Przykład 1.2 Kratownica płaska II.
W przypadku kratownicy płaskiej obciążonej, jak na schemacie poniżej, wyznaczyć
zmianÄ™ odlegÅ‚oÅ›ci wÄ™złów C i D oraz zmianÄ™ kÄ…ta ² . ZaÅ‚ożono przekroje poprzeczne
krzyżulców (pręty ukośne) równe 2A i pozostałych prętów jako A. Dla wszystkich prętów
przyjęto jednakowy moduł Younga E.
Rys. 1. Schemat statyczny kratownicy
I. Wyznaczenie zmiany odległości węzłów C i D.
Zmianę odległości węzłów C i D wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra,
korzystajÄ…c ze wzoru
li
9
Ni Ni1dsi 9 Ni Ni1li
1
"lCD = = (1)
" "
+"
Ei Ai E Ai
i=1 i=1
0
gdzie: "lCD - zmiana odległości węzłów C i D,
Ni - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od obciążenia zewnętrznego,
Ni1 - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od sił jednostkowych, przyłożonych w
węzłach C i D , których kierunek pokrywa się z kierunkiem poszukiwanego
przemieszczenia,
li - długość i-tego pręta kratownicy.
1. Obliczenie reakcji i sił w prętach od obciążenia zewnętrznego.
Z warunków równowagi dla kratownicy jako całości wyznaczamy reakcje podpór
5
= 0 - P Å" l + P Å" 2l - 2P Å" 3l + RB Å" 2l = 0 RB = P
"M A
2
1
= 0 -VA + RB - P + P - 2P = 0 VA = P
"Piy
2
= 0 H = 0
"Pix A
1
Siły w prętach kratownicy wyznaczamy wykorzystując po dwa równania równowagi
zapisane dla kolejnych węzłów. Wyznaczone wartości sił Ni w kratownicy od obciążenia
zewnętrznego zestawiono w tablicy 1 (kolumna 4).
2. Obliczenie reakcji i sił w prętach od sił jednostkowych P = 1, o kierunku prostej C-D,
przyłożonych w węzłach C i D.
Rys. 2. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
1 1
= 0 RB = 0
"M A
1 1 1 1
= 0 VA + RB = 0 VA = 0
"Piy
1 1
= 0 H = 0
"Pix A
Wynik jest oczywisty, gdyż przyjęty układ obciążeń jest samozrównoważony. Wyzna-
czone wartości sił Ni1 w kratownicy od obciążeń jednostkowych zestawiono w tablicy 1
(kolumna 5).
Ni Ni1li
Tabela 1. Zestawienie wartości sił Ni oraz Ni1 i wyrażeń oraz ich sumy.
Ai
(znak  -  oznacza ściskanie pręta)
Ni Ni1li
[MN/m]
Pręt li [m] Ai [m2] Ni [N]
Ni1 [N]
Ai
1 l A 1 0 0
- P
2
2 l A 1
2 2 Pl
- P
-
2
2 4 A
3 0 0
2l 2A 2
P
2
4 l A 0 0
2
2
5 -1
2l 2A 3 2 3 2 Pl
- P
2 2 A
2
6 l A P
2 2 Pl
2 2 A
7 0 0
- 2 2P
2l 2A
8 l A 2P Pl
2
2
A
2
9 l A 2P 0 0
9
Ni Ni1li
11 2 Pl
=
"
Ai
4 A
i=1
3. Obliczenie zmiany odległości węzłów C i D.
Wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy
1
9
1 Ni Ni li 11 2 Pl Pl
"lCD = = Å" E" 3,89
"
E Ai 4 EA EA
i=1
Otrzymaliśmy dodatnią wartość zmiany odległości punktów C i D, co oznacza przyrost
długości odcinka CD ; zgodny z założonymi siłami jednostkowymi (Rys. 2).
II. Wyznaczenie zmiany kÄ…ta ² .
ZmianÄ™ kÄ…ta ² wyznaczymy stosujÄ…c metodÄ™ Maxwella-Mohra, korzystajÄ…c ze wzoru
li
1
9
Ni Ni1dsi 9 Ni Ni li
1
"² = = (2)
" "
+"
Ei Ai E Ai
i=1 i=1
0
gdzie: "² - zmiana kÄ…ta ² zawartego miÄ™dzy prÄ™tami 4 i 5,
Ni - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od obciążenia zewnętrznego,
Ni1 - siły normalna w i-tym pręcie kratownicy od momentów jednostkowych,
przyłożonych w postaci par sił do węzłów będących końcami prętów 4 i 5,
li - długość i-tego pręta kratownicy.
Do obliczeń wykorzystamy wielkości sił normalnych od obciążenia zewnętrznego, policzone
w p. I.1 i zestawione w tablicy 1 (kolumna 4).
2. Obliczenie reakcji i sił w prętach od momentów M = 1, przyłożonych w postaci par sił do
węzłów będących końcami prętów 4 i 5.
Momenty jednostkowe zastępujemy dwoma parami sił (P1,- P1) i (P2,- P2), przyłożonych
do węzłów będących końcami prętów 4 i 5. Tak więc:
M 1
P1 = =
l4 l
3
M 1
P2 = =
l5
2l
Rys. 3. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
1 1 1
1 1 1
= 0 - Å" l + Å" Å" 2l + RB Å" 2l = 0 RB = 0
"M A
l
2l 2
1 1 1 1
1 1 1 1
= 0 -VA + RB - Å" + Å" = 0 VA = 0
"Piy
2l 2 2l 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
= 0 H + - + Å" - Å" = 0 H = 0
"Pix A A
l l
2l 2 2l 2
Wynik jest oczywisty, gdyż przyjęty układ obciążeń jest samozrównoważony. Wyzna-
czone wartości sił Ni1 w kratownicy od obciążenia jednostkowego zestawiono w tablicy 2
(kolumna 5).
Ni Ni1li
Tabela 2. Zestawienie wartości sił Ni oraz Ni1 i wyrażeń oraz ich sumy.
Ai
(znak  -  oznacza ściskanie pręta)
Ni Ni1li
[MN/m]
Pręt li [m] Ai [m2] Ni [N]
Ni1 [N]
Ai
1 l A 1 0 0
- P
2
2 l A 1 1 P
- P -
2 l 2A
3 0 0
2l 2A 2
P
2
4 l A 0 0 0
4
5 1 3P
2l 2A 3 2
-
- P
2A
2l
2
6 l A P 0 0
7 0 0
- 2 2P
2l 2A
8 l A 2P 0 0
9 l A 2P 0 0
9
P
Ni Ni1li
=
"
A
Ai
i=1
2. Obliczenie zmiany kÄ…ta ² .
Wykorzystując wzór (2) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy
9
1 Ni Ni1li P
"² = =
"
E Ai EA
i=1
Otrzymany wynik koÅ„cowy ze znakiem plus oznacza, przyrost kÄ…ta ² (Rys. 4).
Rys. 4. Zmiana kÄ…ta ²
5