Pytania do kolokwium ko cowego z Teorii Sygna ów 2006/2007
PODAJ WZÓR
1. Splot dyskretny sygna ów x[n] i h[n]
"
y[n] = x[k]h[n - k] = x[n]*h[n]
"
k =-"
2. DFT (dyskretne przekszta cenie Fouriera) (analiza)
2Ä„
N -1
- j kn
X (k) =N
"x(n)e ,k = 0,1, 2,..., N -1
n=0
3. IDFT (odwrotne dyskretne przekszta cenie Fouriera) (synteza)
2Ä„
N -1
j kn
1
N
x(n) = X (k)e , n = 0,1,2,..., N -1
"
N
k =0
4. Liniowe równanie ró nicowe o sta ych wspó czynnikach (filtracja rekursywna w dziedzinie
czasu)
NM MN
bm ak
y[n - k] = x[n - m] y[n] = x[n - m] - y[n - k]
"ak "bm ""
a0 a0
k =0 m=0 m=0 k =1
5. Transformata Fouriera sygna u dyskretnego (analiza)
"
jÉ
X (e ) = x[n]e- jÉn
"
n=-"
6. Odwrotna transformata Fouriera sygna u dyskretnego (synteza)
Ä„
1
jÉ jÉn
x[n] = X (e )e dÉ
+"
2Ä„
-Ä„
7. Transformata Z sygna u dyskretnego
"
Z{x[n]} = X (z) = x[n]z-n, z "C
"
n=-"
8. Warto rednia ci gu o d ugo ci N
N
1
x = li" x(n)
m
"
N
2N +1n=-N
9. Funkcja autokorelacji ci gu o d ugo ci N
N -|m|-1
1
Rxx(m) = x(n)x *(n - m)
"
N
n=0
2006/2007 1/20
10. Transformata Fouriera zespolonego ci gu wyk adniczego
"
jÉ jÉ0n
X (e ) = 2Ä„´ (É -É0 + 2Ä„ r) x[n] = e ,-"< n <"
"
r =-"
11. ciwo ci transformaty Fouriera dla ci gów  przesuni cie
w czasie:
jÉ
x[n - nd ] e- jÉnd X (e )
w cz stotliwo ci:
jÉ0n j(É-É0 )
e x[n] X (e )
12. ciwo ci transformaty Fouriera dla ci gów  splot
w czasie:
jÉ jÉ
x[n]* y[n] X (e )Y(e )
w cz stotliwo ci:
Ä„
1
jÅš j(É-Åš)
x[n] y[n] X (e )Y (e )dÅš
+"
2Ä„
-Ä„
OBLICZ
13. Splot dyskretny sygna ów x[n] i h[n] (np. x[n]=[...,0,1,2,3,0,...], h[n]=[...,0,1,2,0,...])
x=[..,0,1,2,3,0,...]
y[1] = 0Å"1+ 0Å" 2 = 0 -h=[..0,2,1,0,..]
y[2] = 1Å"1+ 0Å" 2 = 1 -h=[..0,2,1,0,..]
y[3] = 2Å"1+1Å"2 = 4 -h=[..0,2,1,0,..]
y[4] = 3Å"1+ 2Å" 2 = 7 -h=[..0,2,1,0,..]
y[5] = 0Å"1+ 3Å" 2 = 6 -h=[..0,2,1,0,..]
y[6] = 0Å"1+ 0Å"2 = 0 -h=[..0,2,1,0,..]
y[n] = [..,0,1,4,7,6,0,..]
14. DFT sygna u (np. x=[1,2,3,4])
2"
N -1
- jëÅ‚ öÅ‚kn
ìÅ‚ ÷Å‚
N
íÅ‚ Å‚Å‚
X[0] =
"x[n]e = x[0]+ x[1] + x[2] + x[3] =10
n=0
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
- j Å"1 - j Å"2 - j Å"3
444
X[1] = x[0]e- j0 + x[1]e + x[2]e + x[3]e = 1- j2 - 3+ j4 = -2 + j2
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
- j Å"12 - j Å"22 - j Å"32
Å" Å" Å"
444
X[2] = x[0]e- j0 + x[1]e + x[2]e + x[3]e = 1- 2 + 3 - 4 =-2
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
- j Å"13 - j Å"23 - j Å"33
Å" Å" Å"
444
X[3] = x[0]e- j0 + x[1]e + x[2]e + x[3]e = 1+ j2 - 3 - j4 = -2 - j2
X[k] = [10,-2 + j2, -2,-2 - j2]
2006/2007 2/20
15. Kilka (np.5) pierwszych warto ci ci gu odpowiedzi impulsowej h[n] uk adu dyskretnego o zadanej
z
transmitancji (np. H (z) = ) w stanie pocz tkowym uk ad znajduje si w stanie
(z + 0,5 j)(z - 0,5 j)
spoczynku.
z z
H (z) = =
(z + 0.5 j)(z - 0.5 j) z2 + 0.25
Pierwszy sposób:
Dzielimy licznik i mianownik przez z2:
-1
z
H (z) =
-2
1+ 0.25z
Wyra enie to jest sum szeregu geometrycznego:
"
a1
qn = (a1  pierwszy wyraz ci gu, q - iloraz ci gu)
"a1
1- q
n=0
w którym: a1 = z-1, q = -0.25z-2
St d:
H (z) = z-1 - 0.25z-3 + 0.0625z-5 + ...
Z tej postaci mo na bez problemu wyznaczy kolejne warto ci h[n]:
h[n] = [1, 0, -0.25, 0, 0.0625, & ] lub jak kto woli: [1, 0, -1/4, 0, 1/16, & ]
Drugi sposób (bardziej toporny): po prostu dzielimy (pisemnie) licznik przez mianownik i wychodzi
to samo.
16. Wzmocnienie sk adowej sta ej sygna u analogowego opisanego transmitancj H(s)
s z-1
(np. H (s) = ) oraz uk adu cyfrowego opisanego transmitancj H(z) (np. H (z) = )
s2 +1 z-2 +1
Uk . analogowy. Podstawiamy s = jÉ. Sk adowa sta a, wi c É = 0
0
H (s = jÉ) = H (s = 0) = = 0
É=0
02 +1
Uk . cyfrowy. Podstawiamy z=ejÉ, É=0
1 1
jÉ
H (z = e ) = H (z = 1) = =
É =0
1 +1 2
2006/2007 3/20
17. Indeks próbki nr 5 w porz dku z odwrócon kolejno ci bitów dla 32 punktowej FFT (próbki
numerowane s od 0 do 31).
log2(N)= log2(32)=5
510=001012 , teraz odwracamy 101002 = 2010
Indeks szukanej próbki wynosi 20.
NARYSUJ
18. Histogram, autokorelacj , autokowariancj i |DFT| dla szumu o rozk adzie jednostajnym
(równomiernym) i normalnym (opisz osie na wszystkich wykresach)
Szum równomierny
histogram estymata funkcji autokorelacji Rx(Ä )
Przesuni cie Ä [s]
autokowariancja
|DFT|
Cz stotliwo f [Hz]
2006/2007 4/20
Szum normalny
histogram estymata funkcji autokorelacji Rx(Ä )
Przesuni cie Ä [s]
autokowariancja
|DFT|
Cz stotliwo f [Hz]
19. Cztery przyk ady ró nych symetrii odpowiedzi impulsowych uk adów typu FIR, które maj liniow
charakterystyk fazow . Jakie rodzaje filtrów pasmowych mog by realizowane takimi uk adami?
h(n)=h(N-1-n), N=2L+1 LP,HP,BP,BS
okres 2Ä„
2006/2007 5/20
 h(n)=h(N-1-n), N=2L LP,BP
okres 4Ä„
h(n)=-h(N-1-n), N=2L+1 BP,H,D
okres 2Ä„
h(n)=-h(N-1-n), N=2L HP,BP,H,D
okres 4Ä„
Filtry:
HP  górnoprzepustowy, LP  dolnoprzepustowy, BP  pasmowoprzepustowy,
BS  pasmowozaporowy, D  ró niczkuj cy, H  Hilberta
20. Uk ad do zmiany cz stotliwo ci próbkowania sygna u o czynnikach L/M (L,M  liczby naturalne)
uk ad zast pczy
21. Uk ad przep ywowy uproszczonych oblicze w pojedynczym motylku w algorytmie z podzia em
czasowym.
Xm+1( p) = Xm ( p) +Wnr X (q)
Xm+1(q) = Xm ( p) -Wnr X (q)
xm( p) xm+1( p)
xm(q) xm+1(q)
2006/2007 6/20
Wnr -1
22. Charakterystyk idealnego filtra Hilberta.
odpowied cz stotliwo ciowa
ch-ka amplitudowa i fazowa
WYPROWAD
23. Wzór na odpowied impulsow idealnego filtra dolnoprzepustowego htp[n]
&!0
&!0
Ä„
1 1 1 11
j&! j&!n j&!n j&!n j&!n
hLP (n) = HLP (e )e d&! = 1Å"e d&! = e = [e - e- j&!n ] =
+"+"
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„ jn j2Ä„ n
-Ä„ -&!0 -&!0
2 j sin(&!0n) sin(&!0n) sin(&!0n)
= == 2F0
j2Ä„ n Ä„ n &!0n
24. Algorytm FFT z podzia em czasowym
" sprawdzenie ilo ci próbek wektora x[n]  je eli liczba próbek n nie jest ca kowit pot
liczby 2 uzupe nia si wektor x[n] odpowiedni ilo ci zer
" ustawienie próbek wektora x[n] z odwrócon kolejno ci bitów
" przeprowadzenie oblicze z podstawieniem w oparciu o obliczenia motylkowe:
Xm+1( p) = Xm ( p) +Wnr X (q)
Xm+1(q) = Xm ( p) -Wnr X (q)
oraz graf przep ywowy. Obliczenia wykonuje si po etapach, po motylkach, po blokach,
co sprowadza si do korzystania ze wzoru z odpowiednimi indeksami p,q,r
2006/2007 7/20
25. Twierdzenie o splocie dla transformaty Fouriera ci gów
"
Splot sygna u: R(t)=x(t)*y(t)= x(Ä )y(t -Ä )dÄ Ô! Z ( jÖ ) = X ( jÖ )È ( jÖ )
+"
-"
Dowód:
Po wprowadzeniu nowej zmiennej¾ = t -Ä Ò! t = ¾ +Ä , dt = d¾ + dÄ
Oraz:
" " " "
( x(Ä )dÄ )exp(- jÉt)dt = ( x(Ä )exp(- jÉt)dÄ ) y(¾ ) exp(- jɾ )(d¾ + dÄ )
+" +" +" +"
-" -" -" -"
""
= ( exp(- jÉt)dÄ )( y(¾ ) exp(- jɾ )d¾ )
+"+"
-" -"
Lub:
"
1
Z(t)=x(t)*y(t)= Ô! Z(jÖ )= X ( jv)Y ( j(w - v))dv = X ( jw)*Y ( jw)
+"
2 
-"
Po wprowadzeniu &! = w - v w =&!+ v
" "
1 1
Z (t) = ( X ( jv)Y ( jw - v))dv exp( jwt)dw =
+" +"
2  2 
-" -"
""
11
( X ( jv)exp( jwt)dv)( Y ( j&!) exp( j&!t)d&!=x(t)* y(t)
+"+"
2  2 
-" -"
Y(z)
26. Posta liniowego równania ró niczkowego o sta ych wspó czynnikach w dziedzinie Z, H (z) =
X (z)
Obliczamy transformat Z z obu stron korzystaj c z w ciwo ci liniowo ci i niezmienno ci po
przesuni ciu przekszta cenia Z:
M
bm z-m
MN
"
m=0
îÅ‚ îÅ‚
Y (z) = bmz-m Å‚Å‚ x(z) - ak z-k Å‚Å‚ y(z) Ò! Y (z) = H (z)X (z) = x(z)
""
m=0 k =1 N
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ûÅ‚
îÅ‚
1+ ak z-k Å‚Å‚
"
k =1
ðÅ‚ûÅ‚
É
&!
27. Zale no mi dzy pulsacj analogow i cyfrow w transformacji biliniowej
Analogowa, cyfrowa v
w
&! = 2 fptg( )
2
T-okres próbkowania sygna u dyskretnego
S=j Z=exp(j &! )
2 z -1
s =
T z +1
j&! j&! - j&!&!
exp( )(exp( ) - exp( )) / 2 sin( )
exp( j&!) -1 2 2
2 22
2
jw = == j
j&! j&! - j&!&!
exp( j&!) +1 TT
exp( )(exp( ) + exp( )) / 2 cos( )
2 22
2
2 &!
w == tg( )
T 2
2006/2007 8/20
28. Wzór na odpowied impulsow idealnego filtra pasmowego h[n] (FGP, FPP, FPS)
" FGP (HP)
 
0
îÅ‚&! Å‚Å‚
11
hHp (n) = HHP (exp( j&!0) exp( j&!n )d&! = 1Å"(exp( j&!n )d&! + 1Å"(exp( j&!n)d&! =
ïłśł
+" +"+"
2  2 
ïÅ‚- &!n
- 
ðłśł
ûÅ‚
&!0

11 sin &!0
&!0
(exp( j&!n )d&! - (exp( j&!n )d&! = - 2F0
+"2  +"+"n &!0n = +"n - hLP (n),n `" 0
2 
-  -&!n
n=0 hHP(0)=1-2F0 -z regu y d Hospitala w granicy n 0
" FPP (BP)
&!1 &!2

îÅ‚Å‚Å‚
11
hBp (n) = HBP (exp( j&!0) exp( j&!n )d&! = 1Å"(exp( j&!n )d&! + 1Å"(exp( j&!n )d&! =
ïłśł
+" +"+"
2  2 
-  ïÅ‚-&!2 &!1
ðłśł
ûÅ‚
&!2 &!1
11 sin(&!2n) sin(&!1n)
&!2 &!1
(exp( j&!n)d&! - (exp( j&!n)d&! = 2F2 - 2F1 = hLP - hLP , n `" 0
+"+"
2  2  &!2n &!1n
-&!2 -&!1
n=0 hBP(0)= 2(F2 -F1)-z regu y d Hospitala w granicy n 0
" FPS (BS)

1
hBs (n) = HBs (exp( j&! )exp( j&!n)d&!=
+"
2 
- 

2
îÅ‚-&!&!1 Å‚Å‚
1
1Å"(exp( j&!n)d&! + 1Å"(exp( j&!n)d&! +
ïÅ‚
+"+"+"1Å"(exp( j&!n)d&!śł =
2 
ïÅ‚ -  -&!1 &!2
ðłśł
ûÅ‚
&!1 &!2

111
(exp( j&!n )d&! - (exp( j&!n )d&! - (exp( j&!n)d&! =
+"+"+"
2  2  2 
-  -&!1 -&!2
sin(&!2n) sin(&!1n)
+"(n) - (2F2 &!2n - 2F1 &!1n ), n `" 0
2006/2007 9/20
n=0 hBs(0)= 1-2(F2 -F1)-z regu y d Hospitala w granicy n 0
É3dB
29. Wzór na filtra Butterwortha
1
H(É)= N- rz d filtra É0 -3dB
É
1+ ( )2 N
É0
Éstop
-10log10(1+ ( )2 N ) = 20log10(Astop ) =-Astop , skracamy minusy, wtedy:
É3dB
Éstop
10 log10(1+ ( )2 N ) = 20log10 (Astop ) = Astop
É3dB
Éstop Astop
log10(1+ ( )2N ) =
É3dB 10
Astop
Éstop
10
10 =1+ ( )2N
É3dB
Astop
Éstop
10
10 -1 = ( )2 N
É3dB
Éstop
1
= ( )2 N
Astop
É3dB
10
10 -1
Astop
É3dB =
Astop
10
10 -1
INNE
30. Co to znaczy, e uk ad jest niezmienny w czasie, liniowy, przyczynowy i stabilny?
Niech x(t) oznacza sygna wej ciowy, a y(t) sygna wyj ciowy.
Uk ad jest niezmienny w czasie (niewra liwy na przesuni cie w czasie) kiedy dla ka dego t0 je li
x(t) y(t) to x(t - t0) y(t - t0 ) , czyli odpowied uk adu na opó nione pobudzenie jest taka sama
jak na oryginalne pobudzenie, tylko opó niona.
Uk ad jest liniowy gdy je li x1(t) y1(t) i x2(t) y2(t) to ax1(t) + bx2(t) ay1(t) + by2(t) , czyli
odpowied uk adu na sum wymusze jest równa sumie odpowiedzi na poszczególne wymuszenia,
dzia aj ce osobno. (addytywno i skalowalno )
Uk ad jest przyczynowy je li warto y(t) w chwili t0 zale y tylko od x(t) w chwilach t d" t0 (chwila
bie ca i przesz ).
Uk ad jest stabilny je li ka de ograniczone pobudzenie powoduje ograniczon odpowied .
Ci g x[n] jest ograniczony, je eli istnieje sko czona warto dodatnia Bx taka, e| x[n] |d" Bx < ""n
,
2006/2007 10/20
31. Podaj w ciwo ci splotu dyskretnego.
- Przemienno : x[n]" h[n] = h[n]" x[n]
- czno : ( f [n]" g[n])"h[n] = f [n]"(g[n]" h[n])
- Rozdzielno wzgl dem dodawania
f [n]"(g[n] + h[n]) = f [n]" g[n]+ f [n]"h[n]
- czno wzgl dem mno enia przez skalar
a( f [n]" g[n]) = (af [n])" g[n] = f [n]"(ag[n])
- Je eli funkcje s ró niczkowalne to ich sploty równie
( f " g) ' = f '" g + f " g '
32. Uzasadnij, dlaczego uk ad analogowy o transmitancji H(s) jest stabilny, je eli bieguny tej
transmitancji le w lewej pó aszczy nie p aszczyzny zespolonej.
Gdy wszystkie bieguny le w lewej pó aszczy nie, to wtedy po roz eniu na u amki proste oraz
zastosowania transformaty odwrotnej Laplace a otrzymamy wszystkie wyk adniki eksponent
ujemne. Spowoduje to e wszystkie cz ony przy t " , b zmierza y do zera  a zatem uk ad
dzie stabilny.
Zak adamy, e transmitancj :
Y ( jÉ) bm( jÉ - z1)( jÉ - z2 )...( jÉ - zm)
H ( jÉ) ==
X ( jÉ) an( jÉ - p1)( jÉ - p2)...( jÉ - pm)
mo na przedstawi jak sum transmitancji prostych
Y ( jÉ) bm C1 C2 CK CN
H ( jÉ) = = ( + + ...+ +...+ )
X ( jÉ) an jÉ - p1 jÉ - p2 jÉ - pK jÉ - pN
jest to mo liwe, kiedy bieguny transmitancji s jednokrotne.
Z: an , bm - rzeczywiste => pK - liczby rzeczywiste, lub liczby zespolone sprz one =>
=> CK - (k=1,2,& ,N)- liczbami rzeczywistymi, oraz liczbami zespolonymi dla biegunów
zespolonych.
Biegun k-tej transmitancji prostej - pK = ´k + jÉ
k
´k > 0 to odpowied impulsowa hk (t) = Cke´ t => ro nie w sposób niesko czony, wi c odpowied
impulsowa jest nieograniczona => uk ad niestabilny => w ka dym innym przypadku uk ad b dzie
stabilny (´k d" 0).
2006/2007 11/20
33. Na czym polega zjawisko aliasingu i jak go unikn ?
Aliasing  rozk adanie si widm sygna u cyfrowego okresowo zwielokrotnionego w dziedzinie
cz stotliwo ci podczas przetwarzania sygna ów. Aliasing objawia si nieprawid owym,
niemo liwym do usuni cia, odtworzenia sygna u analogowego z sygna u cyfrowego. Aby temu
zapobiec, na wej ciu przetwornika analogowo  cyfrowego stosuje si filtry dolnoprzepustowe o
odpowiednich parametrach.
Aliasing powstaje, je li maksymalna cz stotliwo sygna u próbkowego przekracza fs to kolejne
powtarzaj ce si widma zaczynaj na siebie nachodzi . Dlatego nale y pami ta , aby fs by o
wi ksze od
1
f =
, gdzie T - okres probkowania, fn czestotliwosc nyquista
N 2 T
34. Do czego stosuje si filtry analogowe w uk adach realizuj cych przetwarzanie sygna ów
dyskretnych?
Do tworzenia prototypów filtrów cyfrowych. Filtry analogowe mog stanowi prototypy filtrów
cyfrowych, które otrzymuje si z filtrów analogowych za pomoc transformacji biliniowej.
35. Jakie jest t umienie pierwszego listka bocznego dla okna prostok tnego, a jakie dla filtra
zaprojektowanego metod okien z oknem prostok tnym?
Dla okna prostok tnego 13 dB, dla filtra z oknem prostok tnym 21 dB.
36. Jaka powinna by transmitancja filtra H1 eby uk ady a i b by o równowa ne
a) b)
Odp: H1=H(zM)
37. Jaka powinna by transmitancja filtra H1 eby uk ady a i b by o równowa ne
a) b)
Odp:
H1=H(zL)
38. Jaki kszta t posiada okno kaisera, je eli jego parametr kszta tu =0?Jak zmienia si charakterystyka
tego okna wraz ze wzrostem , a jak ze wzrostem N (d ugo ci okna).
Je li =0, to okno Kaisera posiada kszta t okna prostok tnego. Wzrost powoduje obni enie
pierwszego listka bocznego (i niestety zwi kszenie szeroko ci listka g ównego tj pasma
przej ciowego). Natomiast wzrost N powoduje zaw enie listka g ównego, nie wp ywa na po enie
pierwszego listka bocznego.
2006/2007 12/20
39. Jaka jest zaleta algorytmu Parksa-McClellana projektowania filtrów FIR w porównaniu z metod
okien?
W algorytmie Parksa-McClellana rz d filtra, kraw dzie pasma wp, ws oraz stosunek ´1 / ´2 s sta e
natomiast ´1 lub ´2 jest zmienne.
40. Podaj algorytm liczenia splotu liniowego sygna ów dyskretnych o sko czonej odpowiedzi przez
DFT.
" Okre li d ugo N1 i N2 sygna ów x1(n) i x2(n)
" Uzupe ni zerami sygna y x1(n) i x2(n) do d ugo ci N1 + N2 - 1
" Obliczy DFT obu sygna ów
" Obliczy IDFT iloczynów obu widm
41. Opisz metody selekcjonowanego splotu: overlap-add, overlap-save.
Overlap-add:
Sygna przetwarza si w szybki sposób (DFT/FFT) ale realizuj c splot liniowy. Nast pnie sygna
wej ciowy x(n) jest dzielony na zachodz ce na siebie fragmenty x1(n), x2(n), ... o d ugo ci N.
Kolejno wykonywane s K punktowe FFT ka dego sygna u xi(n) uzupe nionego zerami do d ugo ci
K, a otrzymane w ten sposób widma Xi(k) s wymna ane z odpowiedzi cz stotliwo ciow filtra
H(k). Potem wykonuje si iFFT z Xi(k)H(k) i uzyskuje sygna yi(n). Poniewa te sygna y maj
ugo K i zachodz na siebie K-N próbkami nale y je wszystkie doda .
Ovelap-save:
Sygna przetwarza si w szybki sposób (DFT/FFT) ale realizuj c splot ko owy. Na pocz tku M-
elementowa odpowied impulsowa filtra h(n) jest uzupe niana N-M zerami i tylko raz
transformowana do dziedziny cz stotliwo ci za pomoc N-punktowego DFT/FFT: H(k)=FFT(h(n)).
Nast pnie sygna wej ciowy x(n) jest dzielony na fragmenty x1(n), x2(n), ... o d ugo ci N (N=2P)
zachodz ce na siebie M-1 próbkami. Potem s wykonywane N-punktowe DFT/FFT ka dego sygna u
xi(n), a otrzymane widma Xi(k) s wymna ane z odpowiedzi impulsow filtra H(k). Nast pnie
wykonuje si iDFT/iFFT z Xi(k)H(k) i uzyskuje yi(n). Poniewa w ka dym z nich pierwszych M-1
próbek jest niepoprawnych zostaj one usuni te . Reszta zostaje z ona razem daj c w wyniku
sygna wyj ciowy y(n).
42. Jakie w ciwo ci posiada transformata Chirp?
W transformacie Chirp wspó czynnik Fouriera sygna u dyskretnego wyznacza si jako splot sygna u
z predefiniowanymi funkcjami bazowymi. Mo liwe jest wyznaczenie dowolnego ci gu
równoleg ych wspó czynników Fouriera na okr gu jednostkowym.
2006/2007 13/20
43. Poka , e dla rzeczywistego ci gu próbek wyst puj nast puj ce symetrie charakterystyki
amplitudowej i fazowej: |X(k)|=|X(N-k)| oraz arg(X(k))=-arg(X(N-k))
2Ä„ kn
N -1
- j
N
x(k) =
"x(n)e , 0 d" k d" N -1
n=0
Symetrie te wynikaj z w asno ci zespolonej funkcji bazowej
2Ä„ (N -k )n 2Ä„ kn 2Ä„ kn
- j jj
N N N
e = e- j 2Ä„ ne = e , 0 d" k d" N -1,
oznacza to, e
2Ä„ kn 2Ä„ (N -k )n
j - j
NN
Re(e ) = Re(e ),
2Ä„ kn 2Ä„ (N -k )n
j - j
NN
arg(e ) =-arg(e ),
N
czyli, dla 0 d" k d" N -1 pr ek x(k= ) le y na osi symetrii.
2
44. Uzasadnij dlaczego charakterystyka filtra o sko czonej odpowiedzi impulsowej mo e by liniowa.
j&!
Transformacja Fouriera H (e ) odpowiedzi impulsowej h(n) na podstawie definicji jest równa
N -1
j&! j&!n
H (e ) =
"h(n)e mo na j zapisa w postaci
n=0
N -1
n=0
j&! j(M -n) j&! j&!M j&!(M -1) j&!(M -(N -1))
H (e ) = e- j&!M [h(0)e + h(1)e + h(N -1)e ] zak adaj c
"h(n)e = e-
n=0
N -1
M = Ò! M - (N -1) = -M oraz wykorzystuj c symetri (asymetri ) funkcji cos mo na
2
zapisa :
j&!
H (e ) = e- j&!M {(h(0) + h(N -1))cos(&!M ) + (h(0) - h(N -1))sin(&!M ) + (h(1) + h(N - 2))cos(&!(M -1)) + j(h(1) - h(N - 2))sin(&!(M -1)) +...}
Filtr b dzie mia liniowa charakterystyk je eli wyra enie w równaniu b dzie mia o tylko cz
rzeczywist lub tylko cz urojona. Musi by spe niony warunek aby zachodzi o h(n)=h/N-(n)
45. Wymie metody tworzenia sygna u analitycznego w dziedzinie dyskretnej.
" filtracji w dziedzinie czasu
" filtracji w dziedzinie cz stotliwo ci
" modyfikacja widma
46. Podaj procedur Welcha liczenia periodogramu.
Procedura Welcha wykorzystuje zwi zek pomi dzy funkcj g sto ci mocy a periodogramem. Ci g
danych jest dzielony na K=N/M segmentów M- punktowych zgodnie ze wzorem: x(i)(n)= x(n+iD),
0<stosuje si okno É (n). K zmodyfikowanych periodogramów definiuje si nast puj co:
M -1 M -1
1
(
pr
PMi)( f ) = | x(i)(n)w(n)e- j 2 ( f / f )n |2 i=1,2,& K , Ew = w2(n)
" "
Ew n=0
n=0
2006/2007 14/20
47. Narysuj zera i bieguny przyk adowego filtra FDP FGP FPP FPZ oraz jego charakterystyk
amplitudow dla filtra analogowego i cyfrowego.
48. Podaj definicje sygna u analitycznego oraz metody wyznaczania: obwiedni, pulsacji chwilowej, fazy
chwilowej i chwilowego przesuni cia fazowego.
2006/2007 15/20
49. Podaj ci transformaty Fouriera nast puj cych sygna ów: impuls prostok tny, impuls sinc,delta
Diraca, sygna harmoniczny, sygna sta y.
Impuls prostok tny p,-(t) = {0 dla |t| > T
sinÉT
{1 dla |t|<É
sin &!t
0dla|&!|
Impuls sinc 2 <-> 2 P&!(-É) P&! (É) = P&!(-É) = {1dla&!|<>&!
<&!
t
Impuls Diraca ´ (t) <->1
Sygna sta y 1< - > 2 "(É)
50. Rysunek przedstawia modu DFT wygenerowanego w matlabie sygna u dyskretnego x[n]:
fp= 100; Hz % cz stotliwo próbkowania
N=10; % liczba próbek sygna u
t=0:N-1; t=t/fp; x=A0+A1*sin(2* *f1*t)+A2*sin(2* *f2*t); X=fft(x)
podaj warto ci A0, A1, A2, f1,f2
Przy liczeniu N-punktowego FFT aby otrzyma rzeczywiste warto ci amplitud X(0) mno y si przez
1/N, a wszystkie pozosta e przez 2/N.
Zatem:
A0=1, A1=2, A2=0.8,
f1 = 2*fp/N = 20 Hz,
f2 = 4*fp/N = 40 Hz
51. Z ci gu dyskretnego x[n] o warto ciach rzeczywistych policzono DFT. D ugo sygna u wynosi
N=5 pierwsze 3 wspó czynniki s nast puj ce: X[k]= [15; -2,5+3,441i; -2,5+0,8123i]. Podaj kolejne
dwa wspó czynniki DFT.
Korzystaj c z zale no ci X|x(É )| = |X(N-k)|
arg|X(É )|=-arg|X(N-k)|
x[k]=[15;-2,5+j3,441;-2,5+j0,8123; -2,5-j0,8123; -2,5-j3,441]
52. Zaprojektowano filtr analogowy H(s) o nast puj cych parametrach: wzmocnienie k=1, zera H(s)
z=[], bieguny H(s) p=[-1+j; -1-j], Jakie jest wzmocnienie tego filtra dla sk adowej sta ej ( =0)?
s=j
1
H (s) =
[s - (-1- j)][s - (-1+ j)]
11
H ( jÉ) = = = 0,5
(-1+ j)(-1- j) 1+1
2006/2007 16/20
53. Jak transmitancj Laplace'a H(s)=Y(s)/X(s) posiada uk ad analogowy opisany równaniem
ró nicowym: 4y''+3y'+2y=5x''+6x'+7x
4s2 y[s] + 3sy[s] + 2y[s] = 5s2x[s]+ 6x[s]s + 7x[s]
y[s](4s2 + 3s + 2) = x[s](5s2 + 6s + 7)
y[s] 5s2 + 6s + 7
== H (s)
x[s] 4s2 + 3s + 2
54. Jak transmitancj Z H(z)=Y(z)/X(z) posiada uk ad cyfrowy opisany równaniem ró nicowym:
y[n]+2y[n-1]+4y[n-2]=3x[n]+5x[n-1]
y[z]+ 2y[z]z-1 + 4y[z]z-2 = 3x[z]+ 5x[z]z-1
y[z](1+ 2z-1 + 4z-2) = x[z](3+ 5z-1)
y[z] 3 + 5z-1
=
x[z] 1+ 2z-1 + 4z-2
55. Jakie s ograniczenia na po enia zer transmitancji H(z) uk adu dyskretnego?
Nie ma adnych ogranicze , zera rozmieszczone na okr gu jednostkowym wp ywaj na skoki
charakterystyki fazowej o + , natomiast zera nie maj wp ywu na stabilno uk adu.
56. Wykonano 16 punktowe DFT sygna u spróbkowanego z fp=32Hz. Je eli pr ki widma s
ponumerowane od 0 do 15, to jakiej cz stotliwo ci odpowiada pr ek o numerze 1?
"
1
Xs( j&!) = Xc( j&! - k&!0)
"
T
k =-"
fk = kf
k = 0,1, 2,...N -1
fp
f =
N
32
f 1 = 1* = 2Hz
16
57. Jaka musi by d ugo sygna u aby mo na by o zastosowa szybki algorytm dyskretnej transformaty
Fouriera (FFT)?
ugo sygna u musi by ca kowit pot liczby 2.
58. Narysuj orientacyjna charakterystyk amplitudow |H(f)| filtra cyfrowego dla cz stotliwo ci z
przedzia u <0,fp>. Cz stotliwo próbkowania fp=100Hz. Rozk ad zer i biegunów tego filtra
przedstawia rysunek:
2006/2007 17/20
59. Podaj warto zera transmitancji filtra analogowego H(s) i cyfrowego H(z) (dla cz stotliwo ci
próbkowania fp= 100Hz) powoduj cego ca kowite t umienie sygna u o cz stotliwo ci 10 Hz.
Filtr cyfrowy e /5 e /5
Filtr analogowy j =2 [j10]
60. Co nale y podstawi za  s i za  z aby uzyska posta interpretacj cz stotliwo ciow
transmitancji ci ej i dyskretnej?
Dla H(s) s=j* dla H(z) z= e
61. Podaj warto biegunów prototypu analogowego, dolnoprzepustowego filtra Butterwortha III-go
rz du (N=3).
 k    k 
j ( + ) j( + + )
2N N 2 2 N N
sk = jÉ0e = É0e
k = 0,1...N -1
Bieguny filtra Butterwortha s u one na okr gu o promieniu w0 -3dB pulsacja graniczna, w lewej

pó aszczy nie zmiennej zespolonej s, w równych odst pach k towych
N
62. Podaj wzór na modu charakterystyki amplitudowej dolnoprzepustowego filtra Butterwortha.
1
| H (É)|2=
É
1+ ( )2 N
É0
1
2
É - 3dB pulsacja graniczna. Jest to pulsacja, dla której wzmocnienie maleje o 3dB
0
1
w porównaniu ze wzmocnieniem dla sk adowej sta ej H (É0) = H (0)
2
N- rz d filtra
63. Skre l b dne odpowiedzi:
Dolnoprzepustowy filtr analogowy
Butterwortha Czybyszewa typ I Czybyszewa typ II eliptyczny
pasmo przepustowe askie faliste askie faliste
pasmo zaporowe askie askie faliste faliste
zera nie ma nie ma ma ma
64. Skre l b dne odpowiedzi (przy tych samych rz dach filtrów):
Filtry nierekursywne FIR Filtry rekursywne IIR
stabilno zawsze stabilne mog si wzbudza
Faza liniowa nieliniowa
bieguny nie ma wewn trz okr gu
pasmo przej ciowe szerokie skie
65. Ile mno zespolonych wykonuje si w N-punktowym DFT, a ile w N-punktowym FFT?
Bezpo rednie wyznaczenie DFT wymaga N2 zespolonych mno i N*(N-1) dodawa zespolonych
FFT wykonuje si na N*log2N mno i N*log2N sumowa .
2006/2007 18/20
66. Podaj przyk adowe parametry rejestracji sygna u napi cia z sieci takie, aby  trafi  w widmie
Fouriera (DFT) w maksimum pr ka 50Hz.
f =1000[Hz]
p
N = 1000
fp
ft = =1[Hz], dla
N
k = 50[Hz]otrzymamy :
k * ft = 50Hz
67. Dla zarejestrowanych 10-u próbek sygna u rozdzielczo cz stotliwo ciowa sygna u widma DFT
wynosi 1Hz. Ile wyniesie krok w cz stotliwo ci po do czeniu 5 zer na ko cu sygna u?
N1=10, N2=5
fp
df1 = Ò! fp = 10[Hz]
N1
fp 10 2
df2 = = = [Hz]
N2 + N1 15 3
68. Sygna próbkowany z cz stotliwo ci 100 Hz poddano dwukrotnej decymacji. Jaka powinna by
cz stotliwo graniczna filtra antyaliasingowego? Podaj cz stotliwo w Hz.
fp 100
fPD = = = 50[Hz]
2 2
fg = 0,5 fPD = 25[kHz]
69. Podaj algorytm liczenia cepstrum oraz cepstrum odwrotnego.
algorytm liczenia cepstrum sygna u x(n):
- x(k)=FFT{X(x)}
- capstrum= IFFT{ln(X(k)}
Aby powróci do przebiegu czasowego x(n) nale y dokona obliczenia
- x(k) = exp(FFT{capstrum}
- x(n) = IFFT{x(k)}
70. Podaj transmitancj H(z)filtra cyfrowego opisanego nast puj cym równaniem ró nicowym
y[n]=x[n]+2x[n-1]-3y[n-2]
y[z] + 3y[z]z-2 = x[z] + 2x[z]z-1
y[z](1+ 3z-2) = x[z](1+ 2z-1)
y[z] 1+ 2z-2
= H[z] =
x[z] 1+ 3z-2
2006/2007 19/20
71. Narysuj widmo sygna u analitycznego dla sygna u rzeczywistego, którego widmo przedstawi
rysunek:
10
72. Jakie jest równanie ró nicowe filtra posiadaj cego transmitancj H (z) = :
1+ z-1 + 2z-2
Y (z) 10
=
X (z) 1+ z-1 + 2z-2
X (z)10 = Y (z) +Y (z)z-1 +Y (z)2z-2
10x(n) = y[n] + y[n -1]+ 2y[n - 2]
73. umienie filtra wynosi -40dB, ile to razy?
-40dB= 20log10(U2/U1) -2= log10 K 10-2=U2/U1 t umienie 100 razy, U1= 100U2
74. umienie filtra wynosi 1000 razy, ile to dB?
K [dB] = 20log10(U2/U1)
U2/U1 = 0,001 (bo t umienie 1000 razy => U2 = 0,001U1)
K [dB] = 20log10(0,001)
K = -60 [dB]
2006/2007 20/20