4.STAN ODKSZTAA
CENIA 1
4 ����Ł�
4.STAN ODKSZTAA
CENIA
4.1 Stan odkształcenia
Rozważmy ciało w przestrzeni
x3
B1
X
3
Bo
u
Śą
x
Śą
0
Po
Śą
x2
b
Śą
X
x1
0
X
2
X
1
Rys. 4.1
Ciało B jest ciałem w konfiguracji początkowej, którego położenie jest określone w nieruchomym
o
układzie Lagrange'a. Rozważamy punkt P o współrzędnych śą X , X , X źą . Współrzędne te są zwane
o
1 2 3
współrzędnymi Lagrange'a lub współrzędnymi materialnymi (określają położenie materii).Pod wpływem
czynników zewnętrznych ciało przemieściło się i doznało odkształcenia. Ciało B jest ciałem odkształconym
1
znajdującym się w konfiguracji aktualnej. Punkt P przemieścił się do położenia P dla określenia którego
o 1
Śą
wprowadzamy nowy układ współrzędnych śą x1 , x2 , x3źą zwany układem Eulera.Wektor Śą Śą zwany
u=x-X
jest wektorem przemieszczenia.W opisie Lagrange'a badamy jak zmienia sie położenie danego punktu.
Funkcja opisująca punkt materialny jest zależna od położenia i czasu i ma postać:
(4.1)
�ąśą X ,t źą
k
Jej pochodna cząstkowa jest równa pochodnej materialnej:
�ą�ą d �ą
=
(4.2)
�ąt d t
W opisie Eulera nie zajmujemy się obserwacją punktu materialnego, tylko opisem punktu w
przestrzeni i badamy który z punktów przyjmuje takie położenie. Funkcja opisująca położenie ma postać :
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
4.STAN ODKSZTAA
CENIA 2
(4.3)
�ąśą xk ,tźą
a jej pochodna:
�ą xk
�ą�ą �ą�ą �ą�ą
= �ą
(4.4)
�ąt �ą t �ą xk �ąt
Relacje miedzy układem Lagrange'a i Eulera opisuje prawo transformacji:
�ą xi
xi= X
j,
(4.5)
�ą X
j,
�ą X
i,
=�ąi j
,
(4.6)
�ą x
j
�ąi j
,
Gdzie jest cosinusem kąta kierunkowego miedzy prostymi określającymi układ Eulera i
Lagrange'a
4.2.Miara deformacji
A,
dL
dL,
B
B
A
B,
Rys.5.2.
Miarą deformacji jest różnica pomiędzy odległością końcową, a odległością początkowa:
(4.7)
dl2-dL2
przy czym:
(4.8)
dL2=d X dX =dX dX �ąij
k k i j
�ą X
k
dX = d xl
k
(4.9)
�ą xl
�ą X �ą X
k
d L2= d xi k d x
j
(4.10)
�ą xi �ą x
j
�ą X �ą X
k k
d L2= d xi d x
j
(4.11)
�ą xi �ą x
j
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
4.STAN ODKSZTAA
CENIA 3
gdzie
�ą X �ą X
k k
= X X =Cij
k ,i k , j
(4.12)
�ą xi �ą x
j
Cij jest to tensor deformacji Cauchego, zwany również lewym tensorem deformacji Cauchego-
Greena
natomiast:
(4.13)
dl2=dxi dxi=dxk dxl �ąkl
�ą xi
dxk= dX
k
(4.14)
�ą X
k
�ą xi
dxl= dX
l
(4.15)
�ą X
l
�ą xi �ą xi
dl2= d X d X =Gkl d X d X
k l k l
(4.16)
�ą X �ą X
k i
Gkl
jest to tensor deformacji Greena zwany również prawym tensorem deformacji Cauchego-
Greena.
Po podstawieniu otrzymujemy:
�ą xi �ą xi �ą xi xi
dl2-dL2= d X d X -dX dX �ą kl= �ą �ąkl dX dX
k l k l k l
(4.17)
śą źą
�ą X �ą X �ą X �ą X
k i k l
(4.18)
dl2-dL2=2 Ekl dX dX
k l
�ą xi �ą xi
1
Ekl= -�ąkl
(4.19)
śą źą
2 �ą X �ą X
k l
Ekl jest to tensor odkształceń skończonych Lagrange'a lub też tensor odkształceń Greena.
(4.20)
dl2-dL2=2 eij dxi dx
j
�ą X �ą X
1
k k
eij= �ąij-
(4.21)
śą źą
2 �ą xi �ą x
j
eij jest to tensor odkształceń skończonych Eulera zwany też tensorem odkształceń skończonych
Almansiego.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
4.STAN ODKSZTAA
CENIA 4
4.3.Wektor przemieszczenia
X , x3
3
xk
X , x2
2
X
k
X , x1
1
Rys.4.3.
Oba przedstawione układy pokrywają się, cosinusy kierunkowe zerują się, a wiec nie wykożystujemy
prawa transformacji.
Wektor przemieszczenia ma następującą postać:
(4.22)
Śą Śą
U śąuiźą=U śąu1 , u2 , u3źą
Określa sie go w następujący sposób:
(4.23)
uk=xk- X
k
(4.24)
xk= X �ąU
k
�ą xk �ą uk �ą X �ą uk
k
= �ą = �ą�ąki
(4.25)
�ą X �ą X �ą X �ą X
i i i i
�ą x �ą uk
j
= �ą�ąkj
(4.26)
�ą X �ą X
i j
�ą xk �ą xk
1
Eij= -�ąij
(4.27)
śą źą
2 �ą X �ą X
i j
�ą uk �ą X �ą uk �ą uk �ą u �ą ui
1 1
k j
Eij= �ą�ąki �ą �ą�ąkj -�ąij = �ą
śą źą śą źą [ ]
2[ �ą X �ą X ] 2 �ą X �ą X �ą X �ą X
i i i j i j
(4.28)
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
4.STAN ODKSZTAA
CENIA 5
bowiem
(4.29)
�ąki �ąkj=�ą
ji
�ą uk �ą u
j
�ąkj=
(4.30)
�ą X �ą X
i i
�ą uk �ą ui
�ąki=
(4.31)
�ą X �ą X
j j
W podobny sposób wyprowadzamy postać tensora Almansiego:
�ą X �ą X
1
k k
eij= �ąij-
(4.32)
śą źą
2 �ą xi �ą x
j
�ą ui �ą ui �ą uk �ą uk
1
eij= �ą �ą
(4.33)
[ ]
2 �ą x �ą xi �ą xi �ą x
j j
przy czym
�ą uk �ą uk
H"0
(4.34)
�ą xi �ą x
j
Jeżeli przemieszczenia są małe to zanika różnica miedzy X i x , a zatem:
i i
�ą uk �ą uk
H"
(4.35)
�ą X �ą xi
i
Otrzymujemy tensor małych odkształceń Cauchego:
�ą ui �ą u
1
j
�ąij= �ą
(4.36)
śą źą
2 �ą x �ą xi
j
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater