XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Rajmund Leszek IGNATOWICZ1
Ernest KUBICA2
ANALIZA STATECZNOÅšCI SA
UPÓW STALOWYCH
OBCI
ŻONYCH ŚCISKANIEM ZMIENNYM W CZASIE
1. Wprowadzenie
Współczesne metody obliczania konstrukcji stalowych, ujęte w formie przepisów i wytycz-
nych w normatywach krajowych i europejskich, dotyczą analiz konstrukcji dla obciążeń o
charakterze quasi-statycznym. Pojawienie się w konstrukcji oddziaływań dynamicznych np.
ściskanie słupa siłą wzrastającą w czasie, nie pozwala na wyznaczenie współczynników
niestatecznoÅ›ci ogólnej Õ z zależnoÅ›ci zawartych w opracowaniach [1], [6], [8], [9]. Wartość
krytyczna obciążenia zależ y od jego przebiegu [3], [7], jest inna dla obciążeń szybkozmien-
nych, inna w przypadku obciążeń mających charakter wolnozmienny. W pracy podjęto próbę
wyznaczenia ścież ki równowagi dynamicznej słupa stalowego obciążonego ściskaniem
zmiennym w czasie. W celu uproszczenia analiz teoretycznych i numerycznych, przyjęto
założenie, że przekrój poprzeczny słupa jest w klasie 1 wg kryteriów zawartych w polskiej
normie [9].
wybuch
awaryjne napełnianie
zbiornika buforowego
Rys. 1. Wybrane przykłady obciążeń szybko (a) i wolno zmiennych (b)
1
Dr inż., Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej
2
Dr hab. inż., Prof. PWr, Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej
54
Wyboczenie dynamiczne pręta jest stanem ruchu, podczas którego ugięcia wykazują tenden-
cję nieograniczonego wzrostu. Ruch ten został wzbudzony ściskaniem podłużnym.
Pochodzenie siły ściskającej dynamicznie pręt może być rezultatem uderzenia pewnego
ciała sztywnego i nazywa się to wyboczeniem uderzeniowym. Siła ś ciskająca może pocho-
dzić od fali ciśnienia (np. po wybuchu), wówczas obciążenie wzrasta do wartości maksymal-
nej w określonym czasie (rys.1).
Wzbudzenie ruchu poprzecznego przez obciążenie wzrastające w czasie wymaga ist-
nienia pewnych czynników inicjujących tzn.: wstępnego wygięcia, mimośrodowości siły
ściskającej, niejednorodności materiałowej, imperfekcji strukturalnych itp. W rozważaniach
analitycznych najczęściej uwzględnia się tylko jeden z tych czynników, mianowicie odstęp-
stwo od prostoliniowości osi geometrycznej pręta.
Współczesne badania ś wiatowe dotyczą analiz konstrukcji pod obciążeniami typu uda-
rowego tzn. obciążenia typu krótkotrwałego impulsu [3], [5].
2. Schemat statyczny i obciążenie słupa
Analiza dotyczy zachowania się pręta zginanego siłą ściskającą w kierunku osiowym z po-
minięciem sił bezwładności w tym kierunku. Pomija się w ten sposób problem drgań po-
dłużnych, a więc sprzężeń, jakie w rzeczywistości istnieją pomiędzy ruchem poprzecznym i
podłużnym. Przyjęcie takiego założenia jest moż liwe, gdy są spełnione dwa warunki [3].
Pierwszy z nich stanowi, że obliczenia dotyczą wyłącznie póz
niejszej fazy ruchu (stłumienie
drgań podłużnych) [7], [3], [5], zaś dominującą formą ruchu stały się quasi-stacionarne drga-
nia giętne. To oczywiście moż na sprowadzić do przyjęcia intensywnego tłumienia we-
wnętrznego (cecha większości materiałów konstrukcyjnych). Drugi warunek dotyczy obcią-
żenia tzn. obciążenie musi działać przez dostatecznie długi czas i zmieniać się stosunkowo
powoli; przyrost obciążenia w czasie równym okresowi drgań podłuż nych pręta powinien
być mały wobec wartości maksymalnej.
Pominięcie w rozważaniach bezwładności osiowej znacznie upraszcza analizę, pozwa-
lając sprowadzić problem z układu równań różniczkowych do równania o pochodnych cząst-
kowych ze współczynnikiem funkcyjnym.
Zakłada się, że materiał podlega prawu Hooke a  rozwiązanie dotyczy tylko obszaru
sprężystego. Przyjęto następujące falowe równanie różniczkowe drgań giętnych pręta ści-
skanego (model Bernoulliego-Eurela):
"4 w "2 w "2 w "4 w0
+ µ Å" + =
(1)
2
"x4 "x2 "t "x4
gdzie:
t E Å" J N (t)
w (x,t) = w (x,t)/L; x = x / L; t = Å" ; µ = ; x "[0,1); t e" 0;
L2 Á Å" F E Å" F
L - długość pręta, t - czas, E - współczynnik sprężystości podłużnej, J - moment bezwładno-
Å›ci przekroju sÅ‚upa, Á - ciężar objÄ™toÅ›ciowy materiaÅ‚u, F - pole przekroju sÅ‚upa.
Pierwsze sformułowanie zagadnienia stateczności dynamicznej pręta, o przyrastającym
w czasie skróceniu podał Hoff [3] uzyskując rozwiązanie asymptotyczne, które zostało roz-
wiązane z większą dokładnością przez Schoenberg a [3].
 55
N[t]
" s t
fo

Rys. 2. Model statyczny słupa
W analizie przyjęto schemat statyczny jak na rys.2, zaś funkcje przemieszczeń w posta-
ci następujących wyrażeń:
, (2)
w(x,t) = r Å" fm( t )Å" sin( m Å" Ä„ Å" x )
w0 (x) = r Å" fo Å" sin(m Å" Ä„ Å" x), (3)
gdzie: r  promień bezwładności przekroju poprzecznego pręta, .
x "(0, 1)
Rozpatrując zachowanie się pręta dwuprzegubowego z wygięciem wstępnym, obciążo-
nego siÅ‚Ä… Å›ciskajÄ…cÄ… powodujÄ…cÄ… jednostajne zbliżanie koÅ„ców ( " = s Å" t , gdzie s - staÅ‚a),
moż na skrócenie słupa wyrazić wzorem:
2
m Å" Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
µ (t) = s Å" t - ìÅ‚ ÷Å‚ - f02). (4)
Å"(fm(t)
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Podstawiając powyż sze wzory (2), (3) do równania (1) i odpowiednio przekształcając
otrzymuje się następujące równanie równowagi [3],[7]:
..
îÅ‚
m2
2
fm + m2 Å" © Å" - Ä + Å"(fm2 - fo 2)Å‚Å‚ Å" fm = m4 Å" © Å" f0 , (5)
ïÅ‚m 4 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
2 2
2
..
c Ä„2  s Å" t d fm
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
gdzie: &! = Å" ; Ä = Å" ; fm = ; c = E Á .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
s 2 íÅ‚ Ä„ L dÄ2
íÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚
Równanie (5) jest równaniem nieliniowym ze współczynnikiem funkcyjnym i z tego
powodu nie ma rozwiązania zamkniętego. Rozwiązania równania (5) moż na poszukiwać za
pomocą rozwiązań asymptotycznych jak to uczynił Hoff [3]. Druga moż liwość, to nume-
ryczne całkowanie równania (5) np. metodą Rungego-Kutty. Taką drogę przyjęto w pracy
rozwiązując zagadnienie numerycznie w zintegrowanym środowisku modelowania matema-
tycznego programu Mathematica v.3.0 [10] dla każdego przypadku osobno.
Poszukiwanie siły krytycznej dla słupa obciążonego ściskaniem w sposób powyżej opi-
sany, obarczonego wstępnym wygięciem wo(t) nie jest możliwe przy takim sformułowaniu
zagadnienia. Jest to zagadnienie teorii II rzędu. Warunki rzeczywistej pracy słupów o duż ych
L
56
smukłościach zmuszają do analizy pręta z wstępnym wygięciem, bowiem w istotny sposób
wpływa ono na przebieg ścież ki równowagi i wartość maksymalnego obciążenia.
Zagadnienie to moż na ograniczyć do takich wartości sił osiowych przy których pojawia
pierwsze gwałtowne przejście ze stanu spoczynku w wyraz
ny ruch drgajÄ…cy. Przy znanym
przebiegu funkcji fm (t) możliwe staje się wyznaczenie pierwszego lokalnego maksimum sił
osiowych z zależ ności:
2
ëÅ‚ öÅ‚
m Å" Ä„ 2
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
N(t)= E Å" F Å" s Å" t - ìÅ‚ ÷Å‚ Å"(fm (t)2 - f0) , (6)
ìÅ‚ ÷Å‚
2 Å" 
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
co moż na uznać za tzw. umowną ,,siłę krytyczną''.
Tak opracowany algorytm rozwiązywania pozwala sporządzić procedurę obliczeniową
w programie Mathematica v.3.0 [10]. Przykładowe schematyczne zależności do wyznaczenia
tzw. "umownych parametrów krytycznych" pokazano na rys. 3.
Nm(Ä)/Nkr
fm(Ä)
fm stat./fm dyn
4
0.005
1
3
2
rozwiazanie
statyczne
1
Ä
Ä
Ä
1.0
1
1
Rys. 3. Przykładowo wyznaczone zależności uzyskane drogą numerycznego całkowania
równania (5): a) przemieszczenia wzglÄ™dne Å›rodka sÅ‚upa fm(Ä), b) zależność siÅ‚y osiowej
Nm(Ä), c) stosunek przemieszczeÅ„ statycznych do dynamicznych, w funkcji umownego czasu
Na podstawie tak sporządzonych wykresów wykonano obliczenia słupów o różnych
smukłościach, dla różnych wielkości wygięć wstępnych. Obliczenia wykonano dla wybra-
nych prędkości przyrostu siły ściskającej.
3. Wybrane wyniki analiz teoretycznych i numerycznych
W pierwszym kroku analiz podjęto próbę określenia wielkości wpływu wstępnego wygięcia na
wielkość maksymalnej siÅ‚y osiowej. Na rys. 4 pokazano zależność Nm(Ä) dla różnych wielkoÅ›ci
wygięcia wstępnego pręta o smukłości  = 250 i prędkości przyrostu skrócenia końców s =
0,0002. Wyraz
nie widać, że im większa strzałka wstępnego wygięcia tym mniejsza wartość
maksymalnej siły osiowej, jednak w każdym przypadku jest ona większa niż wartość siły kry-
tycznej dla obciążeń statycznych. Całe zjawisko ma bezpośrednie przełożenie na chwilową
sztywność słupa. Na rys. 5 porównano przemieszczenia środka słupa dla obciążeń zmiennych i
quasi-statycznych. Można stwierdzić, że przemieszczenia dla obciążeń dynamicznych są nawet
kilkakrotnie mniejsze od swoich odpowiedników dla obciążeń statycznych.
 57
fo=1/1000
fo=1/500
Nm(Ä)/Nkr
1.2
fo=1/250
1.0

0.8
N Ä
0.6
f Ä
0.4
0.2
Ä
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Rys. 4. Zależność maksymalnej siły osiowej od wielkości początkowego wygięcia
dla słupa o smukłości prętowej  = 250.
fm stat./fm dyn.
3
fo=1/1000
Ä

fm Ä
fo=1/500
2
fo=1/250
1
Ä
1 1.4
Rys. 5. Porównanie ugięć statycznych i dynamicznych dla słupa
o smukłości prętowej  = 250
58
W drugim kroku analizy zbadano jaki wpływ wywiera wielkość prędkości obciążenia
na wartość pierwszego lokalnego maksimum siÅ‚y osiowej Nm(Ä).
v =43.1kN/s
Nm(Ä)/Nkr
v =13.0kN/s
1.4
N Ä
1.2
f Ä
1.0
0.8
0.6
v =7.1kN/s
0.4

0.2
Ä
0.5 1.0 1.5 2.0
Rys. 6. Zależność Nm(Ä) dla różnych prÄ™dkoÅ›ci przyÅ‚ożenia obciążenia
fm dyn. v =43.1kN/s
0.014
N Ä

0.012
f Ä
v =7.1kN/s
0.010
v =13.0kN/s
0.008
rozwiÄ…zanie
statyczne
0.006
Ä
0.004
0,5 2.0
1.0 1,5
Rys. 7. Zależność fm(Ä) dla różnych prÄ™dkoÅ›ci przyÅ‚ożenia obciążenia
Na rys. 6 przedstawiono zależność Nm(Ä) dla sÅ‚upa o smukÅ‚oÅ›ci prÄ™towej  = 200
i fo = 1/200, dla różnych prędkości przyłożenia obciążenia v. Wraz ze wzrostem prędkości
obciążenia v obserwuje się zwiększenie maksymalnej siły osiowej, po przekroczeniu której
następują oscylacje o amplitudach tym większych im większa jest prędkość przyrostu obcią-
 59
żenia. Wartości maksymalnej siły ściskającej mogą być większe o nawet 48% od siły krytycznej
wyznaczonej dla identycznego schematu statycznego, ale przy obciążeniu stycznym.
Wzrost maksymalnej siły osiowej wynika z opóz
niającego działania sił bezwładności,
co moż na doskonale przedstawić w formie wykresów fm(Ä). Na rys. 7 przedstawiono zależ-
noÅ›ci fm(Ä) dla różnych prÄ™dkoÅ›ci obciążenia. Wydać wyraz
ne opóz
niające działanie sił bez-
władności tym większe im większa jest prędkość przyrostu obciążenia.
fm stat./fm dyn.
1.75 N Ä
v =13.0kN/s
v =43.1kN/s
1.50 f Ä

1.25
v =7.1kN/s
1.00
Ä
0.75
0.5
1.5
1.0 2.0
Rys. 8. Zależność przemieszczeÅ„ w funkcji umownego czasu Ä dla różnych prÄ™dkoÅ›ci obciążenia
N[t]

f 1

Rys. 9. Porównanie  umownej siły krytycznej w stosunku do siły Eulera, dla wybranych
smukłości prętowych, w funkcji potrzebnego czasu do osiągnięcia Nm max(t)
4. Wnioski
Podsumowując moż na stwierdzić, że dla prętów obciążonych ściskaniem zmiennym w cza-
sie, szybki wzrost ugięć zaczyna się z chwilą przekroczenia odpowiedniej wartości eulerow-
L



60
skiej. Szybkość tych zmian jest wpełni zależ na od prędkości obciążenia i wielkości wstępne-
go ugięcia. Po osiągnięciu pierwszego maksimum krzywa ugięć dynamicznych i siły osiowej
oscyluje wokół rozwiązania dla obciążeń quasi-statycznych, przewyż szając je tym bardziej
im większa jest szybkość obciążenia. Syntezą tego typu analiz są krzywe obrazujące zależ-
ność maksymalnej siły osiowej od czasu potrzebnego do osiągnięcia obciążenia maksymal-
nego (rys. 9).
Jak widać na podstawie przeprowadzonych analiz, problem określenia parametrów kry-
tycznych dla opisanych powyżej obciążeń jest na tyle złożony, iż nie moż na stworzyć prostej
formuły określania parametrów krytycznych. Analizę konstrukcji dla tego typu obciążeń
należ y rozszerzyć na obszar sprężysto-plastyczny oraz elementy cienkościenne, co jest dla
autorów kolejnym wyzwaniem.
Literatura
[1] BIEGUS A., Nośność graniczna stalowych konstrukcji prę towych, Warszawa-Wrocław,
PWN, 1997.
[2] BREZINA W., Stateczność prętów konstrukcji metalowych, Arkady, Warszawa 1966.
[3] GRYBOŚ R., Stateczność konstrukcji pod obciążeniem uderzeniowym, Warszawa,
PWN, 1980.
[4] IGNATOWICZ R., KUBICA E., Analiza stateczności płyt obciążonych ściskaniem
zmiennym w czasie. Konferencja naukowa Badania nośności granicznej konstrukcji
metalowych. II Konferencja Naukowa, Wrocław-Karpacz, 18-20 paz
dziernika 2001.
[5] KENNY S., PEGG N., TAHERI F., Dynamic elastic buckling of a slender beam with
geometric imperfections subject to an axial impulse, Finite Elements in Analysis and
Design, Elsevier, No 35, 2000.
[6] KUBICA E., Nośność graniczna i sztywności słupów stalowych o przekrojach skrzyn-
kowych zamkniętych, Prace Naukowe Instytutu Budownictwa PWr, Nr 60, 1991.
[7] LEPIK U., On dynamic buckling of elastic-plastic beams, International Journal of Non-
linear Mechanics, No.35, 2000, s.721-734.
[8] PN-ENV 1993-1-1/AK. Eurokod 3, Projektowanie konstrukcji stalowych cz.1.1.
COBPKM  Mostostal S.A., Warszawa, 1993.
[9] PN-90/B-03200, Konstrukcje stalowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.
[10] Mathematica v.3.0, Wolfram Research, New York, 1998.
ANALYSIS OF STABILITY OF STEEL COLUMN
UNDER COMPRESSION VARIABLE IN TIME TERM
Summary
Changes of path of the dynamic equilibrium for column under loading variable in time term
have been presented. The analysis has been carried out considering nonlinear equations of
the slender column equilibrium when the both inertion factor and geometrical imperfections
are taken into account. Problem has been solved numerically by Runge-Kutty. The main aim
of the paper is to shed light on the problem how the deflection and critical load depend on
the velocity of the acting load.