2015-01-13
ZADANIA WYBORU PORTFELA
PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
Witold Jurek
STOPA ZWROTU
Stopa zwrotu z papieru wartościowego (akcji),
składanie okresowe:
5�]�5�a� - 5�]�5�a�-1 + 5�Q�5�a�
5�_�5�a� =
5�]�5�a�-1
Stopa zwrotu z papiery wartościowego (akcji),
składanie ciągłe
5�_�5�a� = ln 5�]�5�a� - ln 5�]�5�a�-1
2
ROZWINI
CIE FUNKCJI 5�R�5�e� W SZEREG TAYLORA
Rozwinięcie funkcji 5�S� 5�e� w szereg Taylora
5�S� 5�e� = 5�S� 5�e�0 + 5�S�2 5�e�0 5�e� - 5�e�0 + 5�S�2 2 5�e�0 (5�e� - 5�e�0)2 + �"
Rozwinięcie funkcji 5�R�5�e� w punkcie 5�e�0 = 0
5�R�5�e� = 1 + 5�e� + 5�e�2 + �"
Jeżeli x jest małe, to:
5�R�5�e� H" 1 + 5�e�
3
1
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
2015-01-13
ZALEŻNOŚCI POMI
DZY STOPAMI
SKA
ADANYMI OKRESOWO I CI
GLE
Jeżeli 5�7�5�a� = 0, to
5�]�5�a�
5�_�5�a� = - 1
5�]�5�a�-1
Ponieważ
1 + 5�_�5�a� H" 5�R�5�_�5�a�
dlatego
5�_�5�a� = ln 5�]�5�a� - ln 5�]�5�a�-1
Uwaga
Stopy składane ciągle są m.in. addytywne
4
STOPY ZWROTU JAKO ZMIENNE LOSOWE
Ponieważ stopy zwrotu w momencie podejmowania decyzji
na ogół nie są znane, traktowane są jak zmienne losowe
Stopy 5�_�5�a� są traktowane jako wartości zmiennej losowej 5�E�5�a�
5
ZMIENNE LOSOWE I MOMENTY ROZKA
ADU
Wartość oczekiwana (średnia) zmiennej losowej, 5�8�(5�E�)
Własności: 5�8� 5�P�5�E� = 5�P�5�8�(5�E�)
5�8� 5�P� = 5�P�
Wariancja zmiennej losowej: 5�7�2 5�E� = 5�8�[5�E� - 5�8�(5�E�)]2
Własności: 5�7�2 5�P�5�E� = 5�P�25�7�2 5�E�
5�7�2 5�P� = 0
Odchylenie standardowe: 5�7� 5�E� = 5�8�[5�E� - 5�8�(5�E�)]2
Własności: 5�7� 5�P�5�E� = 5�P�5�7� 5�E�
5�7� 5�P� = 0
6
2
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
2015-01-13
ZMIENNE LOSOWE I MOMENTY ROZKA
ADU
Skośność:
5�8�[5�E� - 5�8�(5�E�)]3
5�@�3 =
5�7�3(5�E�)
Jeżeli rozkład jest symetryczny to 5�@�3 = 0
Spłaszczenie:
5�8�[5�E� - 5�8�(5�E�)]4
5�@�4 =
- 3
5�7�4(5�E�)
Jeżeli rozkład  przypomina rozkład normalny, to 5�@�4 = 0
7
PRZYKA
AD 1
MOMENTY ROZKA
ADU STOPY ZWROTU
Stopy Częstość Średnia Wariancja Skośność Spłaszczenie
6 0,05 0,30 0,578 -1,9652 6,6817
7 0,10 0,70 0,576 -1,3824 3,3178
8 0,20 1,60 0,392 -0,5488 0,7683
9 0,25 2,25 0,040 -0,0160 0,0064
10 0,15 1,50 0,054 0,0324 0,0194
11 0,10 1,10 0,256 0,4096 0,6554
12 0,05 0,60 0,338 0,8788 2,2849
13 0,05 0,65 0,648 2,3328 8,3981
14 0,05 0,70 1,058 4,8668 22,3873
1,00 9,40 3,940 4,6080 44,5192
8
PRZYKA
AD 1
MOMENTY ROZKA
ADU STOPY ZWROTU
Średnia: 9,40
Odchylenie standardowe: 3,94 = 1,9849
4,608
Skośność: = 0,5892
1,98493
44,5192
Spłaszczenie: - 3 = -0,1322
1,98494
9
3
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
2015-01-13
PRZYKA
AD 2
MOMENTY ROZKA
ADU STOPY ZWROTU
Stopy Częstość Średnia Wariancja Skośność Spłaszczenie
7 0,10 0,70 0,90 -2,70 8,10
8 0,15 1,20 0,60 -1,20 2,40
9 0,20 1,80 0,20 -0,20 0,20
10 0,10 1,00 0,00 0,00 0,00
11 0,20 2,20 0,20 0,20 0,20
12 0,15 1,80 0,60 1,20 2,40
13 0,10 1,30 0,90 2,70 8,10
1,00 10,00 3,40 0,00 21,40
10
PRZYKA
AD 2
MOMENTY ROZKA
ADU STOPY ZWROTU
Średnia: 10,00
Odchylenie standardowe: 3,40 = 1,8439
0,00
Skośność: = 0,0000
1,84393
21,4000
Spłaszczenie: - 3 = -0,1488
1,84394
11
SEMIPARAMETRY ROZKA
ADU
Semiwariancja (ujemna):
5�F�5�7�2 5�E� = 5�8�{[5�E� - 5�8�(5�E�)]-}2
Semiodchylenie standardowe
5�F�5�7� 5�E� = 5�8�{[5�E� - 5�8�(5�E�)]-}2
przy czym
5�E� - 5�8�(5�E�) 5�W�5�R�ż5�R�5�Y�5�V� 5�E� < 5�8�(5�E�)
[5�E� - 5�8� 5�E� ]- =
0 5�W�5�R�ż5�R�5�Y�5�V� 5�E� e" 5�8�(5�E�)
12
4
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
2015-01-13
PRZYKA
AD 3
SEMIPARAMETRY ROZKA
ADU
Stopy Częstość SWariancja Stopy Częstość SWariancja
6 0,05 0,30
7 0,10 0,70 7 0,10 0,90
8 0,20 1,60 8 0,15 0,60
9 0,25 2,25 9 0,20 0,20
10 0,15 0,00 10 0,10 0,00
11 0,10 0,00 11 0,20 0,00
12 0,05 0,00 12 0,15 0,00
13 0,05 0,00 13 0,10 0,00
14 0,05 0,00
1,00 4,85 1,00 1,70
13
PRZYKA
AD 3
SEMIPARAMETRY ROZKA
ADU
Przykład 1
Semiwarinacja: 4,85
Semiodchylenie: 4,85 = 2,2027
Przykład 2
Semiwarinacja: 1,70
Semiodchylenie: 1,70 = 1,3038
14
MIARY POWI
ZANIA ZMIENNYCH LOSOWYCH
Kowariancja
5�P�5�\�5�c� 5�E�1, 5�E�2 = 5�8�{ 5�E�1 - 5�8� 5�E�1 5�E�2 - 5�8� 5�E�2 }
Własności: 5�P�5�\�5�c� 5�P�15�E�1, 5�P�25�E�2 = 5�P�15�P�25�P�5�\�5�c� 5�E�1, 5�E�2
Współczynnik korelacji
5�P�5�\�5�c� 5�E�1, 5�E�2
5�� 5�E�1, 5�E�2 =
5�7�(5�E�1)5�7�(5�E�2)
Własności: 5�� 5�P�15�E�1, 5�P�25�E�2 = 5�� 5�E�1, 5�E�2
-1 d" 5�� 5�E�1, 5�E�2 d" 1
15
5
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
2015-01-13
PRZYKA
AD 4
WSPÓA
CZYNNIK KORELACJI
Dwie zmienne o stopach podanych w tabeli
Prawdopodobieństwa. Średnie. Odchylenia std.
Stopy 7 8 9 Średnia Kwadr
3 0,2 0,0 0,0 0,2 0,6 1,21 0,24
4 0,1 0,3 0,1 0,5 2,0 0,01 0,01
5 0,1 0,2 0,0 0,3 1,5 0,81 0,24
0,4 0,5 0,1 1,0 4,1 0,490
Średnia 2,8 4,0 0,9 7,7 0,700
Kwadr 0,49 0,09 1,69
0,196 0,045 0,169 0,410 0,640 Odchylenia
16
PRZYKA
AD 4
WSPÓA
CZYNNIK KORELACJI
Odchylenia od średnich i ich iloczyny
-0,7 0,3 1,3
-1,1 0,77 -0,33 -1,43
-0,1 0,07 -0,03 -0,13
0,9 -0,63 0,27 1,17
Odchylenia od średnich * prawdopob.
0,154 0,000 0,000 0,154
0,007 -0,009 -0,013 -0,015
-0,063 0,054 0,000 -0,009
Kowariancja 0,130
Wspólczynnik korelacji =
0,290
17
PRZYKA
AD 5
WSPÓA
CZYNNIK KORELACJI. NOTOWANIA
Notowania zamknięcia
Data WIG Bytom
8 Jan 2015 52391,00 1,44
7 Jan 2015 51350,42 1,50
Współczynnik korelacji =
5 Jan 2015 50516,71 1,56
-0,1284
2 Jan 2015 51378,00 1,34
30 Dec 2014 51416,08 1,23
29 Dec 2014 51159,06 1,25
23 Dec 2014 51511,68 1,26
22 Dec 2014 51487,54 1,26
19 Dec 2014 51297,12 1,26
18 Dec 2014 51739,04 1,25
17 Dec 2014 50932,48 1,29
16 Dec 2014 50683,91 1,25
18
15 Dec 2014 51621,14 1,20
6
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
2015-01-13
SUMA ZMIENNYCH LOSOWYCH I JEJ MOMENTY
Wartość oczekiwana sumy zmiennych losowych
5�8� 5�E�1 + 5�E�2 = 5�8� 5�E�1 + 5�8� 5�E�2
Wariancja sumy zmiennych losowych
5�7�2 5�E�1 + 5�E�2 = 5�7�2 5�E�1 + 5�7�2 5�E�2 + 25�P�5�\�5�c� 5�E�1, 5�E�2
albo
5�7�2 5�E�1 + 5�E�2 = 5�7�2 5�E�1 + 5�7�2 5�E�2 + 25�� 5�E�1, 5�E�2 5�7� 5�E�1 5�7�(5�E�2)
19
PORTFEL ZA
OŻONY Z DWÓCH PAPIERÓW
WARTOŚCIOWYCH
Kapitał w zainwestowany w dwa papiery wartościowe
5�d�1 + 5�d�2 = 5�d� > 0
Proporcje inwestycji
5�d�1 5�d�2
5�K�1 = ; 5�K�2 =
5�d�1+5�d�2 5�d�1+5�d�2
Oczywiście
5�K�1 + 5�K�2 = 1
Uwaga
Jeżeli wykluczona jest tzw. krótka sprzedaż,
to zmienne 5�K�1, 5�K�2 są nieujemne
20
STOPA ZWROTU Z PORTFELA
DWÓCH PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
Stopa zwrotu
5�E�5�]� = 5�K�15�E�1 + 5�K�25�E�2
Oczekiwana stopa zwrotu
5�8� 5�E�5�]� = 5�K�15�8�(5�E�1) + 5�K�25�8�(5�E�2)
Wariancja stopy zwrotu
2 2
5�7�2 5�E�5�]� = 5�K�1 5�7�2 5�E�1 + 5�K�2 5�7�2 5�E�2 + 25�K�15�K�25�P�5�\�5�c�(5�E�1, 5�E�2)
albo
5�7�2 5�E�5�]� =
21
2 2
= 5�K�1 5�7�2 5�E�1 + 5�K�2 5�7�2 5�E�2 + 25�K�15�K�25�� 5�E�1, 5�E�2 5�7� 5�E�1 D 5�E�2
7
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
2015-01-13
POWI
ZANIE STÓP ZWROTU
Uwaga
(1) oczekiwana stopa zwrotu z portfela nie zależy od kowariancji
(współczynnika korelacji), tj. od powiązania stóp zwrotu
(2) ryzyko mierzone wariancją (odchyleniem standardowym) zależy
od kowariancji (współczynnika korelacji), tj. od powiązania stóp
zwrotu
Warto zauważyć, że
(1) stopy zwrotu spółek tej samej branży są na ogół silnie
skorelowane dodatnio
(2) stopy zwrotu spółek pozostających w  ciągu technologicznym
22
są na ogół silnie skorelowane ujemnie
STOPA ZWROTU I RYZYKO.
WSPÓA
CZYNNIK KORELACJI RÓWNY 1
Oczekiwana stopa zwrotu
5�8� 5�E�5�]� = 5�K�15�8�(5�E�1) + 5�K�25�8�(5�E�2)
Wariancja stopy zwrotu
2 2
5�7�2 5�E�5�]� = 5�K�1 5�7�2 5�E�1 + 5�K�2 5�7�2 5�E�2 + 25�K�15�K�25�7� 5�E�1 D 5�E�2
Odchylenie standardowe
5�7� 5�E�5�]� = 5�K�15�7� 5�E�1 + 5�K�25�7� 5�E�2
Uwaga
Odchylenie standardowe stopy zwrotu wyraża się taka samą
funkcją, co oczekiwana stopa zwrotu
23
STOPA ZWROTU I RYZYKO.
WSPÓA
CZYNNIK KORELACJI RÓWNY -1
Oczekiwana stopa zwrotu
5�8� 5�E�5�]� = 5�K�15�8�(5�E�1) + 5�K�25�8�(5�E�2)
Wariancja stopy zwrotu
2 2
5�7�2 5�E�5�]� = 5�K�1 5�7�2 5�E�1 + 5�K�2 5�7�2 5�E�2 - 25�K�15�K�25�7� 5�E�1 D 5�E�2
Odchylenie standardowe
5�7� 5�E�5�]� = 5�K�15�7� 5�E�1 - 5�K�25�7� 5�E�2
Uwaga
(1) Odchylenie standardowe stopy zwrotu wyraża się taka samą
funkcją, co oczekiwana stopa zwrotu
(2) Możliwe jest znalezienie portfela papierów wartościowych o
24
zerowym ryzyku
8
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
2015-01-13
PRZYKA
AD
PORTFEL ZA
OŻONY Z DWÓCH PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
RÓŻNE SKORELOWANIE STÓP ZWROTU
Papiery wchodzące w skład portfela charakteryzują się
następującymi parametrami
5�8� 5�E�1 = 4, 5�8� 5�E�2 = 10, 5�7� 5�E�1 = 2, 5�7� 5�E�2 = 6
Odchylenie standardowe zależne od skorelowania stóp
25
PRZYKA
AD
PORTFEL ZA
OŻONY Z DWÓCH PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
RÓŻNE SKORELOWANIE STÓP ZWROTU
Układ: zwrot  ryzyko dla portfeli, jakie można utworzyć z
dwóch analizowanych papierów wartościowych
26
PORTFEL ZA
OŻONY Z WIELU PAPIERÓW
WARTOŚCIOWYCH
Oczekiwana stopa zwrotu
5�[�
5�8� 5�E�5�]� = 5�K�5�V�5�8�(5�E�5�V�)
5�V�=1
Wariancja stopy zwrotu
5�[� 5�[�
5�7�2 5�E�5�]� = 5�K�5�V�5�K�5�W�5�P�5�\�5�c�(5�E�5�V�, 5�E�5�W�)
5�V�=1 5�W�=1
5�[� 5�[�
5�7�2 5�E�5�]� = 5�K�5�V�5�K�5�W�5�� 5�E�5�V�, 5�E�5�W� 5�7� 5�E�5�V� 5�7�(5�E�5�W�)
5�V�=1 5�W�=1
27
9
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
2015-01-13
PRZYKA
AD
PORTFEL ZA
OŻONY Z 3 PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
Wyznaczyć charakterystyki portfela złożonego z 3 papierów
wartościowych o charakterystykach podanych w tabeli
5�8� 5�E�5�]� = 8 � 0,5 + 20 � 0,3 + 15 � 0,2 = 13
28
PRZYKA
AD
KORELACJA I KOWARIANCJA
Macierz współczynników korelacji
Macierz kowariancji
29
PRZYKA
AD
WARIANCJA STOPY ZWROTU
Wariancja
Suma elementów macierzy wynosi 60,35
Tak więc 5�7�2 5�E�5�]� = 60,35 5�7� 5�E�5�]� = 7,67
30
10
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
2015-01-13
ZADANIE MAKSYMALIZACJI ZWROTU Z PORTFELA
(PRZY DANYM POZIOMIE RYZYKA)
5�[�
5�8� 5�E�5�]� = 5�K�5�V�5�8�(5�E�5�V�) 5�Z�5�N�5�e�
5�V�=1
5�[� 5�[�
5�7�2 5�E�5�]� = 5�K�5�V�5�K�5�W�5�� 5�E�5�V�, 5�E�5�W� 5�7� 5�E�5�V� 5�7�(5�E�5�W�) = 5�I�0
5�V�=1 5�W�=1
5�[�
5�K�5�V� = 1
5�V�=1
Jeżeli wykluczona jest krótka sprzedaż, to 5�K�1 e" 0.
31
ZADANIE MINIMALIZACJI RYZYKA PORTFELA
(PRZY DANYM ZWROCIE)
5�[� 5�[�
5�7�2 5�E�5�]� = 5�K�5�V�5�K�5�W�5�� 5�E�5�V�, 5�E�5�W� 5�7� 5�E�5�V� 5�7�(5�E�5�W�) 5�Z�5�V�5�[�
5�V�=1 5�W�=1
5�[�
5�8� 5�E�5�]� = 5�K�5�V�5�8�(5�E�5�V�) = 5�_�0
5�V�=1
5�[�
5�K�5�V� = 1
5�V�=1
Jeżeli wykluczona jest krótka sprzedaż, to 5�K�1 e" 0.
32
ZADANIE MARKOWITZA WYBORU PORTFELA
5�8� 5�E�5�]� - 5��5�7�2 5�E�5�]� 5�Z�5�N�5�e�
5�[�
5�8� 5�E�5�]� = 5�K�5�V�5�8�(5�E�5�V�)
5�V�=1
5�[� 5�[�
5�7�2 5�E�5�]� = 5�K�5�V�5�K�5�W�5�� 5�E�5�V�, 5�E�5�W� 5�7� 5�E�5�V� 5�7�(5�E�5�W�)
5�V�=1 5�W�=1
5�[�
5�K�5�V� = 1
5�V�=1
Jeżeli wykluczona jest krótka sprzedaż, to 5�K�1 e" 0.
33
11
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
2015-01-13
ZADANIE MARKOWITZA
(FUNKCJA UŻYTECZNOŚCI, KRZYWA OBOJ
TNOŚCI)
Zadanie Markowitza konstruuje się z wykorzystaniem
wartości oczekiwanej kwadratowej funkcji użyteczności,
którą dla zadania wyboru portfela można zapisać w postaci
5�H� 5�E�5�]� = 5�N� + 5�O�5�E�5�]� - 5�P�(5�E�5�]� - 5�8� 5�E�5�]� )2 5�N�, 5�O�, 5�P� e" 0
Krzywa obojętności
5�8� 5�H� 5�E�5�]� = 5�P�5�\�5�[�5�`�5�a�
skąd wynika, że
5�8� 5�E�5�]� = 5���1 + 5���25�7�2(5�E�5�]�)
34
PRZYKA
AD 1 PORTFELA
ZA
OŻONEGO Z 3 PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
Na podstawie danych o 3 papierach wartościowych
Numer Oczekiwany Odchylenie
Skorelowanie
papieru zwrot standardowe
1 8 5 0,5 0,6
2 20 15 0,7
3 15 10
Skonstruować portfel papierów wartościowych
maksymalizujący zwrot przy, mierzonym wariancją, ryzyku
nie przekraczającym 60 %2
35
PRZYKA
AD 1 PORTFELA
ZA
OŻONEGO Z 3 PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
Komórka celu (Maks)
Wartość Wartość
Komórka Nazwa
początkowa końcowa
$G$6 Zwrot Średni 13,4896
0
Komórki zmiennych
Wartość Wartość
Komórka Nazwa Całkowite
początkowa końcowa
$C$5 X1 0 0,37797 Ciągłe
$D$5 X2 0 0,22708 Ciągłe
$E$5 X3 0 0,39495 Ciągłe 36
12
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
2015-01-13
PRZYKA
AD 2 PORTFELA
ZA
OŻONEGO Z 3 PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
Na podstawie tych samych danych o 3 papierach
wartościowych skonstruować portfel minimalizujący,
mierzone wariancją, ryzyko przy zwrocie równym co
najmniej 10%
37
PRZYKA
AD 2 PORTFELA
ZA
OŻONEGO Z 3 PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
Komórka celu (Min)
Wartość Wartość
Komórka Nazwa
początkowa końcowa
$G$28 0 32,5
Komórki zmiennych
Wartość Wartość
Komórka Nazwa Całkowite
początkowa końcowa
$C$5 X1 0 0,76 Ciągłe
$D$5 X2 0 0,07 Ciągłe
$E$5 X3 0 0,17 Ciągłe
38
PRZYKA
AD 3 PORTFELA
ZA
OŻONEGO Z 3 PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
Zadanie Markowitza
Na podstawie tych samych danych o 3 papierach
wartościowych skonstruować portfel będący rozwiązaniem
zadania Markowitza.
Przyjąć, że 5�� = 7
39
13
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
Zadanie wyboru portfela
2015-01-13
PRZYKA
AD 3 PORTFELA
ZA
OŻONEGO Z 3 PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
Komórka celu (Maks)
Wartość Wartość
Komórka Nazwa
początkowa końcowa
$L$7 FC 0 -167
Komórki zmiennych
Wartość Wartość Całko
Komórka Nazwa
początkowa końcowa wite
$C$5 X1 0,5 1 Ciągłe
$D$5 X2 0,3 0 Ciągłe
$E$5 X3 0,2 0 Ciągłe 40
14
Zadanie wyboru portfela