Anna Śleszyńska
Bartosz Anacki
 Bayesian Option pricing model using asymmetric GARCH models
 Bayesian Option pricing model using asymmetric GARCH models
Luc Bauwens, Michel Lubrano
Luc Bauwens, Michel Lubrano
Opracowany przez nas artykuł jest pierwszym artykułem, w którym zastosowano wnioskowanie
Bayesowskie do zagadnienia wyceny instrumentów pochodnych.
Porównano w nim wycenę opcji z wykorzystaniem wnioskowania Bayesowskiego z wyceną przy
użyciu modelu Blacka-Scholesa z wykorzystaniem modeli GARCH.
1. Model Blacka-Scholesa
" Wypłata z europejskiej opcji kupna wynosi:
" Wypłata z europejskiej opcji kupna wynosi:
PT=max(ST-K,0)
PT=max(ST-K,0)
" Formuła Blacka-Scholesa do wyceny opcji:
" Formuła Blacka-Scholesa do wyceny opcji:
CtT = StĆ(d1) - Ke-r(T -t )Ć(d2 )
ln(St / Ke-r (T -t ) )
d1 = + 0.5Ã T - t
à T - t
ln(St / Ke-r(T -t) )
d2 = - 0.5Ã T - t
à T - t
" Znalezienie neutralnej względem ryzyka miary martyngałowej Q, pozwoli wyznaczyć
" Znalezienie neutralnej względem ryzyka miary martyngałowej Q, pozwoli wyznaczyć
wartość opcji jako zdyskontowaną wartość oczekiwaną względem miary Q przyszłej
wartość opcji jako zdyskontowaną wartość oczekiwaną względem miary Q przyszłej
wypłaty:
wypłaty:
CtT = E[PT (1+ r)-(T -t)]
Gdzie E[(St-St-1)/St-1]=r dla każdego t
Gdzie E[(St-St-1)/St-1]=r dla każdego t
2. Standardowy model GARCH
" Podstawowy model GARCH(1,1) ma następującą postać:
" Podstawowy model GARCH(1,1) ma następującą postać:
yt = (St - St-1) / St-1
yt = źt + ut
ż#
ª#
ut It-1 ~ N(0, ht )
¨#
ª#h = É + Ä… Å" ut2-1 + ²ht-1
©# t
Gdzie:
Gdzie:
źt jest warunkową wartością oczekiwaną stopy zwrotu
ut jest nowÄ… informacjÄ… pojawiajÄ…cÄ… siÄ™ w momencie t
Ä…, ²,É - nieujemne parametry modelu
" Symetryczny model GARCH zakłada, że reakcja warunkowej zmienności na pozytywne
" Symetryczny model GARCH zakłada, że reakcja warunkowej zmienności na pozytywne
i negatywne zmiany na rynku jest taka sama.
i negatywne zmiany na rynku jest taka sama.
3. Wycena opcji z wykorzystaniem modelu GARCH oraz metodologii Bayesowskiej
wygląda następująco:
Anna Śleszyńska
Bartosz Anacki
" Przewidywana gęstośc PT względem miary Q:
" Przewidywana gęstośc PT względem miary Q:
fQ (PT y) = fQ (PT ¸ , y)Õ(¸ y)d¸
+"
Gdzie:
Gdzie:
Õ(¸ y) jest gÄ™stoÅ›ciÄ… aposteriori parametrów z modelu:
jest gęstością aposteriori parametrów z modelu:
yt = ź + Á Å" yt-1 + ut
ż#
ª#
ut It-1 ~ N(0, ht ) ;
;
¨#
ª#h = É + Ä… Å" ut2-1 + ²ht-1
©# t
fQ (PT ¸, y) jest gÄ™stoÅ›ciÄ… przyszÅ‚ych wypÅ‚at;
jest gęstością przyszłych wypłat;
y to stopy zwrotu użyte do estymacji modelu;
" Wyznaczona przewidywana gęstość daje wszystkie informacje, które są potrzebne do
" Wyznaczona przewidywana gęstość daje wszystkie informacje, które są potrzebne do
wyznaczenia oczekiwanej ceny opcji, która wynosi E[PT(1+r)-(T-t) ]
wyznaczenia oczekiwanej ceny opcji, która wynosi E[PT(1+r)-(T-t) ]
4. Wyznaczanie warunkowego rozkładu
4. Wyznaczanie warunkowego rozkładu
" T=t+1, czyli wyznaczana jest przewidywana cena tylko o jeden okres do przodu (ns=1),
" T=t+1, czyli wyznaczana jest przewidywana cena tylko o jeden okres do przodu (ns=1),
warunkowa gęstość jest gęstością rozkładu normalnego:
warunkowa gęstość jest gęstością rozkładu normalnego:
fQ (yT ¸, yt ) = fN (r,É + Ä…[yt - ź - Áyt-1 + r]2 + ²ht )
Wszystkie parametry rozkładu warunkowego są znane, gdyż yT i hT są już zaobserwowane
Wszystkie parametry rozkładu warunkowego są znane, gdyż yT i hT są już zaobserwowane
lub wyznaczone
lub wyznaczone
" Gdy ns>1 gęstość można otrzymać wyznaczając całkę:
" Gdy ns>1 gęstość można otrzymać wyznaczając całkę:
fQ (yT yt ) = f¸ (yT ¸ , yT -1) fQ (yT -1 ¸ , yT -2 )& ×fQ (yt+1 ¸ , yt )Õ(¸ y)dyT -1 & dyt+1d¸
+" +" -1
¸ Rns
Nie jest bowiem znany nie tylko parametr, ale również yt+1& yT-1 - są one bowiem jeszcze nie
Nie jest bowiem znany nie tylko parametr, ale również yt+1& yT-1 - są one bowiem jeszcze nie
zaobserwowane (Bauwens 1999 rozdział 7)
zaobserwowane (Bauwens 1999 rozdział 7)
5. Wyznaczanie ceny opcji
5. Wyznaczanie ceny opcji
" Należy wyznaczyć N próbek (yt+1,yt+2,& ,yT), a następnie ST i PT:
" Należy wyznaczyć N próbek (yt+1,yt+2,& ,yT), a następnie ST i PT:
T
ST = St PT = max(ST - K,0)
"(1+ yi )
i=t+1
" Znając ST i PT można wyznaczyć cenę opcji jako zdyskontowaną średnią z N próbek:
" Znając ST i PT można wyznaczyć cenę opcji jako zdyskontowaną średnią z N próbek:
N
1
j
CtT H" (1+ r)-(T -t)
"PT
N
j=1
6. Weryfikacja
" Aby sprawdzić precyzję szacowania należy wyznaczyć empiryczne odchylenie
" Aby sprawdzić precyzję szacowania należy wyznaczyć empiryczne odchylenie
standardowe CtT
standardowe CtT
1 1

j j
à = (1+ r)-(T -t ) )2 - ( )2
C "(PT "PT
N N
" Gdy N jest duże, a próbki są niezależne, błąd ma asymptotycznie rozkład normalny;
" Gdy N jest duże, a próbki są niezależne, błąd ma asymptotycznie rozkład normalny;
Anna Śleszyńska
Bartosz Anacki

Ã
t
" Przedział ufności: CT ą zą C , gdzie zą jest 1- ą kwantylem rozkładu normalnego
" Przedział ufności: , gdzie jest kwantylem rozkładu normalnego
N
7. Estymacja modeli GARCH
7. Estymacja modeli GARCH
" Wykorzystane zostały dzienne stopy zwrotu (na podstawie cen zamknięcia) dla Brussels
" Wykorzystane zostały dzienne stopy zwrotu (na podstawie cen zamknięcia) dla Brussels
spot market index z okresu 23.11.1993  30.01.1996, w sumie 550 obserwacji.
spot market index z okresu 23.11.1993  30.01.1996, w sumie 550 obserwacji.
St - St-1
" Zmienna zależna: yt = 100 Å"
" Zmienna zależna:
St-1
" Ogólna forma estymowanych modeli GARCH:
" Ogólna forma estymowanych modeli GARCH:
yt = Áyt-1 + htµt µt ~ N(0,1)
ht = g(yt-1, ht-1,¸ )
T T
1
-1/ 2
l(¸; y) " exp(- yt2 / ht )
"ht "
2
t=2 t=2
" Dla GARCH ht = É + Ä…ut2-1 + ²ht-1
" Dla GARCH
1 ut-1 < 0
ż#
" Dla GJR-GARCH ht = É + Ä…1ut2-1(1- ft ) + Ä…2ut2-1 ft + ²ht-1 , gdzie ft =
" Dla GJR-GARCH , gdzie
¨#0 ut-1 e" 0
©#
" Dla STR-GARCH ht = É + Ä…1ut2-1(1- ft ) + Ä…2ut2-1 ft + ²ht-1 ,
" Dla STR-GARCH ,
gdzie ft (u,Å‚ ,c) = 1- exp(-Å‚ (u - c)2 )
gdzie
" Podejście Bayesowskie:
" Podejście Bayesowskie:
O parametrach modelu ź, Á, É, ², Ä… zakÅ‚adamy, że majÄ… rozkÅ‚ady a priori jednostajne na
O parametrach modelu ź, Á, É, ², Ä… zakÅ‚adamy, że majÄ… rozkÅ‚ady a priori jednostajne na
skończonym przedziale.
skończonym przedziale.
v-1
Dla STR-GARCH zakÅ‚adamy, że Å‚ ma rozkÅ‚ad a priori: Õ(Å‚ ) " Å‚ exp(-Å‚ / Å‚ )
Dla STR-GARCH zakładamy, że ł ma rozkład a priori:
0
" Podejście klayczne:
" Podejście klayczne:
Parametry modelu dobieramy tak, żeby maksymalizowały funkcję wiarygodności.
Parametry modelu dobieramy tak, żeby maksymalizowały funkcję wiarygodności.
8. Wyniki estymacji i ich analiza
Anna Śleszyńska
Bartosz Anacki
" Negatywne zmiany mają większy wpływ na warunkową wariancję niż szoki pozytywne
" Negatywne zmiany mają większy wpływ na warunkową wariancję niż szoki pozytywne
GJR: =ą2-ą1 ma średnią posteriori 0.09; odchylenie 0.066
GJR: =ą2-ą1 ma średnią posteriori 0.09; odchylenie 0.066
Prawdopodobieństwo posteriori że <0 jest małe (<6%)
Prawdopodobieństwo posteriori że <0 jest małe (<6%)
STR: prawdopodobieństwo że ą2<0 jest zero
STR: prawdopodobieństwo że ą2<0 jest zero
" Estymatory klasyczne i bayesowske zbliżone dla ź i Á
" Estymatory klasyczne i bayesowske zbliżone dla ź i Á
" Duże różnice miÄ™dzy estymatorami É, ² i Å‚
" Duże różnice miÄ™dzy estymatorami É, ² i Å‚
" Bayesowskie odchylenia standardowe sÄ… znaczÄ…co wyższe dla É, Ä… i ² lepiej ukazujÄ…
" Bayesowskie odchylenia standardowe sÄ… znaczÄ…co wyższe dla É, Ä… i ² lepiej ukazujÄ…
niepewność parametrów nich odchylenia klasyczne
niepewność parametrów nich odchylenia klasyczne
9. Przewidywanie ceny oraz analiza wyników
" Wyniki estymacji klasycznej nie zostały pokazane, są one zbliżone do wyników
" Wyniki estymacji klasycznej nie zostały pokazane, są one zbliżone do wyników
bayesowskich
bayesowskich
Różnice są:
Różnice są:
niewielkie dla out-of-the-money
niewielkie dla out-of-the-money
mniejsze dla at-the-money
mniejsze dla at-the-money
niezauważalne dla in-the-money
niezauważalne dla in-the-money
Anna Śleszyńska
Bartosz Anacki
" Estymacja bayesowska a BS dla opcji In-the-money - nie ma ekonomicznie znaczÄ…cych
" Estymacja bayesowska a BS dla opcji In-the-money - nie ma ekonomicznie znaczÄ…cych
różnic :&
różnic :&
" Estymacja bayesowska a BS dla opcji At-the-money:
" Estymacja bayesowska a BS dla opcji At-the-money:
Pojawiają się różnice znaczące - ponad 5% przy precyzji obliczeń 1%
Pojawiają się różnice znaczące - ponad 5% przy precyzji obliczeń 1%
Różnice spadają wraz z dojrzewaniem opcji
Różnice spadają wraz z dojrzewaniem opcji
BS niedocenia opcji dla GARCH i GJR-GARCH, przecenia dla STR-GARCH
BS niedocenia opcji dla GARCH i GJR-GARCH, przecenia dla STR-GARCH
" Estymacja bayesowska a BS dla opcji Out-the-money:
" Estymacja bayesowska a BS dla opcji Out-the-money:
BS mocno niedocenia opcji o krótkim okresie trwania
BS mocno niedocenia opcji o krótkim okresie trwania
dla 15 dni 38% w modelu standardowym
dla 15 dni 38% w modelu standardowym
Niedocenianie spada wraz ze wzrostem okresu trwania i gdy wykorzystujemy modle GJR-
Niedocenianie spada wraz ze wzrostem okresu trwania i gdy wykorzystujemy modle GJR-
GARCH
GARCH
Przy STR BS silnie przecenia opcje
Przy STR BS silnie przecenia opcje
10. Warunkowy rozkład funkcji wypłaty dla modelu GARCH
10. Warunkowy rozkład funkcji wypłaty dla modelu GARCH
" Wykres przedstawia PT = max(ST - K,0)
" Wykres przedstawia
" Wykres pierwszy  niepewność rośnie wraz z dojrzałością opcji
" Wykres pierwszy  niepewność rośnie wraz z dojrzałością opcji
" Wykres drugi  cena opcji jest bardzo wrażliwa na stosunek ST/K
" Wykres drugi  cena opcji jest bardzo wrażliwa na stosunek ST/K
11. Warunkowy rozkład funkcji wypłaty porównanie różnych modeli dla opcji out-of-the-
11. Warunkowy rozkład funkcji wypłaty porównanie różnych modeli dla opcji out-of-the-
money
money
" Dwa modele asymetryczne zachowujÄ… siÄ™ podobnie
" Dwa modele asymetryczne zachowujÄ… siÄ™ podobnie
" Model symetryczny daje bardzo wysoką średnią cenę opcji
" Model symetryczny daje bardzo wysoką średnią cenę opcji
" Efekt występuje niezależnie od dojrzałości
" Efekt występuje niezależnie od dojrzałości