mes tarcza calosc


Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan________________
61
y
k r
x
e
i j
geometria elemenu w układzie
a/2
lokalnym
a
y
vk
vr
uk
ur
k r
x
e
i j
uj
vi vj
ui
dodatnie zwroty przemieszczeń
węzłów elementu "e"
y
(e)
(e)
rvk,
r
i
i
vr,
(e)
ruk,
(e)
i
rur, dodatnie zwroty sił węzłowych w
i
elemencie "e"
k r
x
e
(e)
(e)
r
i j
i
r uj,
i
ui,
(e)
r (e)
i
vi,
r
i
vj,
Rys.1.
b
b/2
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan________________
62
Przyjmujemy przybliżenie funkcji przemieszczeń w obszarze całego elementu w postaci:
u(x, y) = ą + ą " x + ą " y + ą " x " y
1 2 3 4
v(x, y) =  +  " x +  " y +  " x " y
1 2 3 4
Powyższe równania można zapisać
ż#ą1
#
#ą #
2
# #
#ą3
#
# #
u( x, y ) 1 x y x " y 0 0 0 0
ż# # Ą# ń#
#ą4
#
[U]= = [A(x,y)]"{ą} (a)
# Ź#
ó#0 0 0 0 1 x y x " yĄ# " # Ź# =
#v( x, y )# Ł# Ś#
#1 #
#2#
# #
#3#
#4#
# #
Współczynniki ą oraz  dobieramy tak aby w węzłach elementu wartości funkcji [U] były równe
i i
przemieszczeniom tych węzłów
T
{u}= {u v u v u v u v }
i i j j k k r r
podstawiając współrzędne węzłów elementu w odpowiednim układzie współrzędnych otrzymamy:
1 x y x " y 0 0 0 0
Ą# ń# ż#ą #
i i i i 1
ó#0 0 0 0 1 x y x " y Ą# #ą #
i i i i 2
ó# Ą# # #
ó# Ą# #ą #
1 x y x " y 0 0 0 0
j j j j 3
ó# Ą# # #
#ą4
#
j j j j
ó#0 0 0 0 1 x y x " y Ą#
{u}= " = [Ś]"{ą}
# Ź#
ó#1 x y x " y 0 0 0 0 Ą#
k k k k 1
# #
ó# Ą#
# #
ó#0 0 0 0 1 x y x " y Ą#
k k k k 2
# #
ó#1 x y x " y 0 0 0 0 Ą#
r r r r # #
3
ó# Ą#
# #
ó#0 0 0 0 1 x y x " y Ą#
Ł# r r r r Ś# # 4 #
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymamy:
-1
{ą}= [Ś] "{u}
Podstawiając otrzymane rozwiązanie do (a) otrzymamy:
u(x, y)
ż# #
-1
[U]= [A(x, [N]"{u}
#v(x, y)Ź# = y)]"[Ś] "{u}=
# #
Macierz [N] można zapisać w postaci:
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan________________
63
Ą#Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą#n 0 ń#ń# Ą#
n 0 n 0 n 0 n 0 n 0
n 0 n 0 ń#
j i j k r
i k r
[N]=
ó#ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#Ą# = 0 n 0 n 0 n 0 n
ó# Ą#
0 n
0 n 0 n 0 n
j i j k r
ó#Ł# i Ś# Ł# k Ś# Ł# r Ś#Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
Ł# Ś#
gdzie funkcje typu n nazywane funkcjami kształtu można przedstawić w postaci:
l
1 2 " x 2 " y
n = " (1- ) " (1- ) ,
i
4 a b
1 2 " x 2 " y
nj = " (1 + ) " (1 - ) ,
4 a b
1 2 " x 2 " y
nk = " (1- ) " (1+ ) ,
4 a b
1 2 " x 2 " y
nr = " (1+ ) " (1+ ) ,
4 a b
Dla płaskiego zadania równania geometryczne można zapisać:
ż# # Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
"u " " "
0 0 0
# # ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
"x "x

ż# #
# # ó# Ą# ó#"x Ą# ó#"x Ą#
x
u(x, y)
"v ż# #
# # # # " " "
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
{}= = = 0 "[U]= 0 " = 0 "[N]= [B]"{u} (1)
# Ź# # Ź# # Ź#
y
ó# Ą# ó# Ą#
"y "y "y y)# ó# "y
#v(x, ó# Ą#
# # # #
ł ó# Ą# ó# Ą# Ą#
# #
" " " " " "
#"u + "v #
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą#
# #
"y "x
ó# ó# Ą#
# # Ł#"y "x Ą# ó# "x Ą# Ł#"y "x Ś#
Ś# Ł#"y Ś#
gdzie:
Ą#"ni
"nj
"nk "nr ń#
0 0 0 0
ó# Ą#
"x "x "x "x
ó# Ą#
"nj
"ni "nk "nr Ą#
ó#
[B]= 0 0 0 0
ó# Ą#
"y "y "y "y
ó#"n "ni "nj "nj "nk "nk "nr "nr Ą#
i
ó# Ą#
ó# Ą#
"y "x "y "x "y "x "y "x
Ł# Ś#
Wykonując różniczkowanie oraz przyjmując dodatkowo oznaczenia:
1 2 " y
a = " (1- )
2 " a b
1 2 " x
b = " (1- )
2 " b a
1 2 " x
c = " (1+ )
2 " b a
1 2 " y
d = " (1+ )
2 " a b
macierz [B] możemy zapisać w postaci:
Ą#- a 0 a 0 - d 0 d 0
ń#
ó#
[B]= 0 - b 0 - c 0 b 0 cĄ#
ó# Ą#
ó#- b - a - c a - b - d c d Ą#
Ł# Ś#
W płaskim stanie naprężenia macierz sprężystości ma postać:
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan________________
64
Ą#1  0 ń#
ó# Ą#
E
ó# Ą#
[D]= "  1 0
2
(1- )
ó# 1- Ą#
ó#0 0 2 Ą#
Ł# Ś#
a prawo Hooke a:
{}= [D]"{}= [D]"[B]"{u} (3)
Zgodnie z zasadą prac przygotowanych przy przygotowanych (wirtualnych) przemieszczeniach mamy:
PRACA SIA WEWNTRZNYCH NA WIRTUALNYCH PRZEMIESZCZENIACH = PRACY SIA ZEWNTRZNYCH NA TYCH
PRZEMIESZCZENIACH
czyli
Lw = Lz
Dowolne lecz zgodne z warunkami kinematycznymi układu przemieszczenie przygotowane (wirtualne) {} wywołuje
w ustroju:
1) przemieszczenie dowolnego punktu elementu równe:
~
{U}= [N]"{} (4)
2) odkształcenie w dowolnym punkcie elementu równe:
~
{ }= [B]"{} (5)
Przyjmując teraz oznaczenia w postaci:
a) wektor sił masowych w elemencie w postaci
T
M
{f }= {x y}
b) wektor obciążeń powierzchniowych rozłożonych na powierzchni o długości od punktu ą do punktu  i szerokości
równej grubości elementu t w postaci
T
S ą - ą -
{f }= {px py }
c) wektor obciążeń skupionych przyłożonych w węzłach elementu w postaci:
T
P
{f }= {Pxi Pyi Pxj Pyj Pxk Pyk Pxr Pyr}
Praca sił wewnętrznych na przygotowanych przemieszczeniach wynosi:
T T
~ M
~
L = ({ } "{})dV - ({U} "{f })dV =
w +" +"
V V
Pracę sił zewnętrznych na odpowiadających im przemieszczeniach wirtualnych obliczymy:

T T
P S ś#
L = {} "{f }+ [{U} "{f }]" dS
"# ~
ś# +" ź#
z
 =1
# S #
Zatem mamy:

T T T T
~ M P S ś#
~
({ } "{})dV - ({U} "{f })dV = {} "{f }+ [{U} "{f }]dS
"# ~
+" +" ś# +" ź#
 =1
V V # S #
równanie to można zapisać w postaci:
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan________________
65

T T T T
~ M P S ś#
~
({ } "{})dV - ({U} "{f })dV - {} "{f }- "# ~
[{U} "{f }]dS = 0 (6)
+" +" ś# +" ź#
 =1
V V # S #
podstawiając do równania (6) wyrażenia (5) (4) (2) (1) oraz uwzględniając, że wektor {} przemieszczeń wirtualnych
jest niezależny od współrzędnych (można wynieść przed znak całki) otrzymamy:

T
T T T
M P S ś#
{} " ([B] "[D]"[B])dV "{u}- ([N] "{f })dV - {f }- "#
[[N] "{f }]dS = 0
+" +" ś# +" ź#
 =1
V V # S #
Ponieważ równanie to jest spełnione dla każdego dowolnego (dopuszczalnego) wektora {} przemieszczeń
wirtualnych prawdziwe jest również dla wektora jednostkowego, a więc i dla {}=1

T T T
M P S ś#
[[N] "{f }]dS = 0
([B] "[D]"[B])dV "{u}- ([N] "{f })dV - {f }- "#
+" +" ś# +" ź#
 =1
V V # S #
Oznaczając teraz przez:
T
[K]= ([B] "[D]"[B])dV - macierz sztywności elementu
+"
V
T
M M
{F }= ([N] "{f })dV - wektor sił węzłowych wywołanych obciążeniem masowym
+"
V

T
S S ś#
{F }= [[N] "{f }]dS - wektor sił węzłowych wywołanych obciążeniem powierzchniowym elementu
"#
ś# +" ź#
 =1
# S #
P P
{F }= {f } - wektor sił węzłowych wynikających z obciążenia skupionego przyłożonego
w węzłach elementu,
gdzie:
1) wektor sił węzłowych dla obciążeń masowych ma postać:
T
M ( ) (M ) (M ) (M ) ( ) ( ) ( ) (M )
{F }= {Fxi M Fyi Fxj Fyj Fxk M Fyk M Fxr M Fyr }
2) wektor sił węzłowych dla obciążeń powierzchniowych ma postać:
T
S (S ) (S ) (S ) ( ) ( ) (S ) (S ) ( )
{F }= {Fxi Fyi Fxj Fyj S Fxk S Fyk Fxr Fyr S }
3) wektor sił węzłowych dla obciążeń skupionych w węzłach ma postać:
T
P ( ( ( ( ( ( ( (
{F }= {Fxi P) Fyi P) Fx j P) Fyj P) Fxk P) Fyk P) Fxr P) Fyr P)}
równanie (--)zapiszemy w postaci
M S P
[K]"{u}-{F }-{F }-{F }= 0
lub w postaci prostszej
[K]"{u}-{F}= 0
gdzie
M S P
{F}= {F }+{F }+{F }
jest wektorem sumarycznych sił węzłowych dla wszystkich obciążeń elementu o postaci:
T
{F}= {Fxi Fyi Fx j Fyj Fxk Fyk Fxr Fyr}
Przyjmując teraz wymiary elementu według rysunku otrzymamy macierz sztywności elementu w postaci:
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan________________
66
b a
1 1
2 2
a " b " h
(e) T T
[K] = h " ([B] "[D]"[B])"dxdy = " ([B] "[D]"[B])"dd
+" +" +" +"
4
b a
-1-1
- -
2 2
gdzie:
2 " x
 =
a
2 " y
 =
b
Po wykonaniu całkowania otrzymamy macierz sztywności elementu  e w postaci:
Macierz sztywności [k](e) elementu prostokątnego nr  e ma postać:
) ) ) ) ) ) ) )
ru(e,u ru(ev ru(eu ru(ev ru(eu ru(ev ru(eu ru(ev
, , , , , , ,
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4
) ) ) ) ) ) ) )
rv(eu rv(ev rv(eu rv(ev rv(eu rv(ev rv(eu rv(ev
, , , , , , , ,
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4
)
ru(e,)u ru(e,) ru(e,) ru(e,) ru(e,) ru(e,) ru(e,u ru(e,)
v1 2 u2 2 v2 2 u3 2 v3 2 4 2 v4
2 1 2
) ) ) ) ) ) )
rv(e,) rv(e,v rv(e,u rv(e,v rv(e,u rv(e,v rv(e,u rv(e,v
u1
2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2 4
) ) ) ) ) ) )
ru(e,) ru(e,v ru(e,u ru(e,v ru(e,u ru(e,v ru(e,u ru(e,v
u1
3 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 4 3 4
) ) ) ) ) )
)
rv(e,) rv(ev rv(e,u rv(e,v rv(e,u rv(e,v rv(eu
rv(ev
u1 , ,
,
3 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 4
3 4
)
ru(e,)u ru(e,) ru(e,) ru(e,) ru(e,u ru(e,) ru(e,) ru(e,)
v1 4 u2 4 v2 4 3 4 v3 4 u4 4 v4
4 1 4
) ) ) ) ) ) ) )
rv(e,u rv(e,v rv(e,u rv(e,v rv(e,u rv(e,v rv(e,u rv(e,v
4 1 4 1 4 2 4 2 4 3 4 3 4 4 4 4
a przy oznaczeniach:
-1
a1 = ą "[4 "  + 2 " (1- ) "  ]
3
b = ą " " (1+ )
1
2
-1
c = ą "[4 "  + 2 " (1- ) " ]
1
-1
d = ą "[- 4 "  + (1- ) "  ]
1
3
e = ą " " (1- 3" )
1
2
-1
f = ą "[2 "  - 2 " (1- ) " ]
1
-1
g = ą "[2 "  - 2 " (1 - ) "  ]
1
-1
h = ą "[- 2 "  - (1- ) "  ]
1
-1
i = ą "[- 4 "  + (1- ) " ]
1
-1
j = ą "[- 2 "  - (1- ) " ]
1
gdzie:
b
 =
a
E " h
ą =
2
12"(1- )
Macierz sztywności [k](e) elementu prostokątnego nr  e można zapisać w postaci:
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan________________
67
a1
b1 c1
d1 e1 a1 symetria
-e1 f1 -b1 c1
g1 -e1 h1 b1 a1
e1 i1 b1 j1 -b1 c1
h1 -b1 g1 e1 d1 -e1 a1
-b1 j1 -e1 i1 e1 f1 b1 c1
Przyjmując podział tarczy na cztery elementy i numerując węzły i elementy jak na rys.2. wartości
elementów ,macierzy globalnej otrzymamy stosując składanie macierzy poszczególnych elementów
skończonych według schematu pokazanego na rys.3
podział tarczy i numeracja
elementów i węzłów w układzie
globalnym
4
3
9
3 4 3
4
4
2
2 1
1 2
2 5 8
3
4
-
4
3
y
1
3
2
1 2 1
1
7
6
-
x
Rys.2.
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan________________
68
fragment ustroju z węzłem nr 5 po
jednostkowym jego przemieszczeniu w kierunku
poziomym
4
3
9
3 4 3
4
4
2
5
2
1 1 2
2 8
3 4
3
4
1
3
2
1 2 1
1
7
6
4
3 3
4
4
2
( ) ( )
4 2
ru , u2 ru , u1 1 2
1 2
2 1
u5=1
u5=1
( ) ( )
1 3
ru , u4
ru , u3
4 3
4 4
3
3
1 3
2
1 1
2
obliczenie sumarycznej siły działającej na węzeł 5
czyli wartości ekementu k 9,9 macierzy sztywności
całego układu [K]
5
k9,9
( )
( ) ( ) 3 ( )
1 2 4
ru , u3
k9,9= ru , u4 ru , u1 ru , u2
3
1 2
4
Rys.3.
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan________________
69
)
k9,2 = ru(1)v k12,10 = rv(1)v + rv(3v
, , ,
4 1 2 4 1 3
k1,1 = ru(1)
) )
,u1
1
k9,3 = ru(1)u + ru(4u k12,11 = rv(1)u + rv(3u
, , , ,
4 3 2 1 2 2 1 1
k2,1 = rv(1)
) )
,u1
1
k9,4 = ru(1)v + ru(4v k12,12 = rv(1)v + rv(3v
, , , ,
4 3 2 1 2 2 1 1
k2,2 = rv(1)
)
,v1
1
k9,5 = ru(4u
,
2 3
k13,9 = ru(3)
)
,u3
2
k9,6 = ru(4v
,
2 3
k3,1 = ru(1)
,u1
3
k13,10 = ru(3)
) )
,v3
2
k9,7 = ru(2u + ru(4u
, ,
1 3 2 4
k3,2 = ru(1)v
,
3 1
k13,11 = ru(3)
) )
,u1
2
k9,8 = ru(2v + ru(4v
)
, ,
1 3 2 4
k3,3 = ru(1) + ru(4u
,u3 ,
3 1 1
) ) )
,v1
2
k9,9 = ru(1)u + ru(2u + ru(3u + ru(4u k13,12 = ru(3)
, , , ,
4 4 1 1 3 3 2 2
k13,13 = ru(3)
,u2
2
k4,1 = rv(1)
,u1
3
k4,2 = rv(1)
)
,v1
3
k10,1 = rv(1) k14,9 = rv(3u
,u1 ,
4 2 3
)
k4,3 = rv(1) + rv(4u
,u3 ,
3 1 1
k10,2 = rv(1)v k14,10 = rv(3)
, ,v3
4 1 2
)
k4,4 = rv(1) + rv(4v
) )
,v3 ,
3 1 1
k10,3 = rv(1)u + rv(4u k14,11 = rv(3u
, , ,
4 3 2 1 2 1
) )
k10,4 = rv(1)v + rv(4v k14,12 = rv(3v
)
, , ,
4 3 2 1 2 1
k5,3 = ru(4u
,
3 1
) )
k10,5 = rv(4u k14,13 = rv(3u
)
, ,
2 3 2 2
k5,4 = ru(4v
,
3 1
) )
k10,6 = rv(4v k14,14 = rv(3v
)
, ,
2 3 2 2
k5,5 = ru(4u
,
3 3
) )
k10,7 = rv(2u + rv(4u
, ,
1 3 2 4
)
k15,7 = ru(2u
) )
)
,
2 3
k10.8 = rv(2v + rv(4v
k6,3 = rv(4u
, ,
, 1 3 2 4
3 1
)
) ) )
)
,
2 3
k10,9 = rv(1)u + rv(2u + rv(3u + rv(4u k15,8 = ru(2v
k6,4 = rv(4v
, , , ,
, 4 4 1 1 3 3 2 2
3 1
)
k15,9 = ru(2u + ru(3)
)
, ,u3
2 1 4
k6,5 = rv(4u
,
3 3
) ) ) )
k10,10 = rv(1)v + rv(2v + rv(3v + rv(4v k15,10 = ru(2v + ru(3)
)
, , , , , ,v3
4 4 1 1 3 3 2 2 2 1 4
k6,6 = rv(4v
,
3 3
k15,11 = ru(3)
,u1
4
)
k15,12 = ru(3)
k7,3 = ru(4u
,v1
, 4
4 1
k11,1 = ru(1)u
,
2 1
)
k15,13 = ru(3)
k7,4 = ru(4v
,u2
, 4
4 1
k11,2 = ru(1)v
,
2 1
)
k15,14 = ru(3)
k7,5 = ru(4u
,v2
, 4
4 3
k11,3 = ru(1)u
,
2 3
)
)
k15,15 = ru(2u + ru(3)
k7,6 = ru(4v
, ,u4
, 2 2 4
4 3
k11,4 = ru(1)v
,
2 3
)
k7,7 = ru(2u
)
,
3 3
k11,9 = ru(1)u + ru(3u
)
, ,
2 4 1 3
k16,7 = rv(2u
,
2 3
)
k11,10 = ru(1)v + ru(3v
)
)
, ,
2 4 1 3
k16,8 = rv(2v
k8,3 = rv(4u
,
, 2 3
4 1
)
k11,11 = ru(1)u + ru(3u
) )
)
, ,
2 2 1 1
k16,9 = rv(2u + rv(3u
k8,4 = rv(4v
, ,
, 2 1 4 3
4 1
) )
)
k16,10 = rv(2v + rv(3v
k8,5 = rv(4u
, ,
, 2 1 4 3
4 3
k12,1 = rv(1)u
,
2 1
)
)
k16,11 = rv(3u
k8,6 = rv(4v
,
, 4 1
4 3
k12,2 = rv(1)v
,
2 1
)
k16,12 = rv(3)
k8,7 = rv(2u
,v1
, 4
3 3
k12,3 = rv(1)
,u3
2
)
)
k16,13 = rv(3u
k8,8 = rv(2v
,
, 4 2
3 3
k12,4 = rv(1)v
,
2 3
k16,14 = rv(3)
)
,v2
4
k12,9 = rv(1) + rv(3u
,u4 ,
2 1 3
) )
k9,1 = ru(1)u
,
4 1 k16,15 = rv(2u + rv(3u
, ,
2 2 4 4
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan____________
70
) )
k16,16 = rv(2v + rv(3v
, ,
2 2 4 4
)
k17,7 = ru(2u
,
4 3
)
k17,8 = ru(2v
,
4 3
)
k17,9 = ru(2u
,
4 1
)
k17,10 = ru(2v
,
4 1
)
k17,15 = ru(2u
,
4 2
)
k17,16 = ru(2v
,
4 2
)
k17,17 = ru(2u
,
4 4
)
k18,7 = rv(2u
,
4 3
)
k18,8 = rv(2v
,
4 3
)
k18,9 = rv(2u
,
4 1
)
k18,10 = rv(2v
,
4 1
)
k18,15 = rv(2u
,
4 2
)
k18,16 = rv(2v
,
4 2
)
k18,17 = rv(2u
,
4 4
)
k18,18 = rv(2v
,
4 4
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan____________
71
Globalna macierz sztywności układu [K]
k1,1
k2,1 k2,2
k3,1 k3,2 k3,3
k4,1 k4,2 k4,3 k4,4
0 0
k5,3 k5,4 k5,5
SYMETRIA
0 0
k6,3 k6,4 k6,5 k6,6
0 0
k7,3 k7,4 k7,5 k7,6 k7,7
0 0
k8,3 k8,4 k8,5 k8,6 k8,7 k8,8
k9,1 k9,2 k9,3 k9,4 k9,5 k9,6 k9,7 k9,8 k9,9
k10,2 k10,3 k10,4 k10,5 k10,6 k10,7 k10,8 k10,9 k10,10
k10,1
0 0 0 0
k11,1 k11,2 k11,3 k11,4 k11,9 k11,10 k11,11
0 0 0 0
k12,1 k12,2 k12,3 k12,4 k12,9 k12,10 k12,11 k12,12
0 0 0 0 0 0 0 0
k13,9 k13,10 k13,11 k13,12 k13,13
0 0 0 0 0 0 0 0
k14,9 k14,10 k14,11 k14,12 k14,13 k14,14
0 0 0 0 0 0
k15,7 k15,8 k15,9 k15,10 k15,11 k15,12 k15,13 k15,14 k15,15
0 0 0 0 0 0
k16,7 k16,8 k16,9 k16,10 k16,11 k16,12 k16,13 k16,14 k16,15 k16,16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
k17,7 k17,8 k17,9 k17,10 k17,15 k17,16 k17,17
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
k18,7 k18,8 k18,9 k18,10 k18,15 k18,16 k18,17 k18,18
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan____________
72
Określanie sil węzłowych od obciążenia elementu
(wyrazów wolnych)
a) uwzględnienie sił masowych:
 przyjmijmy, że jedynymi siłami masowymi jest ciężar własny konstrukcji ł. Wówczas wektor
obciążeń od sił masowych dla elementu  e (rys.7.) ma postać:
T T
M
{f }= {x  } = {0 ł } ,
y
a wektor sił węzłowych spowodowanych tym obciążeniem przyjmie postać:
T
M
{F }={Fxi(M ) Fyi(M ) Fxj(M ) Fyj(M ) Fxk(M ) Fyk(M ) Fxr(M ) Fyr(M )} =
T
(M )
= ([N] "{f })"dV
+"
V
Po podstawieniu postaci funkcji kształtu i wektora obciążeń oraz wykonaniu całkowania
otrzymamy:
0
ż# #
ż# #
Fxi( M ) # ni 0 ś# 0
Ą# ń# ż# #
#1 ł " a "b "t#
ś# ź#
#F i( M ) #
ó# Ą# #ł " ni #
#4 #
0 ni ź#
ś#
y
# #
ó# Ą# # #
# #
ś# ź# 0
#Fxj( M ) #
ó#n 0 Ą# # 0 #
j
t a b a b #1 #
ś# ź#
# #
ó# Ą# #ł " n #
j( M )
2 2 2 2 2
#
ś# 0 n 0 ź#
ż# #
#F # # # #4 ł " a "b "t#
#
M y j j
{F }= =
#F k ( M ) Ź#
ś# ź#
+" +" +"ś# ó#nk 0 Ą# " # Ź# " dtdxdy = t +" +"# 0 Ź#" dxdy = # 0 Ź#
ó# Ą#
x t a b #ł #ź# a b
# # # # #1 #
- - - - -
ó# Ą#
2 2 2 2 2
#Fyk ( M ) # #ł " nk # # ł " a "b "t
#
ś# ź#
0 nk
ó# Ą#
# # # # #4 #
ś# ź#
r( M )
ó#nr 0 Ą#
0
0
x
#F # # # # #
ś# ź#
ó# Ą#
ś#
#Fyr( M ) # #ł " nr # #1 ł " a "b "t#
0 nr ź#
Ł# Ś# # #
# # # #
#4 #
# #
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan____________
73
b) uwzględnienie sił powierzchniowych:
Przyjmijmy, że powierzchnia boczna elementu  e (rys7) na odcinku j-r jest obciążona
równomiernie rozłożonym obciążeniem powierzchniowym o intensywności qx [kN/m2]
skierowanym zgodnie z osią  x lokalnego układu współrzędnych.
Wówczas wektor obciążeń powierzchniowych przyjmie postać:
qx
T ż# #
S j
{f }= {pxj-r py-r} = ,
# Ź#
0
# #
a wektor sił węzłowych w elemencie spowodowanych tym obciążeniem przyjmie postać:
T
T
S S
{F }= {Fxi(S ) Fyi(S ) Fxj(S ) Fyj(S ) Fxk (S ) Fyk (S ) Fxr(S ) Fyr(S )} = ([N] "{f })" dS
+"
S
Po podstawieniu funkcji kształtu oraz wektora obciążeń i wykonaniu całkowania otrzymamy:
ż#b " (1 - 2 " x
)#
ż# #
Fxi(S ) # ni 0 ś#
Ą# ń#
# #
a
ś# ź#
#F i(S ) #
ó# Ą#
# #
0 ni 0
ś# ź#
y
# #
ó# Ą#
# #
2 " x
ś# ź#
#Fxj(S ) #
ó#n 0 Ą#
b " (1 + )
# #
j
t b
ś# ź#
# # a
ó# Ą#
j(S )
# #
2 2
ś# 0 n qx ź#
ż# # qx " t
#F # # #
S y j 0
ó# Ą#
{F }= = " " dtdy =
#F k (S ) Ź# # Ź# # Ź#
ś# ź#
+" +"
2 " x
ó# Ą#
nk 0 0 4
x t b # #ź#
b " (1
#
# # # - )
ś#
- -
ó# Ą#
2 2 a
#Fyk (S ) # # #
ś# 0 nk ź#
ó# Ą#
0
# # # #
ś# ź#
r(S )
ó#nr 0 Ą#
x
#F # #b " (1 + 2 " x )#
ś# ź#
ó# Ą#
ś# ź#
#Fyr(S ) # # #
a
0 nr
Ł# Ś#
# # # #
# #
0
# #
Uwzględniając przy tym, że dla boku elementu j-r wartość x=+a/2 ostatecznie wektor sił
węzłowych spowodowanych obciążeniem powierzchniowym przyjmie postać:
ż# #
Fxi(S ) ż# 0 #
# #
#F i(S ) #
y #t " b0 qx #
# #
"
# #
#Fxj(S ) #
2
# #
# #
j(S )
0
#F # # #
S y
{F }= =
# Ź# # Ź#
k (S )
0
#Fx # # #
#Fyk (S ) # # #
0
# # #t " b " qx #
r( S )
x
#F # # #
2
#Fyr( S ) # # #
0
# #
# #
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan____________
74
y
podział tarczy i numeracja
elementów i węzłów w układzie
globalnym
obciążenie elementu
3
4
q [kN/m2 9
k r
k
r k
r
e
x 4
2
i j
j i
i j
5 8
2
k
r
-
r
y k
a/2
1
3
a
j
i j i
7
Rys.7
6
1
-
Rys.4.
x
3
4
9
k r k
r
4
2
j i
i j
5 8
2
k
r
-
podział tarczy i numeracja
r
k
y
elementów i węzłów w układzie
1
globalnym
3
3
4
j
i j i
7
9
k r k
r
6
1
-
x 
4
2
j i
Rys.6. i j
5 8
2
podział tarczy i numeracja k
r
r
k
elementów i węzłów w układzie -
y
globalnym
1
3
j
i j i
7
6 k
1
-
x
Rys.5.
b
b/2
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan____________
75
Dla warunków podparcia tarczy pokazanych kolejno na rys.4, rys.5 i rys.6 macierz sztywności całej tarczy i wyrazy wolne układu równań przyjmą
postać:
Globalna macierz sztywności układu [K] po wprowadzeniu warunków brzegowych z rys. 4.
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
SYMETRIA
0 0 0 0 0 0
k7,7
0 0 0 0 0 0
k8,7 k8,8
0 0 0 0 0 0
k9,7 k9,8 k9,9
0 0 0 0 0 0
k10,7 k10,8 k10,9 k10,10
0 0 0 0 0 0 0 0
k11,9 k11,10 k11,11
0 0 0 0 0 0 0 0
k12,9 k12,10 k12,11 k12,12
0 0 0 0 0 0 0 0
k13,9 k13,10 k13,11 k13,12 k13,13
0 0 0 0 0 0 0 0
k14,9 k14,10 k14,11 k14,12 k14,13 k14,14
0 0 0 0 0 0
k15,7 k15,8 k15,9 k15,10 k15,11 k15,12 k15,13 k15,14 k15,15
0 0 0 0 0 0
k16,7 k16,8 k16,9 k16,10 k16,11 k16,12 k16,13 k16,14 k16,15 k16,16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
k17,7 k17,8 k17,9 k17,10 k17,15 k17,16 k17,17
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
k18,7 k18,8 k18,9 k18,10 k18,15 k18,16 k18,17 k18,18
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan____________
76
Globalna macierz sztywności układu [K] po wprowadzeniu warunków brzegowych z rys. 5.
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
k3,3
0 0
k4,3 k4,4
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
SYMETRIA
0 0 0 0
k7,3 k7,4 k7,7
0 0 0 0
k8,3 k8,4 k8,7 k8,8
0 0 0 0
k9,3 k9,4 k9,7 k9,8 k9,9
0 0
k10,3 k10,4 0 0 k10,7 k10,8 k10,9 k10,10
0 0 0 0 0 0
k11,3 k11,4 k11,9 k11,10 k11,11
0 0 0 0 0 0
k12,3 k12,4 k12,9 k12,10 k12,11 k12,12
0 0 0 0 0 0 0 0
k13,9 k13,10 k13,11 k13,12 k13,13
0 0 0 0 0 0 0 0
k14,14+k
k14,9 k14,10 k14,11 k14,12 k14,13
0 0 0 0 0 0
k15,7 k15,8 k15,9 k15,10 k15,11 k15,12 k15,13 k15,14 k15,15
0 0 0 0 0 0
k16,7 k16,8 k16,9 k16,10 k16,11 k16,12 k16,13 k16,14 k16,15 k16,16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
k17,7 k17,8 k17,9 k17,10 k17,15 k17,16 k17,17
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
k18,7 k18,8 k18,9 k18,10 k18,15 k18,16 k18,17 k18,18
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan____________
77
Globalna macierz sztywności układu [K] po wprowadzeniu warunków brzegowych z rys. 6.
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
k3,3
0 0 0
k4,3 k4,4
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
SYMETRIA
0 0 0 0 0
k7,3 k7,4 k7,7
0 0 0 0 0
k8,3 k8,4 k8,7 k8,8
0 0 0 0 0
k9,3 k9,4 k9,7 k9,8 k9,9
0 0 0
k10,3 k10,4 0 0 k10,7 k10,8 k10,9 k10,10
0 0 0 0 0 0 0
k11,3 k11,4 k11,9 k11,10 k11,11
0 0 0 0 0 0 0
k12,3 k12,4 k12,9 k12,10 k12,11 k12,12
0 0 0 0 0 0 0 0 0
k13,9 k13,10 k13,11 k13,12 k13,13
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
0 0 0 0 0 0 0
k15,7 k15,8 k15,9 k15,10 k15,11 k15,12 k15,13 k15,15
0 0 0 0 0 0 0
k16,7 k16,8 k16,9 k16,10 k16,11 k16,12 k16,13 k16,15 k16,16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
k17,7 k17,8 k17,9 k17,10 k17,15 k17,16 k17,17
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
k18,7 k18,8 k18,9 k18,10 k18,15 k18,16 k18,17 k18,18
Metoda Elementu Skończonego Fedorowicz Lidia, Fedorowicz Jan____________
78
Globalny wektor obciążeń układu {F} po wprowadzeniu warunków brzegowych z rys. 4.
T
4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9
{F}= {0 0 0 0 0 0 Fx Fy Fx Fy Fx Fy Fx Fy Fx Fy Fx Fy}
Globalny wektor obciążeń układu {F} po wprowadzeniu warunków brzegowych z rys. 5.
T
2 2 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9
{F}= {0 0 Fx Fy 0 0 Fx Fy Fx Fy Fx Fy Fx Fy Fx Fy Fx Fy}
Globalny wektor obciążeń układu {F} po wprowadzeniu warunków brzegowych z rys. 6.
2 2 4 4 5
{F}= {0 0 Fx Fy 0 0 Fx Fy Fx -  " k9,14
T
5 6 6 7 8 8 9 9
Fy -  " k10,14 Fx -  " k11,14 Fy -  " k12,14 Fx -  " k13,14  Fx -  " k15,14 Fy -  " k16,14 Fx Fy}


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
mes tarcza
mes tarcza 1
mes tarcza
mes tarcza
Wykład14 [MES]
09 mo mes osymetryczny
045 hezjod tarcza
BUD WODNE Wykład 6 analiza mechaniczna filtracja MES
MES od Jolki mat 45uc x
08 mo mes plaski stan
MES sprawko2
Zadania MES 4
Rozwiązanie dynamiki ramy MES

więcej podobnych podstron