Metoda Elementów
Metoda Elementów
Skończonych
Skończonych
Zadania 2-D:
Zadania 2-D:
1. Płaski stan odkształcenia
1. Płaski stan odkształcenia
2. Płaski stan naprężenia
2. Płaski stan naprężenia
1
2
2
Model przemieszczeniowy dla
Model przemieszczeniowy dla
zagadnień statyki
zagadnień statyki
i
F
Z
S
Z , W
i
F
i Y
i
V
F B
f
X
Z
Y , V
B
f
Y
B
X , U
f
X
3
3
Siły
Siły
Siły działające na ciało w równowadze są
Siły działające na ciało w równowadze są
następujące:
następujące:
" siły skupione Fi ,
siły skupione Fi ,
" siły powierzchniowe fS ,
siły powierzchniowe fS ,
" siły masowe fB .
siły masowe fB .
S B
FiX f f
X X
i B
S B
F = ; f =
Fi ; f S= f f
Y Y Y
S B
[ ] [ ] [ ]
FiZ f f
Z Z
4
4
Zależności podstawowe
Zależności podstawowe
µT= µYY µZZ Ä…Ä… Ä…Ä…YZ Ä…Ä…ZX
[µ ]
XX XY
ÈÄ…T = ÈÄ…YY ÈÄ…ZZ ÉÄ…XY ÉÄ…YZ ÉÄ…ZX
[ÈÄ… ]
XX
UT = [ U V W ]
µ = C U
à = D (µ - µo) + Ã
o
5
5
Zagadnienie Składowe Wektor Wektor
przemie- odkształceń naprężeń
szczeń
Pręt kratowy u
[µxx] [Ã ]
xx
Belka w [Mxx]
[º ]
xx
PÅ‚aski stan u, v
[µxx µyy Å‚ ] [Ã Ã Ä ]
xy xx yy xy
naprężenia
PÅ‚aski stan u, v
[µxx µyy Å‚ ] [Ã Ã Ä ]
xy xx yy xy
odkształcenia
Osiowo- u, v
[µxx µyy Å‚ µzz] [Ã Ã Ä Ã ]
xy xx yy xy zz
symetryczne
[Ã Ã Ã
Trójwymiarowe u, v, w
[µxxµyyµzz
xx yy zz
Ä Ä Ä ]
Å‚ Å‚ Å‚ ]
xy yz zx
xy yz zx
w [º º º ] [Mxx Myy Mxy]
Zginanie płyty
xx yy xy
6
6
Energia, praca
Energia, praca
Ciepło
Ciepło
Praca sił
Praca sił
Energia
Energia
Energia kinetyczna
Energia kinetyczna
zewnętrznych
zewnętrznych
potencjalna
potencjalna
Dla statycznego stanu
Dla statycznego stanu
adiabatycznego
adiabatycznego
7
7
Energia odkształcenia
Energia odkształcenia
8
8
Energia odkształcenia i praca
Energia odkształcenia i praca
sił zewnętrznych
sił zewnętrznych
9
9
Funkcjonał energii
Funkcjonał energii
potencjalnej
potencjalnej
10
10
11
11
Równanie równowagi
Równanie równowagi
12
12
Zagadnienie liniowej teorii
Zagadnienie liniowej teorii
sprężystości
sprężystości
uH"Nae
µ=" u
gdzie
µH"Bae
B=" N
µ: odksztaÅ‚cenie
: operator różniczkowy
"
13
13
c.d.
c.d.
2D  liniowa sprężystość:
µx
" u /" x "/" x 0
u
µ
= =
µy = " v/" y 0 "/" y
v
{ }
[ ]{ }
{ }
" u /" yƒÄ…" v/" x "/" y "/" x
Å‚xy
"
14
14
c.d.
c.d.
à : naprężenia
µ: odksztaÅ‚cenia
D: macierz konstytutywna
à =Dµ
właściwości materiałowe
Ãx µx
1 v 0
E
Ã
=
Ãy = v 1 0 µ
y
1 -v2 0 0 śą1 -vźą/2
[ ]
{ } { }
Äxy Å‚xy
D
15
15
Zadanie 2-D
Zadanie 2-D
ai e
uH"u=[ N , N ,. . . ] =Nae
ęą
a
i j
j
{ }
.
Dla dowolnego położenia (x,y) w elemencie e
Dla dowolnego położenia (x,y) w elemencie e
16
16
y
i
e
j
uśą x , y źą
ęą
k
uH"u=
ęą
{ }
v śą x , y źą
ęą
x
ax
śą źąi
u x, y N x ,y N x , y Nk x, y
ęąśą źą=[ śą źą śą źą śą źą] ax
śą źąj
i j
{ }
ax
śą źąk
Ni
y
1.0
Niśą xi , yiźą=
1.0
i
0.0
Niśą x , y źą=Niśą xk , ykźą=
j j
x
17
17
Liniowe funkcje kształtu dla
Liniowe funkcje kształtu dla
elementu trójkątnego
elementu trójkątnego
18
18
c.d.
c.d.
qe
i
qe: równoważne siły węzłowe
qe=
qe
j
{ }
qe
k
(qy)i
i i
(qx)i
y
(qy)j
e
e
(qx)j
k
k
j
j
x
19
19
20
20
Element trójkątny stałego
Element trójkątny stałego
odkształcenia  liniowy T3
odkształcenia  liniowy T3
21
21
CST (Constant Strain Triangle)
(Constant Strain Triangle)
CST
Teoria
sprężystości
22
22
23
23
Stałe odkształcenia i
Stałe odkształcenia i
naprężenia
naprężenia
24
24
25
25
Współrzędne lokalne
Współrzędne lokalne
(naturalne)
(naturalne)
Funkcje
Funkcje
kształtu
kształtu
26
26
Współrzędne lokalne  c.d.
Współrzędne lokalne  c.d.
27
27
Jakobian
Jakobian
28
28
Dyskretyzacja
Dyskretyzacja
29
29
30
30
Przykład  rzadki podział
Przykład  rzadki podział
31
31
Naprężenia Ãxx
Naprężenia Ãxx
32
32
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
węzłach
węzłach
33
33
Przykład  gęstszy podział
Przykład  gęstszy podział
34
34
Naprężenia Ãxx
Naprężenia Ãxx
35
35
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
węzłach
węzłach
36
36
Element trójkątny liniowego
Element trójkątny liniowego
odkształcenia  kwadratowy
odkształcenia  kwadratowy
T6
T6
37
37
LST (Linear Strain Triangle)  T6
(Linear Strain Triangle) 
LST T6
Teoria
sprężystości
38
38
Współrzędne lokalne 
Współrzędne lokalne 
funkcje kształtu
funkcje kształtu
39
39
Naprężenia Ãxx
Naprężenia Ãxx
40
40
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
węzłach
węzłach
41
41
Naprężenia Ãxx
Naprężenia Ãxx
42
42
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
węzłach
węzłach
43
43
Element czworoboczny  Q4
Element czworoboczny  Q4
44
44
Funkcje kształtu
Funkcje kształtu
45
45
Naprężenia Ãxx
Naprężenia Ãxx
46
46
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
węzłach
węzłach
47
47
Naprężenia Ãxx
Naprężenia Ãxx
48
48
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
węzłach
węzłach
49
49
Element czworoboczny  Q8
Element czworoboczny  Q8
50
50
Funkcje kształtu
Funkcje kształtu
51
51
Naprężenia Ãxx
Naprężenia Ãxx
52
52
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
węzłach
węzłach
53
53
Naprężenia Ãxx
Naprężenia Ãxx
54
54
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
Naprężenia Ãxx uÅ›rednione w
węzłach
węzłach
55
55
Zmienione warunki brzegowe
Zmienione warunki brzegowe
56
56
Dyskusja
Dyskusja
Elementy
Elementy
prawidłowe
prawidłowe
Elementy
Elementy
nieprawidłowe
nieprawidłowe
57
57
Elementy zniekształcone
Elementy zniekształcone
58
58
Nieprawidłowe łączenie
Nieprawidłowe łączenie
elementów
elementów
Niezgodność przemieszczeń wzdłuż
Niezgodność przemieszczeń wzdłuż
linii A-B i C-D
linii A-B i C-D
59
59
Niezgodność przemieszczeń
Niezgodność przemieszczeń
B
A B
A
D
C D
C
60
60
Transformacja elementu
Transformacja elementu
61
61
Transformacja przemieszczeń
Transformacja przemieszczeń
62
62
Transformacja geometrii
Transformacja geometrii
63
63
konfiguracja konfiguracja
konfiguracja konfiguracja
geometrii przemieszczeń
geometrii przemieszczeń
64
64
65
65
Element czterowęzłowy, biliniowy
Element czterowęzłowy, biliniowy
66
66
Element 8-węzłowy
Element 8-węzłowy
67
67
Niektóre funkcje kształtu
Niektóre funkcje kształtu
68
68
Element 9-węzłowy
Element 9-węzłowy
69
69
70
70
Całkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne