mes tarcza 1 11

1
y
k r
x
e
i j
geometria elemenu w układzie
a/2
lokalnym
a
y
vk
vr
uk
ur
k r
x
e
i j
uj
vi vj
ui
dodatnie zwroty przemieszczeń
węzłów elementu "e"
y
(e)
(e)
rvk,
r
i
i
vr,
(e)
ruk,
(e)
i
rur, dodatnie zwroty sił węzłowych w
i
elemencie "e"
k r
x
e
(e)
(e)
r
i j
i
r uj,
i
ui,
(e)
r (e)
i
vi,
r
i
vj,
Rys.1.
b
b/2
2
Przyjmujemy przybliżenie funkcji przemieszczeń w obszarze całego elementu w postaci:
u(x, y) = ą + ą �" x + ą �" y + ą �" x �" y
1 2 3 4
v(x, y) = � + � �" x + � �" y + � �" x �" y
1 2 3 4
Powyższe równania można zapisać
ż#ą1
�#
�#ą �#
2
�# �#
�#ą3
�#
�# �#
u( x, y ) 1 x y x �" y 0 0 0 0
ż# �# Ą# ń#
�#
�#ą4
[U]= = [A(x,y)]�"{ą} (a)
�# Ź#
ó#0 0 0 0 1 x y x �" yĄ# �" �# Ź# =
�#v( x,y )�# Ł# Ś#
�#�1 �#
�#�2�#
�# �#
�#�3�#
�#�4�#
�# �#
Współczynniki ą oraz � dobieramy tak aby w węzłach elementu wartości funkcji [U] były
i i
równe przemieszczeniom tych węzłów
T
{u}= {u v u v u v u v }
i i j j k k r r
podstawiając współrzędne węzłów elementu w odpowiednim układzie współrzędnych
otrzymamy:
1 x y x �" y 0 0 0 0
Ą# ń# ż#ą �#
i i i i 1
ó#0 0 0 0 1 x y x �" y Ą# �#ą �#
i i i i 2
ó# Ą# �# �#
ó# Ą# �#ą �#
1 x y x �" y 0 0 0 0
j j j j 3
ó# Ą# �# �#
�#ą4
�#
j j j j
ó#0 0 0 0 1 x y x �" y Ą#
{u}= �" = [Ś]�"{ą}
�# Ź#
ó#1 x y x �" y 0 0 0 0 Ą#
k k k k 1
�#� �#
ó# Ą#
�#� �#
ó#0 0 0 0 1 x y x �" y Ą#
k k k k 2
�# �#
ó#1 x y x �" y 0 0 0 0 Ą#
r r r r �#� �#
3
ó# Ą#
�#� �#
ó#0 0 0 0 1 x y x �" y Ą#
Ł# r r r r Ś# �# 4 �#
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymamy:
-1
{ą}= [Ś] �"{u}
Podstawiając otrzymane rozwiązanie do (a) otrzymamy:
u(x, y)
ż# �#
-1
[U]= [A(x, [N]�"{u}
�#v(x, y)Ź# = y)]�"[Ś] �"{u}=
�# �#
3
Macierz [N] można zapisać w postaci:
Ą#Ą# ń# n 0
n 0 Ą# ń# n 0 n 0 Ą# ń#
Ą# ń# Ą# ń#ń# n 0 n 0 n 0 n 0
j i j k r
i k r
[N]=
ó#ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#Ą# = 0 n 0 n 0 n 0 n
ó# Ą#
0 n
0 n 0 n 0 n
j i j k r
ó#Ł# i Ś# Ł# k Ś# Ł# r Ś#Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
Ł# Ś#
gdzie funkcje typu n nazywane funkcjami kształtu można przedstawić w postaci:
l
1 2 �" x 2 �" y
n = �" (1- ) �" (1- ) ,
i
4 a b
1 2 �" x 2 �" y
nj = �" (1 + ) �" (1 - ) ,
4 a b
1 2 �" x 2 �" y
nk = �" (1- ) �" (1+ ) ,
4 a b
1 2 �" x 2 �" y
nr = �" (1+ ) �" (1+ ) ,
4 a b
Dla płaskiego zadania równania geometryczne można zapisać:
ż# �# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
"u " " "
0 0 0
�# �# ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
� "x "x
ż# �#
x �# �# ó# Ą# ó#"x Ą# ó#"x Ą#
u(x, y)
"v ż# �#
�# �# �# �# " " "
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
{�}= = = 0 �"[U]= 0 �" = 0 �"[N]= [B]�"{u} (1)
�#� Ź# �# Ź# �# Ź#
y
ó# Ą# ó# Ą#
"y "y "y y)�# ó# "y
�#v(x, ó# Ą#
�#ł �# �# �#
ó# Ą# ó# Ą# Ą#
�# �#
" " " " " "
�#"u + "v �#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
�# �#
"y "x
ó# ó# Ą#
Ś# Ł#"y Ś#
�# �# Ł#"y "x Ą# ó# "x Ą# Ł#"y "x Ś#
gdzie:
Ą#"ni
"nj
"nk "nr ń#
0 0 0 0
ó# Ą#
"x "x "x "x
ó# Ą#
"nj
"ni "nk "nr Ą#
ó#
[B]= 0 0 0 0
ó# Ą#
"y "y "y "y
ó#"n "ni "nj "nj "nk "nk "nr "nr Ą#
i
ó# Ą#
ó# Ą#
"y "x "y "x "y "x "y "x
Ł# Ś#
Wykonując różniczkowanie oraz przyjmując dodatkowo oznaczenia:
1 2 �" y
a = �" (1- )
2 �" a b
1 2 �" x
b = �" (1- )
2 �" b a
1 2 �" x
c = �" (1+ )
2 �" b a
1 2 �" y
d = �" (1+ )
2 �" a b
macierz [B] możemy zapisać w postaci:
Ą#- a 0 a 0 - d 0 d 0
ń#
ó#
[B]= 0 - b 0 - c 0 b 0 cĄ#
ó# Ą#
ó#- b - a - c a - b - d c d Ą#
Ł# Ś#
4
W płaskim stanie naprężenia macierz sprężystości ma postać:
Ą#1 � 0 ń#
ó# Ą#
E
ó# Ą#
[D]= �" � 1 0
2
(1-� )
ó# 1-� Ą#
ó#0 0 2 Ą#
Ł# Ś#
a prawo Hooke a:
{�}= [D]�"{�}= [D]�"[B]�"{u} (3)
Zgodnie z zasadą prac przygotowanych przy przygotowanych (wirtualnych) przemieszczeniach mamy:
PRACA SIA WEWNTRZNYCH NA WIRTUALNYCH PRZEMIESZCZENIACH = PRACY SIA ZEWNTRZNYCH NA TYCH
PRZEMIESZCZENIACH
czyli
Lw = Lz
Dowolne lecz zgodne z warunkami kinematycznymi układu przemieszczenie przygotowane (wirtualne) {�}
wywołuje w ustroju:
1) przemieszczenie dowolnego punktu elementu równe:
~
{U}= [N]�"{�} (4)
2) odkształcenie w dowolnym punkcie elementu równe:
~
{� }= [B]�"{�} (5)
Przyjmując teraz oznaczenia w postaci:
a) wektor sił masowych w elemencie w postaci
T
M
{f }= {�x �y}
b) wektor obciążeń powierzchniowych rozłożonych na powierzchni o długości od punktu ą do punktu � i
szerokości równej grubości elementu t w postaci
T
S ą -� ą -�
{f }= {px py }
c) wektor obciążeń skupionych przyłożonych w węzłach elementu w postaci:
T
P
{f }= {Pxi Pyi Pxj Pyj Pxk Pyk Pxr Pyr}
Praca sił wewnętrznych na przygotowanych przemieszczeniach wynosi:
T T
~ M
~
L = ({� } �"{�})dV - ({U} �"{f })dV =
w +" +"
V V
Pracę sił zewnętrznych na odpowiadających im przemieszczeniach wirtualnych obliczymy:

T T
P S ś#
L = {�} �"{f }+ [{U} �"{f }]�" dS
"�# ~
ś#
z +" ź#
� =1
�# S #
Zatem mamy:

T T T T
~ M P S ś#
~
({� } �"{�})dV - ({U} �"{f })dV = {�} �"{f }+ [{U} �"{f }]dS
"�# ~
+" +" ś# +" ź#
� =1
V V �# S #
5
równanie to można zapisać w postaci:

T T T T
~ M P S ś#
~
({� } �"{�})dV - ({U} �"{f })dV - {�} �"{f }- "�# ~
[{U} �"{f }]dS = 0 (6)
+" +" ś# +" ź#
� =1
V V �# S #
podstawiając do równania (6) wyrażenia (5) (4) (2) (1) oraz uwzględniając, że wektor {�} przemieszczeń
wirtualnych jest niezależny od współrzędnych (można wynieść przed znak całki) otrzymamy:

T
T T T ś#
M P S
{�} �" ([B] �"[D]�"[B])dV �"{u}- ([N] �"{f })dV - {f }- "�#
[[N] �"{f }]dS = 0
+" +" ś# +" ź#
� =1
V V �# S #
Ponieważ równanie to jest spełnione dla każdego dowolnego (dopuszczalnego) wektora {�} przemieszczeń
wirtualnych prawdziwe jest również dla wektora jednostkowego, a więc i dla {�}=1

T T T
M P S ś#
[[N] �"{f }]dS = 0
([B] �"[D]�"[B])dV �"{u}- ([N] �"{f })dV - {f }- "�# ź#
+" +" ś# +"
� =1
V V �# S #
Oznaczając teraz przez:
T
[K]= ([B] �"[D]�"[B])dV - macierz sztywności elementu
+"
V
T
M M
{F }= ([N] �"{f })dV - wektor sił węzłowych wywołanych obciążeniem masowym
+"
V

T
S S ś#
{F }= [[N] �"{f }]dS - wektor sił węzłowych wywołanych obciążeniem powierzchniowym elementu
"�# ź#
ś# +"
� =1
�# S #
P P
{F }= {f } - wektor sił węzłowych wynikających z obciążenia skupionego przyłożonego
w węzłach elementu,
gdzie:
1) wektor sił węzłowych dla obciążeń masowych ma postać:
T
M ( ) (M ) (M ) (M ) ( ) ( ) ( ) (M )
{F }= {Fxi M Fyi Fxj Fyj Fxk M Fyk M Fxr M Fyr }
2) wektor sił węzłowych dla obciążeń powierzchniowych ma postać:
T
S ( ) (S ) ( ) ( ) ( ) (S ) (S ) ( )
{F }= {Fxi S Fyi Fxj S Fyj S Fxk S Fyk Fxr Fyr S }
3) wektor sił węzłowych dla obciążeń skupionych w węzłach ma postać:
T
P ( ( ( ( ( ( ( (
{F }= {Fxi P) Fyi P) Fxj P) Fyj P) Fxk P) Fyk P) Fxr P) Fyr P)}
równanie (--)zapiszemy w postaci
M S P
[K]�"{u}-{F }-{F }-{F }= 0
lub w postaci prostszej
[K]�"{u}-{F}= 0
gdzie
M S P
{F}= {F }+{F }+{F }
jest wektorem sumarycznych sił węzłowych dla wszystkich obciążeń elementu o postaci:
T
{F}= {Fxi Fyi Fx j Fyj Fxk Fyk Fxr Fyr}
6
Przyjmując teraz wymiary elementu według rysunku otrzymamy macierz sztywności elementu w postaci:
b a
1 1
2 2
a �" b �" h
(e) T T
[K] = h �" ([B] �"[D]�"[B])�"dxdy = �" ([B] �"[D]�"[B])�"d�d�
+" +" +" +"
4
b a
-1-1
- -
2 2
gdzie:
2 �" x
� =
a
2 �" y
� =
b
Po wykonaniu całkowania otrzymamy macierz sztywności elementu e w postaci:
Macierz sztywności [k](e) elementu prostokątnego nr e ma postać:
) ) ) ) ) ) ) )
ru(e,u ru(ev ru(eu ru(ev ru(eu ru(ev ru(eu ru(ev
, , , , , , ,
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4
) ) ) ) ) ) ) )
rv(eu rv(ev rv(eu rv(ev rv(eu rv(ev rv(eu rv(ev
, , , , , , , ,
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4
)
ru(e,)u ru(e,) ru(e,) ru(e,) ru(e,) ru(e,) ru(e,u ru(e,)
v1 2 u2 2 v2 2 u3 2 v3 2 4 2 v4
2 1 2
) ) ) ) ) ) )
rv(e,) rv(e,v rv(e,u rv(e,v rv(e,u rv(e,v rv(e,u rv(e,v
u1
2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 4
) ) ) ) ) ) )
ru(e,) ru(e,v ru(e,u ru(e,v ru(e,u ru(e,v ru(e,u ru(e,v
u1
3 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 4 3 4
) ) ) ) ) ) )
rv(e,) rv(ev rv(e,u rv(e,v rv(e,u rv(e,v rv(eu
rv(ev
u1 , ,
,
3 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 4
3 4
)
ru(e,)u ru(e,) ru(e,) ru(e,) ru(e,u ru(e,) ru(e,) ru(e,)
v1 4 u2 4 v2 4 3 4 v3 4 u4 4 v4
4 1 4
) ) ) ) ) ) ) )
rv(e,u rv(e,v rv(e,u rv(e,v rv(e,u rv(e,v rv(e,u rv(e,v
4 1 4 1 4 2 4 2 4 3 4 3 4 4 4 4
a przy oznaczeniach:
-1
a1 = ą �"[4 �" � + 2 �" (1-� ) �" � ]
3
b = ą �" �" (1+� )
1
2
-1
c = ą �"[4 �" � + 2 �" (1-� ) �" �]
1
-1
d = ą �"[- 4 �" � + (1-� ) �" � ]
1
3
e = ą �" �" (1- 3�"� )
1
2
-1
f = ą �"[2 �" � - 2 �" (1-� ) �" �]
1
-1
g = ą �"[2 �" � - 2 �" (1 -� ) �" � ]
1
-1
h = ą �"[- 2 �" � - (1-� ) �" � ]
1
-1
i = ą �"[- 4 �" � + (1-� ) �" �]
1
-1
j = ą �"[- 2 �" � - (1-� ) �" �]
1
gdzie:
b
� =
a
7
E �" h
ą =
2
12�"(1-� )
Macierz sztywności [k](e) elementu prostokątnego nr e można zapisać w postaci:
a1
b1 c1
d1 e1 a1 symetria
-e1 f1 -b1 c1
g1 -e1 h1 b1 a1
e1 i1 b1 j1 -b1 c1
h1 -b1 g1 e1 d1 -e1 a1
-b1 j1 -e1 i1 e1 f1 b1 c1
Przyjmując podział tarczy na cztery elementy i numerując węzły i elementy jak na rys.2.
wartości elementów ,macierzy globalnej otrzymamy stosując składanie macierzy
poszczególnych elementów skończonych według schematu pokazanego na rys.3
podział tarczy i numeracja
elementów i węzłów w układzie
globalnym
4
3
9
3 4 3
4
4
2
2 1
1 2
2 5 8
3
4
-
4
3
y
1
3
2
1 2 1
1
7
6
-
x
Rys.2.
8
9
fragment ustroju z węzłem nr 5 po
jednostkowym jego przemieszczeniu w kierunku
poziomym
4
3
9
3 4 3
4
4
2
5
2
1 1 2
2 8
3 4
3
4
1
3
2
1 2 1
1
7
6
4
3 3
4
4
2
( ) ( )
4 2
ru , u2 ru , u1 1 2
1 2
2 1
u5=1
u5=1
( ) ( )
1 3
ru , u4
ru , u3
4 3
4 4
3
3
1 3
2
1 1
2
obliczenie sumarycznej siły działającej na węzeł 5
czyli wartości ekementu k 9,9 macierzy sztywności
całego układu [K]
5
k9,9
( )
( ) ( ) 3 ( )
1 2 4
ru , u3
k9,9= ru , u4 ru , u1 ru , u2
3
1 2
4
Rys.3.
10
)
k9,1 = ru(1)u k12,9 = rv(1) + rv(3u
, ,u4 ,
4 1 2 1 3
k1,1 = ru(1)
)
,u1
1
k9,2 = ru(1)v k12,10 = rv(1)v + rv(3v
, , ,
4 1 2 4 1 3
k2,1 = rv(1)
) )
,u1
1
k9,3 = ru(1)u + ru(4u k12,11 = rv(1)u + rv(3u
, , , ,
4 3 2 1 2 2 1 1
k2,2 = rv(1)
) )
,v1
1
k9,4 = ru(1)v + ru(4v k12,12 = rv(1)v + rv(3v
, , , ,
4 3 2 1 2 2 1 1
)
k9,5 = ru(4u
,
2 3
k3,1 = ru(1)
,u1
3
k13,9 = ru(3)
)
,u3
2
k9,6 = ru(4v
,
2 3
k3,2 = ru(1)v
,
3 1
k13,10 = ru(3)
) )
,v3
2
k9,7 = ru(2u + ru(4u
)
, ,
1 3 2 4
k3,3 = ru(1) + ru(4u
,u3 ,
3 1 1
k13,11 = ru(3)
) )
,u1
2
k9,8 = ru(2v + ru(4v
, ,
1 3 2 4
) ) )
,v1
2
k9,9 = ru(1)u + ru(2u + ru(3u + ru(4u k13,12 = ru(3)
k4,1 = rv(1)
, , , ,
,u1 4 4 1 1 3 3 2 2
3
k13,13 = ru(3)
,u2
2
k4,2 = rv(1)
,v1
3
)
k4,3 = rv(1) + rv(4u
)
,u3 ,
3 1 1
k10,1 = rv(1) k14,9 = rv(3u
,u1 ,
4 2 3
)
k4,4 = rv(1) + rv(4v
,v3 ,
3 1 1
k10,2 = rv(1)v k14,10 = rv(3)
, ,v3
4 1 2
) )
k10,3 = rv(1)u + rv(4u k14,11 = rv(3u
)
, , ,
4 3 2 1 2 1
k5,3 = ru(4u
,
3 1
) )
k10,4 = rv(1)v + rv(4v k14,12 = rv(3v
)
, , ,
4 3 2 1 2 1
k5,4 = ru(4v
,
3 1
) )
k10,5 = rv(4u k14,13 = rv(3u
)
, ,
2 3 2 2
k5,5 = ru(4u
,
3 3
) )
k10,6 = rv(4v k14,14 = rv(3v
, ,
2 3 2 2
) )
)
k10,7 = rv(2u + rv(4u
k6,3 = rv(4u
, ,
, 1 3 2 4
3 1
)
k15,7 = ru(2u
) )
)
,
2 3
k10.8 = rv(2v + rv(4v
k6,4 = rv(4v
, ,
, 1 3 2 4
3 1
)
) ) )
)
,
2 3
k10,9 = rv(1)u + rv(2u + rv(3u + rv(4u k15,8 = ru(2v
k6,5 = rv(4u
, , , ,
, 4 4 1 1 3 3 2 2
3 3
)
k15,9 = ru(2u + ru(3)
)
, ,u3
2 1 4
k6,6 = rv(4v
,
3 3
) ) ) )
k10,10 = rv(1)v + rv(2v + rv(3v + rv(4v k15,10 = ru(2v + ru(3)
, , , , , ,v3
4 4 1 1 3 3 2 2 2 1 4
)
k15,11 = ru(3)
k7,3 = ru(4u
,u1
, 4
4 1
)
k15,12 = ru(3)
k7,4 = ru(4v
,v1
, 4
4 1
k11,1 = ru(1)u
,
2 1
)
k15,13 = ru(3)
k7,5 = ru(4u
,u2
, 4
4 3
k11,2 = ru(1)v
,
2 1
)
k15,14 = ru(3)
k7,6 = ru(4v
,v2
, 4
4 3
k11,3 = ru(1)u
,
2 3
)
)
k15,15 = ru(2u + ru(3)
k7,7 = ru(2u
, ,u4
, 2 2 4
3 3
k11,4 = ru(1)v
,
2 3
)
k11,9 = ru(1)u + ru(3u
)
)
, ,
2 4 1 3
k16,7 = rv(2u
k8,3 = rv(4u
,
, 2 3
4 1
)
k11,10 = ru(1)v + ru(3v
)
)
, ,
2 4 1 3
k16,8 = rv(2v
k8,4 = rv(4v
,
, 2 3
4 1
)
k11,11 = ru(1)u + ru(3u
) )
)
, ,
2 2 1 1
k16,9 = rv(2u + rv(3u
k8,5 = rv(4u
, ,
, 2 1 4 3
4 3
) )
)
k16,10 = rv(2v + rv(3v
k8,6 = rv(4v
, ,
, 2 1 4 3
4 3
k12,1 = rv(1)u
,
2 1
)
)
k16,11 = rv(3u
k8,7 = rv(2u
,
, 4 1
3 3
k12,2 = rv(1)v
,
2 1
)
k16,12 = rv(3)
k8,8 = rv(2v
,v1
, 4
3 3
k12,3 = rv(1)
,u3
2
)
k16,13 = rv(3u
,
4 2
k12,4 = rv(1)v
,
2 3
11
) )
k16,14 = rv(3) k17,10 = ru(2v k18,10 = rv(2v
,v2 , ,
4 4 1 4 1
) ) ) )
k16,15 = rv(2u + rv(3u k17,15 = ru(2u k18,15 = rv(2u
, , , ,
2 2 4 4 4 2 4 2
) ) ) )
k16,16 = rv(2v + rv(3v k17,16 = ru(2v k18,16 = rv(2v
, , , ,
2 2 4 4 4 2 4 2
) )
k17,17 = ru(2u k18,17 = rv(2u
, ,
4 4 4 4
)
k18,18 = rv(2v
)
,
4 4
k17,7 = ru(2u
)
,
4 3
k18,7 = rv(2u
,
4 3
)
k17,8 = ru(2v
)
,
4 3
k18,8 = rv(2v
,
4 3
)
k17,9 = ru(2u
)
,
4 1
k18,9 = rv(2u
,
4 1

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
mes tarcza
mes tarcza
mes tarcza?losc
mes tarcza
classsf 1olor
Cisco 1
classsf 1rawable
20 3SH~1
53 4SH~1
arm biquad ?scade ?1 ?st q31? source

więcej podobnych podstron