XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Paweł GAA
EK1
Wiesław LIG
ZA2
STAN ODKSZTAA
CEC
I NAPR
ŻEC
W BETONOWYCH
ELEMENTACH TARCZOWYCH, WZMOCNIONYCH
JEDNOSTRONNIE. WERYFIKACJA DOŚWIADCZALNA
1. Wprowadzenie
Naprawy lub wzmocnienia nośnych elementów prętowych (belki, słupy) lub powierzch-
niowych (ściany, stropy, powłoki), wykonywane przy użyciu betonu monolitycznego, prowa-
dzą do powstania klasycznych konstrukcji zespolonych. Analiza wzajemnych oddziaływań
między zespalanymi warstwami wymaga użycia warstwowego modelu konstrukcji, w którym
należy uwzględnić koincydencję zjawiska skurczu i pełzania. Właściwości reologiczne zespa-
lanych betonów są najczęściej przyjmowane według zależności określonych dla betonów w
warunkach wszechstronnego ich wysychania [1], [2], [3], [4], [5]. Tymczasem w konstrukcji,
powstałej po wykonaniu wzmocnienia w technologii mokrej, betony w warstwach zespolonych
podlegają warunkom ograniczonego wysychania. Beton nowy wysycha na podłożu ze starego
betonu, natomiast beton stary poddany jest dodatkowemu nawilżeniu  wskutek sorbcji wody
technologicznej i wilgoci ze świeżego betonu następuje narastanie odkształceń. Zjawisko to
zostało potwierdzone już dawno przez S. Kajfasza [6].
Badania rozwoju w czasie swobodnego skurczu i narastania odkształceń betonów, w
warunkach rzeczywistego przepływu wilgoci w układach: warstwa dobetonowana  warstwa
wzmacniana  warstwa dobetonowana (wzmocnienie dwustronne) oraz warstwa dobetono-
wana  warstwa wzmacniana (wzmocnienie jednostronne), są przedstawione w pracy [7].
Przedstawiona tamże weryfikacja doświadczalna redystrybucji sił wewnętrznych od skurczu
i obciążenia zewnętrznego długotrwałego, we wzmocnionych dwustronnie (symetrycznie)
betonowych elementach tarczowych, wykazała, że warunki wysychania zespalanych beto-
nów mają wpływ na rozwó j ich właściwości fizyko-mechanicznych.
W tym referacie jest przedstawiona analiza teoretyczna i weryfikacja doświadczalna
redystrybucji naprężeń normalnych od skurczu i narastania odkształceń dwó ch betonów w
przekroju zespolonym, powstałym w procesie jednostronnego wzmacniania elementu tar-
czowego. Analizę teoretyczną przeprowadzono z uwzględnieniem rozwoju odkształceń skur-
czu betonu określonego według EC-2 oraz rozwoju skurczu i narastania odkształceń zbada-
nych w warunkach rzeczywistego przepływu wilgoci, w układzie warstwa dobetonowana 
warstwa wzmacniana.
1
Mgr inż., IMiKB, Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej
2
Dr hab. inż., IMiKB, Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej
192
2. Opis badań doświadczalnych
Podstawowym elementem badawczym były jednorodne tarcze, o wymiarach 600 x 600 x 100
mm (rys. 1a), wykonane z betonu o wytrzymałości fcm = 13,67 MPa. W czasie tc = 26 i 30
dni, po przygotowaniu powierzchni przez groszkowanie, zostały one wzmocnione jedno-
stronnie przez dobetonowanie warstwy o grubości 20 mm (beton fcm = 26,28 MPa)  rys. 1c.
Warstwy były zespolone na zasadzie przyczepności naturalnej (6 szt.  serie C100 i C110)
oraz za pomocą łą cznikó w - bolce stalowe " 4 mm (3 szt.  seria C130). W płaszczyz
nie
zespolenia układano siatkę Rabitza (rys. 1b). Technologia wykonania elementów, przygoto-
wanie do pomiarów odkształceń oraz sposób ich wykonywania są szczegółowo opisane w
pracy [7]. Czas badania elementów wzmocnionych wynosił 850 dni (seria C130) i 1000 dni
(serie C100 i C110).
a) b) c)
Rys. 1. Widok elementów przygotowanych do badania
Dla uzasadnienia założeń, przyjętych w analizie teoretycznej, konieczne jest przywoła-
nie badań odkształceń betonu (skurcz i narastanie) w warunkach rzeczywistego przepływu
wilgoci, w układzie warstwa dobetonowana  warstwa wzmacniana [7]. Badania te przepro-
wadzono na elementach przedstawionych na rys. 2. Skurcz 20 mm warstwy betonu nowego,
wysychającego na podłożu ze starego betonu, zbadano na zdylatowanym podłożu zbudowa-
nym z 36 kostek o boku 100 mm  seria A05 (rys. 2a). Badania skurczu i narastania od-
kształceń betonu starego w warstwie wzmacnianej przeprowadzono na elementach tarczo-
wych o wymiarach 600 x 600 x 100 mm, na których z jednej strony ułożono 20 mm warstwę
świeżego betonu, zdylatowaną w polach 100 x 100 mm  seria A07 (rys. 2b).
a) b)
Rys. 2. Elementy do badania odkształceń w warunkach rzeczywistego przepływu wilgoci:
a) seria A05, b) seria A07)
Na podstawie wyników badania elementów serii A05 wykazano, że rozwó j odkształceń
skurczowych betonu nowego wysychającego na podłożu ze starego betonu można opisywać,
 193
z wystarczającą dokładnością, według zależności podanej w EC-2, przyjmując wskaz
nikowy
wymiar elementu ho = 2 d1 (d1  grubość warstwy nowego betonu).
Nałożenie zdylatowanej warstwy świeżego betonu na powierzchnię tarczy jednorodnej
(seria A07) w wieku t = 552 dni spowodowało niesymetryczne narastanie odkształceń e w
przekroju (rys. 3). Maksymalne narastanie odkształcenia starego betonu, średnio po 6 dniach,
stwierdzono na powierzchni stykającej się z betonem nowym - 0,38 %o a po średnio 23
dniach na powierzchni zewnętrznej - 0,11 %o. Po około 150 dniach następował już równo-
mierny rozwó j odkształceń w całym przekroju, zbliżony praktycznie do odkształceń skur-
czowych betonu w jednorodnym elemencie tarczowym, w warunkach wszechstronnego
wysychania.
ś
ś
Rys. 3. Rozwój swobodnych odkształceń skurczowych starego betonu przed dobetonowaniem
i po nałożeniu zdylatowanej warstwy świeżego betonu po stronie R (seria A07)
Znając z badań odkształcenia narastania e, można rozwó j skurczu od chwili te aproksy-
mować według EC-2, przyjmując skorygowaną wilgotność powietrza RH w zależności:
= -1.55 [1-( RH/100)3]. Współczynnik dobiera się z warunku równości odkształceń dla
RH e e
t ". Narastanie odkształceń w czasie te  tc można opisać zależnością liniową [7].
3. Podstawy analizy teoretycznej
Analizę teoretyczną redystrybucji sił wewnętrznych spowodowanych skurczem betonu prze-
prowadzono z uwzględnieniem płaskiego stanu naprężenia. Rozwiązanie zagadnienia uzyska-
no, rozważając redystrybucję naprężeń normalnych w nie zarysowanym, niesymetrycznie nie-
jednorodnym przekroju betonowym (element o grubości d2 jest wzmocniony przez jednostron-
ne dobetonowanie warstwy o grubości d1), przy następujących założeniach:
- materiał warstw jest izotropowy i jednorodny,
- mechaniczne właściwości materiału są stałe na grubości k-tej warstwy; rozwó j w czasie
wytrzymałości i sprężystości betonów przyjęto według zależności:
dla t < 28 dni: fc(t) = exp {w/c[1-(28/t)0,3]}fcm; Ec(t) = exp {w/c[1-(28/t)0,2]}Ecm,28,
dla t > 28 dni: fc(t) = exp{s[1-(28/t)0.5]}fcm; Ec(t) = Ecm,28 [fc(t)/fcm,28]0,5,
- beton traktuje się jako materiał quasi-sprężysty o stałym współczynniku Poissona,
- między odkształceniami a naprężeniami istnieje liniowa zależność,
- zachowana jest zasada płaskich przekrojów Bernoulliego,
- współpraca poszczególnych warstw jest pełna,
- składowe przemieszczeń warstw po zespoleniu spełniają warunek nierozdzielności od-
kształceń na powierzchni zespolenia,
194
- odkształcenia skurczowe mają charakter izotropowy i dla elementu płaskiego można przy-
jąć, że: cs,x = cs,y = cs,
- odkształcenia skurczu są zależne od stanu naprężenia:
�ł Ć(t, to )łł
1
�
(1)
� (t) = � (t)�ł + �(t) � =
cs cs
Ec (to ) Eci śł
�ł �ł
Jeżeli ciągłą zmianę (przyrost) odkształceń skurczowych cs zapiszemy w postaci funkcji
schodkowej w przedziałach t = const., wówczas wzór na efektywny moduł właściwy do
wieku Ec,adj(t) możemy zapisać w postaci:
(2)
=
+ �
[ ]Ć
gdzie:
- to,n oznacza czas kolejnej n -tej zmiany obciążenia (przyrostu naprężeń od skurczu): to.n = tc
+ (n - 1) t, t = tc + n t - dla n = 1, 2, 3, 4 ....,
- Eci = 1,05Ecm - styczny współczynnik sprężystości betonu po 28 dniach,
- Ec (to,n) - styczny współczynnik sprężystości betonu w chwili ton,
- (t, tc) - współczynnik pełzania wg EC-2,
0,5
to . (3)
- współczynnik starzenia:
�(to ) =
0,5
1+ to
Model teoretyczny odkształceń, spowodowanych skurczem betonów w dwuwarstwo-
wym przekroju, przedstawiono na rysunku 4.
Rys. 4. Model odkształceń spowodowany skurczem betonu: a) odkształcenia swobodne
warstw przed zespoleniem, b) odkształcenie przekroju zespolonego
Z momentem ustalenia więzów między warstwami następuje ich współpraca w przeno-
szeniu sił wewnętrznych (powstają naprężenia od nieswobodnego skurczu). Wskutek różnicy
odkształceń skurczowych następuje deformacja przekroju (rys. 4b). Aby spełnić warunki
nierozdzielności odkształceń w płaszczyz
nie zespolenia, należy przyłożyć zrównoważony
stan sił wewnętrznych ( p xk = p yk = p k, M xz = M yz = M) spełniających równania:
(4)
"p1 + "p2 = 0
(5)
"p1 �" z1 + "p2 �" z2 + "M = 0
 195
2
E2d2 + E1(d1 + 2d2 )�" d1
gdzie : ; ;
z1 = d2 + 0.5 �" d1 - z z2 = 0.5 �" d2 - z
z =
2(E1d1 + E2d2 )
E1 = E c,adj (1) dla warstwy 1, E2 = E c,adj (2) dla warstwy 2.
Odkształcenia warstw od sił p k można zapisać w postaci:
1 -�1 "p1 1 -�1
(6)
"�1("p1)= �" = �1 �" "p1 ; �1 =
E1 d1 E1d1
1 -� "p2 1 -�
2 2
(7)
"� ("p2 )= �" = � �" "p2 ; � =
2 2
E2 d2 2 E2d2
Odkształcenie od momentu M w skrajnym włó knie warstwy 2 (na granicy zespolenia)
wynosi:
1-� z2 + 0.5d2 (z2 + 0.5d2 )�"d2 (8)
2
"� ("M )= �" �" "M = � �" "M
2,1 2
E2 J J
z z
3 3
d1 + d2 2 E1 2 - moment bezwładności przekroju zespolonego.
gdzie:
J = + d2 �" z2 + d1 z1
z
12 E2
Odkształcenie od momentu M1 w skrajnym włó knie warstwy 1 wyrażone poprzez od-
kształcenie 2,1( M) wynosi:
0.5d1
"�1,2("M1) = ("�2,1("M)- �' ) (9)
s
z2 + 0.5d2
'
(d2 - z)�""�
'
' s
gdzie: ;
"� = � - �
� =
s s(2,1) s(2,0)
s
d2
Po podstawieniu równania (8) do równania (9) otrzymujemy:
0.5d1
'
(10)
"�1,2("M1)= (�2 �" d2 �" "M - Jz �" "�s)
d2 �" Jz 2
Warunek nierozdzielności odkształceń w płaszczyz
nie zespolenia można zapisać w postaci:
- �s(2,1) + �2("p2)+ "�2,1("M)= -�s(1) + "�1("p1)- "�1,2("M1) (11)
Po podstawieniu wzorów na odkształcenia do równań (4), (5) i (11) otrzymujemy układ
ró wnań postaci:
'
�ł łł
�ł� �2 - �2d2z1 d1 �" "�s
łł
-
1
�ł
Jz śł �ł "p1 łł �ł"�s 2 �" d2 śł (12)
�ł śł
�ł śł
�ł śł
1 1 0
2
�ł śłx�ł"p śł = �ł 0 śł
�ł śł
�łz1 z2 1 śł
�ł śł 0
�ł"M �ł
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
�ł �ł
2
d1
'
oraz:
"M1 = (�2 �" d2 �" "M - Jz �" "�s) (13)
12 �" d2 �" Jz �" �1 2
Po rozwiązaniu układu równań otrzymano wzory na siły wymuszające w postaci:
'
d1 �" "�s
"�s -
2 �" d2 ; (14)
"�s = �s(1) - �s(2,1)
"M =
�1 + �2 �2 �" d2 �" z1
-
z2 - z1 Jz
2
d1 "M "M
'
;
"M1 = (�2 �" d2 �" "M - Jz �" "�s); "p1 = "p2 =
12 �" d2 �" Jz �" �1 2 z2 - z1 z1 - z2
Normalne naprężenia średnie od skurczu betonó w w k-tej warstwie przekroju zespolo-
nego, z uwzględnieniem płaskiego stanu naprężenia, można wyznaczyć ze wzoru:
196
"pk
(15a)
�x(k) = �y(k) = �(k) =
dk
Naprężenia w skrajnych włó knach warstw betonu starego i nowego wynoszą:
z2 + 0.5 �" d2 z
; (15b)
�x(2,1) = �y(2,1) = �(2,1) = �(2) + �" "M �x(2,0) = �y(2,0) = �(2,0) = �(2) - �" "M
Jz Jz
6 6
; (15c)
�x(1,2) = �y(1,2) = �(1,2) = �(1) - �" "M1 �x(1,0) = �y(1,0) = �(1,0) = �(1) + �" "M1
2 2
d1 d1
Odkształcenia normalne na granicy zespolenia oraz w skrajnych włó knach elementu
zespolonego obliczamy z wzoró w:
�(2,0) �"(1 - �2) �(2,1) �"(1 - �2)
; (16a)
�x(2,0) = �y(2,0) = �s(2,0) - �x(2,1) = �y(2,1) = �s(2,1) -
E2 E2
�(1,2) �"(1- �1) �(1,0) �"(1- �1)
; (16b)
�x(1,2) = �y(1,2) = �s(1) - �x(1,0) = �y(1,0) = �s(1) -
E1 E1
Odkształcenia te spełniają warunek nierozdzielności w płaszczyz
nie zespolenia i zasadę
płaskich przekrojów Bernoulliego.
4. Wyniki analizy teoretycznej i badań doświadczalnych - wnioski
Analizę teoretyczną stanu odkształceń i naprężeń, w przekroju zespolonym wzmocnionych
elementów tarczowych, przeprowadzono przy założeniu: braku (rys. 5a) oraz wystąpieniu
(rys. 5b) narastania odkształceń betonu w warstwie wzmacnianej. W tym referacie ograni-
czono się do porównania wartości odkształceń obliczonych i pomierzonych w elementach
serii C100 (rys. 6 i 7).
a) b)
Rys. 5. Zmienność skurczu betonów przed i po dobetonowaniu warstwy zewnętrznej przy
braku i wystąpieniu narastania odkształceń w warstwie wzmacnianej: a) e = 0, b) e > 0
Odkształcenia pomierzone i obliczone z uwzględnieniem narastania odkształceń
e
w starym betonie wykazują dobrą zgodność (rys. 6a). Współczynnik korelacji liniowej
Pearsona dla , , 2,0 wynosi odpowiednio 0.974, 0.975, 0.990. Wskaz
nik zmienno-
1,0 2,1
ści pomierzonych odkształceń , jest w granicach 10 %, a odkształceń
2,1 2,0
- 10-20 %.
1,0
Naprężenia maksymalne, w przekroju elementó w wzmocnionych w czasie
tc = 26 dni (seria C100), są większe o 32-35 % od naprężeń maksymalnych obliczonych
przy założeniu = 0 i występują w czasie, gdy odkształcenia narastania są maksy-
e e
malne. Dla czasu t " naprężenia są praktycznie takie same przy założeniu
= 0 i > 0 (rys. 6b i 7).
e e
 197
ł
ł
a)


ś




ą



b)
Rys. 6. Redystrybucja odkształceń i naprężeń skurczowych po wzmocnieniu elementu
tarczowego (seria C100, RHśr = 66,2 %): a) odkształcenia pomierzone i obliczonne,
b) porównanie naprężeń normalnych obliczonych dla przypadku, gdy (2,0) = 0,046 %o
e
i e(2,1) = 0,163 %o oraz e(2,0) = e(2,1) = 0
óż ęż ń

� ("� > 0)-� ("� = 0)100%
k k
� ("� = 0)
k
Rys. 7. Różnice naprężeń maksymalnych obliczonych dla różnych czasów zespolenia tc
przy założeniu (2,0) = 0,046 %o i e (2,1) = 0,163 %o oraz e (2,0) = e(2,1) = 0
e
198
Obliczenia dla elementów zespolonych w czasie tc > 180 dni wskazują, że wpływ nara-
stania odkształceń w starym betonie nie ma już tak istotnego wpływu na wartości naprężeń 
dla tych przypadkó w różnice wartości maksymalnych naprężeń wynoszą od około 5-15 %
(rys. 7). Dla czasu t " różnice obliczonych wartości naprężeń wynoszą około 7 % i dla
kolejnych czasów zespolenia tc maleją praktycznie do wartości naprężeń obliczanych przy
= 0 (rys. 7).
e
Przedstawione badania wskazują, że w przypadku stosowania mokrej technologii przy
wzmacnianiu elementów betonowych, obliczanie redystrybucji naprężeń w przekroju przy
założeniu rozwoju skurczu swobodnego zespalanych betonów określonego w warunkach
wszechstronnego wysychania, prowadzi do niedoszacowania maksymalnych naprężeń. Jest
to istotne zwłaszcza dla naprężeń rozciągających w warstwie dobetonowanej.
Literatura
[1] BILIC
SKI T., Studium przybliżonego wyznaczania stanu naprężenia w przekrojach
zespolonych żelbetowo-sprężonych w procesie zachodzących zjawisk reologicznych.
Rozprawy, 69. Poznań, Wyd. Politechniki Poznańskiej, 1975.
[2] BILISZCZUK J., Reologiczna redystrybucja stanu naprężenia w niejednorodnych, izo-
statycznych konstrukcjach betonowych. Studia z zakresu inżynierii, 21. Warszawa-A
ódz
,
PWN, 1982
[3] FLAGA K., Projektowanie zbrojenia przeciwskurczowego przy powierzchniowych
naprawach elementów betonowych w mostownictwie. Inżynieria i Budownictwo. 1990,
Nr 1, s. 3-7.
[4] FURTAK K., Naprężenia skurczowe w betonie warstwy uzupełniającej. Inżynieria i
Budownictwo. 1992, Nr 4, s. 110-113.
[5] KUBIK J., Mechanika konstrukcji warstwowych. Opole, Wyd. TiT, 1993.
[6] KAJFASZ S., Warunki współpracy dwó ch betonów w ustroju zespolonym. Archiwum
Inżynierii Lądowej. 1961, T. 7, Nr 3, s. 327-340.
[7] LIG
ZA W., Redystrybucja sił wewnętrznych we wzmacnianych betonowych elemen-
tach tarczowych. Monografia 277. Seria Inżynieria Lądowa. Kraków, Wyd. Politechniki
Krakowskiej, 2000.
STRESS AND STRAIN STATE IN PLATE CONCRETE ELEMENTS
STRENGTHENED FROM ONE SIDE  EXPERIMENTAL
VERIFICATION
Summary
The paper presents the results of experimental verification and theoretical analysis for stress
and strain state in plate element with dimensions 600 x 600 x 100 mm, strengthened after
time tc = 26 days by placing the concrete layer having 20 mm thickness from one side of
element. Theoretical analysis has been carried out by assuming the development of shrinkage
for connected concretes determined on tests results for conditions of uniform drying as well
as on shrinkage and strain increase in real conditions of moisture flow for system: strength-
ened layer- strengthening layer. Tests results indicate that for the case of application of wet
technology the calculation of stresses in integrated cross-section, by assuming the free
shrinkage development of integrated concretes determined in conditions of uniform drying,
results in underestimation of maximum stress values. It is very important, especially for
tensile stresses in the strengthening layer.