7. Płaski stan naprężenia (PSN) i odkształcenia (PSO)
Płaskie stany występują jeśli dla jednej zmiennej (np. zmiana z ) nie występują składowe
odpowiedniego tensora:
PSN: �z = �xz = �yz a" 0 ,
` (7.1)
PSO: �z = łxz = łyz a" 0 .
7.1. Płaski stan naprężenia (PSN)
Zestawienie niewiadomych i równań
Podstawowe niewiadome :
Przemieszczenia (u, v)
odkształcenia: (�x , �y , łyz) (7.2)
naprężenia: (�x , �y , �xy )
dla � `" 0 w ogólności �z `" 0
A
ącznie dysponujemy 8-ma równaniami:
I. Równania równowagi
"�xy "�y
"�x "�xy
+ + X = 0 , + + Y = 0 . (7.3)
"x " "x "y
y
II. Równania geometryczne
"u "u "v "u
�x = , �y = , łxy = + . (7.4)
"x "y "x "y
III. Równania fizyczne
1 1 2(1+ �)
�x = (�x - ��y ) , �y = (�y - ��x ) , łxy = �xy . (7.5)
E E E
Z równań (3-5) możemy obliczyć 8 niewiadomych (2). Po obliczeniu tych wielkości możemy
też obliczyć wielkości zależne. Taką wielkością jest odkształcenie �z , gdyż ze związku fizycznego
(III1)3 wynika:
�
�z = - (�x + �y ) . (7.6)
E
Przyjmując w związkach (III1)1,2 naprężenia �z = 0 można te dwa liniowe równania
algebraiczne rozwiązać ze względu na �x i �y :
1
E E
�x = (�x + � �y ) , �y = (�y + � �x ) , (7.7)
1- �2 1- �2
i po podstawieniu do (6) otrzymujemy:
�
�z = - (�x + �y ) . (7.8)
1- �
W ten sposób udowodniliśmy ważne twierdzenie:
Płaskiemu stanowi naprężenia towarzyszy przestrzenny stan naprężenia przez pojawienie się
odkształcenia �z , które jest funkcją sumy naprężeń �x + �y lub sumy odkształceń �x + �y.
Równania w przemieszczeniach
Korzystając z równań geometrycznych (4) i równań fizycznych (6) oraz obliczając z (5)3 �xy =
E/(2 (1+�))łxy możemy wyeliminować odkształcenia i naprężenia i równania równowagi (3) z
niewiadomymi przemieszczeniami u, v. W ten sposób otrzymujemy równowagi w przemieszcze-
niach (równania Lam�go) dla PN jako szczególny przypadek równań (6.4):
�ł �ł
"2 1- � "2 1+ � "2v 1- �2
�ł �ł
+ u + = - X ,
�ł 2
"x 2 "y2 �ł 2 "x "y E
�ł łł
(7.9)
�ł �ł
1+ � "2u "2 1- � "2 1- �2
�ł �ł - Y .
+ + v =
�ł
2 "x "y "y2 2 "x2 �ł E
�ł łł
Do tych równań dołączamy warunki brzegowe - po jednym na każdym z brzegów.
a) Przemieszczeniowe warunki brzegowe:
u (s) = f1 (x1, x2) , v (s) = f2 (x1, x2) , (7.10)
b) lub/i też naprężeniowe warunki brzegowe;
pnx = �x nx + �xy ny , pny = �xy nx + �y ny , (7.11)
w których naprężenia wyrażamy przez odkształcenia, a te z kolei przez przemieszczenia (7),
zgodnie z równaniami geometrycznymi (4). W ten sposób dochodzimy do naprężeniowych
wwarunkow brzegowych, wyrażonych przez gradienty przemieszczeń:
�ł łł
�ł �ł �ł
E "u "v 1- � "v "u �ł
pnx = ,
�ł�ł + � �ł n + 2 �ł "x + "y �ł n śł
x y
�ł �ł �ł
1- �2 �ł�ł "x "y
�ł łł �ł łł
�ł
(7.12)
�ł1- �ł
łł
E � "v "u �ł �ł "v "u �ł
�ł �ł �ł
pny = �ł + n + + � n .
�ł x y śł
�ł �ł �ł �ł
1- �2 �ł 2 "x "y "y "x
�ł łł �ł łł
�ł
W warunkach (11), (12) występują dostawy kierunkowe brzegu, opisywanego za pomocą zmiennej
niezależnej s , por. Rys. 1:
2
dy dx
nx = cos (n,x) = = cos � , ny = cos (n,y) = - =sin � . (7.13)
ds ds
Zamiast składowymi obciążenia brzegowego pnx i pny możemy posługiwać się też składowymi
pnn i pns , równoległymi do kierunków n i s , por. Rys.7.1 b:
pnn = pnx nx + pny ny = �x nx2 + �y ny2 + 2�xy nx ny = �x cos2� + �y sin2� + 2�xy sin 2� ,
(7.14)
1
pns = pny nx - pnx ny = (�y - �x) nx ny + �xy (nx2 - ny2) = (�y - �x) sin 2� + �xy cos 2� .
2
Rys. 7.1: a) Brzeg obszaru o normalnej n i zmiennej krzywoliniowej s,
b) Intensywności obciążeń brzegowych pnx i pny .
Równania w naprężeniach
Celem obliczenia naprężeń �x , �y i �xy korzystamy z dwóch równań równowagi (3). Trzecim
równaniem jest równanie nierozdzielności, które przekształcamy w następujący sposób.
Do równania (II2)1 podstawiamy zamiast �x , �y i łxy równania fizyczne (5) i stąd otrzymu-
jemy:
"2�xy
"2 "2
[�x - � �y ] + [�y - � �x ] = 2(1+ �) . (7.15)
"y2 "x2 "x "y
Równanie (15) przekształcamy korzystając z równań równowagi (3). W tym celu
różniczkujemy pierwsze równanie (3)1 względem x , a równanie (3)2 względem y i dodajemy je.
Stąd otrzymu-jemy:
"2�xy "2�x "2�y �ł "X "Y �ł
2 = - - -�ł + �ł . (7.16)
2 2 �ł �ł
"x "y "x "x "x "y
�ł łł
Podstawienie zależności (16) do (15) daje równanie nierozdzielności w postaci:
�ł �ł �ł "X "Y �ł
"2 "2
�ł �ł �ł �ł (7.17)
+ (�x + �y)= - (1+ � )�ł + .
�ł 2 �ł
"x "y2 �ł "x "y
�ł łł �ł łł
Tak wiec dla PSN równania TS w naprężeniach mają następującą postać:
3
"�x "�xy
+ + X = 0 ,
"x "
y
"�xy "�y
+ + Y = 0 , (7.18)
"x "y
�ł "X "Y �ł
" 2 (�x + �y)= - (1+ � )�ł + �ł ,
�ł �ł
"x "y
�ł łł
2
gdzie dla zwięzłości opisu ;posłużono się operatorem harmonicznym " ( nabla dwa ) lub
 laplasjanem ":
"2 "2
" 2 a" " = + . (7.19)
"x2 "y2
Do równań (19) dołączmy naprężeniowe warunki bbrzegowe (11) lub (14).
7.2. Płaski stan odkształcenia (PSO)
W przypadku PSO z równania fizycznego (III1)3 otrzymujemy:
1
�z a" [�z - � (�x + �y )]= 0 ,
E
skąd wynika:
�z = � (�x + �y ) . (7.20)
Równania równowagi i równania geometryczne pozostają bez zmian, tj. takie jak dla PSN,
natomiast zmianie ulegają równania fizyczne, które przyjmują postać:
1- �2 �ł �ł 1- �2 �ł �ł
� �
�x = �ł - �y �ł , �y = �ł - �x �ł . (7.21a)
�ł�x 1- � �ł �ł�y 1- � �ł
E E
�ł łł �ł łł
Bez zmiany pozostaje rownanie dla odksztalcenia postaciowego, tj:
1
łxy = �xy . (7.21b)
G
Równania (21) można odwrócić do postaci:
E E
�x = [(1- �)�x + � �y ] , �y = [(1- �)�y + � �x ] ,
(1+ �)(1 - 2�) (1+ �)(1 - 2�)
E
�xy = łxy . (7.22)
2(1+ � )
4
Podstawienie równań (22) do równania równowagi (3) daje równania PSO w przemiesz-
czeniach:
�ł �ł
"2 1- 2� "2 1 "2v (1+ �)(1- 2�)
�ł
2 �ł
�ł(1- �) "x + 2 "y2 �ł u + 2 "x "y = - E X ,
�ł łł
(7.23)
�ł �ł
1 "2u "2 1- 2� "2 (1+ �)(1- 2�)
�ł
+ �) + - Y .
�ł(1- "y2 2 "x2 �ł v =
�ł
2 "x "y E
�ł łł
Przemieszczeniowe warunki brzegowe (10) nie ulegają zmianie, natomiast naprężeniowe
warunki brzegowe przyjmują postać:
�ł łł
�ł �ł
(1+ �)(1- 2�) �ł "u "v 1- 2� "v "u �ł
�ł
pnx = �) + � n + �ł + n ,
�ł�ł(1- "x "y �ł x y śł
�ł �ł �ł �ł
E 2 "x "y
�ł łł �ł łł
�ł �ł
(7.24)
�ł1- 2� "v "u łł
(1+ �)(1- 2�) �ł �ł �ł "v "u �ł
�ł �ł �ł
pny = �ł + n + (1- �)�ł + � n .
�ł x y śł
�ł �ł �ł
E 2 "x "y "y "x
�ł łł �ł łł
�ł �ł
Równania PSO w naprężeniach różnią się od równań PSO tylko równaniem
nierozdzielności, które przyjmuje postać:
1 �ł "X "Y �ł
" 2 (�x + �y)= - �ł + �ł . (7.25)
�ł �ł
1-� "x "y
�ł łł
Naprężeniowe warunki brzegower (11) lub (14), podane dla stanu PN, obowiązują również dla
PSO.
Uwaga ogólna o płaskich stanach PSN i PSO
W przypadku braku sił masowych, tj. dla X = Y a"0 , równania w naprężeniach nie zależą od
stałych materiału liniowo sprężystego. Z tego powodu dla stanów płaskich można stosować różne
analogie i badania modelowe jeśli tylko stosuje się naprężeniowe warunki brzegowe.
7.3. Funkcja naprężeń dla PSN
Trzy równania (18) dla PSN wraz z naprężeniowymi warubnkami brzegowymi (11) lub (14)
umożliwiają otrzymanie jednoznacznych rozwiązań dla pól naprężeń �x (x,y), �y (x,y) i �xy (x,y)
od pól obciążeń masowych X (x,y) i Y (x,y) oraz od obciążeń brzegowych pnx (s) i pny (s) .
Zamiast 3 pól naprężeń można też posługiwać się funkcją naprężeń (funkcją Airy ego) F (x,y),
która spełnia warunki równowagi (18)1-2 dzięki zależnościom:
s s
"2F "2F "2F
�x = - X dx , �y = - Y dy , �xy = - . (7.26)
+" +"
"x "y
"y2 0 "x2 0
5
Podstawienie funkcji (26) do równania nierozdzielności (18)3 daje:
s s
�ł "X "Y �ł
�ł
" 2 " 2 F = - (1 + �) �ł + �ł + " 2 �ł +" X dx + Y dy , (7.27)
�ł +" �ł
�ł �ł
"x "y
�ł0 0 łł
�ł łł
gdzie posłużono się operatorem harmonicznym " 2 , okreslonym wzorem (19) oraz operatorem
biharmonicznym " 2" 2 :
�ł �ł
"2 "2 "4 "4 "4
�ł �ł
" 2" 2 = " 2 (" 2) = " 2 �ł 2 + = + 2 + . (7.28)
"x "y2 �ł "x4 "x2"y2 "y4
�ł łł
Równanie (27) znacznie upraszcza się jeśli siły masowe są stałe , t.zn. X = cx , Y = cy są
niezależne od zmiennych x, y. W takim przypadku mamy:
"2F "2F "2F
�x = - cx x , �y = - cy y , �xy = - (7.26a)
"y2 "x2 "x "y
i równanie nierozdzielności przyjmuje postać:
" 2 " 2 F = 0 . (7.27a)
Równanie biharmoniczne (27a) jest oczywiście ważne również przy braku sił masowych lub sił
ciężkości, np. dla cx = 0 , cy = - g .
Do równania (27) lub (27a) dołączmy naprężeniowe warunki brzegowe. W przypadku braku sił
masowych warunki brzegowe (11) przyjmują postać:
"2F "2F "2F "2F
pnx = nx - ny , pny = - nx + ny . (7.29)
"y2 "x "y "x "y "x2
Jeśli zgodnie z (13) przyjmiemy nx = dy / ds. i ny = - dx / ds. to otrzymamy zależności:
�ł
d " F �ł d " F
�ł �ł
pnx = �ł �ł , pny = - �ł �ł
. (7.29a)
�ł �ł
ds "y ds "x
�ł łł
�ł łł
)"
Całkowanie po łuku (por. Rys. 1a) daje zależność:
K0 K1
s1 s1
�ł " F �ł " F
�ł �ł = pnxds = R , �ł �ł = - pnyds = - Ry , (7.30a)
�ł �ł
+" +"
x
�ł �ł
"y "x
0
�ł łłK1
�ł łłK1 0
gdzie Rx i Ry sa współrzędnymi wypadkowej (głównego wektora) obciążeń brzegowych
)"
przyłożonych do łuku równoległych odpowiednio do osi x lub y . Tak samo możemy
K0 K1 ,
obliczyć wartość funkcji naprężeń w punkcie K1 , por. [ ], str. :
s1 s1 s1 s1
�ł- dx dy
(F) = pny ds + pnx dsłł ds = - [(x1 - x)pny -(y1 - y)pnx]ds = MK1 , (7.30b)
+" +" +" +"
K1
�ł śł
ds ds
0 0 0 0
�ł �ł
gdzie MK1 jest momentem liczonym względem punktu K1 od obciążeń brzegowych przyłożo-
)"
nych do łuku , por. Rys. 1a .
K0 K1
6
7.3. Płaski stan naprężeń we współrzędnych biegunowych
Zestawienie równań
W przypadku układu współrzędnych biegunowych (r, � ) równania równowagi otrzymujemy
jako szczególny przypadek równań równowagi stanu przestrzennego w układzie współrzędnych
walcowych przyjmując zerowe wartości naprężeń z indeksami z oraz zerując siłę masową Z
�z = �rz = ��z = 0 , Z = 0 , (7.32)
e
co daje z równań (3.60) następujące grupy równań:
I Równania równowagi:
"�r "��r �r - ��
1
+ + + R = 0 ,
"r r "� r
(7.33)
"�r "�� 2�r�
1
+ + + � = 0 ,
"r r "� r
gdzie naprężenia �r , �� , �r� = ��r występują na brzegach elementarnego krzywoliniowego
prostopadłościanu, Rys. 2a.
Rys. 7.3: a) Naprężenia i siły masowe na brzegach krzywoliniowego prostopadłościanu,
b) Biegunowy układ współrzędnych
W rozdz. 4 wyprowadzono równania geometryczne (4.?) w układzie współrzędnych walcowych. Z
tych równań przepisujemy tylko zależności dla �r , �� i łr� :
II. Równania geometryczne
"u
�r = , �� = 1 "u + u , łr� = 1 "u + "v - v . (7.33)
"r
r "� r r "� "r r
Trzecia grupa równań, tj. równania fizyczne nie ulegają zmianie przy zastąpieniu indeksów układu
kartezjańskiego indeksami układu walcowego (biegunowego), tj. x r , y �, z z Dzięki temu
zależność (7.8) przyjmuje postać:
�
�z = - (�z + �� ) . (7.33a)
1- �
7
Operatory we współrzędnych biegunowych
Korzystając z zależności między zmiennymi układów współrzędnych, por. Rys. 2b, otrzymujemy:
y
r = x2 + y2 , � = arctg ,
x
"� 1 y y sin �
�ł- y
�ł
= = = - = - ,
�ł �ł -
2 2
"x x2 x + y2 r r
�ł łł
�ł �ł
x
1+ �ł �ł
�ł �ł
y
�ł łł
"� 1 1 x cos�
= = = , (7.34)
2
"x x r2 r
�ł �ł
x
1+ �ł �ł
�ł �ł
y
�ł łł
"f "f "r "f "� "f "f sin �
�ł- �ł
= + = cos� + ,
�ł �ł
"x "r "x "� "x "r "� r
�ł łł
"f "f "r "f "� "r "f cos�
= + = sin � + ,
"y "r "y "� "y "r "� r
"f "f "r "f "� "f "f sin �
�ł- �ł
= + = cos� + ,
�ł �ł
"x "r "x "� "x "r "� r
�ł łł
"2f " "f " "f "r "f "�
�ł �ł �ł �ł
= = + .
�ł �ł �ł �ł
"x2 "x "x "x "r "x "� "x
�ł łł �ł łł
W yżej podane zależności mają być ważne dla każdej wartości kata ... , a więc dla .... będzie sin ,
cos skąd otrzymujemy zależności dla operatorów
" " " 1 "
= , = ,
"x "r "y r "�
"2 "2 "2 1 " 1 "2 "2 " 1 "
�ł �ł
= , = + , = , (7.35)
�ł �ł
"x2 "r2 "y2 r "r r2 "�2 "x"y "r r "�
�ł łł
"2 "2 "2 1 " 1 "2
"2 = + = + + .
"x2 "y2 "r2 r "r r2 "�2
Funkcja naprężeń we współrzędnych biegunowych
Korzystając ze związków (35) możemy wyrazić naprężenia przez funkcję naprężeń (pomijamy siły
masowe):
1 "F 1 "2F "2F " 1 "F
�ł �ł
"r = + , "� = , �r� = - �ł �ł
, (7.36)
r "r r2 "�2 "r2 "r r "�
�ł łł
8
�ł �ł�ł �ł
"2 1 " 1 "2 "2F 1 "F 1 "2F
�ł �ł�ł �ł
+ + + + = 0 . q (7.37)
�ł
"r2 r "r r2 "�2 �ł�ł "r2 r "r r2 "�2 �ł
�ł łł�ł łł
7.4. Stan kołowo symetryczny
Szczególnym przypadkiem PN we współrzędnych biegunowych jest stan kołowo symetrycz-ny
(KS). Taki stan charakteryzuje się niezależnością zmiennych zależnych od kąta �. Może on
wystąpić np. w tarczy pierścieniowej poddanej obciążeniu radialnemu pr (ciśnienie wewnętrzne),
por. Rys.4. Tarcza może jedynie przemieszczać się w kierunku radialnym, tzn. że przemieszczenie
v( r ) a" 0 (dla uproszczenia przemieszczenia w kierunku r i � oznaczono przez n i v).
Rys.7.4: Stan kołowo symetryczny tarczy obciążonej ciśnieniem wewnętrznym pr
W stanie KS występują tylko przemieszczenia n, odkształcenia �r , �� oraz naprężenia �r , ��. Są to
funkcje (pola) tylko jednej zmiennej r, stad równania różniczkowe stają się równaniami
zwyczajnymi (nie o pochodnych cząstkowych).
I. Równanie równowagi
d�r �r - ��
+ + R = 0 ; (7.38)
dr r
II. Równania geometryczne
du n
�r = , �� = ; (7.39)
dr r
III. Równania fizyczne
E E
�r = (�r + ��� ) , �� = (�� + ��r ) . (7.40)
1- �2 1- �2
Równania przemieszczeniowe
Podstawienie odkształceń (39) do równań fizycznych (40) a tych do (38) daje przemieszczeniowe
równanie równowagi
d2u 1 du u
+ - + R = 0 . (7.41)
dr2 r dr r2
9
Na każdym brzegu r = c będziemy przyjmowali jeden warunek brzegowy:
a) w.b. przemieszczeniowy
n (c) = uc
b) w.b. naprężeniowy
E du u
�ł �łr
�r (c) = + � = c (7.43a)
�ł �ł
1- �2 dr r
�ł łł
Równania dla funkcji naprężeń
Dalej pomijamy sił e masową R co daje równanie biharmoniczne
�ł �ł�ł �ł
d2 1 d d2F 1 dF
�ł �ł�ł �ł
+ + =
�ł �ł�ł �ł
dr2 � dr dr2 � dr
�ł łł�ł łł
�ł �ł
d4F 2 d3F 1 d2F 1 dF
�ł �ł
= + - + = 0 . (7.44)
�ł �ł
dr2 r dr3 r2 dr2 r dr
�ł łł
Całką równania (44) jest funkcja:
F= A lur + Br2 lur +Cr2 + D , (7.45)
z której wynikają wzory na naprężenia:
1 dF A
�r = = + B (1+ 2 lur) + 2C ,
r dr r2
(7.46)
d2F A
�� = = - + B (3 + 2 lur) + 2C .
dr2 r2
Stałe całkowania obliczamy z naprężeniowych warunków brzegowych, przy czym nadmiar stałych
wymaga dodatkowych rozwiązań.
10