Metoda elementów
Metoda elementów
skończonych
skończonych
Zagadnienia jednowymiarowe 1-D:
Zagadnienia jednowymiarowe 1-D:

sprężyna
sprężyna

pręt prosty
pręt prosty

belka
belka
1
2
2
Zadanie 1-D, sprężyna
Zadanie 1-D, sprężyna
Konwencja znakowania:
Konwencja znakowania:
k
+
j
i
R, u
ui uj
3
3
Węzeł i
Węzeł i
a) ui > 0 i uj = 0
i j
Fi
Fi
Fj
Fj
ui
ui
Siła w sprężynie: Ri = k uii
Ri = k uii
Siła w sprężynie: Ri = k u
Ri = k u
Równowaga:: Rj j = - Rii Rj = - k uii
Równowaga:: Rj j = - Rii Rj = - k uii
Równowaga R= - R Rj = - k u
Równowaga R= - R Rj = - k u
4
4
Węzeł j
Węzeł j
b) ui = 0 i uj > 0
j
i
Fj
Fj
Fi
Fi
uj
uj
Siła w sprężynie : Rj = k ujj
Siła w sprężynie : Rj = k u
:
:
Równowaga : Ri i = - Rjj Ri = - k ujj
Równowaga : Ri i = - Rjj Ri = - k ujj
Równowaga : R= - R Ri = - k u
Równowaga : R= - R Ri = - k u
5
5
Macierz sztywności elementu
Macierz sztywności elementu
k
j
i
ui uj
Ri k ui
Ri k -k ui
-k
Rj -k uj
Rj -k k uj
k
6
6
Pręt prosty
Pręt prosty
L  długość, A  pole przekroju, E  moduł Younga
L  długość, A  pole przekroju, E  moduł Younga
u = u(x) - przemieszczenie, � = �(x) - odkształcenie
u = u(x) - przemieszczenie, = (x) - odkształcenie
� �
� = �(x)  naprężenie
= (x)  naprężenie
� �
x u
x u
Xj, uj
Xj, uj
Xi, ui
Xi, ui
j
i j
i
L
L
u(0) = ui, u(L) = uj
u(0) = ui, u(L) = uj
Warunki brzegowe
Warunki brzegowe
7
7
Związki fizyczne
Związki fizyczne
Związek odkształcenie-przemieszczenie
Związek odkształcenie-przemieszczenie
Związek naprężenie-odkształcenie
Związek naprężenie-odkształcenie
8
8
Macierz sztywności - sposób
Macierz sztywności - sposób
bezpośredni
bezpośredni
u -ui
"
j
� = =
L L
E"
F
� =E�=
� =
L
A
EA
F =�A= "=k"
L
9
9
Macierz sztywności - sposób
Macierz sztywności - sposób
bezpośredni
bezpośredni
10
10
Macierz sztywności elementu
Macierz sztywności elementu
EA u1
1 -1
[ ]
ke =
[ ]
L
-1 1
u2
11
11
Pręt prosty  funkcje kształtu
Pręt prosty  funkcje kształtu
Liniowa zmiana przemieszczeń
Liniowa zmiana przemieszczeń
co=u1
uśą0 źą=co=u1
uśą xźą=co�ąc1 x
c1=
uśą Lźą=co�ąc1 L=u2
śąu -u1źą/ L
2
u śą x źą= 1 -x u1�ąx u2
śą źą
L L
u1
x x
[ ]{ }
uśą xźą= Ne qe
u śą x źą= 1 -
{ }
L { }
L
u2
Funkcje
Funkcje
kształtu
kształtu
12
12
Macierz sztywności elementu
Macierz sztywności elementu
Funkcje kształtu
Funkcje kształtu
13
13
Przemieszczenie
Przemieszczenie
Związek fizyczny
Związek fizyczny
Macierz odkształceń
Macierz odkształceń
14
14
Naprężenie w pręcie
Naprężenie w pręcie
Energia
Energia
sprężysta
sprężysta
odkształcenia
odkształcenia
pręta
pręta
Praca sił
Praca sił
zewnętrznych
zewnętrznych
(węzłowych)
(węzłowych)
15
15
Praca obciążeń
Praca obciążeń
równa się
równa się
energii sprężystej
energii sprężystej
zmagazynowanej
zmagazynowanej
wewnątrz ciała
wewnątrz ciała
16
16
Macierz sztywności elementu
Macierz sztywności elementu
e
[ ]
K = Be Ee Be dVe
-"[ ]T [ ] [ ]
V
e
e
[ ]
d N
1 1
[ ] [ ]
Be = = - , Ee = E
{ }
dx L L
1
L
-
1 1 AE
L 1 -1
e
[ ]
K = E - Adx =
+"
{ }
[ ]
1 L L L -1 1
0
{ }
L
Macierz sztywności
elementu
17
17
Element prętowy z funkcjami
Element prętowy z funkcjami
kształtu 2 stopnia
kształtu 2 stopnia
x u
x u
Xk, uk
Xk, uk
Xi, ui
Xi, ui
j k
j k
i
i
Xj, uj
Xj, uj
L
L
j
j
ui X
i k
i k
i
{ } { }
qe = Qe =
u X
j j
{ } { }
uk X
k
18
18
Kwadratowe funkcje kształtu
Kwadratowe funkcje kształtu
u śą 0 źą=co=u1
2
uśą xźą=co�ąc1 x�ąc2 x2
uśą L/2 źą=co�ąc1 L �ąc2 L =u2
śą źą
2 2
uśą L źą=co�ąc1 L�ąc2 L2=u3
Kwadratowa zmiana przemieszczeń
Kwadratowa zmiana przemieszczeń
co=u1
c1=
śą-3 u1�ą4 u2-u3źą/ L
c2= u1-4 u2�ą2 u3 L2
śą2 źą/
19
19
Kwadratowe funkcje kształtu
Kwadratowe funkcje kształtu
u1
3x 2x2 4x 4x2 x 2x2
u śą xźą= 1 - �ą - - �ą
u2
{ }
L L L
L2 L2 L2
{ }
u3
e
[ ]{ }
uśą xźą= N qe
Funkcje
Funkcje
kształtu
kształtu
20
20
Macierz sztywności
Macierz sztywności
e
[ ]
K = Be Ee Be dV
-"[ ]T [ ] [ ]
e
V
e
e
[ ]
d N
3 4x 4 1 4x
[ ] [ ]
Be = = - �ą -8x - �ą , Ee =E
{ }
dx L L L
L2 L2 L2
3 4x
- �ą
L
L2
L
4 8x
3 4x 4 8x 1 4x AE
e
[K ]= AE - - �ą - - �ą dx=
+"
{ }
L
L L L
L2 L2 L L2 L2
[ ]
0
1 4x
{ }
- �ą
L
L2
21
21
Za i przeciw stosowaniu
Za i przeciw stosowaniu
elementów wyższego rzędu
elementów wyższego rzędu
Przeciw
Za
" Lepsza aproksymacja pola " Bardziej rozbudowana
przemieszczeń dla pręta o macierz sztywności elementu
zmiennym polu przekroju. oraz siatka węzłów.
" Mniejsza liczba elementów " Niepotrzebne
potrzebna do uzyskania skomplikowanie dla pręta o
wymaganej dokładności. stałym polu przekroju.
22
22
Elementy prętowe w
Elementy prętowe w
przestrzeni 2 i 3 wymiarowej
przestrzeni 2 i 3 wymiarowej
x ,u'
Y ,v j j
Układ płaski 2D
j j
j
X ,u
xi ,u'
j j
i
�
xi ,u'
i
Globalny
Yi ,vi
i
Xi ,ui
y
n
l
a
k
o
L
23
23
Macierz sztywności w 2-D
Macierz sztywności w 2-D
W układzie
W układzie
lokalnym
lokalnym
W 2-D
W 2-D
24
24
Transformacja
Transformacja
Macierz transformacji
Macierz transformacji
ortogonalna
ortogonalna
25
25
26
26
Naprężenia w elemencie
Naprężenia w elemencie
27
27
Przestrzeń 3-D
Przestrzeń 3-D
3 stopnie swobody w węz
le
3 stopnie swobody w węz
le
28
28
l 0
m 0
AE
n 0 1 -1 l m n 0 0 0
K =
[ ][ ]
L
0 l -1 1 0 0 0 l m n
0 m
[ ]
0 n
l2 lm ln -l2 -lm -ln
lm m2 mn -lm -m2 -mn
ln mn n2 -ln -mn -n2
AE
K =
L
-l2 -lm -ln l2 lm ln
-lm -m2 -mn lm m2 mn
[ ]
-ln -mn -n2 ln mn n2
29
29
Pręt zginany  hipoteza
Pręt zginany  hipoteza
Eulera- Bernouliego
Eulera- Bernouliego
30
30
Pręt zginany  hipoteza
Pręt zginany  hipoteza
Timoshenki
Timoshenki
31
31
Element belkowy
Element belkowy
32
32
Element belkowy
Element belkowy
33
33
Element belkowy w przestrzeni x-y
y
�
z2
2
�z1
v2
1
v(x)
v1
x
x
L
4 Stopnie swobody elementu : 2 SS (przemieszczenie, obrót ) w węz
le
34
34
Element belkowy + prętowy
Element belkowy + prętowy
ui ,Ni
u , N
j j
Stopnie swobody:
Stopnie swobody:
przemieszczenie wzdłuż osi,
przemieszczenie wzdłuż osi,
przemieszczenie prostopadłe do osi,
przemieszczenie prostopadłe do osi,
kąt obrotu przekroju.
kąt obrotu przekroju.
35
35
Energia sprężysta
Energia sprężysta
36
36
Macierz sztywności - belka
Macierz sztywności - belka
Macierz
Macierz
sztywności
sztywności
37
37
Funkcje kształtu
Funkcje kształtu
38
38
Funkcje kształtu
Funkcje kształtu
39
39
Funkcje kształtu przy zginaniu belki
Funkcje kształtu przy zginaniu belki
Ś= 1
Ś= 1
40
40
Funkcja
41
41
Odkształcenie osi belki
Odkształcenie osi belki
42
42
Macierz sztywności z udziałem
Macierz sztywności z udziałem
odkształceń osiowych
odkształceń osiowych
43
43
Macierz sztywności z
Macierz sztywności z
uwzględnieniem ścinania
uwzględnieniem ścinania
44
44
Wpływ ścinania
Wpływ ścinania
45
45
Macierz transformacji
Macierz transformacji
T
obrót
obrót
46
46
Obciążenie ciągłe na elemencie
Obciążenie ciągłe na elemencie
pśą xźą : Siła/ Długość
Y1
Y
2
M
2 M z2
z1
1 1 2
L
L
Siły węzłowe:
," +"
{Q }= [ N ]T {T }dS= [ N ]T pśąx źądx
eq
S 0
47
47
Obciążenie węzłowe
Obciążenie węzłowe
L
2x3 3x2
2x3 3x2
śą źą
- �ą1 p x dx
+"
- �ą1
śą źą
L3 L2
L3 L2 0
L
x3 2x2
x3 2x2
- �ąx
- �ąx pśą xźą dx
+"
śą źą
L2 L
L2 L
{ }T
N = ,
{Q }= 0
eq
L
2x3 3x2 3
3x2 pśą xźą dx
- �ą
-2x �ą
+"
L3 L2
śą źą
L3 L2
0
}
{
x3 x2
L
{ }
-
x3 x2
L2 L - pśą xźą dx
+"
śą źą
L2 L
0
48
48
Obciążenie liniowo zmienne
Obciążenie liniowo zmienne
p2- p1
śą źą
p śą x źą= p1�ą x
L
p2 Y1
Y
2
p1
2 M
z2
M
1 1 2
z1
L
L
2x3 3x2
pL
7p1 3p2
śą źą
- �ą1 p x dx
+"
�ą L
śą źą
śą źą
L3 L2 2
0 20 20
L 2
p1= p2= p
pL
p1 p2
x3 2x2
- �ąx p śą xźą dx
+"
�ą L2
śą źą
śą źą
L2 L
20 30
= {Q }= 12
eq
{Q }= 0
eq
L
pL
3
3p1 7p2
3x2 p xźą dx
-2x �ą śą
�ą L
+"
2
śą źą
śą źą
20 20
L3 L2
0
{ }
{ }
L pL2
{ }
p1 p2
x3 x2
- - L2
- p śą xźą dx
+"
12
śą źą
śą źą 30 20
L2 L
0
49
49
Obciążenie siłą skupioną
Obciążenie siłą skupioną
P
Y1
Y
2
2 M
z2
a M
1 1 2
z1
L
L
3
3
2x 3x2
2a 3a2
- �ą1 P� śą a źą dx
+"
- �ą1
śą źą
L3 L2
0
L3 L2
L
2
2
a3 2a
x3 2x P/2
- �ąa
- �ą x P� śą a źą dx
a=L/ 2
+"
śą źą
L
L2
0
=P
{Q }= L2 L
3 2
eq
L
3 2
{Q }= PL /8
2a 3a
eq
2x 3x
- �ą
P/2
- �ą P� śą a źą dx
+"
{ }
L3 L2
śą źą
L3 L2
0
{ } -PL /8
a3 a2
{L }
-
x3 x2
- P� śą a źą dx
+"
L2 L
śą źą
L2 L
0
50
50
Przykład  belka
Przykład  belka
x
4,5,6
1,2,3
7,8,9 10,11,12
y
1
1 5
2 3 4 5
2 3 4
13,14,15
2
2 3 4
1 3 4
1
6
6 4
6
6 4
4
4
51
51
x
4,5,6
1,2,3
7,8,9 10,11,12
y
1 5
1 2 3 4 5
2 3 4
13,14,15
2
2 3 4
1 3 4
1
6
6 6 4
6 4
4
4
Edof=[1 1 2 3 4 5 6;
Edof=[1 1 2 3 4 5 6;
2 4 5 6 7 8 9;
2 4 5 6 7 8 9;
3 7 8 9 10 11 12;
3 7 8 9 10 11 12;
4 10 11 12 13 14 15];
4 10 11 12 13 14 15];
52
52
x
4,5,6
1,2,3
7,8,9 10,11,12
y
1 5
1 2 3 4 5
2 3 4
13,14,15
2
2 3 4
1 3 4
1
6
6 6 4
6 4
4
4
bc=[2 0;
bc=[2 0;
5 0;
5 0;
8 0;
8 0;
13 0;
13 0;
14 0;
14 0;
15 0];
15 0];
53
53
S ila p o p rz e c z n a
1 5 0
1 0 0
5 0
0
-5 0
-1 0 0
-1 5 0
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0
54
54
M o m e n t z g in a ja c y
2 5 0
2 0 0
1 5 0
1 0 0
5 0
0
-5 0
-1 0 0
-1 5 0
-2 0 0
-2 5 0
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0
55
55
Belka z przegubem
Belka z przegubem
x
4,5,6
1,2,3
7,8,9 10,11,12,13
y
1
1 5
2 3 4 5
2 3 4
14,15,16
2
2 3 4
1 3 4
1
6
6 4
6
6 4
4
4
56
56
Edof=[1 1 2 3 4 5 6;
Edof=[1 1 2 3 4 5 6;
2 4 5 6 7 8 9;
2 4 5 6 7 8 9;
3 7 8 9 10 11 12;
3 7 8 9 10 11 12;
4 10 11 13 14 15 16];
4 10 11 13 14 15 16];
bc=[2 0;
bc=[2 0;
5 0;
5 0;
8 0;
8 0;
14 0;
14 0;
15 0;
15 0;
16 0];
16 0];
57
57
S ila p o p rz e c z n a
1 5 0
1 0 0
5 0
0
-5 0
-1 0 0
-1 5 0
-2 0 0
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0
58
58
M o m e n t z g in a ja c y
4 0 0
3 0 0
2 0 0
1 0 0
0
-1 0 0
-2 0 0
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0
59
59
Element belkowy
Element belkowy
izoparametryczny
izoparametryczny