Ćwiczenie 3 : Przestrzenny i płaski stan odkształcenia (opracował Z. W aszczyszyn) -
wersja dla studentów
Przykład 3. (Krzyś & Życzkowski, s.61).
Dla znanego pola przemieszczeń:
u = 10 + 0.1 x y + 0.05 z,
v = 5  0.05 x + 0.1 y z, (1)
w = 10  0.1 x y z,
porównać największe (co do modułu) względne wydłużenia w punktach A (1, 1, 1) i B (0.5, -1,0).
Odkształcenia :
"u
µx a" =
"x
"v
µy a" =
"y
"w
µz a" = (2)
"z
"u "v
Å‚ a" + =
"y "
"v "w
Å‚ a" + =
yz
"z "y
"u "w
Å‚zxa" + =
"z "x
Odkształcenia w punktach o współrzędnych:
A : x = 1, y = 1, z = 1 B : x = 0.5, y = -1, z = 0
µx = µx =
µy = µy =
µz = (3A) µz = (3B)
Å‚xy= Å‚xy=
Å‚yz=
Å‚ =
yz
Å‚zx= Å‚zx=
Odkształcenia główne:
Niezmienniki :
µ
J1 = µx + µy + µz ,
µx Å‚xy / 2 µy Å‚ / 2
µz Å‚zx / 2
1
yz 2 2 2
Jµ = + + = µx µy + µyµz + µzµx - ( Å‚ +Å‚ +Å‚ ) , (4)
xy yz zx
2
Å‚xy / 2 µy Å‚ / 2 µz
Å‚zx / 2 µx 4
yz
1
µx Å‚ / 2 Å‚ / 2
xy xz
µ
J3 = Å‚ / 2 µy Å‚ / 2 =
xy yz
Å‚ / 2 Å‚ / 2 µz
xz yz
µy Å‚ / 2 Å‚xy Å‚xy / 2 Å‚yz / 2
Å‚xz Å‚zx / 2 µy
= µx yz - + =
Å‚ / 2 µz Å‚xz / 2 Å‚ / 2
2 Å‚xz / 2 µz 2
yz yz
1 1
2 2 2
= µx µyµz - ( µx Å‚ +µy Å‚ +µz Å‚ ) + Å‚xy Å‚ Å‚zx .
yz xz xy
yz
4 4
Odkształcenia główne w punkcie A :
µ
J1 =
Jµ =
2
µ
J1 =
µ3
10
µ =
x
x3  x2  1.125x + 1 = 0
(-1) 1
x = y - = y +
3×1 3
y3 1.46 y + 0.552 = 0
y1 = 0.931 , x1 = 1.263 , µ1 = 0.1263 ,
y2 = 0.434 , x2 = 0.767 , µ2 = 0.0767 ,
y3 =  1.364 , x3 =  1.031 , µ3 =  0.1031 .
Odkształcenia główne w punkcie B :
µ
J1 = - 0.05
Jµ = -0.008125
2
µ
J3 = 0.00025
µ3+ 0.05 µ2 0.008125 µ  0.00025 = 0
µ1= 0.0832 , µ2 =  0.0287, µ3 =  0.1045 .Ń
Odpowiedz
:
A B
max µi = 0.1263 *# max µi = 0.1045
i
i
2
PrzykÅ‚ad 4. Obliczyć wartoÅ›ci µÅ›r , Ń i Jdev w punktach A i B
2
Przykład A:
1
µ
µÅ›r = J1 =
3
Ń = 3 µÅ›r =
Jdev =
2
Przykład B:
1
µÅ›r =
3
Ń =
Jdev =
2
Przykład 5. W prowadzić wzory geometryczne dla płaskiego stanu odkształcenia w biegunowym
układzie współrzędnych.
y
r = x2 + y2 , ¸ = arctg ,
x
"r x x "r y
= = = cos ¸ , = = sin ¸ ,
"x "y r
x2 + r2 r
"¸ 1 y y y sin ¸ "¸ 1 1 x cos ¸
= (- ) = - = - = - , = = = .
2 2
"x x2 x2y2 r2 r "y x r2 r
y y
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1+ 1+
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x x
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Ze wzorów transformacyjnych
µi j = ai k aj l µkl, gdzie: i = r , j = ¸ , k, l = x , y
µrr = arx2 µxx + ary2 µyy + arx ary Å‚xy =
µxy +µ
yx
2
îÅ‚
µr = µx cos2 ¸ + µy sin ¸ + Å‚ sin ¸cos ¸
xy
ïÅ‚
µ¸ = µx sin2 ¸ + µy cos2 ¸ - Å‚xy sin ¸cos¸ (6)
ïÅ‚
ïÅ‚Å‚r¸ = -2µx sin2 ¸cos¸ + 2µy sin ¸cos¸ + Å‚ xy (cos2 ¸ - sin2 ¸)
ðÅ‚
3
Pochodne przemieszczeń (8):
"u "ur "u¸
"u "ur "u¸
= cos ¸ - sin ¸ , = cos¸ - ur Å" sin ¸ - sin ¸ - u¸ Å" cos¸ ,
"r "r "r "¸ "¸ "¸
(9)
"v "ur "u¸
"v "ur "u¸
= sin ¸ + cos¸ , = sin ¸ + ur cos¸ + cos¸ - u¸ sin ¸ .
"r "r "r "¸ "¸ "¸
Do (7) podstawiamy (9) i (5)
"ur "u¸ "u "u¸ sin ¸
ëÅ‚ ëÅ‚
cos ¸ - ur sin ¸ - sin ¸ - u¸ cos ¸öÅ‚ ëÅ‚- öÅ‚ =
µx = cos¸ - sin ¸öÅ‚cos ¸ - ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"r "r "¸ "¸ r
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
"ur
= cos2 ¸ + (. . . . .) sin ¸ ,
"r
"ur "u¸ "u "u¸ cos¸
ëÅ‚ ëÅ‚
µy = sin ¸ + cos¸öÅ‚sin ¸ + sin ¸ + ur cos¸ + cos¸ - u¸ sin ¸öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"r "r "¸ "¸ r
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ ur " u¸ öÅ‚
2
ìÅ‚
= ìÅ‚ + ÷Å‚
÷Å‚cos ¸ + (......) sin¸ ,
r r "¸
íÅ‚ Å‚Å‚
(11)
"u
ëÅ‚ öÅ‚
"u¸ ÷Å‚ "ur "u¸ cos¸
ëÅ‚
ìÅ‚
Å‚xy = cos ¸ - sin ¸÷Å‚ sin ¸ + cos¸ - ur sin ¸ - sin ¸ - u¸ cos¸öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
"r "r "¸ "¸ r
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
"ur "u¸ "ur "u¸ sin ¸
ëÅ‚
+ ëÅ‚ sin ¸ + cos ¸öÅ‚ cos¸ + sin ¸ + ur cos¸ + cos ¸ - u¸ sin ¸öÅ‚ ëÅ‚- öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"r "r "¸ "¸ r
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
"ur u¸ "u¸
ëÅ‚ öÅ‚
= - + cos2 ¸ + (. . .)sin ¸
ìÅ‚ ÷Å‚
r"¸ r "r
íÅ‚ Å‚Å‚
W zory (10) majÄ… być ważne dla każdego ¸, a wiÄ™c dla ¸ = 0 jest sin¸ = 0, cos¸ = 1 .
StÄ…d wynika:
"u 1 "u¸ ur 1 "ur "u¸ u¸
µx = , µy = + , Å‚xy = + - . (12)
"r r "¸ r r "¸ "r r
W e wzorach (6) dokonujemy przejscia ¸ 0 co daje:
µr = µx , µ¸ = µy , Å‚r¸ = Å‚xy , (13)
a po podstawieniu (11) otrzymujemy ostateczne wzory geometryczne dla płaskiego stanu
odkształcenia we współrzędnych walcowych
"ur
Å„Å‚ µr = ,
"r
1 "u¸ ur
òÅ‚ µ¸ = + , (14)
r "¸ r
1 "ur "ur u¸
ół Å‚r¸ = + - .
r "¸ "r r
4