:
mgr in\. Gabriela Poloczek
Konsultacja:
mgr in\. Danuta Pawełczyk
Poradnik stanowi obudowę dydaktyczną programu jednostki modułowej 311[15].O1.04
Wykonywanie obliczeń w układach statycznych, dynamicznych i kinematycznych ,
zawartego w modułowym programie nauczania dla zawodu technik górnictwa podziemnego.
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy, Radom 2007
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
1
SPIS TREŚCI
1. Wprowadzenie 3
2. Wymagania wstępne 5
3. Cele kształcenia 6
4. Materiał nauczania 7
4.1. Układy sił 7
4.1.1. Materiał nauczania 7
4.1.2. Pytania sprawdzające 16
4.1.3. Ćwiczenia 16
4.1.4. Sprawdzian postępów
21
4.2. Środek cię\kości 22
4.2.1. Materiał nauczania 22
4.2.2. Pytania sprawdzające 24
4.2.3. Ćwiczenia 24
4.2.4. Sprawdzian postępów 26
4.3. Kinematyka punktu i ciała sztywnego 27
4.3.1. Materiał nauczania 27
4.3.2. Pytania sprawdzające 33
4.3.3. Ćwiczenia 33
4.3.4. Sprawdzian postępów 35
4.4. Dynamika punktu i ciała sztywnego 36
4.4.1. Materiał nauczania 36
4.4.2. Pytania sprawdzające 40
4.4.3. Ćwiczenia 40
4.4.4. Sprawdzian postępów 42
4.5. Wytrzymałość materiałów 43
4.5.1. Materiał nauczania 43
4.5.2. Pytania sprawdzające 53
4.5.3. Ćwiczenia 54
4.5.4. Sprawdzian postępów 56
5. Sprawdzian osiągnięć 57
6. Literatura 62
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
2
1. WPROWADZENIE
Poradnik ten będzie Ci pomocny w przyswajaniu wiedzy dotyczącej wykonywania
obliczeń w układach statycznych, dynamicznych i kinematycznych.
W poradniku zamieszczono:
- wymagania wstępne wykaz umiejętności, jakie powinieneś mieć ju\ ukształtowane,
abyś bez problemów mógł korzystać z poradnika,
- cele kształcenia wykaz umiejętności, jakie ukształtujesz podczas pracy z poradnikiem,
- materiał nauczania wiadomości teoretyczne niezbędne do osiągnięcia zało\onych celów
kształcenia i opanowania umiejętności zawartych w jednostce modułowej,
- zestaw pytań, abyś mógł sprawdzić, czy ju\ opanowałeś określone treści,
- ćwiczenia, które pomogą Ci zweryfikować wiadomości teoretyczne oraz ukształtować
umiejętności praktyczne,
- sprawdzian postępów,
- sprawdzian osiągnięć, przykładowy zestaw zadań. Zaliczenie testu potwierdzi
opanowanie materiału całej jednostki modułowej,
- literaturę uzupełniającą.
Miejsce jednostki modułowej w strukturze modułu 311[15].O1 Podstawy konstrukcji
mechanicznych jest wyeksponowane na schemacie zamieszczonym na stronie 4.
Bezpieczeństwo i higiena pracy
W czasie pobytu w pracowni musisz przestrzegać regulaminów, przepisów bhp
i instrukcji przeciwpo\arowych, wynikających z rodzaju wykonywanych prac. Wiadomości
dotyczące przepisów bezpieczeństwa i higieny pracy, ochrony przeciwpo\arowej oraz
ochrony środowiska znajdziesz w jednostce modułowej 311[15].O1.01 Przestrzeganie
przepisów Kodeksu pracy, Prawa geologicznego i górniczego
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
3
311[15].O1
Podstawy konstrukcji mechanicznych
311[15].O1.01
Stosowanie przepisów Kodeksu pracy,
Prawa geologicznego i górniczego
311[15].O1.02 311[15].O1.03
Określanie właściwości Wykonywanie rysunków
materiałów konstrukcyjnych części maszyn
311[15].O1.04
Wykonywanie obliczeń w układach
statycznych, dynamicznych i kinetycznych
311[15].O1.05
Projektowanie części maszyn
i połączeń
Schemat układu jednostek modułowych
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
4
2. WYMAGANIA WSTPNE
Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:
- stosować jednostki układu SI,
- wykonywać działania na wektorach,
- wykonywać rysunki techniczne części maszyn zgodnie z normami,
- posługiwać się dokumentacją techniczną, Dokumentacją Techniczno-Ruchową, normami
i katalogami,
- rozró\niać i dobierać materiały konstrukcyjne,
- selekcjonować, porządkować i przechowywać informacje,
- interpretować związki wyra\one za pomocą wzorów, wykresów, schematów, diagramów,
tabel,
- obsługiwać komputer,
- pracować w grupie,
- organizować stanowisko pracy zgodnie z wymogami ergonomii.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
5
3. CELE KSZTAACENIA
W wyniku realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:
- scharakteryzować siły i układy sił,
- określić własności sił,
- zastosować i przeliczyć jednostki wielkości mechanicznych w układzie SI,
- rozró\nić modele ciał rzeczywistych,
- rozró\nić rodzaje więzów i ich reakcje,
- wyznaczyć warunki równowagi płaskiego i przestrzennego układu sił,
- wykonać obliczenia w płaskim zbie\nym układzie sił,
- wykonać obliczenia w dowolnym układzie sił,
- zdefiniować pojęcie środka cię\kości
- obliczyć środek cię\kości figury płaskiej,
- obliczyć środek cię\kości figury zło\onej,
- wyznaczyć warunki równowagi sił z uwzględnieniem tarcia,
- obliczyć siłę i moment tarcia,
- rozró\nić układy odniesienia stosowane w mechanice technicznej,
- zinterpretować podstawowe prawa statyki, kinematyki i dynamiki dotyczące punktu
materialnego ciała sztywnego,
- zastosować w praktyce podstawowe prawa statyki, kinematyki i dynamiki dotyczące
punktu materialnego ciała sztywnego,
- rozró\nić rodzaje ruchów,
- określić parametry ruchów,
- obliczyć prędkość obwodową, kątową i obrotową,
- narysować wykresy prędkości i przyspieszeń punktu materialnego,
- wykonać plany prędkości i przyspieszeń członów,
- rozró\nić dynamiczne równania ruchu punktu materialnego,
- obliczyć masę zredukowaną (moment bezwładności) mechanizmu,
- obliczyć pracę, moc i sprawność,
- rozró\nić wywa\anie statyczne i dynamiczne,
- obliczyć reakcje dynamiczne,
- wyjaśnić pojęcie wyboczenia,
- określić rodzaj odkształceń w elementach maszyn i urządzeń,
- określić pojęcie sprę\ystości, plastyczności, kruchości, twardości i wytrzymałości
materiałów,
- rozró\nić rodzaje obcią\eń elementów konstrukcyjnych,
- zdefiniować rodzaje naprę\eń,
- określić rodzaj odkształceń w elementach maszyn,
- wykonać podstawowe obliczenia ze ściskania, rozciągania, ścinania i skręcania,
- posłu\yć się jednostkami wielkości mechanicznych w układzie SI,
- wykonać podstawowe obliczenia z wytrzymałości zło\onej,
- wykonać obliczenia z wytrzymałości zmęczeniowej,
- posłu\yć się tablicami, wykresami, normami, katalogami technicznymi, czasopismami
i inną literaturą techniczną.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
6
4. MATERIAA NAUCZANIA
4.1. Układy sił
4.1.1. Materiał nauczania
Własności siły
Siła to mechaniczne oddziaływanie jednego ciała na drugie. Oddziaływanie mo\e być
bezpośrednie, gdy zachodzi przy zetknięciu ciał, lub pośrednie, gdy zachodzi na odległość.
Skutkiem oddziaływania siły na ciało mo\e być jego ruch, zmiana ruchu czy odkształcenie.
Siłę jako wielkość wektorową określamy przez podanie trzech wielkości: wartości siły,
kierunku (prosta działania) i zwrotu. Je\eli siła działa na punkt nale\y równie\ podać jej
punkt przyło\enia, a je\eli działa na ciało sztywne wystarczy podać jej prostą działania, gdy\
bez zmiany skutku jej działania, mo\e być wzdłu\ tej prostej przesuwana.
Jednostką siły w układzie SI jest niuton (N). Jest to siła, która ciału o masie 1 kg nadaje
przyspieszenie 1 m/s2.
kg �" m
1N = 1
s2
Siły dzielą się na zewnętrzne i wewnętrzne. Siły zewnętrzne mogą być czynne (dą\ą do
wywołania ruchu i wynikają z działania innych ciał znajdujących się na zewnątrz) oraz bierne
(przeciwdziałają ruchowi i powstają w miejscu podparcia) zwane reakcjami.
Siłami wewnętrznymi są siły międzycząsteczkowe oraz napięcia. Ostatnie są wynikiem
działania na ciało sił zewnętrznych.
W mechanice rozró\niamy dwa modele ciał:
punkt materialny; jest punkt geometryczny, w którym skupiona jest cała masa ciała,
ciało sztywne, jest to układ punktów materialnych ze sobą związanych i których to
odległości w czasie ruchu czy pod działaniem sił nie ulegają zmianie.
G , F1, F siły czynne
2
, siły bierne
R A R B
- napięcia
FS
Rys. 1. Siły zewnętrzne i wewnętrzne [2, s. 14]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
7
Układy sił
Układem sił nazywa się zbiór dowolnej liczby sił działających na ciało. Proste działania
sił mogą le\eć na płaszczyznie lub w przestrzeni, tworząc układy płaskie i przestrzenne. Siły
le\ące w jednej płaszczyznie dzieli się na układy zbie\ne, równoległe i dowolne.
Układem płaskim zbie\nym nazywamy zbiór sił, których proste działania przecinają się
w jednym punkcie. Układem płaskim równoległym nazywamy zbiór sił, których proste
działania są do siebie równoległe, a zwroty tych sił mogą być zgodne lub przeciwne. Płaskim
dowolnym układem sił nazywamy zbiór sił o ró\nych kierunkach działania.
a) b) c)
Rys. 2. Układy sił: a) płaski zbie\ny, b) płaski równoległy, c) płaski dowolny [2, s. 17]
Składanie sił
Układy składające się z du\ej ilości sił nazywamy zło\onymi. Układ zło\ony mo\na
zastąpić układem prostszym, którego skutek działania będzie taki sam. Czynność tę
nazywamy składaniem sił lub redukcją układu sił. Redukcję układu mo\na wykonać
wykreślnie lub analitycznie.
W tym celu nale\y określić wartości rzutów na osie prostokątnego układu współrzędnych.
Rzut siły na oś jest równy iloczynowi wartości siły i cosinusa kąta zawartego między linią
działania siły a osią.
Rzuty siły F na osie x i y
Fx = F�" cos ą
Fy = F�" sin ą
Wartość siły, gdy znane są rzuty
2 2
F = Fx + Fy
Kąt, który tworzy siła F z osią x i z osią y
Fy
Fx
cos ą = i cos� =
F F
Rys. 3. Rzut prostokątny siły F na osie [2, s. 25]
W przypadku kilku sił le\ących na płaszczyznie korzystamy z twierdzenia o sumie
rzutów:
suma algebraiczna rzutów dowolnej liczby sił na dowolną oś jest równa rzutowi sumy tych sił
na tę oś.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
8
Suma rzutów sił osie x i y:
sx = F1x + F2x + F3x +....+ Fnx
sy = F1y + F2y + F3y +....+ Fny
lub
sx = Fix ; sy = Fiy
" "
Rys. 4. Rzut sumy dowolnej liczby sił na oś l [2, s. 26]
Czynności przy wyznaczaniu wypadkowej dla dwóch sił:
- w punkcie O przyjęcie początku układu
-
-
-
współrzędnych,
- wyznaczenie rzutu wypadkowej na osie x i y
-
-
-
Wx = sx = Fix = F1x + F2x= F1�"cos ą1+ F2�"cos ą2
"
Wy = sy = Fiy = F1y + F2y= F1�"sin ą1+ F2�"sin ą2
"
- obliczenie wartości wypadkowej
-
-
-
2 2
W = Wx + Wy
- obliczenie cosinusa kąta ą
-
-
-
Wx
cos ą =
W
- określenie zwrotu wypadkowej
-
-
-
Rys. 5. Wyznaczanie wypadkowej dwóch sił [2, s. 30]
Reakcje więzów
Więzami nazywamy wszystkie czynniki ograniczające swobodę ciała. Ciało swobodne
ma sześć stopni swobody, które odbieramy wprowadzając więzy. Siły oddziaływania więzów
na ciało nieswobodne nazywamy reakcjami. Kierunek reakcji zale\y od grupy więzów.
Wyró\niamy następujące grupy więzów:
- podpory ruchome, w których reakcja podpory jest zaczepiona w punkcie styczności ciała
-
-
-
z podporą i ma kierunek prostopadły do płaszczyzny podpierającej.
Rys. 6. Podpory ruchome: a,b,c) podparcie na idealnej gładkiej powierzchni,
c) oznaczenie schematyczne podpory [1, s. 19]
- podpory stałe, w których reakcja jest zaczepiona w punkcie styczności i ma na ogół
-
-
-
kierunek nie prostopadły do płaszczyzny ciała podpierającego,
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
9
a) b) c)
d) e) f)
Rys. 7. Podpory stałe: a) podpora nieprzesuwna, b) podpora w kształcie uskoku ,
c) oznaczenie schematyczne podpory stałej, d) przegub, e) ło\ysko oporowe, f) utwierdzenie [2, s. 20]
- więzy wiotkie, w których reakcja działa wzdłu\ ich osi i nale\ą do nich cięgna: liny,
-
-
-
pasy, łańcuchy.
Warunki równowagi płaskiego układu sił zbie\nych:
Płaski układ sił zbie\nych jest w równowadze, gdy działające siły się równowa\ą, czyli
składając taki układ sił otrzymamy wypadkową równą zero. Rozpatrujemy następujące
warunki równowagi płaskiego zbie\nego układu sił:
- wykreślne
-
-
-
Płaski układ sił zbie\nych jest w równowadze, je\eli wielobok sił tego układu jest
zamknięty; początek pierwszej i koniec ostatniej siły znajduje się w tym samym punkcie.
Rys. 8. Dodawanie wykreślne sił: a) wielobok sił otwarty, b) wielobok sił zamknięty [2, s. 32]
- analityczne
-
-
-
Płaski układ sił zbie\nych jest w równowadze tylko wtedy, gdy spełnione są dwa
warunki:
1) suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś x jest równa zeru,
2) suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś y jest równa zeru.
Mo\na to zapisać:
Fix = 0; Fiy = 0
" "
Warunki równowagi płaskiego układu sił
Siły tworzące płaski dowolny układ sił mogą dą\yć do wywołania obrotu ciała względem
punktu. Wielkościami wektorowymi, które charakteryzują dowolny płaski układ sił jest
moment siły względem punktu i para sił.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
10
Momentem siły względem punktu nazywamy wektor mający następujące cechy:
- wartość liczbową równą iloczynowi wartości siły i ramienia�"r
-
-
-
MO= F �" r [Nm]
- kierunek prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez linię działania siły i biegun,
-
-
-
- zwrot zgodny z regułą śruby o gwincie prawozwojowym.
-
-
-
a) b)
Rys. 9. Moment siły względem punktu: a) dodatni, b) ujemny [2, s. 33]
Je\eli na płaszczyznie le\y układ sił oblicza się sumę momentów względem przyjętego
bieguna. Moment sumy momentów nazywa się momentem głównym lub wypadkowym.
Para sił to dwie siły o równej wartości, równoległych liniach działania i przeciwnych
zwrotach. Odległość linii działania obu sił jest r ramieniem pary. Moment pary sił równa się
iloczynowi wartości liczbowej jednej z sił pary przez ramię pary.
M = F �" r [Nm]
Moment pary oznaczamy literą bez indeksu, gdy\ wartość ta nie zale\y od obranego
bieguna. Moment jest dodatni, gdy para dą\y do obrócenia swego ramienia w stronę
przeciwną do ruchu wskazówek zegara.
Parę sił mo\na zastąpić momentem, a moment pary sił parą sił. Pary sił mo\na składać
wyznaczając moment pary wypadkowej.
a) b)
M = F �" r M = - F �" r
Rys. 10. Moment pary sił: a) dodatni, b) ujemny [2, s. 38]
Analityczne warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił.
Istnieją trzy analityczne warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił:
1) suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś x musi się równać zeru,
2) suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś y musi się równać zeru,
3) suma algebraiczna momentów wszystkich sił, czyli moment główny układu względem
dowolnego bieguna musi się równać zeru.
Warunki powy\sze mo\na zapisać w postaci trzech równań:
Wx = F1x + F2x + F3x + �" �" �" + Fnx = Fix = 0
"
Wy = F1y + F2y + F3y + �" �" �" + Fny = Fiy = 0
"
Mo = M1O + M2O + M3O + �" �" �" + MnO = MiO = 0
"
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
11
Wykreślne warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił.
Przy składaniu dowolnej liczby sił o ró\nych punktach zaczepienia korzystamy
z konstrukcji wieloboku sznurowego.
Dowolny płaski układ sił jest w równowadze, gdy spełnione są dwa wykreślne warunki:
- wielobok sił musi być zamknięty.
- wielobok sznurowy musi być zamknięty.
Algorytm składania dowolnego układu sił:
1. wyznaczyć sumę s dla sił układu,
2. obrać dowolny punkt 0 (biegun) i połączyć go
z początkiem i końcem ka\dej siły promieniami 1,
2, 3 i 4 otrzymując plan sił (liczba promieni o jeden
większa od liczby składanych sił),
3. wykreślić na układzie sił równolegle do
poszczególnych promieni wielobok sznurowy,
4. przedłu\yć skrajne promienie do przecięcia się,
5. narysować przez otrzymany punkt wypadkową W ,
równą co do wartości, kierunku i zwrotu sumie
s z planu sił
Rys. 11. Wyznaczanie wypadkowej za pomocą wieloboku sznurowego [5, s. 69]
Warunki równowagi przestrzennego układu sił
Układem przestrzennym nazywamy zbiór sił, których linie działania są dowolnie
rozmieszczone w przestrzeni i nie le\ą w jednej płaszczyznie. Układy sił dzieli się na zbie\ne,
równoległe i dowolne. Układy te rozwiązuje się najczęściej metodą analityczną przy
zastosowaniu przestrzennych prostokątnych układów współrzędnych.
Rzut siły na osie układu XYZ:
Fx = F �" cos ą
Fy = F �" cos �
Fz = F �" cos ł
Dla kilku sił rzuty wynoszą:
sx = F1�" cos ą1 + F2�" cos ą2 + �" �" �" + Fn�" cos ąn
sy = F1�" cos �1 + F2�" cos �2 + �" �" �" + Fn�" cos �n
sx = F1�" cos ł1 + F2�" cos ł2 + �" �" �" + Fn�" cos łn
Wartość siły (wypadkowej), gdy znane są rzuty wynosi:
s = s2 + s2 + s2
x y z
Rys. 12. Rzuty sił na osie przestrzennego prostokątnego układu współrzędnych [5, s. 105]
Przestrzenny układ sił zbie\nych jest w równowadze wtedy, gdy wypadkowa jest równa
zeru
s = s2 + s2 + s2 = 0
x y z
czyli muszą być spełnione trzy warunki:
sx = Fix =0, sy = Fiy =0, sz = Fiz =0,
" " "
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
12
- algebraiczna suma rzutów wszystkich sił na oś x jest równa zeru,
- algebraiczna suma rzutów wszystkich sił na oś y jest równa zeru,
- algebraiczna suma rzutów wszystkich sił na oś z jest równa zeru.
Warunki równowagi dowolnego przestrzennego układu sił
Przy wyznaczaniu równowagi tego układu uwzględnić nale\y moment siły względem osi.
Jest to wielkość mechaniczna, która stara się wprawić ciało w ruch obrotowy dookoła osi.
Momentem siły względem osi nazywamy moment rzutu tej siły na płaszczyznę prostopadłą
do osi względem punktu przecięcia się osi z płaszczyzną.
Cechy wektora momentu siły względem osi:
- wartość Ml = F1�" r
-
-
-
- kierunek pokrywa się z kierunkiem osi
-
-
-
- zwrot zgodny z regułą śruby o gwincie
-
-
-
prawozwojowym.
Moment siły względem osi jest równy zeru gdy:
- siła F jest równoległa do osi,
-
-
-
- linia działania siły przecina się z osią
-
-
-
Rys. 13. Moment siły względem osi [5, s. 109]
Ciało obcią\one dowolnym przestrzennym układem sił będzie w równowadze, gdy
będzie spełnionych następujących sześć warunków równowagi:
- suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś x musi być równa zeru, czyli Fix = 0
"
- suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś y musi być równa zeru, czyli Fiy = 0
"
- suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś z musi być równa zeru, czyli Fiz = 0
"
- suma algebraiczna momentów wszystkich sił względem osi x musi być równa zeru, czyli
Mix = 0
"
- suma algebraiczna momentów wszystkich sił względem osi y musi być równa zeru, czyli
Miy = 0
"
- suma algebraiczna momentów wszystkich sił względem osi z musi być równa zeru,
- czyli Miz = 0
"
Warunki równowagi ciała sztywnego
Dla ciała sztywnego stosujemy warunki równowagi tak jak dla płaskiego dowolnego
układu sił. Przykładem takich układów jest element konstrukcyjny przenoszący obcią\enie
zginające zwany belką lub osią. Belki ze względu na sposób podparcia mogą być podparte
jedną podporą stałą i jedną ruchomą oraz jednostronnie utwierdzone. Reakcje w podporach
wyznaczyć mo\na analitycznie lub wykreślnie.
Fix = 0
"
Fiy = 0
"
MiB = 0
"
- F1�" cos600 + RBx = 0
- F1�" sin600 + RA + F2 - RBy = 0
F1�" sin600 (a + b + c) -RA (b + c) -F2 �" c = 0
Rys. 14. Warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił [2, s. 51]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
13
Wykreślne wyznaczanie reakcji belek polega na zastosowaniu wykreślnych warunków
równowagi układu płaskiego (wielobok sił i wielobok sznurowy muszą być zamknięte).
Algorytm wyznaczania reakcji belek:
1. Narysować w przyjętej podziałce długości
belkę i w przyjętej podziałce siłę.
2. Wykreślić wielobok sznurowy na siłach
zewnętrznych czynnych.
3. Przedłu\yć skrajne promienie wieloboku
sznurowego do przecięcia z kierunkami
reakcji i narysować zamykającą z2 .
4. Przez biegun 0 narysować promień
z równoległy do zamykającej.
5. Określić reakcje i ich zwroty na wieloboku
sił.
Rys. 15. Wyznaczanie reakcji belek wykreślnie [5, s. 82]
Warunki równowagi ciała sztywnego z uwzględnieniem sił tarcia
Tarcie jako zjawisko występujące w przyrodzie i technice, powstaje zawsze podczas
ruchu ciała. Jest zjawiskiem po\ądanym w hamulcach, przekładniach ciernych, sprzęgłach lub
niepo\ądanym w ło\yskach, prowadnicach obrabiarek, w których to urządzeniach staramy się
je zmniejszyć do minimum.
Rozró\niamy tarcie ślizgowe, występujące podczas przesuwania się jednego ciała po
drugim, oraz tarcie toczne, występujące podczas toczenia.
Siła tarcia T jest zawsze przeciwnie zwrócona do siły wywołującej ruch ciała i zale\y od
obcią\enia G, chropowatości stykających się ciał, rodzaju materiałów u\ytych na materiały
trące, rodzaju ruchu oraz obecności środków smarnych itp.
Tarcie ślizgowe wywołane jest działaniem siły normalnej G dociskającej ciała i siły
stycznej F przemieszczającej je względem siebie.
Siła tarcia w chwili równowagi granicznej:
T = N�"� � = tg�,
� - współczynnik statycznego tarcia
ślizgowego
Siła tarcia w czasie ruchu:
Tk = N�"�k
�k - współczynnik kinetycznego tarcia
ślizgowego
� > �k
Rys. 16. Tarcie ślizgowe w chwili równowagi granicznej [2, s. 73]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
14
Tarcie na równi pochyłej
Siła tarcia w chwili równowagi granicznej
(ągr = �):
T = G �"sinągr = G �"sin�
� = tg�
� - współczynnik tarcia
Rys. 17. Rozkład sił na równi pochyłej [2, s. 76]
Równię nazywamy samohamowną, gdy ciało umieszczone na równi pochyłej będzie
w spoczynku bez \adnej siły utrzymującej ( ą d" �).
Tarcie w ło\yskach poprzecznych
Siła tarcia na powierzchni styku czopa
z panwią:
T = RA �" � = N �" �
� - współczynnik tarcia ślizgowego
Moment tarcia czopowego Mt j
d d
Mt = T �" = N �" ��"
2 2
gdzie d - średnica czopa
Rys. 18. Moment tarcia czopowego w ło\ysku poprzecznym:
a) reakcja czopa, b) moment tarcia czopowego Mt [2, s. 77]
Ruch obrotowy wałka wystąpi, gdy przyło\ymy czynny moment obrotowy M o zwrocie
przeciwnym do momentu tarcia czopowego Mt.:
M > Mt
Siła zewnętrzna na ramieniu r, która spowoduje obrót ło\yska w czopie będzie miała wartość:
N �" � �" d
F >
2
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
15
Tarcie w ło\yskach wzdłu\nych
Moment tarcia czopowego
1 1
Mt = N �"� �" r = N �" ��" d
2 4
gdzie d - średnica czopa
Ruch obrotowy wałka występuje wtedy, gdy M > Mt,
a siła czynna wynosi
N �" � �" d
F >
4R
Rys. 19. Moment tarcia czopowego w ło\ysku wzdłu\nym: a) reakcja czopa,
b) moment tarcia czopowego Mt [2, s. 78]
4.1.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Jakie cechy określają wektor siły?
2. Jakie znasz rodzaje sił i ich układy?
3. Na czym polega redukcja układu sił?
4. Jakie znasz rodzaje więzów i jakie występują w nich reakcje?
5. Jakie są wykreślne i analityczne warunki równowagi płaskiego zbie\nego układu sił?
6. Jakie są cechy wektora momentu siły względem punktu?
7. Co to jest para sił?
8. Jakie są wykreślne i analityczne warunki równowagi płaskiego dowolnego układu sił?
9. Do czego słu\y konstrukcja wieloboku sznurowego?
10. Co nazywamy przestrzennym układem sił i kiedy jest on w równowadze?
11. Jakie znasz rodzaje tarcia i od czego zale\y siła tarcia?
12. Co jest samohamowność równi pochyłej?
13. Jaki musi być spełniony warunek w ło\ysku poprzecznym, aby nastąpił obrót wału?
14. Jaki moment czynny nale\y przyło\yć do ło\yska wzdłu\nego, aby nastąpił ruch
obrotowy wału?
4.1.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Dla układu sił zbie\nych: F1 = F4 = 500 N, F2 = 400 N, F3 =1000 N wyznacz wypadkową
układu metodą wykreślną i analityczną.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
16
Rysunek do ćwiczenia 3
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) przygotować stanowisko do wykonywania ćwiczenia,
2) narysować siły w podziałce,
3) wyznaczyć wypadkową sił metodą wieloboku lub równoległoboku,
4) określić cechy wektora wypadkowej,
5) obliczyć sumę rzutów na osie układu XOY,
6) obliczyć wypadkową i kąt, który tworzy z osią x,
7) porównać wyniki otrzymane z obu metod wyznaczania wypadkowej,
8) zaprezentować wykonane ćwiczenie.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
papier formatu A4, tablice trygonometryczne, kalkulator,
poradnik dla ucznia.
Ćwiczenie 2
Wyznacz kierunki i zwroty reakcji więzów przedstawionych na rysunkach.
Rysunki do ćwiczenia 1
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
17
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) przygotować stanowisko do wykonywania ćwiczenia,
2) dokonać analizy przedstawionych schematów,
3) rozró\nić rodzaje podpór,
4) określić kierunki reakcji,
5) naszkicować schematy i zaznaczyć reakcje w podporach i więzach,
6) zaprezentować wykonane ćwiczenie.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4, przybory kreślarskie,
-
-
-
- modele podpór,
-
-
-
- poradnik dla ucznia,
-
-
-
- literatura zgodna z punktem 6 poradnika.
-
-
-
Ćwiczenie 3
Ułó\ warunki równowagi dla przedstawionego układu płaskiego.
Rysunek do ćwiczenia 3
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) przygotować stanowisko do wykonywania ćwiczenia,
2) dokonać analizy układu sił i określić reakcje podpór,
3) przyjąć wygodny układ współrzędnych,
4) rozło\yć nieznany kierunek reakcji w podporze B na składowe: poziomą i pionową,
5) zało\yć reakcjom zwroty wynikające z analizy obcią\enia,
6) zastosować równania równowagi (np. warunek rzutów wszystkich sił na oś x i równania
momentów sił względem punktu A i B lub warunki rzutów wszystkich sił na osie x i y
oraz równania momentów sił względem punktu A lub B).
7) zaprezentować wykonane ćwiczenie.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4, komplet przyborów kreślarskich,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
18
Ćwiczenie 4
Ułó\ warunki równowagi dla płyty kwadratowej o cię\arze G, która w pozycji poziomej
jest utrzymywana za pomocą trzech podpór: podpory stałej w punkcie A, ruchomej w punkcie
B i liny wiotkiej w punkcie C.
Rysunek do ćwiczenia 4
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) przygotować stanowisko do wykonywania ćwiczenia,
2) dokonać analizy układu sił,
3) określić reakcje w podporach stałych i ruchomych w układzie przestrzennym,
4) przyjąć układ współrzędnych,
5) rozło\yć nieznany kierunek reakcji w podporze stałej na trzy składowe, ruchomej na dwie
składowe, a w linie wzdłu\ jej osi,
6) zało\yć reakcjom zwroty,
7) zastosować równania równowagi dla przestrzennego układu sił dowolnych (sześć równań
równowagi),
8) zaprezentować wykonane ćwiczenie.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4, komplet przyborów kreślarskich,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
Ćwiczenie 5
Określ jaki nale\y przyło\yć moment obrotowy, aby pokonać poziome obcią\enie wału
mieszadła i siłę tarcia w ło\yskach dla danych jak na rysunku.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
19
Dane:
F = 400 N
G = 2,5 kN
d = 50
� = 0,07
� współczynnik tarcia
ślizgowego
Rysunek do ćwiczenia 5
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) przygotować stanowisko do wykonywania ćwiczenia,
2) dokonać analizy układu sił,
3) określić reakcje w ło\yskach,
4) z warunków równowagi płaskiego układu sił dowolnych wyznaczyć reakcje w ło\yskach,
5) wyznaczyć moment tarcia jako sumę tarcia czopowego w ło\yskach wzdłu\nym
i poprzecznym,
6) zaprezentować wyniki ćwiczenia.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4, komplet przyborów kreślarskich,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
20
4.1.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak Nie
1) określić cechy wektora siły i sklasyfikować układy sił?
� �
2) zredukować układ sił?
� �
3) podać tok postępowania przy wyznaczaniu wypadkowej sił zbie\nych
metodą analityczną? � �
4) podać warunki równowagi płaskiego układu sił zbie\nych?
� �
5) podać wykreślne i analityczne warunki równowagi płaskiego
dowolnego układu sił? � �
6) wyznaczyć reakcje belek metodą wykreślną?
� �
7) podać analityczne warunki równowagi przestrzennego dowolnego
układu sił? � �
8) wyznaczyć moment tarcia czopowego w ło\ysku poprzecznym
i wzdłu\nym? � �
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
21
4.2. Środek cię\kości ciała
4.2.1. Materiał nauczania
Ka\de ciało materialne podlega działaniu sił cię\kości, które wynikają z przyciągania
ziemi. Siły te są skierowane do środka ziemi. Ka\de ciało mo\na potraktować jako zbiór
cząstek elementarnych, z których ka\da podlega sile przyciągania. Siły wszystkich cząstek
tworzą układ sił równoległych, a wypadkowa tych sił jest cię\arem ciała i zaczepiona jest
w punkcie zwanym środkiem cię\kości Cs(x0, y0).
Rys. 20. Ciało o cię\arze G [5, s. 119]
Dla ciał jednorodnych o prostej budowie przy wyznaczaniu środka cię\kości korzysta się
z następujących zale\ności :
- je\eli ciało ma jedną oś symetrii środek cię\kości le\y na tej osi,
-
-
-
- je\eli ciało ma dwie lub więcej osi symetrii środek cię\kości le\y w punkcie ich
-
-
-
przecięcia,
- je\eli ciało ma środek symetrii, to jest to zarazem jego środek cię\kości,
-
-
-
- środek cię\kości ciała zło\onego z kilku ciał pokrywa się ze środkiem cię\kości punktów
-
-
-
materialnych le\ących w środkach poszczególnych ciał składowych.
Wyznaczanie środka cię\kości ma du\e znaczenie dla określenia rodzaju równowagi ciała
sztywnego. W zale\ności od poło\enia środka cię\kości w stosunku do punktu podparcia
mogą zachodzić trzy przypadki równowagi: stała, chwiejna i obojętna.
Rys. 21. Rodzaje równowagi: a) stała, b) chwiejna, c) obojętna [5, s. 120]
Przy wyznaczaniu środków cię\kości ró\nych figur korzystamy z właściwości momentu
statycznego względem dowolnej osi:
Moment statyczny odcinka, figury, objętości lub masy względem dowolnej osi jest równy
iloczynowi długości odcinka, pola figury, objętości lub masy i współrzędnej środka cię\kości
tego odcinka, pola, objętości lub masy względem danej osi.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
22
Tabela 1. Współrzędne środka cię\kości figur [5, s. 121 124]
Lp Rodzaj figury Współrzędne środka Momenty statyczne
cię\kości
1. Linia łamana
względem osi y:
x0 = "li �" xi
x0�" li = li �"xi [m2]
" "
li
"
względem osi x:
li �" yi
"
y0�" li = li �"yi [m2]
" "
y0 =
li
"
gdzie
l = l1 + l2 + �"�"�" + ln = li
"
2. Figura płaska
względem osi y:
�"
x0 = "Si xi
x0�" Si = Si �"xi [m3]
" "
Si
"
względem osi x:
Si �" yi
"
y0�" Si = Si �"yi [m3]
y0 = " "
Si
"
gdzie:
S = S1 + S2 + �"�"�" + Sn = Si
"
3. Bryła
�" Vi �" yi z0 = Vi �"zi względem osi y:
" "
x0 = " Vi xi , y0 =
,
Vi Vi �"xi [m4]
" "
Vi Vi Vi x0�" =
" " "
względem osi x:
gdzie:
y0�" Vi = Vi �"yi [m4]
" "
V = V1 + V2 + V3 +�"�"�" + Vn = Vi
"
Współrzędne środka przekroju dla profili walcowanych typu: ceownik, kątownik,
dwuteownik, itp. odczytujemy z norm.
Tabela 2. Ceowniki wymiary wybrane z normy PN-86/H-93403 [4, s. 356]
Jx, Jy, moment bezwładności
ix, iy, promień bezwładności
e odległość od środka cię\kości
Przykład oznaczenia:
CEOWNIK 300 St3S PN/H-93403
Oznaczenie Wymiary Przekrój
e Jx Jy ix ix
h S
s g t
mm mm mm mm cm2 cm cm4 cm4 cm cm
50 38 5 7,5 7,12 1,37 26,4 9,12 1,92 1,13
100 50 6 8,5 13,5 1,55 206 29,3 3,91 1,47
200 75 8,5 11,5 32,2 2,01 1910 148 7,70 2,14
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
23
4.2.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Co nazywa się środkiem cię\kości ciała?
2. Ile środków cię\kości mo\e mieć ciało sztywne?
3. Jak zachowa się ciało, gdy punkt podparcia przyło\ymy poni\ej środka cię\kości?
4. Jak wyznaczamy współrzędne środka cię\kości linii łamanej, figury płaskiej?
5. Jakie wartości mo\e przyjmować moment statyczny i od czego zale\y?
6. Jak wyznaczamy współrzędne środka cię\kości profili walcowanych?
4.2.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Wyznacz poło\enie środka cię\kości figury płaskiej.
Rysunek do ćwiczenia 1
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) dokonać analizy przedstawionej figury,
2) sporządzić rysunek powierzchni,
3) przyjąć układ współrzędnych,
4) obliczyć współrzędne środka cię\kości,
5) zwymiarować poło\enie środka cię\kości figury,
6) zaprezentować wykonane ćwiczenie.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier milimetrowy,
-
-
-
- komplet przyborów kreślarskich,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
24
Ćwiczenie 2
Wyznacz środek cię\kości przekroju blachownicy zło\onej z dwóch ceowników i jednego
płaskownika.
Rysunek do ćwiczenia 2
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) dokonać analizy przedstawionej figury płaskiej,
2) naszkicować przekrój blachownicy,
3) przyjąć układ współrzędnych,
4) określić współrzędne środka cię\kości dla przekroju ceownika,
5) obliczyć współrzędne środka cię\kości,
6) zwymiarować poło\enie środka cię\kości figury,
9) zaprezentować wykonane ćwiczenie.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4,
-
-
-
- komplet przyborów kreślarskich,
-
-
-
- poradnik mechanika,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
Ćwiczenie 3
Wyznacz środek cię\kości fundamentu względem osi x, y, z.
Rysunek do ćwiczenia 3
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
25
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) dokonać analizy przedstawionej figury przestrzennej,
2) naszkicować figurę,
3) przyjąć układ współrzędnych,
4) określić współrzędne środka cię\kości figur prostych,
5) obliczyć współrzędne środka cię\kości figury,
6) zwymiarować poło\enie środka cię\kości figury,
7) zaprezentować wykonane ćwiczenie.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4,
-
-
-
- komplet przyborów kreślarskich,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
4.2.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak Nie
1) wyznaczyć współrzędne środka cię\kości linii?
� �
2) wyznaczyć współrzędne środka cię\kości figur płaskich zło\onych?
� �
3) wyznaczyć współrzędne środka cię\kości bryly?
� �
4) podać jednostkę momentu statycznego pola przekroju względem osi?
� �
5) odszukać współrzędne środka cię\kości dla przekroju profili
walcowanych? � �
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
26
4.3. Kinematyka punktu i ciała sztywnego
4.3.1. Materiał nauczania
Kinematyka jest działem mechaniki zajmującym się badaniem ruchu ciał bez
uwzględniania przyczyn, które ten ruch wywołują. Ruchem nazywamy zmianę poło\enia
ciała względem innego ciała, które traktowane jest jako układ odniesienia.
Ze względu na układ odniesienia ruch dzielimy na:
- ruch bezwzględny; jest to ruch określony w ruchomym układzie odniesienia,
- ruch względny; jest to ruch określony względem ruchomego układu odniesienia.
Ruch punktu mo\emy określić równaniem prędkości:
v = f (t)
i równaniem ruchu:
s = f (t)
Jednym z kryteriów podziału ruchu jest rodzaj toru punktu materialnego. Torem punktu
nazywamy linię utworzoną przez kolejne poło\enia poruszającego się punktu.
Ze względu na kształt toru ruch mo\na podzielić na:
- prostoliniowy - torem jest linia prosta,
- krzywoliniowy - torem jest dowolna linia geometryczna na płaszczyznie (ruch płaski)
lub w przestrzeni (ruch przestrzenny).
Ruch prostoliniowy jednostajny
W ruchu prostoliniowym jednostajnym stosunek drogi do czasu, w którym ta droga
została przebyta, nazywamy prędkością. Prędkość ma wartość stałą
s
v = =const [m/s]
t
Droga w ruchu jest proporcjonalna do czasu trwania ruchu.
s = v �"t równanie ruchu prostoliniowego jednostajnego
Wykresem prędkości w ruchu jednostajnym jest odcinek równoległy do osi czasu, a pole
zawarte pod wykresem prędkości przedstawia w odpowiedniej podziałce drogę. Graficznym
odwzorowaniem drogi jest linia prosta nachylona do osi t pod kątem ą . Wartość kąta ą
przedstawia zale\ność
tgą = v =const
Je\eli czas jest liczony od chwili, w której punkt przebył ju\ drogę so , to całkowita droga
wynosi:
s = so + v �"t
a) b)
Rys. 22. Wykresy: a) prędkości, b) drogi [1, s. 220]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
27
Ruch prostoliniowy zmienny
Prędkość punktu zmienia się. Je\eli prędkość rośnie, to mamy do czynienia z ruchem
przyspieszonym, a gdy maleje z ruchem opóznionym.
Stosunek przyrostu drogi do przyrostu czasu nazywamy prędkością średnią punktu.
"s s2 - s1
v = =
"t t2 - t1
"s
Prędkością chwilową nazywamy granicę wyra\enia , je\eli przyrost "t dą\y do zera.
"t
"s
v =lim , gdy "t 0
"t
Dla określenia przyspieszenia wyznaczamy przyrosty prędkości.
Przyspieszeniem średnim nazywamy stosunek przyrostu prędkości do czasu, w którym ten
przyrost nastąpił.
"v v2 - v1
a = = [m/s2]
"t t2 - t1
Przyspieszenie chwilowe określa zale\ność
"v
a =lim , gdy "t 0
"t
Wielkości charakteryzujące ruch zmienny Równania
v = vo + a �"t
Prędkość w ruchu jednostajnie zmiennym przyspieszonym
v = vo - a �"t
Prędkość w ruchu jednostajnie zmiennym opóznionym
a �"t2
Równanie drogi
s = vo �"t ą
2
a) b)
Rys. 23.. Wykresy: a) prędkości, b) drogi [1, s. 224]
Ruch krzywoliniowy jednostajny
Torem takiego ruchu jest linia krzywa, do której styczne są wektory prędkości o równych
wartościach.
Miejsce geometryczne wektorów prędkości wykreślonych ze wspólnego punktu
nazywamy hodografem prędkości.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
28
Hodograf w ruchu krzywoliniowym jednostajnym jest łukiem okręgu o promieniu
równym wartości prędkości poruszającego się punktu.
Rys. 24. Ruch krzywoliniowy jednostajny [2, s. 226]
Przyspieszenie chwilowe ma kierunek prostopadły (normalny) do prędkości
poruszającego się punktu. Przyspieszenie związane ze zmianą kierunku wektora prędkości
nazywa się przyspieszeniem normalnym.
Ruch krzywoliniowy zmienny
Wektory prędkości w tym ruchu zmieniają kierunek i wartość.
Przyspieszenie:
- normalne : an = a �"siną ,
-
-
-
- styczne: at = a �"cosą .
-
-
-
Rys. 25. Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym zmiennym [2, s. 227]
Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym zmiennym tworzy z wektorem prędkości kąt ą .
Po rozło\eniu przyspieszenia na dwa kierunki otrzymujemy przyspieszenie:
- normalne (dośrodkowe) an , o kierunku prostopadłym do toru,
- styczne at , o kierunku prędkości.
Na podstawie kierunków i wartości składowych przyspieszeń an i at klasyfikuje się ruchy.
Rodzaj ruchu Wartości przyspieszeń
an `"0 - at `"0
-
-
-
Ruch krzywoliniowy zmienny
an =0 - at `"0
-
-
-
Ruch prostoliniowy zmienny
an `"0 - at =0
-
-
-
Ruch krzywoliniowy jednostajny
an =0 - at =0
-
-
-
Ruch prostoliniowy jednostajny
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
29
Ruch jednostajny po okręgu
W czasie ruchu po okręgu o promieniu r punkt materialny przebywa w równych
odstępach czasu równe drogi oraz zatacza równe kąty ą . Prędkość punktu poruszającego się
po okręgu nazywamy prędkością liniową lub obwodową.
Stosunek drogi kątowej ą do czasu, w którym ta droga została przebyta, nazywamy
prędkością kątową � .
ą
� = [rad/s]
t
W mechanizmach ruchu obrotowego często prędkość kątową uzale\niamy od ilości obrotów
na minutę, wielkość tę nazywamy prędkością obrotową.
Ą �" n
� =
30
Prędkość liniowa v w ruchu jednostajnym po okręgu jest stała, równa iloczynowi prędkości
kątowej � i promienia r .
Ą �" n �" r
v =� �" r =
30
W ruchu jednostajnym po okręgu wartość przyspieszenia stycznego jest równa zeru,
a przyspieszenie normalne obliczamy ze wzorów
v2
an =�2 �" r =
r
Rys. 26. Ruch punktu po okręgu: a) prędkość i przyspieszenie, b) hodograf prędkości [2, s. 231]
Ruch zmienny po okręgu koła
W ruchu zmiennym po okręgu koła występuje przyspieszenie normalne i styczne do toru.
Wielkością charakteryzującą ten ruch jest przyspieszenie kątowe, które jest stosunkiem
przyrostu prędkości kątowej do przedziału czasu, gdy ten dą\y do zera.
�
� =lim , gdy "t 0 [rad/s2]
"t
Przyspieszenie normalne
v2
an =
r
Przyspieszenie styczne
at = r �"� , gdzie r - promień koła.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
30
Kinematyka ciała sztywnego
Ciała sztywne mogą poruszać się ruchem:
postępowym, punkty ciała sztywnego zakreślają jednakowe tory, na których wszystkie
punkty mają jednakową prędkość i przyspieszenie.
obrotowym, punkty wykonują ruch dookoła prostej, zwanej osią obrotu. Je\eli prędkość
kątowa jest wielkością stałą ruch nazywa się ruchem obrotowym jednostajnym, a je\eli
zmienną ruchem obrotowym zmiennym.
- płaskim.
-
-
-
Ruch płaski ciała sztywnego mo\e być rozpatrywany jako suma dwóch ruchów:
postępowego z prędkością dowolnego punktu ciała i obrotowego dookoła tego punktu
z prędkością kątową lub mo\e być w ka\dej chwili ruchem obrotowym dookoła chwilowego
środka obrotu (S - środek chwilowego obrotu jest punktem przecięcia normalnych do
wektorów prędkości).
a) b)
r r r
VA = VB +VB- A
Rys. 27. Ruch płaski bryły: a) suma ruchu postępowego i obrotowego,
b) ruch obrotowy względem środka chwilowego obrotu [1, s. 267]
Prędkość punktów w ruchu płaskim mo\emy wyznaczyć kilkoma metodami:
- z wykorzystaniem twierdzenia o rzutach prędkości.
Rzuty prędkości dwu punktów ciała sztywnego, poruszającego się ruchem płaskim, na
prostą łączącą te punkty są sobie równe.
Rys. 28. Rzuty prędkości i zastosowanie twierdzenia o rzutach prędkości [5, s. 359]
- metodą prędkości obróconych
Linie działania prędkości obróconych wszystkich punktów poruszającego się przekroju
przecinają się w chwilowym środku obrotu S. Końce wektorów prędkości obróconych le\ą na
prostej równoległej do prostej łączącej te punkty zwaną linią przewodnią prędkości
obróconych.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
31
Rys. 29.. Prędkość obrócona i linia przewodnia prędkości obróconych [5, s. 352]
- metodą toru ocechowanego
Prędkość w punkcie B:
w
vB = k �"
2�" "t
gdzie:
vB - Prędkość w punkcie B w cm/s
w - długość siecznej, w cm
"t - czas, w jakim punkt przebywa drogę między sąsiednimi
punktami, w s,
k - podziałka długości
Rys. 30. Wyznaczanie prędkości metodą toru ocechowanego [5, s. 349]
- metodą planu prędkości
Rys. 31. Wyznaczanie prędkości w czworoboku przegubowym metodą planu [1, s. 280]
W metodzie tej na podstawie równania wektorowego
r r r
vB = vA + vB- A
wyznacza się wykreślnie wartości i kierunki prędkości vB i prędkości względnej vB- A .
Przyspieszenie w ruchu płaskim wyznacza się metodą planu korzystając z wyników
uzyskanych przy wyznaczeniu prędkości metodą planu.
Przy wyznaczaniu przyspieszeń członów mechanizmów w ruchu zło\onym
wykorzystujemy równanie wektorowe przyspieszeń do wykreślenia jego składowych.
Dla mechanizmu korbowo-wodzikowego równanie przyspieszeń ma postać:
r r r r r
aB = aAn + aAt + aB-An + aB-At
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
32
a) b)
Rys. 32. Mechanizmu korbowo-wodzikowego: a) wyznaczanie prędkości metodą planu
b) wyznaczanie przyspieszeń metodą planu [1, s. 285]
4.3.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Co to jest tor punktu?
2. Jakie wielkości charakteryzują ruch punktu?
3. Co przedstawia pole pod wykresem prędkości?
4. Od czego zale\y droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym?
5. Co jest wykresem drogi w ruchu jednostajnie przyspieszonym?
6. W jaki sposób na wykresie drogi określimy prędkość w dowolnym punkcie?
7. Jakie znasz przyspieszenia w ruchu punktu?
8. W jakim ruchu występuje przyspieszenie normalne?
9. Jak dzielimy ruchy ze względu na wartości przyspieszeń: normalnego i stycznego?
10. Jakie wielkości charakteryzują ruch jednostajny punktu po okręgu?
11. Co to jest środek chwilowego obrotu i jak go wyznaczamy?
12. Jakie znasz metody wyznaczania prędkości w ruchu płaskim?
13. Jak wyznaczamy przyspieszenie w ruchu płaskim?
4.3.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Napisz równania drogi i prędkości dla przedstawionych wykresów.
Rysunek do ćwiczenia 1
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
33
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) przygotować stanowisko do wykonywania ćwiczenia,
2) zapoznać się wykresami drogi i prędkości,
3) przyporządkować wykresom wzory na drogę i prędkość,
4) określić rodzaj ruchu ze względu na tor,
5) określić rodzaje przyspieszeń w tych ruchach,
6) zaprezentować wykonane ćwiczenie.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- przybory kreślarskie,
- poradnik dla ucznia.
Ćwiczenie 2
Wyznacz prędkość chwilową w punkcie B dla pręta o długości l , który przesuwa się
końcami wzdłu\ osi, je\eli znana jest prędkość punktu A.
Rysunek do ćwiczenia 3
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) przygotować stanowisko do wykonywania ćwiczenia,
2) określić rodzaj ruchu, jaki wykonuje punkt,
3) wyznaczyć środek chwilowego obrotu,
4) obliczyć prędkość kątową dla punktu A względem środka chwilowego obrotu,
5) obliczyć prędkość punktu B.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- przybory kreślarskie,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
34
4.3.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak Nie
1) dokonać podziału ruchów punktu ze względu na tor i prędkość?
� �
2) napisać równanie drogi w ruchu prostoliniowym zmiennym?
� �
3) określić cechy wektora przyspieszenia normalnego?
� �
4) napisać równanie ruchu prostoliniowego jednostajnie
przyspieszonego? � �
5) narysować i wyznaczyć prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu?
� �
6) scharakteryzować przyspieszenie w ruchu jednostajnym po okręgu?
� �
7) dokonać klasyfikacji ruchów ze względu na przyspieszenie?
� �
8) scharakteryzować parametry w ruchu zmiennym po okręgu?
� �
9) wyznaczyć prędkość w ruchu płaskim?
� �
10) wyznaczyć przyspieszenie w ruchu płaskim?
� �
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
35
4.4. Dynamika punktu i ciała sztywnego
4.4.1. Materiał nauczania
Dynamika jest działem mechaniki, która bada związki między ruchem ciała
i przyczynami, który ten ruch wywołują. Zasady dynamiki oparte są na trzech prawach
Newtona.
Pierwsze prawo ( prawo bezwładności): Punkt materialny lub ciało sztywne, na który nie
działa \adna siła, lub działają siły równowa\ące się, pozostaje w spoczynku lub w ruchu
jednostajnym prostoliniowym.
Drugie prawo: Przyspieszenie punktu materialnego lub ciała sztywnego jest
proporcjonalne do wartości siły działającej na ten punkt i ma kierunek oraz zwrot zgodnie
z działającą siłą
F = m�" a (dynamiczne równanie ruchu punktu)
Trzecie prawo: Ka\demu działaniu towarzyszy równe, lecz przeciwnie zwrócone
przeciwdziałanie.
Z drugim prawem związana jest siła bezładności, która jest zwrócona przeciwnie ni\
przyspieszenie ruchu.
a) b)
Rys. 33. Siły bezwładności w ruchu obrotowym: a) pręta, b) punktu [5, s.377]
Siła bezwładności jest równa iloczynowi masy poruszającego się ciała i przyspieszenia
tego ruchu.
Suma wszystkich sił zewnętrznych działających na punkt materialny znajdujący się
w ruchu równowa\y się w ka\dej chwili z siłą bezwładności tego punktu.
F +(- m �"a)=0 zasada D2 Alemberta
W ruchu postępowym badanie ruchu sprowadza się do badania jednego punktu, przy
czym najczęściej punkt ten jest środkiem masy ciała. Siła F działająca na środek masy ciała
w przestrzennym prostokątnym układzie osi współrzędnych x, y , z rozło\ona mo\e być na
trzy składowe, które wywołują ruch wzdłu\ tych osi.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
36
Dynamiczne równania ruchu postępowego
Fx = m�" ax
Fy = m �"ay
Fz = m �"az
Rys. 34. Ruch postępowy i równanie dynamiczne ruchu [1, s. 302]
W ruchu obrotowym ciała sztywnego dookoła nieruchomej osi wyznaczamy dynamiczne
równanie ruchu dla ka\dej elementarnej masy z uwzględnieniem elementarnego momentu
obrotowego.
Dynamiczne równania ruchu obrotowego dla
elementarnej masy
Fi = "mi �" ai
Elementarny moment obrotowy
Fi �" ri = "mi �" ri2 �"�
Dynamiczne równanie ruchu obrotowego ciała
sztywnego
M = J �"�
M - moment bezwładności ciała
J - masowy moment bezwładności ciała
� - przyspieszenie kątowe
Rys. 35. Ruch obrotowy i równanie dynamiczne ruchu obrotowego [1, s. 303]
Masowe momenty bezwładności pól o prostych figurach i brył geometrycznych
wyznacza się najczęściej względem osi przechodzącej przez środek masy (osie główne lub
środkowe) korzystając ze wzorów z tabel.
Tabela 3. Masowe momenty bezwładności prostych figur i brył geometrycznych
Rysunek figury
J J
x y
(bryły)
2
m �"l
J =0
J =
y
x
12
koło
2 2
m �" r m �" r
J = J =
x y
4 4
kula
2 2
2 2
J = �"m �" r J = �" m �" r
x y
5 5
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
37
2
�ł �ł
m h2 �ł
r
2
�ł
J = +
J = m�"
x
�łr �ł y
4 3
2
�ł łł
Gdy oś obrotu jest przesunięta równolegle do osi głównej masowy moment bezwładności
oblicza się korzystając z twierdzenia Steinera.
Jl = Jo + m �" z2
Moment bezwładności ciała sztywnego względem dowolnej osi jest równy sumie
momentu bezwładności Jo względem osi równoległej do prostej l i przechodzącej przez
środek masy oraz iloczynu masy i ciała i kwadratu odległości między nimi.
Z ruchomym punktem, który pod działaniem siły mo\e się przesuwać wzdłu\ określonego
toru, związana jest praca.
Praca mechaniczna w ruchu prostoliniowym jest równa iloczynowi siły działającej
wzdłu\ kierunku ruchu i drogi, jaką przebył punkt zaczepienia tej siły.
Praca w ruchu obrotowym wyra\a się iloczynem momentu obrotowego M oraz kąta obrotu
ą wyra\onego w radianach.
a) b)
W = F �" s �"cosą [1J = N�"1m] W = M �"ą
Rys. 36. Praca w ruchu: a) prostoliniowym, b) obrotowym [2, s. 264]
Jednostką pracy w układzie jednostek SI jest d\ul (J). Jest to praca wykonana siłą jednego
niutona na drodze jednego metra.
Moc jest pojęciem słu\ącym do oceny pracy.
Moc P jest to iloraz pracy i czasu, w którym ta praca została wykonana.
W 1J
P = [W], 1W=
t s
P = F �"v w ruchu prostoliniowym
P = M �"ą w ruchu obrotowym.
Jednostką mocy w układzie jednostek SI jest wat (W), czyli praca jednego d\ula wykonana
w czasie jednej sekundy.
W urządzeniach mechanicznych moment obrotowy (skręcający) oblicza się ze wzoru:
P
M = 95514, 14�" [N�"m]
n
P - moc w kW
n -prędkość obrotowa w obr/min.
Sprawnością maszyny � nazywamy stosunek pracy u\ytecznej Wu do pracy wło\onej W .
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
38
Wu Wu
� = lub � = �"100%
W W
Sprawność mo\na równie\ określić stosunkiem mocy u\ytecznej Pu do mocy wło\onej P .
Pu
� =
p
Je\eli maszyna składa się z kilku mechanizmów, to sprawność ogólna jest iloczynem
sprawności poszczególnych mechanizmów.
� =�1 �"�2 �"�3 �"K�"�n
Sprawność jest liczbą niemianowaną zawartą w przedziale 0 <� <1.
Wyrównowa\anie
W obracających się elementach maszyn środek masy powinien le\eć na osi obrotu.
W przypadku, gdy jest on przesunięty, wówczas w czasie obrotu na elementy maszyn działa
siła odśrodkowa. Siła ta powoduje zmienne reakcje (dynamiczne) w podporach (ło\yskach),
a to z kolei wywołuje drgania korpusów maszyn, niszczenie ło\ysk. Reakcje dynamiczne
wywołane siłą odśrodkową znacznie przekraczają reakcje statyczne. W celu usunięcia reakcji
dynamicznych, zmniejszenia ich, ka\dy element wirujący powinien być wyrównowa\ony
(wywa\ony).
Rozró\niamy wyrównowa\anie:
statyczne,
dynamiczne,
statyczno dynamiczne.
Wyrównowa\anie statyczne polega na dodaniu do wirującego elementu dodatkowej masy
do lekkiej strony krą\ka, doprowadzając do tego, aby środek masy całego elementu le\ał na
osi obrotu. Masę korekcyjną obliczamy porównując siły odśrodkowe.
Siła odśrodkowa wirującego walca o masie m1
F = m1 �"e�"�2
Siła odśrodkowa dla masy korekcyjnej m2
2
F = m2 �" r �"�
m1 �"e
m2 =
r
gdzie:
m1 masa wirującego elementu,
Rys. 37. Wirujący element maszyny [1, s. 317]
m2 masa, którą nale\y dodać,
e przesunięcie środka masy od osi obrotu,
r odległość masy dodatkowej od osi obrotu,
� prędkość kątowa
Wyrównowa\anie statyczne daje dobre wyniki dla krą\ków o małej grubości, które le\ą
w płaszczyznie prostopadłej do osi obrotu.
Wyrównowa\anie dynamiczne stosuje się do elementów maszyn, których środki masy
le\ą na osi obrotu, ale nie pokrywają się z główną środkową osią bezwładności. W czasie
ruchu siły bezwładności tworzą parę sił, która wywołuje reakcje dynamiczne.
Wyrównowa\enie dynamiczne polega na doło\eniu dwóch mas korekcyjnych le\ących po
przeciwnych stronach osi obrotu i dobranych tak, aby siły działające na te masy tworzyły parę
sił o momencie równym momentowi reakcji dynamicznych.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
39
4.4.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Które prawo dynamiki nazywane jest prawem bezwładności?
2. Od czego zale\y siła bezwładności?
3. Od czego zale\y wartość masowych momentów bezwładności dla pól i brył?
4. Co nazywamy pracą mechaniczną?
5. Od czego zale\y moc?
6. Jaka jest zale\ność między mocą, prędkością obrotową i momentem obrotowym?
7. Od czego zale\y sprawność maszyny składającej się z kilku mechanizmów?
8. Jakie wielkości mo\e przyjmować sprawność?
9. Kiedy powstają reakcje dynamiczne?
10. Na czym polega wyrównowa\anie statyczne i dynamiczne?
4.4.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Oblicz masowy moment bezwładności dla koła zamachowego o masie 100 kg
i średnicy 1 m.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) zorganizować stanowisko do wykonania ćwiczenia,
2) określić wzór na moment dla odpowiedniego rodzaju bryły,
3) określić oś obrotu,
4) na podstawie danych obliczyć masowy moment obrotowy,
5) zaprezentować wyniki ćwiczenia.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- przybory kreślarskie,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
Ćwiczenie 2
Oblicz pracę potrzebną do podniesienia cię\aru G = 3000 N za pomocą wciągarki
suwnicy na wysokość 5 m.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) zapisać dane do obliczenia z ćwiczenia,
2) obliczyć pracę,
3) zaprezentować wyniki ćwiczenia.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- przybory kreślarskie,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
40
Ćwiczenie 3
Określ minimalną moc silnika windy towarowej o maksymalnym udzwigu 1000 kg, która
porusza się z prędkością 2 m/s. Sprawność urządzenia wynosi 75%.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) zorganizować stanowisko do wykonania ćwiczenia,
2) obliczyć moc u\yteczną windy,
3) obliczyć całkowitą moc z uwzględnieniem sprawności urządzenia,
4) zaprezentować wyniki ćwiczenia.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- przybory kreślarskie,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
Ćwiczenie 4
Oblicz reakcje dynamiczne dla wału do którego przyspawano pręt o długości r z cię\arem
G. Wał obraca się z prędkością kątową �.
Rysunki do ćwiczenia 4
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) zorganizować stanowisko do wykonania ćwiczenia,
2) obliczyć reakcje statyczne uwzględniając cię\ar,
3) obliczyć siłę odśrodkową wirującego cię\aru,
4) obliczyć reakcje dynamiczne z uwzględnieniem siły odśrodkowej,
5) określić sumę reakcji statycznej i dynamicznej w podporach w skrajnych poło\eniach
cię\arka,
6) zaprezentować wyniki ćwiczenia.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- przybory kreślarskie,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
41
4.4.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak Nie
1) scharakteryzować siłę bezwładności?
� �
2) napisać zasadę D2 Alemberta? � �
3) wyjaśnić dynamiczne równanie ruchu postępowego?
� �
4) wyjaśnić dynamiczne równanie ruchu obrotowego?
� �
5) wyjaśnić zastosowanie twierdzenia Steinera?
� �
6) zinterpretować jednostki pracy i mocy?
� �
7) obliczyć pracę urządzenia?
� �
8) określić minimalną moc urządzenia?
� �
9) obliczyć sprawność urządzenia?
� �
10) obliczyć reakcje dynamiczne w ło\yskach?
� �
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
42
4.5. Wytrzymałość materiałów
4.5.1. Materiał nauczania
Elementy konstrukcyjne oraz części maszyn podczas pracy są obcią\one siłami
zewnętrznymi, które powodują odkształcenia. Graniczną wartość obcią\enia, przy którym
element konstrukcyjny ulega zniszczeniu nazywamy wytrzymałością. Przy projektowaniu
elementów konstrukcyjnych nale\y określić ich wymiary, postać i materiał, z którego będą
wykonane. W zale\ności od sposobu działania obcią\enia na elementy konstrukcyjne
wyró\niamy następujące rodzaje odkształceń: rozciąganie, ściskanie, ścinanie, skręcanie
i zginanie, które nazywamy odkształceniami prostymi. Elementy maszyn przenoszące
jednocześnie co najmniej dwa obcią\enia proste podlegają obcią\eniom zło\onym (zginanie
ze skręcaniem, ściskanie ze zginaniem).
Ze względu na charakter obcią\eń mechanicznych, obcią\enia dzielimy na:
- stałe(statyczne, niezmienne, trwałe),
- zmienne.
a) b) c)
Rys. 38. Rodzaje cykli obcią\eń i naprę\eń: a) stały, b) jednostronnie zmienny (1 tętniący odzerowo,
2 tętniący jednostronny), c) obustronnie zmienny (3 wahadłowy symetryczny,
4 dwustronny niesymetryczny), T okres ( cykl zmiany obcią\eń i naprę\eń) [3, s. 15]
Siły zewnętrzne powodują pojawienie się sił wewnętrznych zwanych naprę\eniami lub
napięciami.
Wypadkową sił wewnętrznych R równą co do wartości sile zewnętrznej F mo\na
rozło\yć na dwa kierunki: siłę prostopadłą do przekroju N i styczną do przekroju T.
Rys. 39. Siły: normalna i styczna w dowolnym przekroju pręta rozciąganego [3, s.156]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
43
Stosunek wartości siły normalnej N do pola przekroju S nazywamy naprę\eniem normalnym.
N N
� = [Pa] 1 Pa =1
S m2
Stosunek wartości siły stycznej T do pola przekroju S nazywamy naprę\eniem stycznym.
T
� = [Pa]
S
Naprę\enia dopuszczalne
W elementach konstrukcyjnych obcią\onych siłami powstają naprę\enia normalne
i styczne. Podczas obliczeń wytrzymałościowych nale\y uwzględnić dwa warunki:
- wytrzymałości, element konstrukcyjny nie mo\e ulec zniszczeniu,
-
-
-
- sztywności, odkształcenia muszą być małe i sprę\yste.
-
-
-
Naprę\enia, które mogą wystąpić w materiale bez naruszenia powy\szych warunków,
nazywamy dopuszczalnymi. Indeks charakteryzuje rodzaj odkształcenia:
- kr (krj, krc)- naprę\enia dopuszczalne na rozciąganie,
-
-
-
- kc (kcj, krc) - naprę\enia dopuszczalne na ściskanie,
-
-
-
- kt (ktj, kto) - naprę\enia dopuszczalne na ścinanie,
-
-
-
- kg (kgj, kgo) - naprę\enia dopuszczalne na zginanie,
-
-
-
- ks (ksj, kso) - naprę\enia dopuszczalne na skręcanie,
-
-
-
- ko (koj, koo) - naprę\enia na nacisk powierzchniowy.
-
-
-
Naprę\enia dopuszczalne wyznaczamy doświadczalnie dla ró\nych gatunków materiałów.
W przypadku rozciągania materiałów kruchych (beton, szkło) wynoszą:
Rm
kr = [MPa],
n
dla materiałów plastycznych (stal)
Re
kr = [MPa]
n
gdzie: Rm - granica wytrzymałości na rozciąganie w MPa
Re - granica plastyczności w MPa,
n - obliczeniowy współczynnik bezpieczeństwa, ( n = 1,3 � 12)
Granice wytrzymałości i plastyczności wyznaczamy dla ka\dego materiału w próbach
wytrzymałościowych.
Rys. 40. Wykres rozciągania stali i znormalizowany kształt próbki do próby rozciągania [2, s. 99]
W czasie próby rozciągania wyznacza się granicę plastyczności i wytrzymałości materiałów.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
44
Fe
Re = [MPa]
S0
Granica plastyczności to naprę\enie, po osiągnięciu którego występuje wyra\ny wzrost
wydłu\enia rozciąganej próbki bez wzrostu lub nawet spadku obcią\enia.
Fm
Rm = [MPa]
S0
Wytrzymałość materiału na rozciąganie Rm jest to stosunek największej siły Fm przenoszonej
przez próbkę do pierwotnego pola S0 przekroju poprzecznego próbki.
Obliczanie elementów konstrukcyjnych
- na rozciąganie i ściskanie
-
-
-
Naprę\enia normalne panujące w przekrojach rozciąganych i ściskanych mogą być co
najwy\ej równe naprę\eniom dopuszczalnym.
a) b)
F F
� = d" kr (krj ,krj) � = d" kc (kcj ,krc)
r c
S S
Rys. 41. Naprę\enia normalne w prętach: a) rozciąganych, b) ściskanych [2, s. 95]
- na ścinanie
-
-
-
W praktyce mamy do czynienia ze ścinaniem technologicznym, w którym materiał jest
niszczony naciskami wywieranymi przez np. ostrza no\yc, czyli przez siły tworzące parę.
Rzeczywiste naprę\enia styczne � w przekroju ścinanym S nie mogą być większe od
naprę\enia dopuszczalnego kt .
F
� = d" kt (ktj ,kto)
S
Rys. 42. Ścinanie technologiczne [5, s. 198]
- na zginanie
-
-
-
Zginaniu podlegają elementy zwane belkami lub osiami. Odkształcenie to powodują
obcią\enia działające na belkę w postaci sił skupionych, obcią\enia ciągłego lub momentów.
Obcią\enia te wywołują w przekrojach belek momenty zginające i siły tnące.
Momentem zginającym w dowolnym przekroju belki nazywamy sumę algebraiczną
momentów wszystkich sił zewnętrznych działających na belkę po jednej stronie
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
45
rozpatrywanego przekroju, obliczonych względem środka cię\kości tego przekroju. Moment
zginający od sił prostopadłych zwróconych do góry uwa\a się za dodatni, a od sił zwróconych
w dół - za ujemny. Z przekroje niebezpieczne uwa\amy miejsca, w których momenty
zginające osiągają wartości maksymalne.
Siła tnąca w dowolnym przekroju belki jest algebraiczną sumą wszystkich sił
zewnętrznych działających prostopadle do osi belki po jednej stronie belki.
Siła tnąca od sił zewnętrznych po lewej stronie przekroju jest dodatnia, gdy siły są zwrócone
do góry, a ujemna, gdy siły zwrócone są w dół. Natomiast od sił po prawej stronie przekroju
jest ujemna, gdy siły zewnętrzne są zwrócone do góry, a dodatnia, gdy zwrócone w dół.
Przebieg zmian obcią\enia belki wzdłu\ jej osi mo\na zilustrować za pomocą wykresów
momentów zginających M i sił tnących Ti .
gi
Analityczne wyznaczanie momentów zginających sił tnących belek obcią\onych siłami
skupionymi sprowadza się do:
- analitycznego wyznaczania reakcji za pomocą równań równowagi,
-
-
-
- wyznaczenia momentów zginających w miejscach przyło\enia sił skupionych,
-
-
-
- sporządzenia wykresów momentów zginających w podziałce,
-
-
-
- obliczenia sił tnących w poszczególnych przedziałach belki,
-
-
-
- sporządzenia wykresu sił tnących w podziałce,
-
-
-
- lokalizacji przekroju niebezpiecznego (T = 0 i M ).
-
-
-
g max
Moment zginający belkę obcią\oną siłami skupionymi jest liniową funkcją odległości wzdłu\
osi belki, a wykres sił tnących składa się z odcinków równoległych do osi belki.
Dla obcią\enia ciągłego wykresem momentów zginających jest część paraboli, a sił tnących
linia nachylona pod kątem do osi belki.
a) b)
Rys. 43. Wykresy momentów zginających i sił tnących dla: a) siły skupionej, b) obcią\enia ciągłego [5, s. 219]
Naprę\enia normalne przy zginaniu zmieniają się proporcjonalnie do odległości warstwy
obojętnej.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
46
a) b)
Rys. 44. Wykresy naprę\eń dla przekrojów: a) prostokąta, b) teownika [2, s. 146]
M - moment zginający przekroju belki
J - moment bezwładności przekroju belki względem osi obojętnej
y = e - odległość od osi obojętnej dla warstw skrajnych
Znak plus odnosi się do warstw rozciąganych, minus do warstw ściskanych.
Największe naprę\enia występują w warstwach skrajnych dla y = ymax = e
M M J
� = ą �"e = ą gdzie =W - wskaznik wytrzymałości przekroju na zginanie
max
J
J e
e
M
� = ą
max
W
Największe naprę\enia normalne występują w warstwach skrajnych belki i są równe
stosunkowi momentu zginającego w rozwa\anym przekroju belki do wskaznika
wytrzymałości tego przekroju na zginanie.
Tabela 4. Osiowe momenty bezwładności i wskazniki wytrzymałości przekroju na zginanie dla figur płaskich
[5, s. 240]
Wskaznik wytrzymałości
Przekrój Moment bezwładności
przekroju na zginanie
b �" h3 b �" h2
J = Wx =
x
12 6
h �"b3 h �"b2
J = Wy =
y
12 6
a4 a3
J = J = Wx =Wy =
x y
12 6
4 3
Ą �" d Ą �" d
J = J = Wx =Wy =
x y
64 32
4
Ą
Ą D4 - d
4
J = J = (D4 - d )
Wx =Wy = �"
x y
64
32 D
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
47
Dla elementów konstrukcyjnych o zło\onych przekrojach momenty bezwładności oblicza
się korzystając z twierdzenia Steinera:
Jl = J + S �"a2
x
Jl -osiowy moment bezwładności względem osi l
J -osiowy moment bezwładności względem osi x,
x
przechodzącej przez środek cię\kości przekroju
S -pole figury
a -odległość między osiami
Rys. 44.Twierdzenie Steinera [5, s. 242]
Moment bezwładności figury płaskiej względem osi równoległej do osi środkowej jest
równy momentowi bezwładności tej figury względem osi środkowej, powiększonemu o
iloczyn pola figury i kwadratu odległości między osiami.
Obliczanie belek na zginanie
W belkach zginanych w przekrojach poprzecznych występują jednocześnie momenty
zginające i siły tnące, które wywołują w przekrojach naprę\enia normalne od momentów
zginających i naprę\enia styczne od sił stycznych. Wartość naprę\eń normalnych zale\y od
momentu zginającego, wymiarów, kształtu i usytuowania przekroju belki i nie mo\e
przekraczać naprę\enia dopuszczalnego dla zginania.
M
� = d" kg (kgj ,kgo)
W
Obliczanie elementów skręcanych
Skręcanie zachodzi wtedy, gdy element jest obcią\ony dwoma momentami równymi,
przeciwnie zwróconymi, działającymi w dwóch płaszczyznach prostopadłych do osi
elementu. Przykładami elementów skręcanych są wałki w skrzyniach biegów, wały odbioru
i przyjęcia mocy itd.
Moment skręcający M w danym przekroju poprzecznym pręta jest sumą algebraiczną
s
momentów wszystkich par sił zewnętrznych działających po dowolnej stronie
rozpatrywanego przekroju i le\ących w płaszczyznie prostopadłej do osi pręta.
Wartość momentu w ka\dym przekroju przedstawia się za pomocą wykresu momentów
skręcających M . Momenty skręcające przekazywane przez wał obliczamy ze wzoru:
s
P
M =9554,14
s
n
M - moment skręcający w Nm,
s
P - moc w kW,
n - prędkość obrotowa wału w obr/min.
Moment obrotowy powoduje w przekrojach poprzecznych powstanie naprę\eń
stycznych, które są równe stosunkowi momentu skręcającego do wskaznika przekroju na
skręcanie.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
48
Wskaznik przekroju na skręcanie W0
+
J0 J x J y
W0 = =
d d
2 2
Dla pełnego wału Dla wału drą\onego
3 4
Ą �" d Ą �"(D4 - d )
Wo = W0 =
16 16D
Rys. 45. Moment skręcający i naprę\enia styczne [2, s. 164]
Warunek wytrzymałości wałów na skręcanie
M
s
� = d" ks (ksj ,kso):
Wo
Wytrzymałość zło\ona
W elementach maszyn i urządzeniach w większości przypadków występują jednocześnie
dwa lub więcej stanów naprę\eń. Mówimy wtedy o wytrzymałości zło\onej i nale\ą do niej:
ukośne zginanie, zginanie ze ściskaniem lub rozciąganiem, nieosiowe ściskanie, zginanie ze
skręcaniem. Naprę\enia występujące w tych przypadkach mogą mieć jednakowe kierunki,
wówczas naprę\enia sumuje się i porównuje z naprę\eniami dopuszczalnymi lub występują
naprę\enia normalne i styczne, wtedy wyznacza się naprę\enia zastępcze.
Zginanie ukośne
Zginanie to występuje wówczas, gdy siła le\y w płaszczyznie prostopadłej do osi belki.
Największe naprę\enia rozciągające w punkcie C:
Fy �" x
Fz �" x
� = + ; M1 = Fy �" x ; M = Fz �" x
2
Wz Wy
Rys. 46. Zginanie ukośne i rozkład naprę\eń [5, s. 276, 277]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
49
�ł �ł
M1 M
2
�ł �ł
� = ą + d" kg warunek wytrzymałości dla największych naprę\eń w przekroju
max
�ł
Wz Wy �ł
�ł łł
Zginanie z osiowym rozciąganiem lub ściskaniem
Ten rodzaj zło\onego obcią\enia występuje między innymi w korpusach wiertarek
w hakach urządzeń transportowych.
Naprę\enia normalne od zginania w skrajnych
włóknach
M1
� = ą ; M1 = F1 �" x - moment zginający
W
Naprę\enia ściskające
N
� = -
S
Rys. 47. Zginanie z osiowym ściskaniem [5, s. 280]
Warunki wytrzymałości przy jednoczesnym:
N M
max
- zginaniu i rozciąganiu � =+ ą d" kr ,
S W
N M
max
- zginaniu i ściskaniu � =- ą d" kc .
S W
Szczególnym przypadkiem jednoczesnego zginania i ściskania jest ściskanie
mimośrodowe. Występuje ono wówczas, gdy słup jest ściskany siłą, która nie le\y w osi, lecz
jest przesunięta o wartość e , zwaną mimośrodem. Naprę\enia są sumą naprę\eń ściskających
w całym przekroju słupa i naprę\eń zginających wywołanych momentem.
Naprę\enia ściskające
F
�1 =-
S
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
50
Naprę\enia zginające
F �"e
� = ą
g
W
F F �"e
dla punktu A: � =- + d" kr
r
S W
F F �"e
dla punktu B:� =- - d" kc
c
S W
Rys. 48. Ściskanie mimośrodowe [5, s. 282]
Skręcanie z równoczesnym zginaniem
Skręcanie ze zginaniem najczęściej występuje w przypadku wałów z osadzonymi na nich
kołami zębatymi, pasowymi, tarczami hamulcowymi. Występują wówczas jednocześnie
naprę\enia styczne pochodzące od skręcania oraz naprę\enia normalne od zginania.
Moment zredukowany wg hipotezy Hubera
2
2
M = M + 0,75�" M
z s
Warunek wytrzymałości
M
z
� = d" kg
z
W
Rys. 49. Skręcanie ze zginaniem [5, s. 285]
Stan obcią\enia wynikający z jednoczesnego działania momentu skręcającego i zginającego
zastępuje się momentem zredukowanym (zastępczym) M , obliczanym z hipotez.
z
Wyboczenie
Zjawisko wyboczenia występuje przy osiowym ściskaniu prętów o małych wymiarach
poprzecznych w stosunku do ich długości. Zjawisko wyboczenia polega na utracie
stateczności elementów pod wpływem ściskania (następuje wygięcie). Siłę krytyczną Fkr , po
przekroczeniu której następuje wyboczenie, wylicza się ze wzoru Eulera.
2
Ą �" E �" Jmin
Fkr =
lr2
gdzie: E -
- moduł sprę\ystości wzdłu\nej materiału pręta w Pa,
-
-
Jmin - najmniejsza wartość osiowego momentu bezwładności przekroju poprzecznego
pręta w m4,
lr - długość zredukowana pręta, zale\na od sposobu jego zamocowania, w m.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
51
a) pręt zamocowany na obu końcach przegubowo,
b) pręt utwierdzony jednym końcem,
c) pręt jednym końcem utwierdzony, a drugim
zamocowany przegubowo,
d) pręt na obu końcach utwierdzony.
2�"
Fkr Ą E
� = = naprę\enie krytyczne
kr
S 2
lr Jmin
= , i =
i S
gdzie: -smukłość pręta,
i - promień bezwładności.
Rys. 50. Sposoby zamocowania [5, s. 294]
Dla wyboczenia w granicach sprę\ystości i proporcjonalności materiału naprę\enia krytyczne
wynoszą
2�"
Ą E
� = d" RH , RH -granica proporcjonalności.
kr
2
Wytrzymałość zmęczeniowa
W elementach maszyn, które poddano zmiennym obcią\eniom, powstają naprę\enia
zmieniające się w czasie u\ytkowania, które nazywamy naprę\eniami zmęczeniowymi.
Naprę\enia zmieniają się w czasie jednego okresu drgań T między skrajnymi wartościami:
naprę\eniem maksymalnym � i minimalnym � .
max min
Cykl naprę\eń charakteryzują wielkości:
amplituda naprę\enia
� -�
max min
� =
a
2
naprę\enie średnie
� +�
max min
� =
m
2
współczynnik asymetrii cyklu
�
max
R =
�
min
Rys. 51. Zmienność naprę\eń w czasie [1, s. 201]
Wartość największego naprę\enia Z, które materiał mo\e przenieść nieograniczoną liczbę
razy, nazywa się wytrzymałością zmęczeniową. Parametry: naprę\enie i liczbę cykli
przedstawia się na wykresie W1hlera. W próbach zmęczeniowych określa się umowną liczbę
cykli naprę\eń; dla stali wynosi 107cykli lub przyjmuje szacunkowo w odniesieniu do
wytrzymałości na rozciąganie Rm.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
52
Przykładowe zale\ności dla stali:
Wytrzymałość na zginanie obustronne Zgo = (0,4 - 0,6)Rm
Wytrzymałość na skręcanie obustronne Zso = 0,6�" Zgo
Wytrzymałość na rozciąganie i ściskanie wahadłowe
Zrc = 0,7 �" Zgo
Rys. 52. Krzywa W1hlera [5, s. 311]
Zale\ność wytrzymałości zmęczeniowej od naprę\enia maksymalnego oraz średniego
i amplitudy naprę\eń dla ró\nych materiałów przedstawia się za pomocą ró\nych wykresów.
z których najczęściej spotykany jest wykres Smitha.
Rys. 53. Wykres Smitha [1, s. 206]
4.5.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Jakie znasz rodzaje odkształceń w elementach maszyn?
2. Jaki rodzaje naprę\eń występują podczas odkształceń?
3. Od czego zale\y naprę\enie dopuszczalne?
4. Co nazywamy ścinaniem technologicznym?
5. Co to jest siła tnąca i moment zginający?
6. Jaka jest zale\ność między wykresami momentów zginających i sił tnących?
7. Jak obliczamy wskaznik wytrzymałości przekroju na zginanie?
8. Gdzie w obliczeniach wytrzymałościowych stosujemy twierdzenie Steinera?
9. Jaki jest warunek wytrzymałościowy przy zginaniu?
10. Jak obliczamy wskaznik przekroju na zginanie?
11. Jakie naprę\enia występują przy skręcaniu?
12. Jak obliczamy naprę\enia przy jednoczesnym skręcaniu i zginaniu?
13. Co to jest wyboczenie?
14. Od czego zale\y naprę\enie krytyczne przy wyboczeniu?
15. Co nazywamy wytrzymałością zmęczeniową?
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
53
4.5.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Oblicz naprę\enie normalne w przekroju poprzecznym pręta o średnicy d = 20 mm
rozciąganego siłami osiowymi F = 10 kN. Dobierz gatunek materiału dla pręta.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
2) zorganizować stanowisko do wykonania ćwiczenia,
3) określić siły działające na pręt,
4) naszkicować obcią\enie pręta,
5) wyznaczyć naprę\enia normalne w pręcie,
6) dobrać gatunek materiału,
7) zaprezentować wyniki ćwiczenia.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- normy własności wytrzymałościowych stali,
-
-
-
- poradnik mechanika,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
Ćwiczenie 2
Dobierz profil dwuteownika wykonanego ze stali St3S ściskanego siłą F = 400 kN.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) zorganizować stanowisko do wykonania ćwiczenia,
2) odszukać w normach naprę\enie dopuszczalne na ściskanie dla materiału dwuteownika,
3) obliczyć z warunku wytrzymałościowego minimalny przekrój dwuteownika,
4) dobrać dwuteownik z norm,
5) zaprezentować wyniki ćwiczenia.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- normy własności wytrzymałościowych stali,
-
-
-
- tablice wyrobów hutniczych,
-
-
-
- poradnik mechanika,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
Ćwiczenie 3
Wyznacz średnicę znormalizowaną wału skręcanego wykonanego ze stali 20 , który
przenosi moc P = 30 kW przy prędkości obrotowej 120 obr/min.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) obliczyć moment skręcający wał,
2) napisać warunek wytrzymałościowy dla wałów skręcanych,
3) przeanalizować wielkości występujące we wzorze,
4) w tablicach wytrzymałościowych odszukać naprę\enie dopuszczalne dla materiału wału,
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
54
5) określić współczynnik wytrzymałości przekroju kołowego na skręcanie,
6) obliczyć minimalną średnicę wału skręcanego,
7) przyjąć średnicę znormalizowaną z norm,
8) zaprezentować wyniki ćwiczenia.
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- normy własności wytrzymałościowych stali,
-
-
-
- tablice wyrobów hutniczych,
-
-
-
- poradnik mechanika,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
Ćwiczenie 4
Określ wytrzymałość zmęczeniową Zg dla pręta wykonanego ze stali 20H, który jest
obcią\ony siłą w cyklu dwustronnym niesymetrycznym w granicach 15ą40 kN. Naprę\enia
wywołane obcią\eniem, wynoszą: � H" 275 MPa oraz � H" -125 MPa.
max min
Fmin
R =
Fmax
2
tg� =
1+ R
Rysunek do ćwiczenia 4 [4, s. 28]
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) zorganizować stanowisko do wykonania ćwiczenia,
2) odczytać z tablic wytrzymałościowych Rm , Re dla materiału pręta,
3) obliczyć szacunkową wartość wytrzymałości na zginanie obustronne,
4) obliczyć Fmin i Fmax oraz � dla obcią\enia niesymetrycznego,
5) narysować układ współrzędnych � , � i oznaczyć charakterystyczne punkty na
m max
wykresie zgodnie z rysunkiem,
6) wykreślić prostą pod kątem � i odczytać wartość wytrzymałości zmęczeniowej Zg ,
7) obliczyć moment skręcający wał,
8) zaprezentować wyniki ćwiczenia.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
55
Wyposa\enie stanowiska pracy:
- normy własności wytrzymałościowych stali,
-
-
-
- poradnik mechanika,
-
-
-
- literatura wskazana przez nauczyciela,
-
-
-
- poradnik dla ucznia.
-
-
-
4.5.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak Nie
1) określić warunki wytrzymałościowe dla prętów rozciąganych
i ściskanych? � �
2) rozró\nić naprę\enia normalne i styczne?
� �
3) wyznaczyć wskaznik przekroju na zginanie dla ró\nych profili?
� �
4) wyznaczyć naprę\enia w pręcie zginanym?
� �
5) wyznaczyć moment skręcający?
� �
6) wyznaczyć naprę\enia w pręcie skręcanym?
� �
7) dobrać gatunek materiału dla ró\nych obcią\eń?
� �
8) wyznaczyć naprę\enia w pręcie jednocześnie zginanym
i rozciąganym? � �
9) określić warunek wytrzymałości dla przypadku jednoczesnego
skręcania i zginania? � �
10) określić, od czego zale\y siła krytyczna przy wyboczeniu?
� �
11) wyznaczyć wytrzymałość zmęczeniową?
� �
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
56
5. SPRAWDZIAN OSIGNIĆ
INSTRUKCJA DLA UCZNIA
1. Przeczytaj uwa\nie instrukcję.
2. Podpisz imieniem i nazwiskiem kartę odpowiedzi.
3. Zapoznaj się z zestawem zadań testowych.
4. Test zawiera 20 zadań. Do ka\dego zadania dołączone są 4 mo\liwości odpowiedzi.
Tylko jedna jest prawidłowa.
5. Udzielaj odpowiedzi na załączonej karcie odpowiedzi, stawiając w odpowiedniej rubryce
znak X. W przypadku pomyłki nale\y błędną odpowiedz zaznaczyć kółkiem, a następnie
ponownie zakreślić odpowiedz prawidłową.
6. Zadania wymagają prostych obliczeń, które powinieneś wykonać przed wskazaniem
poprawnego wyniku.
7. Pracuj samodzielnie, bo tylko wtedy będziesz miał satysfakcję z wykonanego zadania.
8. Jeśli udzielenie odpowiedzi będzie Ci sprawiało trudność, wtedy odłó\ jego rozwiązanie
na pózniej i wróć do niego, gdy zostanie Ci wolny czas.
9. Na rozwiązanie testu masz 30 min.
Powodzenia!
ZESTAW ZADAC TESTOWYCH
1. Do wielkości wektorowych zaliczamy
a) pracę, naprę\enie.
b) masę, moc.
c) prędkość, przyspieszenie.
d) ciśnienie, temperaturę.
2. Naprę\enie 10 MPa jest równe
a) 1000 N/mm2.
b) 100 kN/mm2.
c) 10 MN/mm2.
d) 10 N/mm2.
3. Kierunek siły reakcji więzów jest znany w przypadku
a) utwierdzenia,
b) ło\ysk poprzecznych,
c) przegubów,
d) więzów wiotkich.
4. Suma rzutów trzech sił na oś x wynosi
a) Fx = F2 � cos 300 +F3
b) Fx = F1 � cos 300 + F2 +F3
c) Fx = F1 � cos 300 + F2 F3
d) Fx = F1 + F2 � cos 300 +F3
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
57
5. Dowolny płaski układ sił jest w równowadze, gdy spełnione są następujące warunki:
wielobok sił jest
a) zamknięty i wielobok sznurowy otwarty.
b) otwarty i wielobok sznurowy otwarty.
c) otwarty i wielobok sznurowy zamknięty.
d) zamknięty i wielobok sznurowy zamknięty.
6. Równanie drogi dla wykresu ma postać
a) s = tgą �"t .
b) s = so + v �"t .
c) s = so v �"t .
2
a �"t
d) s = so +
2
7. Siła tarcia dla ciała w chwili równowagi granicznej wynosi
a) T = Gźcosąź�.
b) T = Gźsiną.
c) T = Gź�.
d) T = Gźtgą.
8. Przedstawiony sposób wyznaczania prędkości mechanizmów płaskich to
a) plan przyspieszeń.
b) hodograf prędkości.
c) plan prędkości.
d) metoda prędkości odwróconych.
9. Wytrzymałość materiałów zajmuje się
a) wyznaczaniem parametrów ruchu.
b) wytwarzaniem elementów maszyn.
c) projektowaniem elementów konstrukcyjnych.
d) prawidłową eksploatacją maszyn i urządzeń.
10. Moment siły ma wartość M = F�a `" 0 względem osi
a) z.
b) z i x.
c) x.
d) x i y.
11. Naprę\enie w pręcie o boku 2 cm rozciąganym siłą F = 80 kN wynosi
a) 400 MPa.
b) 200 MPa.
c) 160 MPa.
d) 120 MPa.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
58
12. Chwilowy środek obrotu pręta, który przesuwa się końcami po osiach x i y z, znajduje się
w punkcie
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
13. Środek cię\kości ciała
a) zmienia poło\enie wewnątrz ciała podczas ruchu ciała.
b) musi pokrywać się z punktem materialnym ciała.
c) nie zmienia swego poło\enia przy odkształceniu plastycznym ciała.
d) pokrywa się ze środkiem cię\kości punktów materialnych ciał składowych.
14. Odkształcenie elementu na rysunku zachodzi podczas
a) skręcania.
b) ściskania.
c) zginania.
d) rozciągania.
15. Długość zredukowana dla pręta o długości l podczas wyboczenia zamocowanego na obu
końcach przegubowo wynosi
a) lr = l.
b) lr = 2 l.
c) lr = 0,7 l.
d) lr = 0,5 l.
16. Moment główny względem punktu B wynosi
a) -F1�"a+F2(a+b) RB(a+b+c) = 0.
b) -RA(a+b+c)+ F2 (a + b)-F1�"a = 0.
c) -RA(a+ b+c)+F2(b+ c)-F1�"a = 0.
d) +RA(a+ b+c)-F1(b+ c)+F2�"c = 0.
17. Średnicę d na przedstawionym schemacie obcią\enia oblicza się wg wzoru
F
a) � = d" kt (ktj ,kto).
S
M
s
b) � = d" ks .
Wo
F F �"e
c) � =- - d" kc .
c
S W
M
d) � = d" kg (kgj ,kgo).
W
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
59
18. Dla obcią\enia belki wska\ wykres momentów zginających
a) b) c) d)
19. Profile walcowane wyboczają się w kierunku
a) osi o najmniejszym momencie bezwładności.
b) osi o największym momencie bezwładności.
c) dowolnym.
d) warstw o największym momencie zginającym.
20. Moment skręcający dla pręta utwierdzonego z jednej strony, a z drugiej strony
obcią\onego parą sił w płaszczyznie prostopadłej do osi pręta przyjmuje wartość
a) maksymalną w połowie pręta.
b) jednakową na całej długości pręta.
c) maksymalną w miejscu utwierdzenia pręta.
d) maksymalną w miejscu przyło\enia pary sił.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
60
KARTA ODPOWIEDZI
Imię i nazwisko................................................................................................
Wykonywanie obliczeń w układach statycznych, dynamicznych
i kinematycznych
Zakreśl poprawną odpowiedz
Nr
Odpowiedz Punkty
zadania
1. a b c d
2. a b c d
3. a b c d
4. a b c d
5. a b c d
6. a b c d
7. a b c d
8. a b c d
9. a b c d
10. a b c d
11. a b c d
12. a b c d
13. a b c d
14. a b c d
15. a b c d
16. a b c d
17. a b c d
18. a b c d
19. a b c d
20. a b c d
Razem:
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
61
6. LITERATURA
1. Janicki L.: Mechanika techniczna. Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa
1986
2. Kozak B.: Mechanika techniczna. Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa
2004
3. Rutkowski A., Stępniewska A.: Zbiór zadań z części maszyn. Wydawnictwo Szkolne
i Pedagogiczne, Warszawa 1998
4. Rutkowski A.: Części maszyn. Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1998
5. Siuta W.: Mechanika techniczna. Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa
1997
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
62

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
311[15] O1 03 Wykonywanie rysunków części maszyn
311[15] Z1 01 Wykonywanie pomiarów warsztatowych
311[15] Z4 04 Przewietrzanie kopalń
311[15] Z1 02 Wykonywanie podstawowych zabiegów obróbki i spajania materiałów
311[15] Z1 03 Wykonywanie konserwacji i naprawy maszyn górniczych
311[15] Z2 04 Eksploatowanie układów sterowania, sygnalizacji i łączności
Zasady wykonywania obliczen statycznych
opiekun w domu pomocy spolecznej46[04] o1 04 n
311[15] Z4 02 Klasyfikowanie systemów eksploatacji złóż
linie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych belka
introligators4[02] o1 04 n
fotograf13[05] o1 04 n
Reguly wykonywania obliczen
Linie wplywowe w ukladach statycznie wyznaczalnych kratownica2

więcej podobnych podstron