Bayesian Option pricing
Bayesian Option pricing
model using asymmetric
model using asymmetric
GARCH models
GARCH models
Luc Bauwens, Michel Lubrano
Luc Bauwens, Michel Lubrano
Bartosz Anacki
Bartosz Anacki
Anna Śleszyńska
Anna Śleszyńska
 Jest to pierwszy artykuł, w którym zastosowano
Jest to pierwszy artykuł, w którym zastosowano
wnioskowanie Bayesowskie do zagadnienia
wnioskowanie Bayesowskie do zagadnienia
wyceny instrumentów pochodnych
wyceny instrumentów pochodnych
Porównano wycenę opcji z wykorzystaniem
Porównano wycenę opcji z wykorzystaniem
wnioskowania Bayesowskiego z wycenÄ… przy
wnioskowania Bayesowskiego z wycenÄ… przy
użyciu modelu Blacka-Scholesa z
użyciu modelu Blacka-Scholesa z
wykorzystaniem modeli GARCH.
wykorzystaniem modeli GARCH.
Model Blacka-Scholesa
Model Blacka-Scholesa
Wypłata z europejskiej opcji kupna wynosi:
Wypłata z europejskiej opcji kupna wynosi:
PT=max(ST-K,0)
PT=max(ST-K,0)
Formuła Blacka-Scholesa do wyceny opcji:
Formuła Blacka-Scholesa do wyceny opcji:
Model Blacka-Scholesa
Model Blacka-Scholesa
Jeśli znajdziemy neutralną względem na ryzyka miarę
Jeśli znajdziemy neutralną względem na ryzyka miarę
martyngałową Q, to zdyskontowana wartość oczekiwana
martyngałową Q, to zdyskontowana wartość oczekiwana
względem miary Q przyszłej wypłaty jest wartością opcji.
względem miary Q przyszłej wypłaty jest wartością opcji.
Gdzie E[(St-St-1)/St-1]=r dla każdego t
Gdzie E[(St-St-1)/St-1]=r dla każdego t
Standardowy model GARCH
Standardowy model GARCH
Podstawowy model GARCH(1,1):
Podstawowy model GARCH(1,1):
jest warunkową wartością oczekiwaną stopy
jest warunkową wartością oczekiwaną stopy
zwrotu
zwrotu
jest nowÄ… informacjÄ… pojawiajÄ…cÄ… siÄ™ w
jest nowÄ… informacjÄ… pojawiajÄ…cÄ… siÄ™ w
momencie t
momencie t
- parametry modelu >=0
- parametry modelu >=0
Symetryczny model GARCH zakłada, że reakcja
Symetryczny model GARCH zakłada, że reakcja
warunkowej zmienności na pozytywne i negatywne
warunkowej zmienności na pozytywne i negatywne
zmiany na rynku jest taka sama.
zmiany na rynku jest taka sama.
Wycena
Wycena
Przewidywana gęstośc PT względem miary Q:
Przewidywana gęstośc PT względem miary Q:
Gdzie:
Gdzie:
jest gęstością aposteriori parametrów z modelu:
jest gęstością aposteriori parametrów z modelu:
jest gęstością przyszłych wypłat
jest gęstością przyszłych wypłat
y to stopy zwrotu użyte do estymacji
y to stopy zwrotu użyte do estymacji
Wyznaczona przewidywana gęstość da nam
Wyznaczona przewidywana gęstość da nam
wszystkie informacje, których potrzebujemy do
wszystkie informacje, których potrzebujemy do
wyznaczenia oczekiwanej ceny opcji, która wynosi
wyznaczenia oczekiwanej ceny opcji, która wynosi
E[PT(1+r)-(T-t) ]
E[PT(1+r)-(T-t) ]
Wyznaczanie warunkowego rozkładu
Wyznaczanie warunkowego rozkładu
T=t+1, czyli chcemy wyznaczyć przewidywaną cenę
T=t+1, czyli chcemy wyznaczyć przewidywaną cenę
tylko o jeden okres do przodu (ns=1), warunkowa
tylko o jeden okres do przodu (ns=1), warunkowa
gęstość jest gęstością rozkładu normalnego:
gęstość jest gęstością rozkładu normalnego:
Wszystkie parametry rozkładu warunkowego są
Wszystkie parametry rozkładu warunkowego są
znane, gdyż yT i hT są już zaobserwowane lub
znane, gdyż yT i hT są już zaobserwowane lub
wyznaczone
wyznaczone
Gdy ns>1 gęstość otrzymujemy wyznaczając całkę:
Gdy ns>1 gęstość otrzymujemy wyznaczając całkę:
Nie znamy bowiem nie tylko parametru, ale również
Nie znamy bowiem nie tylko parametru, ale również
yt+1& yT-1 sÄ… one bowiem jeszcze nie
yt+1& yT-1 sÄ… one bowiem jeszcze nie
zaobserwowane (Bauwens 1999 rozdział 7)
zaobserwowane (Bauwens 1999 rozdział 7)
Wyznaczanie ceny opcji
Wyznaczanie ceny opcji
Wyznaczamy N próbek (yt+1,yt+2,& ,yT) a

Wyznaczamy N próbek (yt+1,yt+2,& ,yT) a
następnie ST i PT:
następnie ST i PT:
ZnajÄ…c ST i PT wyznaczamy cenÄ™ opcji:

ZnajÄ…c ST i PT wyznaczamy cenÄ™ opcji:
Weryfikacja
Weryfikacja
Aby sprawdzić precyzję szacowania

Aby sprawdzić precyzję szacowania
wyznaczamy empiryczne odchylenie
wyznaczamy empiryczne odchylenie
standardowe CtT:
standardowe CtT:
Gdy N jest duże, a próbki są niezależne,

Gdy N jest duże, a próbki są niezależne,
błąd ma asymptotycznie rozkład normalny,
błąd ma asymptotycznie rozkład normalny,
Przedział ufności:

Przedział ufności:
Gdzie
Gdzie
Estymacja modeli GARCH
Estymacja modeli GARCH
Dzienne stopy zwrotu (na podstawie cen

Dzienne stopy zwrotu (na podstawie cen
zamknięcia) dla Brussels spot market
zamknięcia) dla Brussels spot market
index z okresu 23.11.1993  30.01.1996,
index z okresu 23.11.1993  30.01.1996,
w sumie 550 obserwacji.
w sumie 550 obserwacji.
Zmienna zależna: razy 100
razy 100
Zmienna zależna:
Wykres stóp zwrotu

Wykres stóp zwrotu
Estymacja modeli GARCH
Estymacja modeli GARCH
Ogólna forma estymowanych modeli GARCH:
Ogólna forma estymowanych modeli GARCH:
Dla GARCH
Dla GARCH
Dla GJR-GARCH
Dla GJR-GARCH
Dla STR-GARCH
Dla STR-GARCH
Estymacja modeli GARCH
Estymacja modeli GARCH
Podejście Bayesowskie:
Podejście Bayesowskie:
O parametrach modelu ź, Á, É, ², Ä… zakÅ‚adamy, że majÄ…
O parametrach modelu ź, Á, É, ², Ä… zakÅ‚adamy, że majÄ…
rozkłady a priori jednostajne na skończonym przedziale.
rozkłady a priori jednostajne na skończonym przedziale.
Dla STR-GARCH zakładamy, że ł ma rozkład a priori:
Dla STR-GARCH zakładamy, że ł ma rozkład a priori:
Podejście klayczne:
Podejście klayczne:
Parametry modelu dobieramy tak, żeby maksymalizowały
Parametry modelu dobieramy tak, żeby maksymalizowały
funkcję wiarygodności.
funkcję wiarygodności.
Wyniki estymacji
Wyniki estymacji
Analiza wyników
Analiza wyników
Negatywne zmiany mają większy wpływ na warunkową
Negatywne zmiany mają większy wpływ na warunkową
wariancję niż szoki pozytywne
wariancję niż szoki pozytywne
GJR: =ą2-ą1 ma średnią posteriori 0.09; odchylenie 0.066
GJR: =ą2-ą1 ma średnią posteriori 0.09; odchylenie 0.066
Prawdopodobieństwo posteriori że <0 jest małe (<6%)
Prawdopodobieństwo posteriori że <0 jest małe (<6%)
STR: prawdopodobieństwo że ą2<0 jest zero
STR: prawdopodobieństwo że ą2<0 jest zero
Estymatory klasyczne i bayesowske zbliżone dla ź i Á
Estymatory klasyczne i bayesowske zbliżone dla ź i Á
Duże różnice miÄ™dzy estymatorami É, ² i Å‚
Duże różnice miÄ™dzy estymatorami É, ² i Å‚
Bayesowskie odchylenia standardowe sÄ… znaczÄ…co
Bayesowskie odchylenia standardowe sÄ… znaczÄ…co
wyższe dla É, Ä… i ² lepiej ukazujÄ… niepewność
wyższe dla É, Ä… i ² lepiej ukazujÄ… niepewność
parametrów nich odchylenia klasyczne
parametrów nich odchylenia klasyczne
Przewidywanie ceny
Przewidywanie ceny
Estymacja klasyczna a bayesowska
Estymacja klasyczna a bayesowska
Wyniki estymacji klasycznej nie zostały

Wyniki estymacji klasycznej nie zostały
pokazane, są zbliżone do bayesowskich
pokazane, są zbliżone do bayesowskich
Różnice są:

Różnice są:
niewielkie dla out-of-the-money
niewielkie dla out-of-the-money
mniejsze dla at-the-money
mniejsze dla at-the-money
niezauważalne dla in-the-money
niezauważalne dla in-the-money
Estymacja bayesowska a BS
Estymacja bayesowska a BS
opcja In-the-money
opcja In-the-money
nie ma ekonomicznie znaczących różnic :&
nie ma ekonomicznie znaczących różnic :&
Estymacja bayesowska a BS
Estymacja bayesowska a BS
opcja At-the-money
opcja At-the-money
Pojawiają się różnice znaczące

Pojawiają się różnice znaczące
ponad 5% przy precyzji obliczeń 1%
ponad 5% przy precyzji obliczeń 1%
Różnice spadają wraz z dojrzewaniem

Różnice spadają wraz z dojrzewaniem
opcji
opcji
BS niedocenia opcji dla

BS niedocenia opcji dla
GARCH i GJR-GARCH,
GARCH i GJR-GARCH,
przecenia dla STR-GARCH
przecenia dla STR-GARCH
Estymacja bayesowska a BS
Estymacja bayesowska a BS
opcja Out-the-money
opcja Out-the-money
BS mocno niedocenia opcji o krótkim

BS mocno niedocenia opcji o krótkim
okresie trwania
okresie trwania
dla 15 dni 38% w modelu standardowym
dla 15 dni 38% w modelu standardowym
Niedocenianie spada wraz ze wzrostem

Niedocenianie spada wraz ze wzrostem
okresu trwania i gdy wykorzystujemy
okresu trwania i gdy wykorzystujemy
modle GJR-GARCH
modle GJR-GARCH
Przy STR BS silnie przecenia opcje

Przy STR BS silnie przecenia opcje
Warunkowy rozkład funkcji wypłaty
Warunkowy rozkład funkcji wypłaty
dla modelu GARCH
dla modelu GARCH
Warunkowy rozkład funkcji wypłaty
Warunkowy rozkład funkcji wypłaty
dla modelu GARCH
dla modelu GARCH
Wykres przedstawia

Wykres przedstawia
Wykres pierwszy  niepewność rośnie

Wykres pierwszy  niepewność rośnie
wraz z dojrzałością opcji
wraz z dojrzałością opcji
Wykres drugi  cena opcji jest bardzo

Wykres drugi  cena opcji jest bardzo
wrażliwa na stosunek ST/K
wrażliwa na stosunek ST/K
Warunkowy rozkład funkcji wypłaty
Warunkowy rozkład funkcji wypłaty
porównanie różnych modeli
porównanie różnych modeli
dla opcji out-of-the-money
dla opcji out-of-the-money
Warunkowy rozkład funkcji wypłaty
Warunkowy rozkład funkcji wypłaty
porównanie różnych modeli
porównanie różnych modeli
dla opcji out-of-the-money
dla opcji out-of-the-money
Dwa modele asymetryczne zachowujÄ… siÄ™

Dwa modele asymetryczne zachowujÄ… siÄ™
podobnie
podobnie
Model symetryczny daje bardzo wysokÄ…

Model symetryczny daje bardzo wysokÄ…
średnią cenę opcji
średnią cenę opcji
Efekt występuje niezależnie od dojrzałości

Efekt występuje niezależnie od dojrzałości
KONIEC
KONIEC
Dziękujemy za uwagę
Dziękujemy za uwagę
:&
:&