Linie długie
czyli
czyli
nie zawsze bardzo długie
linie transmisyjne
Kwazistacjonarność (przypomnienie)
Czas potrzebny do przejścia
fali elektromagnetycznej
lmax
=
c
C prędkość światła
l maksymalny wymiar
lmax maksymalny wymiar
geometryczny obwodu
Obwód spełnia warunek kwazistacjonarności je\eli
ik t H" ik t - , uk t H" uk t -
( ) ( ) ( ) ( )
ik t i uk t
gdzie ( ) ( ) oznaczają odpowiednio dowolny prąd
i dowolne napięcie w obwodzie. Obwód taki nazywać
będziemy obwodem skupionym.
Warunek kwazistacjonarności będzie spełniony, gdy
c
lmax j" czyli lmax j"
f0
gdzie jest długością fali elektromagnetycznej rozchodzącej
się w obwodzie.
y
x
a j"
a j"
b j"
l <"
l
a
z
b
x = 0 x = l
x
i t,0 i t, x i t,l
( ) ( ) ( )
u t, x u t,l
u t,0
( ) ( )
( )
"x
"x j"
i t, x + "x
( )
i t, x
( )
u t, x + "x
u t, x
( )
( )
x x + " x
i t, x i t, x + "x
"L
( ) "R ( )
"G "C
u t, x u t, x + "x
( ) ( )
Parametry jednostkowe linii
"R &!
R0 \" lim R0 =
rezystancja jednostkowa,
[ ]
"x0
m
"x
"L
H
L0 \" lim
indukcyjność jednostkowa, L0 =
[ ]
"x0
"x m
"G
S
G0 \" lim
upływność jednostkowa, G0 =
[ ]
"x0
"x m
"C
F
C0 \" lim
pojemność jednostkowa, C0 =
[ ]
"x0
"x m
Zało\ymy, \e linia jest jednorodna, czyli \e parametry
jednostkowe nie zmieniają się wzdłu\ linii. Wówczas
"R = R0"x, "L = L0"x, "G = G0"x, "C = C0"x
Równania linii długiej
R0"x L0"x i t, x + "x
i t, x
( )
i t, x ( )
( )
u t, x u t, x + "x u t, x + "x
( ) ( ) G0"x ( )
C0"x
I prawo Kirchhoffa
I prawo Kirchhoffa
"u t, x + "x
( )
-i t, x + G0"xu t, x + "x + C0"x + i t, x + "x = 0
( ) ( ) ( )
"t
II prawo Kirchhoffa
"i t, x
( )
-u t, x + R0"xi t, x + L0"x + u t, x + "x = 0
( ) ( ) ( )
"t
ł "i t, x łł
( )
u t, x + "x - u t, x = - "x
( ) ( ) ( )
łR i t, x + L0 "t śł
0
ł ł
ł "u t, x + "x łł
( )
i t, x + "x - i t, x = - "x
( ) ( ) ( )
łG u t, x + "x + C0 śł
0
"t
ł ł
"i t, x "2i t, x "i t, x
( ) ( )("x) +" H" i(t, x) + ( )
2
1
i t, x + "x = i t, x + "x + "x
( ) ( )
"x 2 "x
"x2
"u t, x "2u t, x "u t, x
( ) ( )("x) +" H" u(t, x) + ( )
2
1
u t, x + "x = u t, x + "x + "x
( ) ( )
"x 2 "x
"x2
"u t, x ł "i t, x łł
( ) ( )
"x = - i t, x + L0 "x
( )
łR śł
0
"x "t
ł ł
ł łł
"i t, x ł "u t, x łł "u t, x "2u t, x
( ) ( ) ( ) ( )
2
"x = - u t, x + C0 "x - "x
( ) ( )
łG "x + C0 "x"t śł
łG śł
0 0
"x "t
ł ł
ł ł
2
"x 0 ! pomijamy "x
( )
"u t, x "i t, x
( ) ( )
- = R0i t, x + L0
( )
"x "t
"i t, x "u t, x
( ) ( )
- = G0u t, x + C0
( )
"x "t
"2u t, x "i t, x "i2 t, x
( ) ( ) ( )
- = R0 + L0
"x "t"x
"x2
"i2 t, x "u t, x "u2 t, x
( ) ( ) ( )
- = G0 + C0
"x"t "t
"t2
ł łł
"2u t, x ł "u t, x łł "u t, x "u2 t, x
( ) ( ) ( ) ( )
- = R0 ł-G0u t, x - C0 + L0 ł-G0 - C0
( )
śł
śł
"t "t
"x2 "t2 ł
ł ł
ł
Równania telegrafistów
"2u t, x "u t, x "2u t, x
( ) ( ) ( )
L0C0 + R0C0 + G0L0 + R0G0u t, x - = 0
( ) ( )
"t
"t2 "x2
"2i t, x "i t, x "2i t, x
( ) ( ) ( )
L0C0 + R0C0 + G0L0 + R0G0i t, x - = 0
( ) ( )
"t
"t2 "x2
W szczególnym przypadku R0 = 0 i G0 = 0 (linia bezstratna)
"2u t, x "2u t, x
( ) ( )
L0C0 - = 0
"t2 "x2
Równania fali płaskiej
"2i t, x "2i t, x
( ) ( )
L0C0 - = 0
"t2 "x2
Rozwiązania równań linii długiej
Zało\ymy, \e przebiegi napięć i prądów, przy ustalonym x są
przebiegami sinusoidalnymi o postaci:
0
u t, x = U x 2 sin ł0t + x łł = 2 Im U x ej t ,
( ) ( ) ( )ł ( )
{ }
u
ł
u
U x = U x ej (x),
( ) ( )
0
i t, x = I x 2 sin ł0t +i x łł = 2 Im I x ej t ,
( ) ( ) ( )ł ( )
( ) ( ) ( )ł ( )
{ }
{ }
0 i
ł
ł
i
I x = I x ej (x),
( ) ( )
Wówczas
"u t, x "i t, x
( ) ( )
0 0
= 2 Im j0U x ej t = 2 Im j0 I x ej t
( ) ( )
{ } { }
"t "t
"u t, x ńłdU x ł "i t, x ńłdI x ł
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
= 2 Im ej t żł = 2 Im ej t żł
ł ł
"x dx "x dx
ół ł ół ł
"u t, x "i t, x
( ) ( )
- = R0i t, x + L0
( )
"x "t
Ó!
ńłdU x ł
( )
0 0 0
- 2 Im ej t żł = R0 2 Im I x ej t + L0 2 Im j0 I x ej t
( ) ( )
{ } { }
ł
dt
ół ł
"i t, x "u t, x
( ) ( )
- = G0u t, x + C0
( )
"x "t
Ó!
ńłdI x ł
( )
0 0 0
- 2 Im ej t żł = G0 2 Im U x ej t + C0 2 Im j0U x ej t
( ) ( )
{ } { }
ł
dt
ół ł
dU x
( )
- = R0 + j0L0 I x
( ) ( )
dx
Równania linii długiej
w postaci symbolicznej
dI x
( )
- = G0 + j0C0 U x
( ) ( )
dx
Po zró\niczkowaniu ka\dego z równań otrzymujemy
d2U x dI x
( ) ( )
- = R0 + j0L0 = - R0 + j0L0 G0 + j0C0 U x
( ) ( )( ) ( )
dx
dx2
d2 I x dU x
( ) ( )
- = G0 + j0C0 = - R0 + j0L0 G0 + j0C0 I x
( ) ( )( ) ( )
dx
dx2
2
R0 + j0L0 G0 + j0C0 = ł
( )( )
d2U x
( )
2
- ł U x = 0
( )
dx2
d2 I x
( )
2
-ł I x = 0
( )
dx2
Poszukujemy rozwiązania o postaci
Poszukujemy rozwiązania o postaci
dU x d2U x
( ) ( )
U x = erx ! = rerx, = r2erx
( )
dx
dx2
2 2
Równanie charakterystyczne
r2erx -ł erx = 0 ! r2 -ł = 0
r = ął
Rozwiązanie ogólne równania na napięcie
U x = Ae-ł x + Beł x
( )
Po podstawieniu do równania na prąd I(x)
dI x
( )
- = G0 + j0C0 U x = G0 + j0C0 Ae-ł x + Beł x
( ) ( ) ( )
( )
dx
ł ł
ł
1 1
-I x = G0 + j0C0 ł -A e-ł x + B eł x ł
( ) ( )ł
ł ł
ł łł
G0 + j0C0
I x = Ae-ł x - Beł x
( )
( )
ł
G0 + j0C0 G0 + j0C0 G0 + j0C0
1
= = =
ł R0 + j0L0 Z
f
R0 + j0L0 G0 + j0C0
( )( )
R0 + j0L0
impedancja falowa linii
Z =
f
G0 + j0C0
Ostatecznie
U x = Ae-ł x + Beł x
( )
Rozwiązania ogólne
równań linii długiej
1
I x = Ae-ł x - Beł x
( )
( )
( )
( )
Z
Z
f
B + A B - A B + A B - A
U x = e-ł x - e-ł x + eł x + eł x =
( )
2 2 2 2
= B + A chł x + B - A shł x
( ) ( )
1 ł B + A B - A B + A B - A łł
I x = e-ł x - e-ł x - eł x + eł x śł =
( )
( )
ł
Z 2 2 2 2
ł ł
f
1
ł- B + A shł x - B - A chł xł
łł
=
( ) ( )
ł
Z
f
2 2
U x = A chł x + B shł x
Alternatywna postać
( )
rozwiązań ogólnych
1
ł łł
I x = - równań linii długiej
( )
łA2 shł x + B2 chł xł
Z
f
2 2
A = B + A, B = B - A
Symboliczny schemat zastępczy odcinka linii długiej
x = 0 x = l
x = 0 x = l
x
x
I 0 I x I l
( ) ( ) ( )
U 0 U x U l
( ) ( ) ( )
Będziemy oznaczać:
U \" U 0 I \" I 0
( ) ( )
p p
U \" U l I \" I l
( ) ( )
k k
Aby wyznaczyć stałe A i B (lub A i B ) nale\y znać wartości
napięć i (lub) prądów w wybranych punktach linii.
Załó\my, \e wielkościami znanymi (zadanymi) są
U i I
p p
U x = Ae-ł x + Beł x
( )
1
I x = Ae-ł x - Beł x
( )
( )
Z
f
U + Z I
p f p
A =
U = U 0 = A + B
( )
2
p
U - Z I
p f p
Z I = Z I 0 = A - B
( )
f p f
B =
2
U + Zf I U - Z I
p p x f p x
p
U x = e-ł + eł
( )
2 2
U U
p p
I + I -
p p
U + Zf I U - Zf I
ł ł
Z Zf
p p x p x
p
1
f
I x = e-ł - eł ł = e-ł x + eł x
( )
Zf ł 2 2 2 2
ł łł
Oznaczmy
U x = U x +U x = U1e-ł x +U eł x
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A B 2
A B 1 2
ł = R0 + j0L0 G0 + j0C0 = ą + j
( )( )
Rozwa\my pierwszy składnik
1
1
U x = U1e-ł x = U1ej e-ą xe- j x = U1e-ą xej( - )
( )
A
Postać czasowa
0
0
uA t, x = 2 Im U x ej t = 2 Im U1e-ą xej( t- x+1) =
( ) ( )
{ }
{ }
A
= U1e-ą x 2 sin 0t - x +1
( )
Dla ustalonego x = x0 przebieg sinusoidalny o pulsacji 0,
fazie początkowej 1 x0 i amplitudzie U1e-ą x0 2
Załó\my (chwilowo), \e linia jest bezstratna, czyli R0 = 0, G = 0.
Załó\my (chwilowo), \e linia jest bezstratna, czyli R = 0, G0 = 0.
ł = j0L0 j0C0 = j0 L0C0 = j czyli ą = 0.
Wówczas
uA t, x = U1 2 sin 0t - x +1 = U1 2 sinŚ t, x
( ) ( ) ( )
Dla ustalonego t = t0
uA t0, x = U1 2 sin 0t0 - x +1 = U1 2 sinŚ t0, x
( ) ( ) ( )
uA t0, x
( )
x
x x + "x
Na odcinku "x faza zmienia się o wartość
"Ś = Ś t0, x + "x -Ś t0, x = - x + "x + x = -"x
( ) ( ) ( )
czyli
"Ś
rad
= -
przesuwność falowa, =
[ ]
"x
m
liczbowo określa zmianę fazy na jednostkę długości linii
Długość fali odległość "x , na której "Ś = 2Ą, czyli
2Ą 2Ą
= 2Ą
! = , = .
uA t, x
uA t0 + "t, x
( )
( )
uA t0, x
( )
x0 x0+"x
x
W czasie "t punkt o stałej fazie przesunął się o odległość "x
Ś t0, x0 =Ś t0 + "t, x0 + "x
( ) ( )
0
"x
0"t - "x = 0
! = = vf prędkość fazowa
"t
vf jest prędkością poruszania się punktu o stałej fazie
(np. wierzchołka sinusoidy) wzdłu\ linii
ł = ą + j
Rezygnujemy z zało\enia o bezstratności linii, czyli
uA t, x = U1e-ą x 2 sin 0t - x +1
( ) ( )
Amplituda fali zmienia się jak funkcja wykładnicza e-ą x
Oczekujemy, \e straty będą powodować zmniejszanie się amplitudy,
czyli ą > 0.
uA t0, x
( )
U x
UA x
( )
( )
U x+"x
UA x+"x
( )
( )
x
x
x+"x
U x = U1e-ą x
( )
A
U x + "x = U1e-ą(x+"x)
( )
A
UA x + "x U x + "x
( ) ( )
A
1
= e-ą "x ! ą = - ln
"x
U x UA x
( ) ( )
A
ą tłumienność falowa tłumienie w skali logarytmicznej na jednostkę
długości linii
UA x + "x
( )
Je\eli to takie tłumienie historycznie nazywane jest
- ln = 1
UA x
UA x
( )
( )
Np
Np
ą =
1 neperem. Zwykle więc przyjmuje się ą =
[ ]
[ ]
m
Niekiedy tłumienie linii określa się za pomocą współczynnika
UA x + "x
( )
dB
20
wyra\anego w
ą 2 - lg
\"
m
"x
U x
( )
A
UA x + "x
( )
ln
U x
( )
A
20 20
ą 2 - = ą H" 8,686ą ! ą H" 0,1151ą 2
=
"x ln10 ln10
(!!!) Do wszystkich wzorów nale\y podstawiać ą
ą
ą
ą
ł = ą R0 + j0L0 G0 + j0C0 = ą + j
( )( )
Wybieramy taki znak aby ą > 0 i > 0
1
ł łł
ł tamowność falowa, =
łł ł
m
Podsumowanie:
Składnik rozwiązania
Składnik rozwiązania
uA t, x = U1e-ą x 2 sin 0t - x +1
( ) ( )
2Ą
reprezentuje falę o długości = , rozchodzącą się w kierunku
0
dodatnich x, z prędkością fazową vf = , o amplitudzie
malejącej wykładniczo (w kierunku rozchodzenia się fali).
Drugi składnik rozwiązania
U - Z I
p f p x
2
U x = eł = U eł x = U2eą xej( x+ )
( )
B 2
2
Będzie miał on taką sama postać jak pierwszy składnik je\eli
U2 U1 i x -x
zamienimy
Postać czasowa
uB t, x = U2eą x 2 sin 0t + x +
( ) ( )
2
Jest to, z dokładnością do amplitudy i fazy początkowej, identyczna
fala, rozchodząca się w kierunku malejących wartości x. Jej
amplituda maleje w kierunku rozchodzenia się fali, czyli rośnie ze
wzrostem x.
U + Z I
p f p
u t, x = e-ą x 2 sin 0t - x +1 +
( ) ( )
2
U - Z I
p f p
+ eą x 2 sin 0t + x +
( )
2
2
U + Z I U - Z I
ńł ł ńł ł
p f p p f p
1 = arg = arg
ł żł, ł żł
2
2 2
ół ł ół ł
uA t0, x
( )
( )
uB t0, x
( )
x
Rozwiązanie równania na prąd
I +Y U I -Y U
p f p p f p
I x = e-ł x + eł x = I x + I x
( ) ( ) ( )
A B
2 2
I +Y U
p f p
i t, x = e-ą x 2 sin 0t - x +1 +
( ) ( )
2
I -Y U
I -Y U
p f p
p f p
+ eą x 2 sin + +
+ eą x 2 sin 0t + x +2
( )
( )
2
I +Y U I -Y U
ńł ł ńł ł
p f p p f p
1
1 = arg 2 = arg Y =
ł żł, ł żł,
f
2 2 Z
f
ół ł ół ł
iA t0, x
( )
iB t0, x
( )
x
Zarówno napięcie, jak i prąd rozchodzą się wzdłu\ linii w postaci
dwóch fal, biegnących w przeciwnych kierunkach.
U + Z I U - Z I
p f p p f p
u t, x = e-ą x 2 sin 0t - x +1 + eą x 2 sin 0t + x +
( ) ( ) ( )
2
2 2
Załó\my, \e zwiększamy nieograniczenie długość linii l, czyli
l "
Aby drugi składnik rozwiązania nie wzrastał nieograniczenie
musi zachodzić
U
p
czyli w granicy
U - Z I łłł
0
= Z
p f p l "
f
I
I
p
p
I
p
Z
we
l "
U
p
Z = Z
f we
l "
R0 + j0L0
Z =
f
G0 + j0C0
Moc czynna dostarczona do linii
2
Pp = I Re Z
{ }
p we
Gdy l "
2
2
P = I Re Z
Pp = I Re Z
{ }
{ }
p f
Oczekujemy, \e Pp e" 0, czyli \e linia jest obwodem pasywnym.
Nale\y wybrać taki znak pierwiastka, aby
Re Z e" 0
{ }
f
Linia obciążona
x = 0
x = l
x
I
I x I
( )
p
k
U x U
Z
U ( )
k k
p
Wprowadzimy oznaczenia
Wprowadzimy oznaczenia
U \" U l I \" U l
( ) ( )
k k
U
k
Dodatkowo zachodzą związki U = Z I I =
k k k k
Z
k
Zakładać będziemy, \e obcią\eniem linii jest dwójnik pasywny, czyli
Re Z e" 0
{ }
k
U x = Ae-ł x + Beł x
( )
Przy zało\eniu, \e znamy Uk i Ik
1
mo\na wyznaczyć A i B
I x = Ae-ł x - Beł x
( )
( )
Z
f
Zrobimy inaczej
Podstawmy x = l y
U l - y = Ae-ł (l- y) + Beł (l- y) = Ae-łleł y + Bełle-ł y
( )
-ł - ) (
ł - )
-ł ł ł -ł
(
1 1
1 1
I l - y = Ae-ł (l- y) - Beł (l- y) = Ae-łleł y - Bełle-ł y
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Z Z
f f
Wprowadzimy oznaczenia
v
U l - y = U y I l - y = Iv y
( ) ( ) ( ) ( )
oraz
v v
Ae-łl = A Bełl = B
v v v
U y = Aeł y + Be-ł y
( )
1
v v
Iv y = Aeł y - Be-ł y
( )
( )
Z
f
y = l y = 0
y
I
I
Iv y
( )
p
k
v
U
U U y Z
U U y Z
( )
( )
k k
k k
p
p
Teraz
v
U = U l I = Iv l
( ) ( )
p p
v
U = U 0 I = Iv 0
( ) ( )
k k
U + Z I
k f k
v
A =
v v
U = A + B
2
k
U - Z I
v v
k f k
Z I = A - B
v
f k
B =
2
U + Z I U - Z I
k f k k f k
v
U y = eł y + e-ł y
( )
2 2
A
B
U U U U
k k k k
+ I - I I + I -
k k k k
Z Z Z Z
f f f f
Iv y = eł y - e-ł y = eł y + e-ł y
( )
2 2 2 2
Znamy związek między Uk i Ik
U
k
U = Z I I =
k f k k
Z
f
Z Z
1 ł1+ f łeł y 1 ł1- f łe-ł y
v
U y = U + U =
( )
k ł ł k ł ł
2 Z 2 Z
ł k łł ł k łł
Z Z - Z
Z Z - Z
1 ł ł ł y ł
1 ł1+ f łeł y ł1+ k -2ł y ł
f
=
= U + + e-2ł y ł
k ł ł ł ł
2 Z Z + Z
ł k łł ł k f łł
Z Z
1 ł 1 ł
k k
Iv y = I +1łeł y - I -1łe-ł y =
( )
k ł ł k ł ł
2 Z 2 Z
ł f łł ł f łł
Z Z - Z
1 ł
k f
= I +1łeł y ł1- k e-2ł y ł
k ł ł ł ł
2 Z Z + Z
ł f łł ł k f łł
Oznaczymy:
Z - Z
k f
y = e-2ł y = e-2ł y
( )
k
Z + Z
k f
czyli
Z - Z
k f
= 0 =
( )
k
Z + Z
k f
Z
1 ł1+ f łeł y
v v
U y = U ł1+ y łł = U y +U y
( ) ( )ł v ( ) ( )
k ł ł A B
ł
ł ł
2 Z
2 Z
ł k łł
ł k łł
Z
1 ł
k
Iv y = I +1łeł y ł1- y łł = IvA y + IvB y
( ) ( )ł ( ) ( )
k ł ł
ł
2 Z
ł f łł
v
reprezentują fale rozchodzące się w kierunku
U y , IvA y
( ) ( )
A
malejących y, czyli od początku linii do końca
v
reprezentują fale rozchodzące się w kierunku
U y , IvB y
( ) ( )
B
malejących y, czyli od początku linii do końca
Z
ł1+ f łe
1 ł y
v
U y = U
( )
A k ł ł
2 Z
ł k łł
Z
ł1+ f łe y = U y y
1 ł y
v v
U y = U
( ) ( ) ( ) ( )
B k ł ł A
2 Z
ł k łł
Z
ł
1
k
IvA y = I +1ł ł y
( )
k
ł łe
2 Z
ł f łł
Z
ł
1
k
IvB y = I +1ł ł y ł- y łł = IvA y ł- y łł
( ) ( )ł ( )ł ( )ł
( ) ( )ł ( )ł ( )ł
B k A
k
ł ł
ł łe
ł
ł
2 Z
2 Z
ł łł
ł f łł
"
v
PA y = Re U y IvA y
( ) ( ) ( ) moc czynna fali A w odległości y od końca linii
A
{ }
2
" "
v v
PB y = Re U y IvB y = Re U y y IvA y = - y PA y
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ł " ( )łł ( ) ( )
B A
{ } { }
ł- y ł
moc czynna fali B w odległości y od końca linii; znak minus oznacza, \e
moc jest przenoszona od obcią\enia do generatora
Bilans mocy na końcu linii (y = 0)
2
PA 0 + PB 0 - Pk = 0 ! Pk = PA 0
( ) ( ) ( )
(1- )
k
Pk moc czynna dostarczona do obcią\enia
Pk Z
k
PA
PB
Fala A, poruszająca się od początku linii do jej końca nazywa się
falą padającą. Oznaczać będziemy indeksem i (incident wave)
Fala B, poruszająca się od końca linii do jej początku nazywa się
falą odbitą. Oznaczać będziemy indeksem r (reflected wave)
Przy nowych oznaczeniach równania na napięcie i prąd w linii
mają postać
v v v
U y = U y +U y = U eł y +U e-ł y,
( ) ( ) ( )
i r ik rk
gdzie
Z Wartość skuteczna zespolona napięcia fali
1 ł1+ f ł,
U = U
ik k ł ł
padającej na końcu linii
2 Z
ł k łł
Z
1 ł1- f ł
Wartość skuteczna zespolona napięcia fali
U = U = U ,
rk k ł ł k ik
odbitej na końcu linii
2 Z
ł k łł
czyli
v
U y = U eł y 1+ e-2ł y .
( )
( )
ik k
I podobnie
Iv y = Ivi y + Ivr y = I eł y + I e-ł y,
( ) ( ) ( )
ik rk
gdzie
Z
1 ł
k Wartość skuteczna zespolona prądu fali
I = I +1ł,
ik k ł ł
padającej na końcu linii
2 Z
ł f łł
Z
1 ł
k
Wartość skuteczna zespolona prądu fali
I = - I -1ł = - I ,
rk k ł ł k ik
2 Z
odbitej na końcu linii
odbitej na końcu linii
ł f łł
ł f łł
czyli
Iv y = I eł y 1- e-2ł y
( )
( )
ik k
W ka\dym punkcie linii (czyli dla ka\dego y)
v v
U y U y
( ) ( )
i r
= Z = -Z
f f
Ivi y Ivr y
( ) ( )
Z - Z
k f
=
współczynnik odbicia na końcu linii
k
Z + Z
k f
Re Z e" 0,
Je\eli obcią\eniem linii jest dwójnik pasywny, czyli
{ }
k
wówczas
Z - Z
k f
= d" 1,
k
Z + Z
k f
y = e-2ą y d"1
( )
k
Poniewa\
2
Pr y = - y Pi y ,
( ) ( ) ( )
więc w ka\dym punkcie linii
Pr y d" Pi y
( ) ( )
Je\eli = 0, to oczywiście równie\ dla dowolnego y.
y = 0
( )
k
Oznacza to \e w ka\dym punkcie linii napięcie i prąd fali odbitej są
równe zero, czyli w linii nie ma fali odbitej.
Taki stan w linii, kiedy nie ma fali odbitej, nazywa się stanem
dopasowania falowego.
Warunkiem dopasowania falowego będzie więc
Z - Z
k f
= = 0,
= = 0,
k
k
Z + Z
Z + Z
k f
czyli
Z = Z
k f
W warunkach dopasowania moc fali padającej jest w całości
przekazywana do obcią\enia.
Fale stojące w linii
v v v
U y = U y +U y = U eł y 1+ e-2ł y
( ) ( ) ( )
( )
i r ik k
v v v
U y = U y +U y = U eł y 1+ e-2ł y
( ) ( ) ( )
i r ik k
k
= ej
Oznaczmy
k k
k
1+ e-2ł y = 1+ e-2ą yej( -2 y) =
k k
= 1+ e-2ą y cos k - 2 y + j e-2ą y sin k - 2 y =
( ) ( )
k k
2 2
y y
ł
=
( )ł ł ( )ł
ł1+ k e-2ą cos k - 2 y łł + ł k e-2ą sin k - 2 y łł =
2
= 1+ 2 e-2ą y cos k - 2 y + e-4ą y
( )
k k
eł y = eą yej y = eą y
Po uwzględnieniu
2
v
U y = U eą y 1+ 2 e-2ą y cos k - 2 y + e-4ą y
( ) ( )
ik k k
Podobnie
Iv y = Ivi y + Ivr y = I eł y 1- e-2ł y
( ) ( ) ( )
( )
ik k
Iv y = Ivi y + Ivr y = I eł y 1- e-2ł y
( ) ( ) ( )
ik k
k
Po uwzględnieniu - = e
Po uwzględnieniu - = ej( +Ą)
k k
k k
2
Iv y = I eą y 1- 2 e-2ą y cos k - 2 y + e-4ą y
( ) ( )
ik k k
Wartość skuteczna (a więc równie\ amplituda) napięcia i prądu
w ustalonym punkcie linii (dla ustalonego y) nie zale\y od czasu
Prąd i napięcie w linii ma postać fali stojącej
v
v
U y
U y
( )
( )
Iv y
Iv y
( )
( )
y
y
v
u t, y
( )
y
Je\eli linia jest bezstratna (ą = 0)
2
v
U y = U 1+ 2 cos k - 2 y +
( ) ( )
ik k k
2
Iv y = I 1- 2 cos k - 2 y +
( ) ( )
ik k k
v
U y
( )
Iv y
( )
Umax
Umin
y
ymax3 ymin2 ymax2 ymin1 ymax1
Poło\enie maksimów amplitudy fali stojącej napięcia
cos k - 2 y = 1 ! k - 2 y = -2nĄ
( )
1
ymax n = k + 2nĄ
( )
2
Poło\enie minimów amplitudy fali stojącej napięcia
cos k - 2 y = -1 ! k - 2 y = - 2n -1 Ą
cos k - 2 y = -1 ! k - 2 y = - 2n -1 Ą
( ) ( )
( ) ( )
1
ymin n = łk + 2n -1 Ąłł
( )
ł ł
2
Do powy\szych wzorów nale\y podstawiać takie całkowite wartości n,
aby rozwiązania miały sens fizyczny, czyli
0 d" ymax n d" l 0 d" ymin n d" l
Fala stojąca prądu:
Poło\enia minimów i maksimów amplitudy prądu są zamienione
w stosunku do minimów i maksimów amplitudy napięcia
Odległość między sąsiednimi maksimami (minimami)
1 1 2Ą
ymax(n+1) - ymax n = łk + 2 n +1 Ąłł - k + 2nĄ = =
( ) ( )
ł ł
2 2 2 2
v
U y
( )
Iv y
( )
2
Umax
Umin
y
ymax3 ymax2
2
Umax = U ymax n = U 1+ 2 + = U 1+
( )
( )
ik k k ik k
2
Umin = U ymin n = U 1- 2 + = U 1-
( )
( )
ik k k ik k
Współczynnik fali stojącej (WFS)
1+
Umax
k
= =
Umin
Umin
1-
1-
k
k
Jest popularną miarą niedopasowania linii
1 d" < "
W linii dopasowanej
= 1
Zniekształcenia sygnałów w linii
Najczęściej w linii transmisyjnej rozchodzą się sygnały
przenoszące informację (przebiegi zmodulowane, impulsowe),
których widmo zawiera składowe o wielu ró\nych pulsacjach.
Ka\da ze składowych rozchodzi się z prędkością fazową
vf = = ,
( )
( )
( )
Im R0 + jL0 G0 + jC0
Im R0 + jL0 G0 + jC0
( )( )
( )( )
{ }
{ }
która zale\y od pulsacji. Mo\e to spowodować zniekształcenie
kształtu przenoszonego sygnału, a w konsekwencji utrudnić lub
uniemo\liwić poprawny odbiór przesyłanej informacji.
Załó\my, \e w linii nie występuje fala odbita oraz
up t = Up1 2 sin 0t +1 +Up2 2 sin ł 0 + " t + łł
( ) ( ) ( )
2
ł ł
Wówczas, zgodnie z zasadą superpozycji:
u t, x = Up1 2e-ą x sin 0t - x +1 +
( ) ( )
+Up2 2e-(ą +"ą )x sin ł 0 + " t - + " x + łł,
( ) ( )
2
ł ł
gdzie
R0 + j0L0 G0 + j0C0 = ą + j
( )( )
łR0 + j 0 + " L0 łł łG0 + j 0 + " C0 łł = ą + "ą + j + "
( ) ( ) ( )
ł ł ł ł
Zało\ymy, \e
Up1 = Up2 = Up,
" j" 0,
1 = = 0.
2
Wówczas mo\na przyjąć
e-"ą x H"1
u t, x = Up 2e-ą x łsin 0t - x + sin 0t - x + "t - " x łł
( ) ( ) ( )ł
ł
B - A B + A
sin A + sin B = 2cos sin
2 2
"
u t, x = 2 2Upe-ą x cosł " t - xłsin 0t - x
( ) ( )
ł ł
2 2
ł łł
20 + "
2 + "
(Przy uproszczeniach: H" 0, H" )
2 2
"
u t, x = 2 2Upe-ą x cosł " t - xłsin 0t - x
( ) ( )
ł ł
2 2
ł łł
A t, x
( )
Dla ustalonego t = t0
u t0, x
( )
x
Równanie obwiedni
"
ł
A t, x = 2 2Upe-ą x cosł " t - x
( )
ł ł
2 2
ł łł
reprezentuje tłumioną falę, poruszającą się w kierunku dodatnich x.
Punkt o stałej fazie obwiedni
"
"
"
"
t - x =Ś = const
t - x =Ś0 = const
2 2
"
porusza się w kierunku dodatnich x z prędkością
"
Definiuje się prędkość grupową jako
d
vg \" lim0 " =
"
" d
u t0, x
( ) vg
vf
x
vf = ! = vf
vf = ! = vf
dvf
d
vg = = vf +
d d
Je\eli vg `" vf linia nazywa się linią dyspersyjną, przy czym
vg > vf dyspersja anomalna
vg < vf dyspersja normalna
W przypadku, gdy w linii rozchodzą się przebiegi których widmo
zawiera składowe o wielu ró\nych częstotliwościach, warunkiem
zachowania kształtu przebiegu jest zachowanie relacji między
fazami tych składowych, co wymaga aby
vg = vf
czyli
d d d
= ! =
d
ln = ln + ln a, a > 0 dowolna stała
Warunkiem na to, aby linia nie wprowadzała zniekształceń
obwiedni sygnałów będzie więc
= a
ł = ą + j = R0 + j0L0 G0 + j0C0 =
( )( )
R0 G0
łł1+ ł
= j0 L0C0 ł1+
ł
j0L0 łł j0C0 ł
ł łłł łł
Je\eli zachodzić będzie równość
R0 G0
=
L0 C0
to wówczas
R0 G0
ł ł
ł = j0 L0C0 ł1+ = j0 L0C0 ł1+
ł ł ł
j0L0 ł j0C0 łł
ł łł ł
czyli
C0 L0
= 0 L0C0 , ą = R0 = G0
L0 C0
Linia transmisyjna, taka \e
R0 G0
=
L0 C0
nazywa się linią zrównowa\oną
Impedancja falowa
R0 R0
R0 R0
1+ 1+
1+ 1+
R0 + j0L0 L0 j0L0 j0L0
Z = = = ś
f
G0 + j0C0 C0 G0 G0
1+ 1+
j0C0 j0C0
W przypadku linii zrównowa\onej
L0
Z = = ś
impedancja charakterystyczna
f
C0
(liczba rzeczywista!)
Impedancja wejściowa linii
U + Z I U - Z I
k f k k f k
v
U y = eł y + e-ł y
( )
2 2
U U U U
k k k k
+ I - I I + I -
k k k k
Z Z Z Z
f f f f
Iv y = eł y - e-ł y = eł y + e-ł y
( )
2 2 2 2
v
y = l ! U l = U , Iv l = I
( ) ( )
p p
y = l y = 0
y
I
I
p
k
U
Z U Z
k k
we p
U
p
Z =
we
I
p
U + Z I U - Z I
k f k k f k
U = ełl + e-łl
p
2 2
U U
k k
+ I - I
k k
Z Z
f f
I = ełl - e-łl
p
2 2
Po podstawieniu i uporządkowaniu
U = Z I
k k k
ł
ełl + e-łl ełl - e-łl ł
U = I Z + Z = I Z chłl + Z shłl
( )
ł ł
p k k f k k f
2 2
2 2
ł łł
ł łł
ł
1 ełl + e-łl ełl - e-łl ł 1
I = I Z + Z = I Z chłl + Z shłl
( )
ł ł
p k f k k f k
Z 2 2 Z
f f
ł łł
Z chłl + Z shłl Z + Z thłl
k f k f
Z = Z = Z
we f f
Z chłl + Z shłl Z + Z thłl
f k f k
Przyjmijmy Z k = Z (dopasowanie falowe)
f
Wówczas
Z + Z thłl
f f
Z = Z = Z
we f f
Z + Z thłl
f f
Linia zwarta na końcu Z = 0
Linia zwarta na końcu Z = 0
k
k
Z = Z thłl
we f
Linia rozwarta na końcu Z "
k
Z
f
Z =
we
thłl
Linia bezstratna
ł = j , sh jl = jsin l, ch jl = cos l, th jl = jtg l
( ) ( ) ( )
L0
Z = = ś
f
C0
Z + jś tg l
k
Z = ś
we
ś + jZ tg l
k
Linia zwarta na końcu Z = 0
Linia zwarta na końcu Z = 0
k
Z = jś tg l = j Xwe
we
Linia rozwarta na końcu Z "
k
ś
Z = -j = -jś ctg l = j Xwe
we
tg l
Linia zwarta
Xwe =ś tg l
2Ą
Xwe = 0 ! l = n Ą ! l = n Ą ! l = n
2
Ą 2Ą Ą
Xwe " ! l = 2n -1 ! l = 2n -1 ! l = 2n -1
( ) ( ) ( )
2 2 4
Xwe
5 3
5 3
l
4 4 4
2
Zakres wielkich częstotliwości
Wielkie częstotliwości to takie, \e
0L0 k" R0
0C0 k" G0
Wówczas
R0 G0
ł łł1+ ł
łł ł
ł = R0 + j0L0 G0 + j0C0 = j0 L0C0 ł1+
( )( )
ł
j0L0 łł j0C0 ł
ł łłł łł
R0 R0
1+ 1+
R0 + j0L0 L0 j0L0 j0L0
Z = = = ś
f
G0 + j0C0 C0 G0 G0
1+ 1+
j0C0 j0C0
Skorzystamy z przybli\enia:
x 1 x
Je\eli to 1+ x H"1+ H" 1-
x j"1
2 2
1+ x
R0 G0
ł1+ łł1- ł
Z = ś =
f
ł
2j0L0 łł 2j0C0 ł
ł łłł łł
R0 G0 R0 G0
ł1+ ł
= ś - - H" ś
ł
2j0L0 2j0C0 2j0L0 2j0C0 ł
ł łł
R0 G0
łł1+ ł
ł = j0 L0C0 ł1+ =
ł
2j0L0 łł 2j0C0 ł
ł łłł łł
R0 G0 R0 G0
ł
= j0 L0C0 ł1+ + + =
ł
2j0L0 2j0C0 2j0L0 2j0C0 ł
ł łł
R0 ś G0 R0
H" + + j0 L0C0 H" + j0 L0C0 = ą + j
2ś 2 2ś
W zakresie wielkich częstotliwości mo\na przyjąć:
L0
Z = ś =
f
R0
R0
ą =
2ś
= 0 L0C0
= 0 L0C0
linia zrównowa\ona
linia zrównowa\ona
L0C0 = 0r0r
najczęściej r =1
1
00 =
c2
0 r
vf 0
c c
= vf = = = =
c f0 f0 r
r r
Rzeczywiste linie transmisyjne
Linie dwuprzewodowe
d
r
D
D
przenikalność magnetyczna ośrodka
L0 = arch
Ą d
= r0, 0 = 4Ą "10-7 H
r 0 0
m
m
r H"1
Ą
przenikalność dielektryczna ośrodka
C0 =
D
arch
d
1
= r0, 0 = H" 8,8542"10-12 F
m
c20
D
arch
d
ś =
Ą
r względna przenikalność dielektryczna (stała dielektryczna)
Materiał r
Powietrze <"1
Guma 2,6 3
Ebonit 2,5 3,5
Porcelana elektrotechniczna 6 8
Polistyren, polietylen 2,2 2,4
Polistyren, polietylen 2,2 2,4
Polietylen spieniony 1,45
r względna przenikalność magnetyczna
Diamagnetyki, paramagnetyki r H" 1
Ferromagnetyki r = 5000 100000
w
1
R0 = 2
Seffc
d
w j" d ! Seff H" Ą dw
2
R0 =
2
Ą d 2c głębokość wnikania
w =
c
konduktywność materiału przewodnika
c konduktywność materiału przewodnika
Materiał c [S/m]
Aluminium 35,7"106
Miedz 58,8"106
Srebro 62,5"106
Złoto 41,7"106
Cyna 8,3"106
d Ąd
G0 = C0 =
D
arch
d
d konduktywność dielektryka
Materiał d [S/m]
Guma 10 13
Ebonit 10 15
Ebonit 10 15
Porcelana elektrotechniczna (0,25 1,5)"10 9
Polistyren, polietylen 10 15 10 13
Powietrze ?
Przykład 1
Wyznaczyć parametry jednostkowe linii napowietrznej, wykonanej
z przewodów aluminiowych o średnicy d = 4 mm, umieszczonych
w odległości D = 30 cm. Przeprowadzić obliczenia dla f1 = 20 kHz
i f2 =10 MHz.
Przyjmujemy r =1, r =1
0
0
D
D
L = arch = 2"10-6 H
L0 = arch = 2"10-6 H
Ą d m
Ą0
C0 = = 5,6"10-12 F
D m
arch
d
D
L0 arch d 0
ś = = = 600&!
C0 Ą 0
1
w
R0 = 2 , c = 35,7 "106 S
Seffc m
d
2
w =
0 c
1. f1 = 20 kHz
w
w = 0,58"10 m, = 0,15
w = 0,58"10-3 m, = 0,15
d
d
2
2
Ą d - 2w
( )
Ąd
wzór dokładny
Seff = - = 6,24"10-6 m2
4 4
Seff H" Ą dw = 7,3"10-6 m2 wzór przybli\ony, (błąd ok. 17%)
R0 = 8,55"10-3 &!
m
2. f2 =10 MHz
w
w = 26,6"10-6 m, = 0,0067
d
2
2
Ą d - 2w
( )
Ąd
wzór dokładny
Seff = - = 0,3299"10-6 m2
4 4
Seff H" Ą dw = 0,3346"10-6 m2 wzór przybli\ony, (błąd ok. 1,4 %)
&!
&!
R0 = 0,17
m
G0 mo\na tylko oszacować zale\y m. in. od stanu izolatorów,
wilgotności i zanieczyszczenia powietrza.
Zwykle G0 = (0,1 1)"10 9 S/m.
Przyjmijmy
G0 = 0,5"10-9 S
m
Parametry falowe
1. f1 = 20 kHz
Z = 597,7 - j9,9 &!
( )
f
ł = 7,3"10-6 + j0,421"10-3 1
( )m
Np
ą = 7,3"10
ą = 7,3"10-6
m
m
= 0,421"10-3 rad
m
2Ą f1
2Ą
= =15"103 m, vf = = 2,99"108 m = c
s
2
ą = 8,686ą = 0,063"10-3 dB
m
2. f2 =10 MHz
Z = 600 - j0,4 &! H" ś
( )
f
1
ł = 0,1415"10-3 + j0,2096
( )m
Np
ą = 0,1415"10-3
m
rad
rad
= 0,2096
= 0,2096
m
2Ą f1
2Ą
= = 30 m, vf = = 2,9977 "108 m
s
dB
2
ą = 8,686ą = 0,00123
m
Przykład 2
Wyznaczyć parametry jednostkowe kabla symetrycznego,
przewody o średnicy d = 0,35 mm, wykonane z miedzi
umieszczone w izolacji z polietylenu w odległości D = 7,5 mm.
Przeprowadzić obliczenia dla f1 = 5 MHz i f2 =100 MHz.
Miedz: c = 58,8"106 S/m
Polietylen: r = 2,25, d = 10 14 S/m
0
D
D H
L0 = arch = 1,5"10-6 H
Ą d m
Ą0r
C0 = = 16,66"10-12 F
D m
arch
d
D
L0 arch d 0
ś = = = 300,4&!
C0 Ą 0r
1
R0 = 2 , c = 58,8"106 S
Seffc m
2
w =
0 c
1. f1 = 5 MHz
w
w = 29,35"10 m, H" 0,084
w = 29,35"10-6 m, H" 0,084
d
d
2
2
Ą d - 2w
( )
Ąd
wzór dokładny
Seff = - = 2,956"10-8 m2
4 4
Seff H" Ą dw = 3,23"10-8 m2 wzór przybli\ony, (błąd ok. 9 %)
&!
R0 =1,15
m
2. f2 =100 MHz
w
w = 6,56"10-6 m, = 0,018
d
2
2
Ą d - 2w
( )
Ąd
Seff = - = 7,038"10-9 m2 wzór dokładny
4 4
Seff H" Ą dw = 7,217 "10-9 m2 wzór przybli\ony, (błąd ok. 2,5 %)
&!
&!
R0 = 4,8
m
d
G0 = C0 = 8,36"10-15 S
mało wiarygodne
0r m
Parametry falowe
1. f1 = 5 MHz
Z = 300,4 - j3,7 &!
( )
f
1
ł = 1,91"10-3 + j0,1572
( )m
Np
ą =1,91"10
ą =1,91"10-3
m
m
rad
= 0,1572
m
2Ą f1
2Ą
= = 40 m, vf = = 2"108 m
s
dB
2
ą = 8,686ą = 0,0167
m
1. f2 = 100 MHz
Z = 300,4 - j0,77 &!
( )
f
1
ł = 8,04"10-3 + j3,1437
( )m
Np
ą = 8,04"10-3
m
rad
rad
= 3,1437
= 3,1437
m
2Ą f1
2Ą
= = 2 m, vf = = 2"108 m
s
dB
2
ą = 8,686ą = 0,07
m
Kabel koncentryczny
0r D
c1
L0 = ln
2Ą d
r
c2
2Ą0r
C0 =
D
ln
d
1 1
R0 = +
Seff1c1 Seff 2c2
Seff1 H" Ą dw1, Seff 2 H" Ą Dw 2
Seff1 H" Ą dw1, Seff 2 H" Ą Dw 2
d
ł ł
0
D
1 1 1
R0 = +
ł ł
ł
Ą 2
d c1 D c2 ł
ł łł
D
d 2Ąd
ln
G0 H" C0 =
0r
d
0r D
ś =
ln
2Ą 0r
d
Przykład 3
Obliczyć parametry jednostkowe i falowe kabla koncentrycznego
o wymiarach: d = 1 mm, D = 4,8 mm. Przewód wewnętrzny
wykonany z miedzi (c1 = 58,8"106 S/m), ekran z folii cynowej
o grubości 0,05 mm (c2 = 8,3 "106 S/m). Izolatorem jest spieniony
polietylen (d = 10 14 S/m, r = 1,45).
Przeprowadzić obliczenia dla f1 = 100 MHz i f2 = 500 MHz.
0 D
0 D
L = ln = 0,314"10-6 H
L0 = ln = 0,314"10-6 H
2Ą d m
2Ą0r
C0 = = 51,4"10-12 F
D m
ln
d
D
ln
0
d
ś = = 78,1&!
2Ą 0r
f1 = 100 MHz
w1 = 6,56"10-6 m, w2 =17,5"10-6 m
ł ł
0
1 1 1 &!
R0 = + = 1,28
ł ł
ł
Ą 2 m
d c1 D c2 ł
ł łł
d
d
G = C = 4"10-14 S
G0 = C0 = 4"10-14 S
0r m
Według innych zródeł
G0 = C0tg tg = 10 6 10 3, katalogowy kąt
stratności dielektryka
Je\eli przyjąć tg = 10 6
G0 = 0,3"10-6 S
m
Parametry falowe
Z = 78,1- j0,25 &!
( )
f
1
ł = 0,0082 + j2,5242
( )
m
Np
ą = 0,0082
m
rad
= 2,5242
= 2,5242
m
m
2Ą f1
2Ą
= = 2,49 m, vf = = 2,49"108 m
s
2
ą = 8,686ą = 0,071dB
m
2
Dane katalogowe: ą = 7 dB 100m
Zf = 75 ą 3&!
f2 = 500 MHz
w1 = 2,9"10-6 m, w2 = 7,8"10-6 m
ł ł
0
1 1 1 &!
R0 = + = 2,86
ł ł
ł
Ą 2 m
d c1 D c2 ł
ł łł
Z = 78,1- j0,11 &!
( )
f
1
ł = 0,0183 + j12,62
( )
m
Np
ą = 0,0183
m
m
rad
= 12,62
m
2Ą f1
2Ą
= = 0,498 m, vf = = 2,49"108 m
s
dB
ą2
= 8,686ą = 0,159
m
Dane katalogowe: ą2
=15,4 dB 100m
Zf = 75 ą 3&!
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ET DI2 ObwodySygnaly2 wyklad nr linie dlugielinie wpływowe w układach statycznie wyznaczalnych belkaMIECZE DLUGIE roboczeNoś długie włosyLINIE WPĹYWU przyk3[1]Dla podanej belki statycznie niewyznaczalnej wyznaczyć linie wpĹ‚ywuLinie wplywowe w ukladach statycznie wyznaczalnych kratownica2Lab 1 Liniewięcej podobnych podstron