Ciało odkształcone ma nieskończenie wiele stopni
swobody. Aby bowiem określić położenie ciała
odkształcalnego, trzeba znać położenie wszystkich jego
punktów, których wzajemne odległości mogą ulec zmianie.
Ciało odkształcalne pozostaje w spoczynku, jeśli każda
dowolna wyodrębniona z niego część jest w równowadze.
Przykład
Przykład
Rozważymy najbliższe małe otoczenie punktu B ciała
odkształcalnego w stanie spoczynku, ograniczone dowolną
powierzchnią zamkniętą (rys.1)
pź
Pź
m
m
ź
B
B
"A
"A
z
y
n
n p-ź
x
Rys.1
Pź
(1)
(1)
pź = lim
"A0
"A
ź
- podaje kierunek i zwrot zewnętrznej osi normalnej;
- wektor naprężenia całkowitego;
pź
- element powierzchni przekroju w otoczeniu punktu
" A
pź
�
= � +�
pź
�
(2)
(2)
2 2
= � +�
pź
Rys.1.b
� - wektor naprężenia normalnego;
;
� - wektor naprężenia stycznego
Zbiór wektorów naprężeń całkowitych działających we
wektorów naprężeń całkowitych pź
pź
wszystkich tych płaszczyznach (albo co na jedno wychodzi,
przyporządkowanych wszystkim kierunkom ) tworzy
ź
stan naprężenia w punkcie B ciała.
stan naprężenia w punkcie B
Zauważmy, że płaszczyzna przechodząca przez punkt B i
ź
prostopadła do kierunku dzieli ciało na części  l i  p
Wektor p jest miarą lokalnego oddziaływania mechanicznego
ź
części  p na  l , a wektor = części  l na  p ciała
p-ź -
pź
w punkcie B rozważanego przekroju.
Aby określić stan naprężenia w punkcie ciała, należy podać
stan naprężenia w punkcie ciała
sposób jednoznacznego przyporządkowania jednoznacznemu
ź
kierunkowi odpowiadającego mu wektora naprężenia
całkowitego
pź (który działa na płaszczyz
nie prostopadłej do ź ).
Zajmiemy się teraz znalezieniem takiego sposobu
przyporządkowania.
Niechaj obszar wewnętrzny w otoczeniu punktu B będzie
elementarnym prostopadłościanem w prostokątnym układzie osi
współrzędnych , xyz o wersorach i j k (rys.2).
Na ścianach widocznych działają wektory naprężenia całkowitego px,
wektory naprężenia całkowitego
na ścianach
py, pz przyporządkowane dodatnim zwrotom osi xyz
niewidocznych
p- x = - px, p- y = - py, p- z = - pz
przyporządkowane ujemnym zwrotom osi xyz.
p- x
pz
z
z dy
dy
dx
dx
py
B
B
dz
dz
p-y
p-y
p-z
p-z
k
px
i
y Rys.2
y Rys.2
j
x
x
Przeprowadzimy w nieskończenie małej odległości h od punktu B
dowolnie zorientowaną płaszczyznę. Powstanie elementarny
czworościan (rys.3) Orientacja płaszczyzny określona jest zewnętrzną
Na płaszczyz
nie działa wektor naprężenia
wektor naprężenia
normalną o wersorze ź.
całkowitego pź przyporządkowany kierunkowi ź
całkowitego
p-x
pź
ź
z
p-y
dAy
dAy
h
dAx
dAx
B
y
dA
dA
dAz
dAz
x
Rys.3
p-z
Czworościan utrzymywany jest w równowadze przez siły
siły
powierzchniowe określone naprężeniami p-x, p-y, p-z i pź.
powierzchniowe określone naprężeniami p-x, p-y, p-z i pź.
Ponieważ wymiary czworościanu są nieskończenie małe, można
przyjąć, iż działa na niego zbieżny przestrzenny układ sił, a więc
warunek równowagi będzie miał następującą postać:
warunek równowagi
(3)
(3)
pźdA+p-xdAx +p-ydAy +p-zdAz = 0
gdzie d A, dAx, dAy, dAz pola powierzchni ścian, dla których
pola powierzchni ścian
normalne zewnętrzne stanowią odpowiednio ź i ujemne zwroty osi
xyz. Związek powyższy można przedstawić w postaci:
pźdA - pxdAx - pydAy - pzdAz = 0
(4)
(4)
(5)
(5)
dAx = dAąxź , dAy = dAąyź , dAz = dAązź
(6)
ąxź = cos (x, ź), ąyź = cos ( y, ź), ązź = cos (z, ź) (6)
Wstawiając (5) do (4) otrzymujemy wzór Cauchy ego:
pź = pxąxź + pyąyź + pzązź
(7)
(7)
Wektor naprężenia
Wektor naprężenia można także przedstawić w postaci:
pź można także przedstawić w postaci:
pź = pźxi + pźy j + pźzk (8)
(8)
px , py i pz :
a wektory naprężeń
a wektory naprężeń
gdzie składowe stanu naprężenia:
gdzie składowe stanu naprężenia:
px = � i +�xy j +�xzk
x
Ą# ń#
�x �x �xz
� , �xyy,�xz
x
py = � i +� j +� k
yx y yz
Ą#
(9)
(9)
(10)
, � , �
T� = �yx �yy �yz Ą# (10)
[ ]ó#
ó#� yx yz
pz = �zxi +�zy j +� k
ó#�zx,�zy ,��z Ą#
z
z
Ł#�zx �zy Ś#
Wstawiając (8) i (9) do wzoru Cauchy ego (7) i
porównując czynniki występujące przy jednakowych
wersorach i, j, k otrzymuje się
pźx = � ąxź +� ąyź +�zxązź
x yx
(11)
(11)
pź y = �xyąxź +� ąyź +�zyązź
y
pźz = �xząxź +� ąyź +� ązź
yz z
lub w postaci macierzowej:
ż#�# Ą# ń# ż#ąxź
�#
pźx � � �zx
x yx
�#�# ó# Ą# �#�#
(12)
= � �zy Ą# �#ąyź Ź# (12)
�#p Ź#
ź y ó#�xy y
�#p �# �#ą �#
ó#Ą#
źz zź
�#�# Ł#�xz � yz � z Ś# �#�#
ż#�# Ą# ń# ż#ąxź
�#
pźx � � �zx
x yx
'
�#�# ó# Ą# �#�#
lub
Ą# ń# (13)
(13)
pź = źo
= � �zy Ą# �#ąyź Ź#
Ł#T� Ś#
�#p Ź#
ź y ó#�xy y
�#p �# �#ą �#
ó#Ą#
źz zź
�#�# Ł#�xz � yz � z Ś# �#�#
ż#ąxź
�#
ż#�#
pźx
�# �#
�#�#
gdzie
gdzie
źo =
pź = �#ą Ź#
yź
�#p Ź#,
ź y
�#ą �#
�#p �#
zź
źz
�#�#
�#�#
� = �xy
yx
Ą#ń#
� � �zx
x yx
�zx = �xz
(14)
(14)
ó#Ą#
T
'
Ą# ń#ó#�xy
= � �zy Ą# = T�
� = �
[ ]
y yz yz
Ł#T� Ś#
ó#� � � Ą#
xz yz z
Ł#Ś#
tensor stanu naprężenia
gdzie:
gdzie:
�x, �y, �z składowe normalne stanu naprężania działające w
składowe normalne stanu naprężania
płaszczyz
nie, do której normalną jest odpowiednio oś x, y, z,
�xy, �yx, �yz, �zy, �zx, �xz - składowe styczne stanu naprężenia
składowe styczne stanu naprężenia
dy
dx
�z
�z
z
z
�zx �zy
�zx �zy
�xy �x
�xy �x dz
�yz
�yz
�y
�y
�xz
�xz
�y
�y
0 B
0 �yx B
�yx
y
y
�zy
�zy
�yz �yx
�yz �yx
x
x
�zx
�zx
�xz
�xz
�z
�z
�xy
�xy
Rys.4
�x
�x
Jeżeli każdemu punktowi ciała przypisany zostanie tensor stanu
Jeżeli każdemu punktowi ciała przypisany zostanie tensor stanu
naprężenia, to określone będzie tensorowe pole stanu naprężenia
naprężenia, to określone będzie tensorowe pole stanu naprężenia
w tym ciele. Pole tensorowe określa sześć składowy stanu
w tym ciele. Pole tensorowe określa sześć składowy stanu
naprężenia, które są funkcjami współrzędnych punktu ciała x, y,
naprężenia, które są funkcjami współrzędnych punktu ciała x, y,
z �x(x,y,z) �y(x,y,z), �z(x,y,z), �xy(x,y,z), �yz(x,y,z), �zx(x,y,z).
z �x(x,y,z) �y(x,y,z), �z(x,y,z), �xy(x,y,z), �yz(x,y,z), �zx(x,y,z).
Stan naprężenia w ciele może być niejednorodny lub jednorodny.
Stan naprężenia w ciele może być niejednorodny lub jednorodny.
W pierwszym ogólnym przypadku tensory stanu naprężenia w
W pierwszym ogólnym przypadku tensory stanu naprężenia w
poszczególnych punktach ciała są różne, a w drugim szczególnym
poszczególnych punktach ciała są różne, a w drugim szczególnym
przypadku są jednakowe.
przypadku są jednakowe.
Aby zdefiniować tensor stanu naprężenia w punkcie ciała,
Aby zdefiniować tensor stanu naprężenia w punkcie ciała,
rozważano równowagę elementarnego prostopadłościanu w
rozważano równowagę elementarnego prostopadłościanu w
przypadku jednorodnego stanu naprężenia. Dlatego składowe
przypadku jednorodnego stanu naprężenia. Dlatego składowe
stanu naprężenia działające na równoległych ścianach były
stanu naprężenia działające na równoległych ścianach były
jednakowe (rys.4).
jednakowe (rys.4).
W przypadku niejednorodnego stanu naprężenia jego składowe są
niejednorodnego stanu naprężenia
funkcjami współrzędnych x, y, z punktu ciała. Rozważając
równowagę elementarnego prostopadłościanu należy zatem
uwzględnić przyrosty tych funkcji, wynikające z przyrostu
współrzędnych.
Ściany bowiem niewidoczne wyznaczają punkt B o współrzędnych
x, y, z, a widoczne punkty C o współrzędnych x + dx, y + dy, z +
dz.
Na elementarny prostopadłościan działają siły
siły
powierzchniowe, reprezentowane na poszczególnych ścianach
powierzchniowe
przez składowe stanu naprężenia oraz siły masowe, których
składowe stanu naprężenia siły masowe
składowe w kierunku osi xyz oznaczamy odpowiednio X, Y, Z w
N/kg. Siły te muszą spełniać sześć warunków równowagi.
"�z
"�z
"z +
" +
z dz
dz
dy
dy �x
�x
"z
"z
"�zy
"�zy
�zy +
�zy +
"z dz
"z dz
dx
dx
�xy
�xy
"�zx dz
�zx +
�zx +"�zx
dz
dz
�xz
�xz
"z dz
"z
"�yz
"�yz
z
z
�yx
�yx
�yz +
�yz + dy
"y dy
"y
C
�y
�y
y
y
"�y
"�y
B
�y +
�y +
dy
x
x
"y dy
"y
"�yx
"�yx
�yz
�yz
�yx +
�yx +
dy
"�xy
"y dy
"y
"�xz �xy + "�xy dx
"�xz
+
dx
�xz +
�xz +
dx
"x
"x dx�xy "x
"x
�zx
�zx
�zy
�zy
z
z
"�x
�x +
dx
�z
�z
"x
0
0
y
y
Rys.5
x
x
Lokalne równania różniczkowe równowagi wewnętrznej ciała
"�xy
"�x + "�zx + � =
+
X 0
" " "
x y z
"�xy "�y "�zy
+ + + � =
Y 0 (15)
" " "
x y z
"�yz
"�xz + "�z + � =
+
Z 0
" " "
x y z
gdzie:
N
X�, Y�, Z� są to siły objętościowe w m3
Obliczamy sumę momentów sił działających na elementarny
sumę momentów sił
prostopadłościan względem osi x przechodzącej przez jego środek
ciężkości ( dzięki czemu można pominąć momenty sił masowych ) i
równoległej do osi x, a następnie przyrównujemy ją do zera.
"�
z
� + dz
zy
"z
� = �
yz zy
� = �
xy yx
"�
yz
� + dy
yz
� =�
zx xz "y
�yz
�yz
z
z
dz
dz
dx
dx
0
0
�zy
y
�zy
y
x
x
X
X
dy
dy
Rys.6
Znajomość pola tensorowego stanu naprężenia stanowi
podstawę oceny wytrzymałości ciała. Dlatego jednym z
głównych zadań wytrzymałości materiałów jest analiza
analiza
stanu naprężenia.
stanu naprężenia.
Inne oznaczenia:
x x1, y x2, z x3
� = �11, � = �22, � = �33
xy z
�xy = �12, � = �23, �zx = �31
yz
Tensor stanu naprężęnia
Ą#ń#
� �xy �xz
�11 �12 �13
Ą#ń#
x
Ą# ń#
T� ==
T� = � �
[ ]ó#Ą#
[ ]ó#Ą# ó#� �22 �23 Ą#
21
ó#� yxy yz Ą#
Ł#�ij Ś#
ó#� �zy � Ą#
ó#Ś#
31
Ł#� �32 �33 Ą#
zx z
Ł#Ś#
(16)
(16)
Równania różniczkowe
lokalnej równowagi wewnętrznej
"�11 "�21 "�31
+ ++ X1� = 0
"x1 "x2 "x3
"�12 "�22 "�32
+ ++ X2� = 0
"x1 "x2 "x3
(17)
(17)
"�13 "�23 "�33
+ ++ X3� = 0
"x1 "x2 "x3
lub
� + Xi� = 0, (i, j =1,2,3)
ji,3j
"�"�
ji
+jiX+i� = (i j = 1 2,3)
X=�0, 0,, i =1,,2,3
"x "xj
i
"
j=1
j
"�
(18)
(18)
ji
� =
ji, j
"xj
Jeśli do unieruchomionego przez więzy ciała odkształcalnego
ciała odkształcalnego
przyłożyć obciążenia zewnętrzne, to dowolny jego punkt B, którego
obciążenia zewnętrzne
położenie wyznacza wektor promień
wektor promień
r = xi + yj + zk
przemieści się i zajmie pozycję B .
przemieści się
Odcinek skierowany BB nazywa się wektorem przemieszczenia
wektorem przemieszczenia
b = ui + vj + wk
punktu B.
Pole wektorowe zostanie określone, jeśli każdemu punktowi ciała
Pole wektorowe określone
przypisany będzie wektor przemieszczenia
wektor przemieszczenia
b
Składowe wektora przemieszczeń są w takim przypadku funkcjami
Składowe wektora przemieszczeń funkcjami
współrzędnych x,y,z punktu B ciała w stanie nie odkształconym
współrzędnych x,y,z
u(x,y,z) v(,x,y,z) w(x,y,z).
Rys.7
v+dv
C 
dr+db db
C b+db
dr
B
w+dw
i wersor x
b
w u+du
j wersor y
dr
C
k wersor z
r
B
u
z
v
y
r = xi + yj + zk
x
dr = dxi + dyj + dzk
b = ui +vj + wk
u = ui ; v =vj ; w = wk
db = dui + dvj + dwk
du = dui ; dv = dvj ; dw = dwk
Rozważmy infinitezymalny (nieskończenie mały) odcinek BC ciała
ciała
odkształcalnego, który po jego odkształceniu stanie się odcinkiem
odkształcalnego
B C  . Zakładamy bowiem, że ze względu na nieskończenie małe
wymiary pozostanie on nadal prosty. Położenie punktu C określa
Położenie punktu
wektor a jego przemieszczenie
wektor przemieszczenie
r +dr =(x+dx)i +(y+dy)j +(z+dz)k
.
= + +
db dui dvj dwk
= + +
Odcinek BC jest jak widać, wektorem dr dx i dyj dzk
d r
Każdemu wektorowi w punkcie B ciała przyporządkować można
db
odpowiedni wektor . Takie przyporządkowanie jest, jak wiadomo,
tensorem drugiego rzędu, który oznaczymy .
ą
Składowe wektorów db i dr związane są ze sobą następującymi
zależnościami:
"u "u "u
du = dx + dy + dz
"x "y "z
"v "v "v
dv = dx + dy + dz
"x "y "z
"w "w "w
dw = dx + dy + dz (19)
"x "y "z
Założyliśmy przy tym, że funkcje u(x, y, z) v(x, y, z) w(x, y, z) są
ciągłe i zróżniczkowane.
ciągłe zróżniczkowane
Wprowadzimy następujące macierze:
Jednokolumnową macierz składowych wektora db
T
[db]= [du dv dw]
(20)
Jednokolumnową macierz składowych wektora dr
T
[dr]= [dx dy dz]
(21)
Kwadratową macierz - reprezentację tensora ą
Ą# ń#
" u " u " u
ó# Ą#
" x " y " z
ó# Ą#
" v " v " v
ó# Ą#
ą =
ó# Ą#
" x " y " z
(22)
ó# Ą#
" w " w " w
ó# Ą#
" x " y " z
ó# Ą#
Ł# Ś#
Zależności (19) po uwzględnieniu (20),(21) i (22) można zapisać
w formie macierzowej następująco:
[db ]= ą [dr ]
(23)
Niesymetryczny tensor ą przedstawić można jako sumę tenora
Niesymetryczny tensor przedstawić można jako sumę tenora
(24)
�
�
antysymetrycznego i symetrycznego
antysymetrycznego i symetrycznego
ą = � + �
Słuszność tej formuły można sprawdzić dodając kolejno
odpowiednie elementy macierzy. W formule (24) występują
następujące macierze:
Kwadratowa macierz reprezentacja tensora antysymetrycznego
tensora antysymetrycznego
Ą# ń#
1 "u "v 1 "u "w
0 ( - ) ( - )Ą#
ó#
2 "y "x 2 "z "x
ó# Ą#
1 "v "u 1 "v "w
ó#
� = ( - ) 0 ( - )Ą#
ó# Ą#
2 "x "y 2 "z "y
ó#1 "w "u 1 "w "v Ą#
ó# ( - ) ( - ) 0 Ą#
ó# Ą#
(25)
Ł#2 "x "z 2 "y "z Ś#
Kwadratowa macierz reprezentacja tensora symetrycznego
tensora symetrycznego
Ą# ń#
"u 1 "u "v 1 "u "w
( + ) ( + )Ą#
ó#
"x 2 "y "x 2 "z "x
ó# Ą#
1 "v "u "v 1 "v "w
ó#
� = ( + ) ( + )Ą#
�
ó# Ą#
2 "x "y "y 2 "z "y
ó#1 "w "u 1 "w "v Ą#
"w
ó# ( + ) ( + ) Ą#
"z
ó# Ą#
(26)
Ł#2 "x "z 2 "y "z Ś#
Wprowadz
my oznaczenia
"u "v "w
Odkształcenia
�x = , � = , �z =
y
względne
"x "y "z
"u "v
ł = ł =+
yx xy
"y "x
Kąty odkształceń
Kąty odkształceń
"u "w
ł = ł =+
postaciowych zx xz
postaciowych
"z "x
"v "w
ł = ł =+
zy yz
"z "y
Tensor stanu odkształcenia
11
Ą# ń#
�x łł
yx zx
ó# Ą#
22
ó# Ą#
ó#1 ł�1 Ą#
� = ł
ó#2 xyy zy Ą#
2
ó#11 Ą#
ó#
łł�z Ą#
xz yx
ó# Ą#
22
Ł# Ś#
Odcinek BC potraktować można jako przekątną elementarnego
dy(1+�y)
prostopadłościanu, który
stanowi otoczenie
punktu B (rys.8)
Ą
- łyz
C  
2
C
Prostopadłościan po
B
Ą
Ą
- łzx
odkształceniu
- łxy
2
2
z
y
r
x dz
C
Prostopadłościan przed
B
odkształceniem
dx
Rys.8
dy
dz(1+
�
z)
x)
�
dx(1+
Prostopadłościan przemieszcza się (BC przechodzi w położenie
Prostopadłościan przemieszcza się
B C  ) jako ciało sztywne oraz odkształca się (przekątna B C 
odkształca się
wydłuża się lub skraca o C  C   ).
C  
Fazy zmian
kąt obrotu
C 
przekątnej BC
oś obrotu
db
C b+db
b
B
b
C
B
Rys.9
Istotne znaczenie ma tu odkształcenie prostopadłościanu,
związane ze zmianą długości jego przekątnej o C  C   .
zmianą długości jego przekątnej
Odkształcenie elementarnego prostopadłościanu polega
Odkształcenie
na zmianie długości jego krawędzi, co określają
zmianie długości jego krawędzi
wydłużenia względne �x, �y, �z, oraz zmianie kątów
wydłużenia względne
prostych pomiędzy ścianami, co określają kąty
kąty
odkształcenia postaciowego łxy, łyz, łzx.
odkształcenia postaciowego
Wprowadz
my nowe oznaczenia:
x x1, y x2, z x3
u u1, v u2, w u3
�#ś#
"u1 1 1 "u1 "u2
�11 = �x = , �12 = ł = +
ś#
xy
"x1 2 2 "x2 "x1 ź#
�# #
�#ś#
"u2 1 1 "u2 "u3
�22 = � = , �23 = ł = +
ś#
yyz
"x2 2 2 "x3 "x2 ź#
�# #
�#ś#
"u3 1 1 "u3 "u1
�33 = �z = , �31 = ł = +
ś#
zx
"x3 2 2 "x1 "x3 ź#
�# #
1�#"ui "uj ś#
lub
lub
�ij = + j =1,2,3)
ś#ź#
2ś#"xj "xi ź#,(i,
�# #
Tensor stanu odkształcenia
�11 �12 �13
Ą# ń#
Ą# ń#ó#�
� == �22 �23 Ą#
Ł#�ij Ś#ó# 21
Ą#
ó# Ą#
�32 �33 Ś#
31
Ł#�
Warunki ciągłości (nierozdzielności)
odkształceń de Saint  Venanta
Notacja inżynierska:
"2�y "2�z "2ł
"2�z "2�x "2ł
"2�x "2�y "2łxy
yz zx
+ =
+ = , + = ,
"x2 "z2 "z"x
"y2 "x2 "x"y "z2 "y2 "y"z
"ł "łxy "łzx "2�
�# ś#
"łxy "łzx "ł "
�# ś# yz y
" "2�x
yz
ś# ź#
+ - = 2
ś# ź#
+ - = 2
ś# ź#
ś# ź#
"y "x "z "y "z"x
"x "z "y "x "y"z
�# #
�# #
�# ś#
" "łzx "ł "łxy ź# "2�z
yz
ś#
+ - = 2
ś# ź#
"z "y "x "z "x"y
�# #
lub
lub
eikm ejln� = 0
i, j, k,l, m, n = 1, 2,3
( )
kl,mn
gdzie
gdzie
0 i = k, k = m, i = m
ż#
"2�kl �#
eikm = 1 jesli i, k, m tworzy permutację cykliczną 1,2,3
�#
�kl,mn =
�#
"xm"xn
�#-1 i, k, m tworzy permutację cykliczną 1,3,2