plik


ÿþ1 Liczby zespolone Definicja Liczb zespolon nazywamy uporzdowan par liczb rzeczywistych, tj. z = (x, y) . Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy: C , zatem C = { z = (x, y) : x, y " R } DziaBania na liczbach zespolonych Niech z1 = (x1, y1) i z2 = (x2, y2) . " Równo[ liczb zespolonych z1 = z2 Ð!Ò! x1 = x2 '" y1 = y2 2 " Dodawanie liczb zespolonych z1 + z2 = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) " Mno|enie liczb zespolonych z1 · z2 = ( x1 · x2 - y1 · y2 , x1 · y2 + x2 · y1 ) Zbiór liczb rzeczywistych Liczby zespolone postaci (x, 0) maj wBasno[ci: (x1, 0) + (x2, 0) = ( x1 + x2 , 0 ) (x1, 0) · (x2, 0) = ( x1 · x2 , 0 ) Przyjmiemy wic, |e (x, 0) = x a zbiór wszytkich liczb zespolonych postaci (x, 0) uto|samimy ze zbiorem liczb rzeczywistych R . 3 Mamy zatem R ‚" C Zbiór liczb urojonych Liczby zespolone postaci (0, y) nazywamy liczbami urojonymi. Liczb (0, 1) nazywamy jednostk urojon i oznaczamy symbolem i . Mamy wówczas (0, y) = (0, 1) · (y, 0) = iy . Fakt i2 = -1 Posta algebraiczna liczby zespolonej 4 z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy, x, y " R Ten sposób przedstawiania liczb zespolonych nazywamy ich postaci algebraiczn. " Liczb x nazywamy cz[ci rzeczywist (realis) liczby zespolonej z , co zapisujemy: x = Re z " Liczb y nazywamy cz[ci urojon (imaginalis) liczby zespolonej z , co zapisujemy: y = Im z 5 Uwaga Dodawanie, odejmowanie i mno|enie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy tak jak dodawanie, odejmowanie i mno|enie wielomianów zmiennej i , z uwzgldnieniem faktu i2 = -1 . PrzykBad Oblicz: a) (2 - 3i) + 5(1 + 2i) b) (1 - i)(4 + 2i) - (1 + i)i19 Sprz|enie liczby zespolonej Definicja Sprz|eniem liczby zespolonej z = x + iy , gdzie x, y " R , nazywamy liczb z okre[lon wzorem: z = x - iy. 6 Liczba sprz|ona do liczby zespolonej jest jej obrazem w symetrii wzgldem osi Re z . Fakt (WBasno[ci sprz|enia liczb zespolonych) " (z) = z " z1 ± z2 = z1 ± z2 " z1 · z2 = z1 · z2 " z1 : z2 = z1 : z2, z2 = 0 " z + z = 2 Re z " z - z = 2i Im z Uwaga Przy dzieleniu przez liczb zespolon z = x + iy nale|y dzieln i dzielnik pomno|y przez liczb sprz|on z = x - iy . PrzykBad Oblicz: 7 (2-3i)+5(1+2i) a) 1-i 2+i 1+i b) - 4+2i i Posta trygonometryczna liczby zespolonej Definicja ModuBem liczby zespolonej z = x+iy , gdzie x, y " R , nazywamy liczb rzeczywist |z| okre[lon wzorem: |z| = x2 + y2. PrzykBad Oblicz moduBy liczb zespolonych: a) z = -i b) z = -1 + 3i Fakt (WBasno[ci moduBu liczb zespolonych) " |z| = | - z| = |z| 8 " |z|2 = z · z " |z1 · z2| = |z1| · |z2| " |z1 : z2| = z1| : |z2|, z2 = 0 " |z1 + z2| |z1| + |z2| " | |z1| - |z2| | |z1 - z2| " |Re z| |z| " |Im z| |z| PrzykBad Oblicz moduBy liczb zespolonych: a) (1 + 2i)(3 - 4i) " (3- 3 i)2 " b) ( 2+2i)3 Definicja Argumentem liczby zespolonej z = x + iy , gdzie 9 x, y " R , nazywamy liczb rzeczywist Õ , speBniajc warunki: x y cos Õ = , sin Õ = . |z| |z| Uwaga Ka|da liczba zespolona z = 0 ma nieskoDczenie wiele argumentów postaci: arg z = Õ + 2kÀ. Definicja Argumentem gBównym liczby zespolonej z nazywamy ten spo[ród jej argumentów, który nale|y do przedziaBu (-À, À] . Argument ten oznaczamy symbolem Arg z . PrzykBad Oblicz argumenty gBówne liczb zespolonych: a) z = -i 10 " b) z = 3 - i Fakt (WBasno[ci argumentu liczb zespolonych) " arg( z1 · z2 ) = arg z1 + arg z2 " arg( zn ) = n arg z " arg( z1 : z2 ) = arg z1 - arg z2, z2 = 0 PrzykBad Oblicz argumenty gBówne liczb zespolonych: a) (1 + i)i4 " (1- 3 i)2 b) (2+2i)3 z = x + iy = |z| cos Õ + i |z| sin Õ = |z| ( cos Õ + i sin Õ ) Õ = Arg z 11 Ten sposób przedstawiania liczb zespolonych nazywamy ich postaci trygonometryczn. PrzykBad Zapisz w postaci trygonometrycznej liczby zespolone: a) z = -i b) z = 3 c) z = -2 + 2i " d) z = 3 - i DziaBania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej Niech z1 = |z1| ( cos Õ1 + i sin Õ1 ) i z2 = |z2| ( cos Õ2 + i sin Õ2 ) . " z1 · z2 = |z1| · |z2| ( cos(Õ1 + Õ2) + i sin(Õ1 + Õ2) ) |z1| z1 " = ( cos(Õ1 - Õ2) + i sin(Õ1 - Õ2) ) , z2 = 0 z2 |z2| 12 Fakt (Wzór Moivre a) Niech z = |z| ( cos Õ + i sin Õ ) . Wówczas zn = |z|n ( cos(n Õ) + i sin(n Õ) ). PrzykBad Zapisz w postaci algebraicznej liczby zespolone: a) z = (1 - i)2007 b) z = Pierwiastkowanie liczb zespolonych Definicja Pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej z nazywamy ka|d liczb zespolon w , która speBnia warunek wn = z. 13 PrzykBad Zauwa|my, |e: " a) 4 = ±2 , bo 22 = 4 i (-2)2 = 4 " b) -4 = ±2i , bo (2i)2 = -4 i (-2i)2 = -4 Fakt Niech z = |z| ( cos Õ + i sin Õ ) = 0 . Wówczas " Õ + 2kÀ Õ + 2kÀ n n z = |z| ( cos + i sin ), n n gdzie k = 0, 1, . . . , n - 1 . PrzykBad Oblicz: " 4 a) 1 " 3 b) -i " 4 c) 8 3 - 8i PrzykBad (Inne sposoby obliczania pierwiastków) " a) -9 14 " b) -3 + 4i Wielomiany zespolone Rozwizywanie równaD w zbiorze liczb zespolonych Wielomianem zespolonym stopnia n nazywamy funkcj postaci: W (z) = an zn + an-1 zn-1 + . . . + a1 z + a0, gdzie z " C i ak " C dla k = 0, 1, . . . , n . Twierdzenie Ka|dy wielomian zespolony stopnia n ma dokBadnie n pierwiastków zespolonych (uwzgldniajc pierwiastki wielokrotne). PrzykBad W zbiorze liczb zespolonych rozwi| równania: a) z4 - (1 + i)4 = 0 b) z2 - (2 + i)z - 1 + 7i = 0 c) z4 - 30z2 + 289 = 0 15 d) z3 = (iz + 1)3 Twierdzenie Niech W (z) = an zn + an-1 zn-1 + . . . + a1 z + a0, bdzie wielomianem zespolonym o wspóBczynnikach rzeczywistych, tj. ak " R dla k = 0, 1, . . . , n . Wówczas liczba zespolona z0 jest pierwiastkiem wielomianu W (z) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba zespolona z0 jest pierwiastkiem wielomianu W (z) . PrzykBad Wiedzc, |e z1 = -1 + i jest pierwiastiem wielomianu W (z) = z4 + 2z3 + 5z2 + 6z + 6, znajdz pozostaBe pierwiastki tego wielomianu.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kolo 2 WMS zesp przyg
gik 1 l zesp
lista zesp wykonaw elem?moniczne
zesp stluszczenia watroby (1)
ch11 12 zesp
liczby zesp
K zesp SLUP
09 Rola zesp resuscyt
Zad zesp
zesp rzecz
KM W# konst zesp?4 stud
zesp uroj
funkcje zesp wykl
zesp
Liczby zesp razem

więcej podobnych podstron