1. Liczby zespolone.
Definicja 1.0.1. Liczb¸ zespolon¸ nazywamy uporz¸ a par¸ liczb rzeczywistych
a a adkowan¸ e
np. (x, y).
Zbiór lliczb zespolonych oznaczamy przez C
def
C = {z = (x, y) : x, y " R}.
W zbiorze liczb zespolonych mamy okreÅ›lone dzialania +, · nast¸ aco:
epuj¸
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc).
Nietrudno zauważyć, że dla dowolnych a, b " R mamy
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) i (a, 0) · (b, 0) = (ab, 0).
Możemy wi¸ utożsamiać liczb¸ zespolon¸ (a, 0) z liczb¸ rzeczywist¸ a. Mamy
ec e a a a
zatem R Ä…" C.
Fakt 1.0.1. Każda liczba zespolona (a, b) daje si¸ jednoznacznie przedstawić w
e
postaci :
(a, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1).
St¸ po oznaczeniu liczby (0, 1) symbolem i oraz utożsamieniu liczb (a, 0), (b, 0)
ad
z liczbami a, b odpowiednio mamy:
(a, b) = a + b i.
Powyższe wyrażenie nazywamy postacia algebraiczn¸ liczby zespolonej. Za-
¸ a
uważmy, że i2 = (0, 1) · (0, 1) = (-1, 0) = -1, czyli, że liczba i jest pierwiastkiem z
-1. Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy
jak dodawanie i mnożenie wielomianów pierwszego stopnia zmiennej i.
(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i
(a + b i) · (c + d i) = ac + ad i + bc i + bd i2 = (ac - bd) + (ad + bc) i.
Fakt 1.0.2 (Wlasności dzialań w zbiorze liczb zespolonych). iech z1, z2, z3 " C. Wtedy
1. dodawanie liczb zespolonych jest przemienne:
z1 + z2 = z2 + z1;
2. dodawanie liczb zespolonych jest laczne:
¸
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3);
3. dla każdej liczby zespolonej z liczba zespolona 0 = 0 + 0 i spelnia równość:
z + 0 = 0;
4. mnożenie liczb zespolonych jest przemienne:
z1 · z2 = z2 · z1;
5. mnożenie liczb zespolonych jest laczne:
¸
(z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3);
1
2
6. dla każdej liczby zespolonej z liczba zespolona 1 = 1 + 0 i spelnia równość:
z · 1 = 1;
7. dla każdej liczby zespolonej z = a + b i = 0 liczba zespolona

1 def a b
= - i
z a2 + b2 a2 + b2
spelnia równość:
1
z · = 1;
z
8. mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne wzgl¸ dodawania:
edem
z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3.
Zadanie 1.1. Udowodnić wlasności 1-9.
Definicja 1.0.2. Niech z = a + b i.
1. Liczb¸ rzeczywist¸ a nazywamy cz¸Å›ci¸ rzeczywist¸ liczby zespolonej z i oz-
e a e a a
naczamy symbolemRe z.
2. Liczb¸ rzeczywist¸ b nazywamy cz¸ a urojon¸ liczby zespolonej z i oznaczamy
e a esci¸ a
symbolemIm z.
3. Liczb¸ a - b i nazywamy liczb¸ sprz¸Å¼on¸ z liczb¸ z i oznaczamy z.
e a e a a Å»
"
4. Liczb¸ rzeczywist¸ a2 + b2 nazywamy wartoÅ›ci¸ bezwzgl¸ a lub modulem
e a a edn¸
liczby zespolonej z i oznaczamy |z|.
Ponieważ liczby zespolone s¸ parami liczb rzeczywistych mog¸ być interpre-
a a
towane jako punkty plaszczyzny.
Twierdzenie 1.0.1. JeÅ›li z, z1, z2 s¸ liczbami zespolonym, to:
a
1. Re (z1 + z2) =Re z1 +Re z2,Im (z1 + z2) =Im z1 +Im z2;
1 i
2. Re z = (z + z),Im z = - (z - z);
Å» Å»
2 2
3. z1 + z2 = z1 + z2, z1 - z2 = z1 - z2;
z1 z1
4. z1 · z2 = z1 · z2, = ;
z2 z2
5. (z) = z;
Å»
6. z = z Ô! z " R;
Å»
7. |z| = 0 Ô! z = 0;
8. z · z = |z|2;
Å»
9. Re z d" |Re z| d" |z|,Im z d" |Im z| d" |z|;
10. |z1 · z2| = |z1| · |z2|;
11. |z1 + z2| d" |z1| + |z2|.
Zadanie 1.2. Udowodnić powyższe wlasności.
Zadanie 1.3. Wyprowadzić wzór na dzielenie liczb zespolonych.
Fakt 1.0.3. Dwie liczby zepolone s¸ równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich cz¸
a esci
rzeczywiste i urojone s¸ równe, tzn.
a
Re z1 =Re z2
z1 = z2 Ô!
Im z1 =Im z2.
Zadanie 1.4. Wyznaczyć wsystkie liczby zepolone spelniaj¸ warunki:
ace
1. z2 + 4 i = 0;
2. Re z - 3Im z = 2;
3
3. Re (i z) e" 1;
z+2 3z+ i
4. = .
i-1 z+i
Zadanie 1.5. W zbiorze liczb zespolonych rozwi¸ równania:
azać
1. z2 + 3z = 0;
Å»
z+1
2. = -1;
z-1
Å»
3. (z + z) + i(z - z) = 2 i - 6;
Å» Å»
4. z + i = z + i;
1-3 i 2 i-3
5. = ;
3z+2 i 5-2i z
6. 2z + z = 6 - 5 i;
Å»
1+i 2-3i
7. = ;
z z
Å»
8. z2 - 4z + 13 = 0;
9. z2 - z + 1 = 0.
Zadanie 1.6. Zbadać dla jakich wartości rzeczywistych a, b równanie
3z - 2z = a + b i
Å»
ma rozwi¸
azanie.
Zadanie 1.7. Na plaszczyz
nie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych z spelniaj¸
acych
podane warunki:
1. Im [(1 + 2 i)z - 3 i] < 0;
2. Re (z - i)2 e" 0;
3. z2 = 2Re (i z);
4
4. = z;
Å»
z
5. |z + 1 - 2 i| = 3;
6. 2 d" |z + i| < 4;
7. |(1 + i)z| e" 4;
z+3
8. e" 1;
z-2 i
9. |z2 + 4| d" |z - 2 i|.
Twierdzenie 1.0.2. Jeśli z = a + b i = 0, to "! liczba rzeczywista Ć, taka, że

z = |z|(cos Ć + i sin Ć) i 0 d" Ć < 2Ą.
Jeśli także z = r(cos ą + i sin ą) i r > 0, to r = |z| i ą = Ć + 2kĄ k " Z.
Definicja 1.0.3. Jeżeli z = 0, to liczb¸ rzeczywist¸ Ć tak¸ że z = |z|(cos Ć+i sin Ć)
e a a,
i 0 d" Ć < 2Ą nazywamy argumentem liczby zespolonej z i oznaczameArg z.
Powyższ¸ postać (z = r(cos Ä… + i sin Ä…)) nazywamy przedstawieniem trygonom-
a
etrycznym liczby zespolonej z.
Twierdzenie 1.0.3. Jeśli z = r(cos ą+i sin ą), z1 = r1(cos ą1+i sin ą1), z2 = r2(cos ą2 + i sin ą2),
to
1. z = r(cos(-Ä…) + i sin(-Ä…));
Å»
2. z1 · z2 = r1r2(z = r(cos(Ä…1 + Ä…2) + i sin(Ä…1 + Ä…2));
z1 r1
3. jeśli z2 = 0, to = (cos(ą1 - ą2) + i sin(ą1 - ą2)).

z2 r2
Interpretacja geometryczna mnożenia - obrót zlożony z jednokladnościa.
¸
Wniosek 1.0.1. Jeśli zk = rk(cos ąk + i sin ąk) dla k = 1, . . . , n, to:
z1 · . . . · zn = r1 · . . . · rn(cos (Ä…1 + . . . + Ä…n) + i sin (Ä…1 + . . . + Ä…n)).
4
W szczególności mamy wzór de Moivre a:
(cos Ä… + i sin Ä…)n = cos (nÄ…) + i sin (nÄ…).
Zadanie 1.8. Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej:
"
1. - 5,
2. -6 + 6 i,
"
3. 3 + i,
Ä„
4. sin Ä… - i cos Ä… 0 < Ä… < ,
2
Ä„
5. 1 - ictg Ä… 0 < Ä… < .
2
Zadanie 1.9. Na plaszczyz
nie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych z spelniaj¸
acych
podane warunki:
Ä„ 2Ä„
1. 6 3
2. Arg (z + 2 - i) = Ä„,
3Ä„
3. Ä„ d"Arg [(-1 + i)z] d" ,
2
Ä„
4. 2
i 3Ä„
5. Arg ( ) = ,
z 4
6. Arg (z6) = Ä„,
7. Re (z2) e" 0,
8. Im (z6) < 0.
Zadanie 1.10. Obliczyć wartości podanych wyrażeń:
1. (1 i)7,
"+
2. ( 3 - i)32,
3. (cos 33ć% + i sin 33ć%)10,
1-i
"
4. ( )6.
3+i
Zadanie 1.11. Wyrazić funkcj¸
e:
1. sin (6x) przez funkcje sin x i cos x,
2. cos (3x) przez funkcj¸ cos x.
e
Twierdzenie 1.0.4. JeÅ›li w jest różn¸ od zera liczb¸ zespolon¸ to równanie zn = w
a a a,
ma w C dokladnie n różnych pierwiastków. Jeśli
w = r(cos Ć + i sin Ć),
to pierwiastki te s¸ postaci:
a
"
Ć + 2kĄ Ć + 2kĄ
n
zk = r(cos + i sin ) gdzie k = 0, . . . , n - 1.
n n
Zbiór pierwiastków stopnia n e" 3 z liczby z = r(cos Ć + i sin Ć) pokrywa e
"si¸
n
ze zbiorem wierzcholków n-k¸ foremnego wpisanego w okr¸ o promieniu r i
ata ag
Å›rodku w pocz¸ ukladu wspólrz¸ Jeden z wierzcholków znajduje si¸ w
atku ednych. e
punkcie
"
Ć Ć
n
z0 = r(cos + i sin ),
n n
2Ä„
a k¸ mi¸ promieniami wodz¸ kolejnych wierzcholków s¸ równe .
aty edzy acymi a
n
"
Ć Ć 2Ą 2Ą
n
z1 = r(cos + i sin ) · (cos + i sin )
n n n n
5
itd. Czyli kolejne pierwiastki otrzymujemy mnoż¸ jeden z nich przez odpowied-
ac
2Ä„
nipierwiastek z jedynki, co odpowiada obrotowi o k¸ .
at
n
Zadanie 1.12. Obliczyć i narysować na plaszczyz
nie zespolonej podane pierwiastki:
"
1. -2 i,
"
4
2. -8 + 8 3 i,
"
6
3. 1.
Zadanie 1.13. Odgaduj¸ jeden z elementów pdanych pierwiastków obliczyć po-
ac
zostale.
1. (3 - 5 i)2,
3
2. (1 + i)6,
"
4
3. ( 3 - i)12.
Zadanie 1.14. Znalez
ć rozwi¸ podanych równaÅ„:
azania
1. z6 = (2 + 4 i)6,
2. (z - i)4 = (z + i)4,
3. z3 + 3z2 + 3z = i1,
4. z2 - (2 + i)z - 1 + 7 i = 0,
5. z2 + 2 iz + 3 = 0,
6. z4 + 5z2 + 4 = 0,
7. z4 - 30z2 + 289 = 0.