13
Określanie sil węzłowych od obciążenia elementu
(wyrazów wolnych)
a) uwzględnienie sił masowych:
 przyjmijmy, że jedynymi siłami masowymi jest ciężar własny konstrukcji ł. Wówczas
wektor obciążeń od sił masowych dla elementu  e (rys.7.) ma postać:
T T
M
{f }= {�x � } = {0 ł } ,
y
a wektor sił węzłowych spowodowanych tym obciążeniem przyjmie postać:
T
M
{F }={Fxi(M ) Fyi(M ) Fxj(M ) Fyj(M ) Fxk(M ) Fyk(M ) Fxr(M ) Fyr(M )} =
T
(M )
= ([N] �"{f })�"dV
+"
V
Po podstawieniu postaci funkcji kształtu i wektora obciążeń oraz wykonaniu całkowania
otrzymamy:
0
ż# �#
ż# �#
Fxi( M ) �# ni 0 ś# 0
Ą# ń# ż# �#
�#1 ł �" a �"b �"t�#
ś# ź#
�#F i( M ) �#
ó# Ą# �#ł �" ni �#
�#4 �#
0 ni ź#
ś#
y
�# �#
ó# Ą# �# �#
�# �#
ś# ź# 0
�#Fxj( M ) �#
ó#n 0 Ą# �# 0 �#
j
t a b a b �#1 �#
ś# ź#
�# �#
ó# Ą# �#ł �" n �#
)
2 2 2 2 2
�#
ś# 0 n 0 ź#
ż# �#
�#F j( M �# �# �# �#4 ł �" a �"b �"t�#
�#
M y j j
{F }= =
�#F k ( M ) Ź#
ś# ź#
+" +" +"ś# ó#nk 0 Ą# �" �# Ź# �" dtdxdy = t +" +"�# 0 Ź#�" dxdy = �# 0 Ź#
ó# Ą#
x t a b �#ł �#ź# a b
�# �# �# �# �#1 �#
- - - - -
ó# Ą#
2 2 2 2 2
�#Fyk ( M ) �# �#ł �" nk �# �# ł �" a �"b �"t
�#
ś# ź#
0 nk
ó# Ą#
�# �# �# �# �#4 �#
ś# ź#
r( M )
ó#nr 0 Ą#
0
0
x
�#F �# �# �# �# �#
ś# ź#
ó# Ą#
ś#
�#Fyr( M ) �# �#ł �" nr �# �#1 ł �" a �"b �"t�#
0 nr ź#
Ł# Ś# �# �#
�# �# �# #
�#4 �#
�# �#
 14
b) uwzględnienie sił powierzchniowych:
Przyjmijmy, że powierzchnia boczna elementu  e (rys7) na odcinku j-r jest obciążona
równomiernie rozłożonym obciążeniem powierzchniowym o intensywności qx [kN/m2]
skierowanym zgodnie z osią  x lokalnego układu współrzędnych.
Wówczas wektor obciążeń powierzchniowych przyjmie postać:
qx
T ż# �#
S j
{f }= {pxj-r py-r} = ,
�# Ź#
0
�# �#
a wektor sił węzłowych w elemencie spowodowanych tym obciążeniem przyjmie postać:
T
T
S S
{F }= {Fxi(S ) Fyi(S ) Fxj(S ) Fyj(S ) Fxk (S ) Fyk (S ) Fxr(S ) Fyr(S )} = ([N] �"{f })�" dS
+"
S
Po podstawieniu funkcji kształtu oraz wektora obciążeń i wykonaniu całkowania otrzymamy:
ż#b �" (1 - 2 �" x
)�#
ż# �#
Fxi(S ) �# ni 0 ś#
Ą# ń#
�# �#
a
ś# ź#
�#F i(S ) �#
ó# Ą#
�# �#
0 ni 0
ś# ź#
y
�# �#
ó# Ą#
�# �#
2 �" x
ś# ź#
�#Fxj(S ) �#
ó#n 0 Ą#
b �" (1 + )
�# �#
j
t b
ś# ź#
�# �# a
ó# Ą#
j(S )
�# �#
2 2
ś# 0 n qx ź#
ż# �# qx �" t
�# �#
S y j 0
ó# Ą#
{F }�#F �# = �" �" dtdy =
=
�#F k ( S ) Ź# �# Ź# �# Ź#
ś# ź#
+" +"
2 �" x
ó# Ą#
nk 0 0 4
x t b �# �#ź#
b �" (1
�#
�# �# �# - )
ś#
- -
ó# Ą#
2 2 a
�#Fyk ( S ) �# �# �#
ś# 0 nk ź#
ó# Ą#
0
�# �# �# �#
ś# ź#
r(S )
ó#nr 0 Ą#
x
�#F �# �#b �" (1 + 2 �" x )�#
ś# ź#
ó# Ą#
ś# ź#
�#Fyr(S ) �# �# �#
a
0 nr
Ł# Ś#
�# �# �# #
�# �#
0
�# �#
Uwzględniając przy tym, że dla boku elementu j-r wartość x=+a/2 ostatecznie wektor sił
węzłowych spowodowanych obciążeniem powierzchniowym przyjmie postać:
ż# �#
Fxi(S ) ż# 0 �#
�# �#
�#F i(S ) �#
y �#t �" b0 qx �#
�# �#
�"
�# �#
�#Fxj(S ) �#
2
�# �#
�# �#
j(S )
0
�#F �# �# �#
S y
{F }= =
�#F k (S ) Ź# �# Ź#
0
x
�# �# �# �#
�#Fyk (S ) �# �# �#
0
�# �# �#t �" b �" qx �#
r( S )
x
�#F �# �# �#
2
�#Fyr( S ) �# �# �#
0
�# �#
�# �#
 15
y
podział tarczy i numeracja
elementów i węzłów w układzie
globalnym
obciążenie elementu
3
4
q [kN/m2 9
k r
k
r k
r
e
x 4
2
i j
j i
i j
5 8
2
k
r
-
r
y k
a/2
1
3
a
j
i j i
7
Rys.7
6
1
-
Rys.4.
x
3
4
9
k r k
r
4
2
j i
i j
5 8
2
k
r
-
podział tarczy i numeracja
r
k
y
elementów i węzłów w układzie
1
globalnym
3
3
4
j
i j i
7
9
k r k
r
6
1
-
x �
4
2
j i
Rys.6. i j
5 8
2
podział tarczy i numeracja k
r
r
k
elementów i węzłów w układzie -
y
globalnym
1
3
j
i j i
7
6 k
1
-
x
Rys.5.
b
b/2