LINIE WPA
YWU  przykład 3  Obliczenia komputerowe
1. SPORZ
DZENIE LINII WPA
YWU SIA
I PRZEMIESZCZEC

W RAMIE HIPERSTATYCZNEJ
P = 1
1.1. DANE WYJŚCIOWE DO OBLICZEC

�
Dana jest rama jak na rysunku.
EI
Wyznaczyć linie wpływu sił przekrojowych w
ą
EI
przekroju ą , reakcji R1 i przemieszczeń w
�=0.6
sin
�
miejscach i kierunkach � oraz ł .
ł cos�
=0.8
L L L L L
R1
1.2. SPOSÓB BEZPOŚREDNI
Sposób ten, w przypadku wyznaczania wielkości statycznych (sił przekrojowych lub
reakcji), nazywany jest sposobem statycznym.
Polega on na tym, że odczytuje się szukane wielkości dla różnych ustawień siły jednostkowej
tak by móc sporządzić wykresy zależności szukanych wielkości od położenia siły jednostkowej.
W rozwiązywanym zadaniu dokonano odczytów
Pj
= 1
szukanych wielkości dla 22 ustawień siły jednostkowej w
21
11 13 17 19
15
��j
punktach zaznaczonych na rysunku obok (po 5 ustawień dla
10 12 16 18
14 20 22
9
każdego przedziału co 0.25 L).
8
7
EI
6
Mą Vą Ną
Należy pamiętać, że każdego
5
4
rozwiązania dokonujemy od obciążenia tylko
3
EI
2
ą
jedną siłą jednostkową ustawioną w
1
x
określonym miejscu. �
łj
Ustawienia 5 i 6 są różne tylko w L L L L L
R1
odniesieniu do siły tnącej i osiowej w przekroju ą . W
obliczeniach komputerowych ustawienia 5 i 6 jako ustawienia nieskończenie bliskie przekroju ą z
jego lewej i prawej strony mogą być zrealizowane poprzez jedno ustawienie w przekroju ą i odczyt
odpowiednich sił przekrojowych nieskończenie blisko z lewej i prawej strony siły, przy czym gdy
odczytujemy siły przekrojowe w punkcie z prawej strony siły odpowiada to ustawieniu nr 5 to jest
ustawieniu siły z lewej strony przekroju a gdy odczytujemy siły przekrojowe w punkcie z lewej strony
siły odpowiada to ustawieniu nr 6 to jest ustawieniu siły z prawej strony przekroju.
Wyniki zestawiono w tabeli poniżej. Wykresy przedstawiono w punkcie 1.4.
Położenie siły
Mąj = Mą(x) Vąj = Vą(x) Nąj = Ną(x) R1j = R1(x) ��j = ��(x) �łj = �ł(x)
jx
10 0 0 0 1 0 0
2 0.25 0.1279 -0.0977 0.0192 0.9103 0.0297 0.1353
3 0.5 0.2574 -0.1941 0.0397 0.8209 0.0579 0.225
4 0.75 0.3901 -0.288 0.063 0.7318 0.083 0.2753
5 -0.3779 0.0906
1 0.5276 0.6433 0.1035 0.2927
6 0.4221 -0.5094
7 1.25 0.4215 0.3372 -0.4764 0.5556 0.1178 0.2835
8 1.5 0.3235 0.2588 -0.4363 0.4688 0.1244 0.254
9 1.75 0.2351 0.1881 -0.3879 0.3832 0.1217 0.2108
10 2 0.158 0.1264 -0.3298 0.299 0.1083 0.16
11 2.25 0.0948 0.0758 -0.2601 0.2167 0.0829 0.108
12 2.5 0.0472 0.0378 -0.1799 0.1382 0.0509 0.0602
13 2.75 0.0155 0.0124 -0.0923 0.0653 0.0205 0.0223
14 3 0 0 0 0 0 0
15 3.25 -0.0061 -0.0049 0.0768 -0.0499 -0.0106 -0.0104
16 3.5 -0.0097 -0.0078 0.1228 -0.0799 -0.0169 -0.0167
17 3.75 -0.0113 -0.009 0.1427 -0.0928 -0.0196 -0.0194
18 4 -0.0111 -0.0089 0.1404 -0.0913 -0.0193 -0.0191
19 4.25 -0.0095 -0.0076 0.1206 -0.0785 -0.0166 -0.0164
20 4.5 -0.0069 -0.0056 0.0878 -0.0571 -0.0121 -0.0119
21 4.75 -0.0036 -0.0029 0.0461 -0.03 -0.0063 -0.0063
22 5 0 0 0 0 0 0
Mnożnik L L
L3/EI L2/EI
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 1
1.5 L
1.5 L
I
E
5
.
1
I
E
5
.
1
LINIE WPA
YWU  przykład 3  Obliczenia komputerowe
1.3. SPOSÓB WYKORZYSTUJ
CY TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
1.3.1. PODSTAWY TEORETYCZNE
Sposób ten, w przypadku wyznaczania wielkości statycznych (sił przekrojowych lub reakcji),
nazywany jest sposobem kinematycznym.
Sposób ten wykorzystuje, wynikające z zasady prac wirtualnych, twierdzenie o wzajemności reakcji i
przemieszczeń rij = -� w przypadku wyznaczania linii wpływu wielkości statycznych
ji
i twierdzenie o wzajemności przemieszczeń �ij = � w przypadku wyznaczania linii wpływu
ji
przemieszczeń.
1.3.2. SPOSÓB KINEMATYCZNY SPORZ
DZANIA
LINII WPA
YWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH
Twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń rij = -� stwierdza, że dowolna wielkość
ji
statyczna (rij ) traktowana jako reakcja w miejscu i kierunku i wywołana siłą jednostkową przyłożoną
w miejscu i kierunku j jest równa ze znakiem przeciwnym przemieszczeniu (-� ) w miejscu i
ji
kierunku j wywołanemu jednostkowym przemieszczeniem wymuszonym w miejscu i kierunku i
("i = 1). Uwzględniając, że - �ij "i =1 = �ij "i =-1 z twierdzenia tego wynika, że dowolna wielkość
statyczna (rij ) traktowana jako reakcja w miejscu i kierunku i wywołana siłą jednostkową przyłożoną
w miejscu i kierunku j jest równa przemieszczeniu (� ) w miejscu i kierunku j wywołanemu
ji
jednostkowym przemieszczeniem wymuszonym z przeciwnym zwrotem w miejscu i kierunku i
("i = -1).
Wynika stąd, że zamiast wyznaczać wielkość statyczną (rij ) w miejscu i od ustawień siły
jednostkowej w miejscach j można wyznaczać przemieszczenia � w punktach j (rzędne linii
ji
ugięcia  toru siły jednostkowej) od przemieszczenia "i = -1 wymuszonego w miejscu i kierunku
szukanej wielkości statycznej ze zwrotem przeciwnym do przyjętego zwrotu tej wielkości (rij ) .
Zatem aby wyznaczyć linię wpływu
21
13
11 17
reakcji R1 wymuszamy jednostkowe 15 19
10 12 16 18
14 20 22
9
przemieszczenie podpory " = 1 ze
8
R1
7
6
EI
zwrotem przeciwnym niż przyjęty zwrot 5
4
3
reakcji (rysunek obok) i odczytujemy rzędne
EI
2
linii ugięcia (składowe pionowe
1
x
przemieszczeń)  toru siły jednostkowej ,
L L L L L
które są rzędnymi linii wpływy reakcji
R1
R1 a" rR1 j = -� = v .
" R1 = 1
jR1 jR1
Wyniki zestawiono w tabeli w punkcie 1.3.4.
21
11 13 17 19
15
Aby wyznaczyć linię wpływu momentu
10 12 16 18
14 20 22
9
zginającego w przekroju ą wymuszamy
8
7
6
EI
wzajemny obrót w przekroju ą "�ą = 1 ze
5
4
zwrotem przeciwnym niż przyjęte jako dodatnie 3
EI
2
"�ą= 1
momenty zginające (rysunek obok - jako dodatni
1
przyjęto moment zginający, który rozciąga
L L L L L
włókna dolne) i odczytujemy rzędne linii ugięcia
(składowe pionowe przemieszczeń) toru siły
jednostkowej, które są rzędnymi linii wpływy momentu zginającego Mą a" rąj = -� = v .
ją ją
Jeśli program komputerowy nie daje możliwości wymuszenia wzajemnego obrotu przekrojów
to wymuszenie to można zastąpić równoważnym obciążeniem statycznym. W tym celu należy wstawić
przegub w przekroju ą , przyłożyć po obu jego stronach (w przekrojach 5 i 6) momenty jednostkowe
2 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1.5 L
1.5 L
I
E
5
.
1
I
E
5
.
1
LINIE WPA
YWU  przykład 3  Obliczenia komputerowe
(rysunek obok) i odczytać kąty obrotu tych przekrojów.
6
5
Wynoszą one: �ą 5 = -4.5520L2 / EI
Mą= 1
i �ą 6 = 3.5497L2 / EI .
Wzajemny obrót przekrojów 5 i 6 wynosi, więc
L L L L L
�ąą = -�ą 5 + �ą 6 = (-(-4.5520) + 3.5497)L2 / EI =
= 8.1017L2 / EI
Momenty Mą = -1/�ąą = -EI / 8.1017 / L2 = -0.123431EI / L2 stanowią obciążenie statyczne, które
spowoduje wzajemny obrót "ą = -1. Jako obciążenie statyczne
21
13
11 17 19
15
10 12 16 18
14 20 22
9
równoważne wymuszeniu kinematycznemu "ą = -1
8
7
6
EI
Mą = 1/�
ąą
należy, więc przyłożyć momenty
5
4
3
Mą = 0.123431EI / L2 ze zwrotami przeciwnymi niż EI
2
1
zwroty momentów jednostkowych (rysunek obok) i
odczytać rzędne linii ugięcia (składowe pionowe
L L L L L
przemieszczeń) toru siły jednostkowej, które są
rzędnymi linii wpływy momentu zginającego. Wyniki zestawiono w tabeli w punkcie 1.3.4.
Dla kontroli należy sprawdzić, czy wzajemny obrót przekrojów przy przegubie wynosi
"ą = "ą 5 - "ą 6 = 1 (minus przed jedynką został uwzględniony poprzez zmianę zwrotów momentów
przyłożonych jako obciążenie). W rozwiązywanym zadaniu otrzymano:
"ą 5 = 0.56186 , "ą 6 = -0.43814 , "ą = "ą 5 - "ą 6 = 0.56186 - (-0.43814) = 1.
Aby wyznaczyć linię wpływu siły tnącej w przekroju ą
21
13
11 17 19
15
wymuszamy wzajemny przesuw poprzeczny w przekroju ą
10 12 16 18
14 20 22
9
8
"hą = 1 ze zwrotem przeciwnym niż dodatnie zwroty sił
7
6
EI
"hą = 1
5
tnących (rysunek obok) i odczytujemy rzędne linii
4
3
EI
ugięcia (składowe pionowe przemieszczeń) toru siły
2
1
jednostkowej, które są rzędnymi linii wpływu siły
tnącej Vą a" rąj = -� = v .
ją ją
L L L L L
Jeśli program komputerowy nie daje możliwości wymuszenia
21
13
11 17 19
15
10 12 16 18
14 20 22
wzajemnego przesuwu poprzecznego przekrojów to wymuszenie to
9
8
7
można zastąpić równoważnym obciążeniem statycznym.
56
W tym celu należy wstawić połączenie umożliwiające
4
3
wzajemny przesuw poprzeczny, przyłożyć po obu
2
1
stronach (przekroje 5 i 6) jednostkowe siły poprzeczne
Vą= 1
(rysunek obok) i odczytać przesunięcia poprzeczne
L L L L L
(prostopadłe do osi pręta) przekrojów 5 i 6. Wynoszą
one: �ą 5 = 5.9809L3 / EI i �ą 6 = -6.6788L3 / EI .
Wzajemne przesunięcie poprzeczne przekrojów 5 i 6 wynosi, więc
�ąą = �ą 5 - �ą 6 = (5.9809 - (- 6.6788))L3 / EI = 12.6597L3 / EI .
Siły poprzeczne Vą = -1/�ąą = -EI /12.6597 / L3 = -0.07899EI / L3 stanowią obciążenie statyczne,
które spowoduje wzajemny przesuw "hą = -1. Jako obciążenie statyczne równoważne wymuszeniu
kinematycznemu "ą = -1 należy, więc przyłożyć siły poprzeczne
21
13
11 17 19
15
10 12 16 18
14 20 22
Vą = 0.083599EI / L3 ze zwrotami przeciwnymi niż zwroty sił
9
8
7
jednostkowych (rysunek obok) i odczytać rzędne linii ugięcia
56
(składowe pionowe przemieszczeń) toru siły jednostkowej,
4
3
2
które są rzędnymi linii wpływy siły tnącej w przekroju
1
Vą = 1/�
ą .
ąą
Wyniki zestawiono w tabeli w punkcie 1.3.4.
L L L L L
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 3
1.5 L
1.5 L
1.5 L
1.5 L
1.5 L
I
E
5
.
1
I
E
5
.
1
LINIE WPA
YWU  przykład 3  Obliczenia komputerowe
Dla kontroli należy sprawdzić, czy wzajemny przesuw poprzeczny przekrojów 5 i 6 wynosi
"ą = -"ą 5 + "ą 6 = 1 (minus został uwzględniony poprzez zmianę zwrotów sił).
W rozwiązywanym zadaniu otrzymano:
"ą 5 = -0.4724 , "ą 6 = 0.5276 ,
21
13
11 17 19
15
10 12 16 18
14 20 22
"ą = -"ą 5 + "ą 6 = -(-0.4724) + 0.5276 = 1.
9
8
7
6
EI
Aby wyznaczyć linię wpływu siły osiowej w
5
4
przekroju ą wymuszamy skrócenie pręta "Lą = -1 w
3
EI
2
"Lą= -1
przekroju ą (rysunek obok) i odczytujemy rzędne linii
1
ugięcia, które są rzędnymi linii wpływy.
L L L L L
Wyniki zestawiono w tabeli w punkcie 1.3.4.
Jeśli program komputerowy nie daje możliwości
wymuszania skrócenia pręta to można to zastąpić równoważnym obciążeniem statycznym. W tym celu
21
11 13 17
należy wstawić połączenie umożliwiające wzajemny przesuw 15 19
10 12 16 18
14 20 22
9
podłużny, przyłożyć po obu stronach (przekroje 5 i 6)
8
7
jednostkowe siły podłużne (rysunek obok) i odczytać
56
przesunięcia wzdłuż osi pręta przekrojów 5 i 6. Wynoszą 4
3
2
one: �ą 5 = 0 i �ą 6 = -2.3473L3 / EI . Ną= 1
1
Wzajemne przesunięcie wzdłuż osi pręta przekrojów 5 i
L L L L L
6 wynosi, więc
�ąą = �ą 5 - �ą 6 = (0 - (- 2.3473))L3 / EI = 2.3473L3 / EI.
Siły podłużne Ną = -1/�ąą = -EI / 2.3473/ L3 = -0.4260EI / L3 stanowią obciążenie statyczne, które
spowoduje wzajemny przesuw "Lą = -1. Jako obciążenie statyczne równoważne wymuszeniu
21
13
kinematycznemu "ą = -1 należy, więc przyłożyć 11 17 19
15
10 12 16 18
14 20 22
9
siły podłużne Ną = 0.426EI / L3 ze zwrotami
8
7
56
przeciwnymi niż zwroty sił jednostkowych
4
3
(rysunek obok) i odczytać rzędne linii ugięcia
2
Ną = 1/�
ąą
(składowe pionowe przemieszczeń) toru siły 1
jednostkowej, które są rzędnymi linii wpływy siły
L L L L L
osiowej w przekroju ą .
Dla kontroli należy sprawdzić, czy wzajemny
przesuw podłużny przekrojów 5 i 6 wynosi "ą = -"ą 5 + "ą 6 = 1 (minus został uwzględniony poprzez
zmianę zwrotów sił). W rozwiązywanym zadaniu otrzymano:
"ą 5 = 0 , "ą 6 = 1, "ą = -"ą 5 + "ą 6 = -0 +1 = 1.
1.3.3. WYZNACZENIE LINII WPA
YWU PRZEMIESZCZEC

Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń �ij = � stwierdza, że przemieszczenie (�ij )w
ji
miejscu i kierunku i wywołana siłą jednostkową przyłożoną w miejscu i kierunku j jest równa
przemieszczeniu (� ) w miejscu i kierunku j wywołanemu jednostkową siłą przyłożoną w miejscu i
ji
kierunku i . Wynika stąd, że zamiast wyznaczać przemieszczenie w określonym miejscu i kierunku i
od ustawień siły jednostkowej w punktach j można wyznaczać przemieszczenia w punktach j od
siły jednostkowej przyłożonej w miejscu i kierunku szukanego przemieszczenia i (rysunki poniżej).
W rozwiązywanym zadaniu rzędne linii wpływu przemieszczenia� otrzymamy odczytując rzędne
� j
� to jest rzędne linii ugięcia (składowe pionowe przemieszczeń) w punktach 1-22 od obciążenia siłą
j�
jednostkową przyłożoną w miejscu i kierunku szukanego przemieszczenia P� = 1. Analogicznie
rzędne linii wpływu przemieszczenia�ł j otrzymamy odczytując rzędne � to jest rzędne linii ugięcia
jł
w punktach 1-22 od obciążenia siłą jednostkową Pł = 1 (rysunki poniżej).
4 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1.5 L
1.5 L
1.5 L
I
E
5
.
1
LINIE WPA
YWU  przykład 3  Obliczenia komputerowe
21 21
13 13
11 17 11 17 19
15 19 15
P
= 1
10 12 16 18 20 22 10 12 16 18
14 14 20 22
�
9 9
8 8
7 7
6 6
EI EI
5 5
4 4
3 3
EI EI
2 2
1 1
P
= 1
ł
L L L L L L L L L L
Wyniki zestawiono w tabeli w punkcie 1.3.4.
1.3.4. ZESTAWIENIE WYNIKÓW ROZWI
ZAC
Z WYKORZYSTANIEM TWIERDZEC
O
WZAJEMNOŚCI
W tabeli poniżej zestawiono wartości rzędnych linii wpływu uzyskane z wykorzystaniem twierdzeń o
wzajemności. Są one, oczywiście, identyczne jak wartości uzyskane sposobem bezpośrednim punkt
1.2).
Punkty odczytu
rzędnych
Rj = R(x)
Mąj = Mą(x) Vąj = Vą(x) Nąj = Ną(x) ��j = ��(x) �łj = �ł(x)
jx= vją = vją = vją = vj"r = vj� = vjł
10 0 0 0 1 0 0
2 0.25 0.1279 -0.0977 0.0192 0.9103 0.0297 0.1353
3 0.5 0.2574 -0.1941 0.0397 0.8209 0.0579 0.225
4 0.75 0.3901 -0.288 0.063 0.7318 0.083 0.2753
5 -0.3779 0.0906
10.6433 0.1035 0.2927
0.5276
6 0.4221 -0.5094
7 1.25 0.4215 0.3372 -0.4764 0.5556 0.1178 0.2835
8 1.5 0.3235 0.2588 -0.4363 0.4688 0.1244 0.254
9 1.75 0.2351 0.1881 -0.3879 0.3832 0.1217 0.2108
10 2 0.158 0.1264 -0.3298 0.299 0.1083 0.16
11 2.25 0.0948 0.0758 -0.2601 0.2167 0.0829 0.108
12 2.5 0.0472 0.0378 -0.1799 0.1382 0.0509 0.0602
13 2.75 0.0155 0.0124 -0.0923 0.0653 0.0205 0.0223
14 3 0 0 0 0 0 0
15 3.25 -0.0061 -0.0049 0.0768 -0.0499 -0.0106 -0.0104
16 3.5 -0.0097 -0.0078 0.1228 -0.0799 -0.0169 -0.0167
17 3.75 -0.0113 -0.009 0.1427 -0.0928 -0.0196 -0.0194
18 4 -0.0111 -0.0089 0.1404 -0.0913 -0.0193 -0.0191
19 4.25 -0.0095 -0.0076 0.1206 -0.0785 -0.0166 -0.0164
20 4.5 -0.0069 -0.0056 0.0878 -0.0571 -0.0121 -0.0119
21 4.75 -0.0036 -0.0029 0.0461 -0.03 -0.0063 -0.0063
22 5 0 0 0 0 0 0
Mnożnik L L
L3/EI L2/EI
�ą5 -4.5520 5.9809 0.0000
�ą6 3.5497 -6.6788 -2.3473
�ąą 8.1017 12.6597 2.3473
1/�ąą 0.123431 0.078991 0.426021
- 1/�ąą -0.123431 -0.078991 -0.426021
"ą5 0.56186 -0.47244 0.00000
"ą6 -0.43814 0.52756 1.00000
"ą 1.00000 -1.00000 -1.00000
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 5
1.5 L
1.5 L
I
E
I
5
E
.
1
5
.
1
LINIE WPA
YWU  przykład 3  Obliczenia komputerowe
1.4. WYKRESY
Pj = 1
10 11 12 16 17 18 19
13 20 21 22
14 15
��j
9
8
7
EI
6
Mą Vą Ną
5
4
3
EI
2
ą
1
�
łj
x
L L L L L
R1
1 8 12 20
17
2 3 4 5,6 7 9 10 11 13 14 15 16 18 19 21 22
0
x
-
0
0
0 0
-0.1 L
0 . 1
- 0.2 L
0 . 2
+
- 0 . 3
0.3 L
-0.4 L
0 . 4
- 0 . 5
0.5 L
0 1 2 3 4 5
Mą(x)/L
1 8 12 17 20
2 3 4 5,6 7 9 10 11 13 14 15 16 18 19 21 22
0
0 . 2
-
0 0 x
-
0
0
- 0 . 2
+
- 0 . 4
0 1 2 3 4 5
Vą(x)
6 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1.5 L
4 L
5 L
2.5 L
4.5 L
2 L
3.5 L
1 L
3 L
1.5 L
0.5 L
0.158
0.0097
0.0111
0.0069
0.0472
0.2574
0.3235
0.5276
5 L
4 L
2.5 L
4.5 L
2 L
3.5 L
0.5 L
1 L
3 L
1.5 L
0.3779
0.0078
0.0089
0.1941
0.0056
0.1264
0.2588
0.0378
0.4221
I
E
5
.
1
LINIE WPA
YWU  przykład 3  Obliczenia komputerowe
1 8 12 17 20
2 3 4 5,6 7 9 10 11 13 14 15 16 18 19 21 22
0
0 . 5
0 . 4
0 . 3
-
0 . 2
0 . 1
0
0 x
0
0
+
+
- 0 .1
0 1 2 3 4 5
Ną(x)
1 8 12 20
17
2 3 4 5,6 7 9 10 11 13 14 15 16 18 19 21 22
0
x
-
0
0
00
- 0 .2
- 0 .4
- 0 .6
+
- 0 .8
- 1
0 1 2 3 4 5
R(x)
1 8 12 20
17
2 3 4 5,6 7 9 10 11 13 14 15 16 18 19 21 22
0
0 . 0 2
-
x
0
0
0 0
- 0 . 0 2
- 0 . 0 4
+
- 0 . 0 6
- 0 . 0 8
- 0 . 1
- 0 . 1 2
0 1 2 3 4 5
��(x)*EI/L3
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 7
4 L
0.5 L
5 L
2.5 L
4.5 L
2 L
3.5 L
1 L
3 L
1.5 L
0.5094
0.4363
0.3298
0.1799
0.121
0.123
0.143
0.0906
0.0397
4 L
0.5 L
2.5 L
4.5 L
5 L
2 L
3.5 L
1 L
3 L
1.5 L
0.138
0.0913
0.0571
0.0799
0.299
1
0.8209
0.6433
0.4688
4 L
0.5 L
5 L
2.5 L
4.5 L
2 L
3.5 L
1 L
3 L
1.5 L
0.0509
0.0121
0.1083
0.0579
0.0169
0.0193
0.1035
0.1244
LINIE WPA
YWU  przykład 3  Obliczenia komputerowe
1 8 12 17 20
2 3 4 5,6 7 9 10 11 13 14 15 16 18 19 21 22
0
- x
0
0
0 0
- 0 . 0 5
+
- 0 . 1
- 0 . 1 5
- 0 . 2
- 0 . 2 5
- 0 . 3
0 � (x)*EI/L2 1 2 3 4 5
ł
1.5. SPOSÓB STATYCZNY POŚREDNI SPORZ
DZANIA LINII WPA
YWU SIA

PRZEKROJOWYCH
Pj
= 1
Sposób ten znajduje zastosowanie, gdy znane są linie wpływu 21
13
11 17
15 19
10 12 16 18
14 20 22
wielkości statycznych, poprzez które można z równań
9
8
7
równowagi wyrazić szukane wielkości statyczne. EI
6
Mą Vą Ną
5
Dla wyznaczenia sił przekrojowych w przekroju
4
3
EI
2
ą wystarczająca jest znajomość reakcji R1 i R2
�=0.6
ą sin
1
�
x
cos�
=0.8
(rysunek obok).
R2
Z równań równowagi części ramy po lewej
L L L L L
R1
stronie przekroju ą wynika, że
1 2 j
Mą (x) = M ą �" R1(x) + M ą �" R2 (x) + M ą (x) ,
1 2 j 2 j
Vą (x) = V ą �" R1(x) + V ą �" R2 (x) +V ą (x) , Ną (x) = N1 �" R1(x) + Ną �" R2 (x) + Ną (x)
ą
1 2 1 2
gdzie M ą = L , M ą = -0.75L , V ą = cos� = 0.8 , V ą = -sin� = -0.6 ,
2
N1 = -sin� = -0.6 i Ną = - cos� = -0.8 - momenty, siły tnące i osiowe w przekroju ą
ą
od jednostkowych wartości reakcji R1 i R2 ,
ńł- (L - x) gdy sila jednostkowa znajduje sie po lewej stronie przekroju ą
j
M ą (x) = ,
�ł0
gdy sila jednostkowa znajduje sie po prawej stronie przekroju ą
ół
ńł- cos� = -0.8 gdy sila jednostkowa znajduje sie po lewej stronie przekroju ą
j
V ą (x) =
�ł0
gdy sila jednostkowa znajduje sie po prawej stronie przekroju ą
ół
sin� = 0.6 gdy sila jednostkowa znajduje sie po lewej stronie przekroju ą
ńł
j
Ną (x) =
�ł0
gdy sila jednostkowa znajduje sie po prawej stronie przekroju ą
ół
- moment zginający, siła tnąca i osiowa w przekroju ą od siły jednostkowej ustawionej w punkcie j.
R1(x) i R2 (x) - linie wpływu reakcji R1 i R2 wyznaczone dowolnym sposobem.
W tabeli poniżej zestawiono dane i wyniki obliczeń linii wpływu sił przekrojowych w
przekroju ą na podstawie związków przedstawionych powyżej.
8 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
0.5 L
4.5 L
3.5 L
2.5 L
4 L
5 L
1.5 L
2 L
1 L
3 L
0.06
0.0191
0.0167
0.0119
0.16
0.225
0.254
0.2927
1.5 L
I
E
5
.
1
LINIE WPA
YWU  przykład 3  Obliczenia komputerowe
MąRj 1 -0.75 * L
VąRj 0.8 -0.6
NąRj -0.6 -0.8
Położenie siły
R1j = R1(x) R2j = R2(x) Mąj Mąj = Mą(x) Vąj Vąj = Vą(x) Nąj Nąj = Ną(x)
jx
1 0 1 0 -1 0-0.800.6 0
2 0.25 0.9103 0.0433 -0.75 0.1278 -0.8 -0.0977 0.6 0.0192
3 0.5 0.8209 0.0847 -0.5 0.2574 -0.8 -0.1941 0.6 0.0397
4 0.75 0.7318 0.1223 -0.25 0.3901 -0.8 -0.2879 0.6 0.0631
5 -0.8 -0.3779 0.6 0.0906
1 0.6433 0.1543 0 0.5276
6 0 0.4221 0 -0.5094
7 1.25 0.5556 0.1788 0 0.4215 0 0.3372 0 -0.4764
8 1.5 0.4688 0.1938 0 0.3235 0 0.2588 0 -0.4363
9 1.75 0.3832 0.1975 0 0.2351 0 0.1881 0 -0.3879
10 2 0.299 0.188 0 0.1580 0 0.1264 0 -0.3298
11 2.25 0.2167 0.1626 0 0.0948 0 0.0758 0 -0.2601
12 2.5 0.1382 0.1213 0 0.0472 0 0.0378 0 -0.1800
13 2.75 0.0653 0.0663 0 0.0156 0 0.0125 0 -0.0922
14 30 00 0000 0
15 3.25 -0.0499 -0.0585 0 -0.0060 0 -0.0048 0 0.0767
16 3.5 -0.0799 -0.0936 0 -0.0097 0 -0.0078 0 0.1228
17 3.75 -0.0928 -0.1088 0 -0.0112 0 -0.0090 0 0.1427
18 4 -0.0913 -0.107 0 -0.0111 0 -0.0088 0 0.1404
19 4.25 -0.0785 -0.0919 0 -0.0096 0 -0.0077 0 0.1206
20 4.5 -0.0571 -0.0669 0 -0.0069 0 -0.0055 0 0.0878
21 4.75 -0.03 -0.0351 0 -0.0037 0 -0.0029 0 0.0461
22 50 00 0000 0
Mnożnik L L L
Jak widać, otrzymane wyniki są z dokładnością do 0.0001 identyczne z wynikami uzyskanymi
poprzednio.
2. SPORZ
DZENIE LINII WPA
YWU SIA
I PRZEMIESZCZEC

W RAMIE IZOSTATYCZNEJ
Przedstawione powyżej sposoby wyznaczania rzędnych linii wpływu dotyczą zarówno układów
hiperstatycznych jak i izostatycznych. Różnica polega jedynie na tym, że linie wpływu wielkości
statycznych w układach izostatycznych składają się z odcinków prostych i do ich narysowania
wystarczy wyznaczyć tylko wartości na granicach przedziałów. Przy ich
P = 1
wyznaczaniu można też przyjmować dowolne sztywności prętów gdyż nie
�
mają one żadnego wpływu na wartości sił w układach izostatycznych.
EI
ą
2.1. DANE WYJŚCIOWE DO OBLICZEC

Wyznaczyć linie wpływu sił przekrojowych w przekroju ą ,
�=0.6
sin
�
cos�
=0.8
reakcji R1 i przemieszczenia w miejscu i kierunkach � .
L L L L
2.2. SPOSÓB BEZPOŚREDNI
R1
Na rysunku obok zilustrowano ustawienia siły
jednostkowej (1-18) w celu wyznaczenia linii wpływu przemieszczenia.
Wyznaczając linię wpływu przemieszczenia koniecznie należy Pj
= 1
13
11 17
15
uwzględnić odpowiednie sztywności prętów.
��j
10 12 16 18
14
9
Linia wpływu reakcji R1 składa się z 2 odcinków (1-
8
7
6
Mą Vą Ną EI
14 i 14-18) wystarczy, więc dokonać odczytów dla
5
4
ustawień 1, 14 i 18. Linie wpływu sił przekrojowych w 3
2
ą
przekroju ą składają się z 3 odcinków (1-5, 6-14 i 14-18)
1
wystarczy, więc dokonać odczytów dla ustawień 1, 5, 6, 14 i
x
L L L L
18.
R1
Wyniki zestawiono w tabeli poniżej.
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 9
L
0.5 L
L
0.5 L
I
E
5
.
1
I
E
5
.
1
LINIE WPA
YWU  przykład 3  Obliczenia komputerowe
Położenie siły
Mąj = Mą(x) Vąj = Vą(x) Nąj = Ną(x) R1j = R1(x) ��j = ��(x)
jx
10 0 0 0 1 0
2 0.25 0.0516
3 0.5 0.1010
4 0.75 0.1462
5 -0.31111111 0.0906
1 0.611111111 0.1847
6 0.488888889 -0.5094
7 1.25 0.2146
8 1.5 0.2336
9 1.75 0.2396
10 2 0.2305
11 2.25 0.2034
12 2.5 0.1608
13 2.75 0.1077
14 3 -0.166666667 -0.13333333 -0.64444444 0.55555556 0.0494
15 3.25 0.0240
16 3.5 0.0039
17 3.75 -0.0059
0
18 4 0 0 00
Mnożnik L L
L3/EI
2.3. SPOSÓB WYKORZYSTUJ
CY TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
2.3.1. SPOSÓB KINEMATYCZNY SPORZ
DZANIA LINII WPA
YWU WIELKOŚCI
STATYCZNYCH
Uwzględniając fakt, że programy komputerowe z reguły pozwalają na wymuszanie przemieszczeń
podpór, czasami na wymuszanie zmian długości prętów i z reguły nie dają możliwości wymuszania
zmian kątów i przesunięć poprzecznych w przekrojach prętów rozwiązanie tym sposobem
ograniczymy do linii wpływu reakcji R1 i siły
13
11 17
15
10 12 16 18
14
osiowej w przekroju ą .
9
8
7
W celu wyznaczenia linii wpływu reakcji R1 6
5
wymuszamy jednostkowe przemieszczenie podpory 4
3
2
"R1 = 1 ze zwrotem przeciwnym niż przyjęty zwrot
1
reakcji (rysunek obok) i odczytujemy rzędne linii
x
L L L L
ugięcia (składowe pionowe przemieszczeń)  toru siły
" R1 = 1
R1
jednostkowej , które są rzędnymi linii wpływy reakcji
R1 a" rR1 j = -� = v . Wyniki zestawiono w
jR1 jR1
13
11 17
15
tabeli w punkcie 2.3.3. 10 12 16 18
14
9
8
W celu wyznaczenia linii wpływu siły osiowej w
7
6
"L
= -1
przekroju ą wymuszamy skrócenie pręta "Lą = -1 w 5
4
3
przekroju ą (rysunek obok) i odczytujemy rzędne linii
2
1
ugięcia, które są rzędnymi linii wpływy.
Wyniki zestawiono w tabeli w punkcie 2.3.3.
x
L L L L
2.3.2. WYZNACZENIE LINII WPA
YWU PRZEMIESZCZENIA
13
11 17
15
W celu wyznaczenia linii wpływu przemieszczenia �
� j
P
10 12 16 18 = 1
14
�
9
8
obciążamy ramę siłą jednostkową P� = 1 (rysunki obok) i
7
6
EI
5
odczytujemy rzędne � to jest rzędne linii ugięcia
4
j�
3
2
(składowe pionowe przemieszczeń) w punktach 1-18.
1
Wyniki zestawiono w tabeli w punkcie 2.3.3.
x
L L L L
10 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
L
0.5 L
L
0.5 L
L
0.5 L
I
E
5
.
1
LINIE WPA
YWU  przykład 3  Obliczenia komputerowe
2.3.3. ZESTAWIENIE WYNIKÓW ROZWI
ZAC
Z WYKORZYSTANIEM TWIERDZEC
O
WZAJEMNOŚCI
W tabeli poniżej zestawiono wartości rzędnych linii wpływu uzyskane z wykorzystaniem twierdzeń o
wzajemności. Są one, oczywiście, identyczne jak wartości uzyskane sposobem bezpośrednim.
Punkty odczytu
rzędnych
Nąj = Ną(x) R1j = R(x) ��j = ��(x)
jx= vją = vj"r = vj�
10 0 1 0
2 0.25 0.3125 0.0516
3 0.5 0.625 0.1010
4 0.75 0.9375 0.1462
5 0.0906
10.1847
6 -0.5094
7 1.25 0.2146
8 1.5 0.2336
9 1.75 0.2396
10 2 0.2305
11 2.25 0.2034
12 2.5 0.1608
13 2.75 0.1077
14 3 -0.64444444 0.5555556 0.0494
15 3.25 0.0240
16 3.5 0.0039
17 3.75 -0.0059
0
18 4 00
Mnożnik L
L3/EI
2.4. WYKRESY
P
j = 1
13
11 17
15
��j
10 12 16 18
14
9
8
7
6
Mą Vą Ną
EI
5
4
3
2
ą
1
x
L L L L
R1
18
5,6 14
1
0
x
-
0 0
0.2 0.2
+
0.4 0.4
0.6 0.6
Mą(x)/L
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 11
L
0.5 L
3 L
4 L
1 L
0.1667
0.6111
I
E
5
.
1
LINIE WPA
YWU  przykład 3  Obliczenia komputerowe
18
5,6 14
1
0
- 0.2 - 0.2
-
- x
0 0
0.2 0.2
+
0.4 0.4
Vą(x)
18
5,6 14
1
0
- 0.6 - 0.6
- 0.4 - 0.4
-
- 0.2 - 0.2
0 0
x
+
Ną(x)
18
14
1
0 x
0 0
0.1 0.1
0.2 0.2
+
0.3 0.3
0.4 0.4
0.5 0.5
R1(x)
15 17
11 13
2 4
9
7
16
18
3 5,6 8 14
1 10 12
0
x
-
0 0
0.05 0.05
0.1 0.1
0.15 0.15
+
0.2 0.2
��(x)*EI/L3
2.5. SPOSÓB STATYCZNY POŚREDNI SPORZ
DZANIA LINII WPA
YWU SIA

PRZEKROJOWYCH
Postępujemy analogicznie jak w punkcie 1.5.
Z równań równowagi części ramy po lewej stronie
Pj
= 1
przekroju ą wynika, że 13 17
11
15
��j
10 12 16 18
14
1 2 j
9
Mą (x) = M ą �" R1(x) + M ą �" R2 (x) + M ą (x) ,
8
7
6
Mą Vą Ną EI
1 2 j
5
Vą (x) = V ą �" R1(x) + V ą �" R2 (x) +V ą (x) ,
4
3 �=0.6
sin
2 j
2
ą
Ną (x) = N1 �" R1(x) + Ną �" R2 (x) + Ną (x)
ą cos�
=0.8
1
�
1 2 1
gdzie M ą = L , M ą = -0.75L , V ą = cos� = 0.8 , R2
x
L L L L
2
R1
V ą = -sin� = -0.6 ,
2
N1 = -sin� = -0.6 i Ną = - cos� = -0.8,
ą
12 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
3 L
4 L
1 L
0.3111
0.4889
0.1333
3 L
4 L
1 L
0.5094
0.6444
0.0906
3 L
4 L
0.5556
3 L
4 L
0.5 L
2 L
1 L
1.5 L
2.5 L
3.5 L
0.1608
0.2336
0.2305
0.1847
0.0039
- 0.0059
0.1010
0.0494
L
0.5 L
I
E
5
.
1
LINIE WPA
YWU  przykład 3  Obliczenia komputerowe
ńł- (L - x) gdy sila jednostkowa znajduje sie po lewej stronie przekroju ą
j
M ą (x) = ,
�ł0
gdy sila jednostkowa znajduje sie po prawej stronie przekroju ą
ół
ńł- cos� = -0.8 gdy sila jednostkowa znajduje sie po lewej stronie przekroju ą
j
V ą (x) =
�ł0
gdy sila jednostkowa znajduje sie po prawej stronie przekroju ą
ół
sin� = 0.6 gdy sila jednostkowa znajduje sie po lewej stronie przekroju ą
ńł
j
Ną (x) =
�ł0
gdy sila jednostkowa znajduje sie po prawej stronie przekroju ą
ół
W tabeli poniżej zestawiono dane i wyniki obliczeń linii wpływu sił przekrojowych w
przekroju ą na podstawie związków przedstawionych powyżej.
MąRj 1 -0.75 * L
VąRj 0.8 -0.6
NąRj -0.6 -0.8
Położenie siły
R1j = R1(x) R2j = R2(x) Mąo Mąj = Mą(x) Vąo Vąj = Vą(x) Nąo Nąj = Ną(x)
jx
1 0 1 0 -1 0-0.800.6 0
2 0.25
3 0.5
4 0.75
5 -0.8 -0.3111 0.6 -0.0444
1 0.77777778 0.22222222 0 0.6111
6 0 0.4889 0 -0.6444
7 1.25
8 1.5
9 1.75
10 2
11 2.25
12 2.5
13 2.75
14 3 0.33333333 0.66666667 0 -0.1667 0 -0.1333 0 -0.7333
15 3.25
16 3.5
17 3.75
18 40 00 0000 0
Mnożnik L L L
Jak widać, otrzymane wyniki są identyczne z wynikami uzyskanymi poprzednio.
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 13