��1
Liczby zespolone
Definicja Liczb zespolon nazywamy uporzdowan par liczb
rzeczywistych, tj. z = (x, y) . Zbi�r wszystkich liczb zespolonych
oznaczamy: C , zatem
C = { z = (x, y) : x, y " R }
DziaBania na liczbach zespolonych
Niech z1 = (x1, y1) i z2 = (x2, y2) .
" R�wno[ liczb zespolonych
z1 = z2 �!�! x1 = x2 '" y1 = y2
2
" Dodawanie liczb zespolonych
z1 + z2 = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
" Mno|enie liczb zespolonych
z1 � z2 = ( x1 � x2 - y1 � y2 , x1 � y2 + x2 � y1 )
Zbi�r liczb rzeczywistych
Liczby zespolone postaci (x, 0) maj wBasno[ci:
(x1, 0) + (x2, 0) = ( x1 + x2 , 0 )
(x1, 0) � (x2, 0) = ( x1 � x2 , 0 )
Przyjmiemy wic, |e (x, 0) = x a zbi�r wszytkich liczb zespolonych
postaci (x, 0) uto|samimy ze zbiorem liczb rzeczywistych R .
3
Mamy zatem
R �" C
Zbi�r liczb urojonych
Liczby zespolone postaci (0, y) nazywamy liczbami urojonymi.
Liczb (0, 1) nazywamy jednostk urojon i oznaczamy symbolem
i . Mamy w�wczas (0, y) = (0, 1) � (y, 0) = iy .
Fakt
i2 = -1
Posta algebraiczna liczby zespolonej
4
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy, x, y " R
Ten spos�b przedstawiania liczb zespolonych nazywamy ich postaci
algebraiczn.
" Liczb x nazywamy cz[ci rzeczywist (realis) liczby zespolonej
z , co zapisujemy:
x = Re z
" Liczb y nazywamy cz[ci urojon (imaginalis) liczby zespolonej
z , co zapisujemy:
y = Im z
5
Uwaga Dodawanie, odejmowanie i mno|enie liczb zespolonych w
postaci algebraicznej wykonujemy tak jak dodawanie, odejmowanie
i mno|enie wielomian�w zmiennej i , z uwzgldnieniem faktu i2 =
-1 .
PrzykBad Oblicz:
a) (2 - 3i) + 5(1 + 2i)
b) (1 - i)(4 + 2i) - (1 + i)i19
Sprz|enie liczby zespolonej
Definicja Sprz|eniem liczby zespolonej z = x + iy , gdzie
x, y " R , nazywamy liczb z okre[lon wzorem:
z = x - iy.
6
Liczba sprz|ona do liczby zespolonej jest jej obrazem w symetrii
wzgldem osi Re z .
Fakt (WBasno[ci sprz|enia liczb zespolonych)
" (z) = z
" z1 � z2 = z1 � z2
" z1 � z2 = z1 � z2
" z1 : z2 = z1 : z2, z2 = 0
" z + z = 2 Re z
" z - z = 2i Im z
Uwaga Przy dzieleniu przez liczb zespolon z = x + iy nale|y
dzieln i dzielnik pomno|y przez liczb sprz|on z = x - iy .
PrzykBad Oblicz:
7
(2-3i)+5(1+2i)
a)
1-i
2+i 1+i
b) -
4+2i i
Posta trygonometryczna liczby zespolonej
Definicja ModuBem liczby zespolonej z = x+iy , gdzie x, y " R ,
nazywamy liczb rzeczywist |z| okre[lon wzorem:
|z| = x2 + y2.
PrzykBad Oblicz moduBy liczb zespolonych:
a) z = -i
b) z = -1 + 3i
Fakt (WBasno[ci moduBu liczb zespolonych)
" |z| = | - z| = |z|
8
" |z|2 = z � z
" |z1 � z2| = |z1| � |z2|
" |z1 : z2| = z1| : |z2|, z2 = 0
" |z1 + z2| |z1| + |z2|
" | |z1| - |z2| | |z1 - z2|
" |Re z| |z|
" |Im z| |z|
PrzykBad Oblicz moduBy liczb zespolonych:
a) (1 + 2i)(3 - 4i)
"
(3- 3 i)2
"
b)
( 2+2i)3
Definicja Argumentem liczby zespolonej z = x + iy , gdzie
9
x, y " R , nazywamy liczb rzeczywist � , speBniajc warunki:
x y
cos � = , sin � = .
|z| |z|
Uwaga Ka|da liczba zespolona z = 0 ma nieskoDczenie wiele
argument�w postaci:
arg z = � + 2k�.
Definicja Argumentem gB�wnym liczby zespolonej z nazywamy
ten spo[r�d jej argument�w, kt�ry nale|y do przedziaBu (-�, �] .
Argument ten oznaczamy symbolem Arg z .
PrzykBad Oblicz argumenty gB�wne liczb zespolonych:
a) z = -i
10
"
b) z = 3 - i
Fakt (WBasno[ci argumentu liczb zespolonych)
" arg( z1 � z2 ) = arg z1 + arg z2
" arg( zn ) = n arg z
" arg( z1 : z2 ) = arg z1 - arg z2, z2 = 0
PrzykBad Oblicz argumenty gB�wne liczb zespolonych:
a) (1 + i)i4
"
(1- 3 i)2
b)
(2+2i)3
z = x + iy = |z| cos � + i |z| sin � = |z| ( cos � + i sin � )
� = Arg z
11
Ten spos�b przedstawiania liczb zespolonych nazywamy ich postaci
trygonometryczn.
PrzykBad Zapisz w postaci trygonometrycznej liczby zespolone:
a) z = -i
b) z = 3
c) z = -2 + 2i
"
d) z = 3 - i
DziaBania na liczbach zespolonych
w postaci trygonometrycznej
Niech z1 = |z1| ( cos �1 + i sin �1 ) i z2 = |z2| ( cos �2 + i sin �2 ) .
" z1 � z2 = |z1| � |z2| ( cos(�1 + �2) + i sin(�1 + �2) )
|z1|
z1
" = ( cos(�1 - �2) + i sin(�1 - �2) ) , z2 = 0
z2
|z2|
12
Fakt (Wz�r Moivre a) Niech z = |z| ( cos � + i sin � ) . W�wczas
zn = |z|n ( cos(n �) + i sin(n �) ).
PrzykBad Zapisz w postaci algebraicznej liczby zespolone:
a) z = (1 - i)2007
b) z =
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Definicja Pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej z nazywamy
ka|d liczb zespolon w , kt�ra speBnia warunek
wn = z.
13
PrzykBad Zauwa|my, |e:
"
a) 4 = �2 , bo 22 = 4 i (-2)2 = 4
"
b) -4 = �2i , bo (2i)2 = -4 i (-2i)2 = -4
Fakt Niech z = |z| ( cos � + i sin � ) = 0 . W�wczas
"
� + 2k� � + 2k�
n n
z = |z| ( cos + i sin ),
n n
gdzie k = 0, 1, . . . , n - 1 .
PrzykBad Oblicz:
"
4
a) 1
"
3
b) -i
"
4
c) 8 3 - 8i
PrzykBad (Inne sposoby obliczania pierwiastk�w)
"
a) -9
14
"
b) -3 + 4i
Wielomiany zespolone
Rozwizywanie r�wnaD w zbiorze liczb zespolonych
Wielomianem zespolonym stopnia n nazywamy funkcj postaci:
W (z) = an zn + an-1 zn-1 + . . . + a1 z + a0,
gdzie z " C i ak " C dla k = 0, 1, . . . , n .
Twierdzenie Ka|dy wielomian zespolony stopnia n ma dokBadnie
n pierwiastk�w zespolonych (uwzgldniajc pierwiastki wielokrotne).
PrzykBad W zbiorze liczb zespolonych rozwi| r�wnania:
a) z4 - (1 + i)4 = 0
b) z2 - (2 + i)z - 1 + 7i = 0
c) z4 - 30z2 + 289 = 0
15
d) z3 = (iz + 1)3
Twierdzenie Niech
W (z) = an zn + an-1 zn-1 + . . . + a1 z + a0,
bdzie wielomianem zespolonym o wsp�Bczynnikach rzeczywistych,
tj. ak " R dla k = 0, 1, . . . , n .
W�wczas liczba zespolona z0 jest pierwiastkiem wielomianu W (z)
wtedy i tylko wtedy, gdy liczba zespolona z0 jest pierwiastkiem
wielomianu W (z) .
PrzykBad Wiedzc, |e z1 = -1 + i jest pierwiastiem wielomianu
W (z) = z4 + 2z3 + 5z2 + 6z + 6,
znajdz pozostaBe pierwiastki tego wielomianu.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
kolo 2 WMS zesp przyggik 1 l zesplista zesp wykonaw elem?monicznezesp stluszczenia watroby (1)ch11 12 zespliczby zespK zesp SLUP09 Rola zesp resuscytZad zespzesp rzeczKM W# konst zesp?4 studzesp urojfunkcje zesp wyklzespLiczby zesp razemwięcej podobnych podstron