Metoda elementów skończonych  zagadnienia przestrzenne
początek: M. T. Turner (1956)
rozwinięcie: O.C. Zienkiewicz (Swansea, UK)
Obiekt rzeczywisty
J. Szmelter (WAT  Warszawa)
(koncepcja)
TENDENCJA
Faza projektowania
Model fizyczny
KSZTAA
TOWANIE
PROTOTYPU KONSTRUKCJI
Model dyskretny
METOD
ELEMENTÓW
SKOC
CZONYCH
Model obliczeniowy
(MES)
" odwzorowanie własności stereomechanicznych konstrukcji
Poprawność modelu
geometria, własności masowo sprę\
ysto tłumiące obliczeniowego
model
" typy elementów skończonych
TAK
strukturalny
Metoda sztywnych elementów skończonych
MES
(J. Kruszewski, Katedra Mechaniki i Wytrzymałości Materiałów, 1969-1980)
Poprawność modelu
 sztywne elementy skończone (SES)
dyskretnego
 elementy sprę\
ysto tłumiące (EST)
Metoda odkształcalnych elementów skończonych
TAK
Katedra Mechaniki i Wytrzymałości Materiałów, od 1970
TENDENCJA
 elementy izoparametryczne 2 wymiarowe
Poprawność modelu
 elementy izoparametryczne 3 wymiarowe
fizycznego
Metody hybrydowe (E. Wittbrodt, od 1972, K. Kaliński, od 1983)
" zastosowania
TAK
" nowoczesne techniki obliczeniowe  aspekty techniczne i ekonomiczne
PROTOTYP
Koncepcja elementu skończonego w przemieszczeniach
Zało\
enie: węzły Ai(xi, yi, zi)
Ośrodek ciągły
wartości węzłowe Ći(t), i=1, ... , n.
z z
A4
A2
�
�
funkcja
Ć(t) = Ć (x, y, z, t)
wnętrza
� A3
�
�
A
A
A1 �
y y
n
� �
Ć(x, y, z,t)= (x, y, z)�"Ći(t)
"Ni
i=1
x x
wartość
funkcja
Ći(t)  przemieszczenia, naprę\
enia
węzłowa i
kształtu
siły, temperatura
Element skończony  idealizacja ośrodka ciągłego w ten sposób, \
e wartości funkcji
wnętrza wyra\
one są za pomocą wartości węzłowych
Rezultat: model strukturalny
dyskretyzacja przemieszczeń i obcią\
eń  wartości węzłowe
zró\
nicowane własności materiałowe  zredukowane do węzłów elementu
Wymagania dotyczące funkcji kształtu
 zachowanie ciągłości funkcji wnętrza wewnątrz elementu oraz jej
zgodność w węzłach Element zgodny
 mo\
liwość opisania stałych składowych funkcji wnętrza (np.
przemieszczeń niezale\
nych od punktu wnętrza  ruch ciała
sztywnego)  Element zupełny
 mo\
liwość opisania stałych pochodnych funkcji wnętrza (np. stałych
odkształceń i naprę\
eń)  Element zupełny
Poniewa\
ciągłość funkcji wnętrza jest spełniona tylko w węzłach,
dla spełnienia warunku zgodności modelu MES z ośrodkiem
ciągłym wymagana bardzo du\
a gęstość podziału
Odwzorowanie geometryczne  elementy zakrzywione
węzły definiujące geometrię (ng) węzły definiujące wartości węzłowe (nw)
Element superparametryczny Element subparametryczny Element izoparametryczny
ng> nw ng< nw ng= nw
 Element izoparametryczny
odwzorowanie zło\
onej geometrii konstrukcji
mo\
liwość zró\
nicowania własności materiałowych
Rezultat: modele dyskretne powy\
ej kilkuset tysięcy stopni swobody
wymagane du\
e moce obliczeniowe systemów komputerowych
Bryła izoparametryczna 8 węzłowa  element 3 wymiarowy
współrzędne znormalizowane
współrzędne kartezjańskie
z
ś
7
8
8 7
�
qz �
� �
6
5
5 � 4 � � � � 3
� 6
�
�
qx
qy
�
�
�
y
1 � 3
2 �
4
�
�
Jakobian � �
x
2
1
przekształcenia
Przykład. Przedmiot podatny, materiał: brąz CC331G (BA1032) zamocowano na stole
frezarki Mikron VCP 600
Rezultat. Model MES 23760 elementów 8-węzłowych, 33717 węzłów, po 3 stopnie
swobody w węz
le. Długość boku elementu skończonego  2 mm.
MEDINA  tworzenie
modelu obliczeniowego
(pre-procesor)
PERMAS  rozwiązanie  w
przemieszczeniach
(solver)
Przedmiot podatny
Szczęki miękkie
y
ródło: prace Katedry Mechaniki i
FeGraph  wizualizacja
Wytrzymałości Materiałów PG,
stanu przemieszczeń
K. Kaliński z zespołem
(kolorystyka)
Dla wybranego punktu o współrzędnych x, y, z wektor przemieszczeń q
ma składowe qx, qy, qz, co zapisujemy w postaci
(
q(x, y, z) = col qx,qy,qz ).
Stosujemy transformację ze współrzędnych kartezjańskich x, y, z do
współrzędnych znormalizowanych �, �, ś
Znormalizowane współrzędne węzłów elementu 8 węzłowego
i
�i �i śi
1 1  1  1
2 1 1  1
3  1 1  1
4  1  1  1
5 1  1 1
6 1 1 1
7  1 1 1
8  1  1 1
Współrzędne kartezjańskie x, y, z wybranego punktu elementu są
definiowane przez odpowiadające współrzędne znormalizowane �, �, ś
8 8 8
x =
"c xi y = "c yi z = "c zi
i i i
i=1 i=1 i=1
gdzie:
1
ci = (1+ �i�)(1+�i�)(1+ ś ś )
i
8
Macierz transformacji (Jakobian)
�ł "x "y "z łł �ł"c1 "c8 łł
L
�ł śł �ł śł x1 y1 z1
�ł łł
"� "� "� "� "�
�ł śł �ł śł
�łx y2 z2 śł
"x "y "z
2
1
�ł śł �ł"c L "c8 śł
�ł śł
J(�,�,ś )= = �"
�ł"� "� "� śł �ł śł
�ł śł
M M M
"� "�
�ł śł �ł"c1
śł
"x "y "z "c8 śł �ł
8
�łx y8 z8 �ł
�ł śł �ł L śł
"ś
�ł śł
�ł"ś "ś "ś śł �ł �ł
�ł �ł"ś
gdzie:
"ci 1 �ł
= (1+�i�)(1+ ś ś )�i ,�ł
i
"� 8
�ł
"ci 1
= (1+ �i�)(1+ ś ś )�i ,�ł i =1,...,8
żł
i
"� 8
�ł
.
"ci 1
= (1+�i�)(1+ �i�)ś ,�ł
i
�ł
"ś 8
�ł
Macierz funkcji kształtu elementu
Wektor przemieszczeń, dla punktu o współrzędnych x, y, z
q(x, y, z)= X(x, y, z)�"a
gdzie:
�ł łł
X(x, y, z) 0 0
�ł śł
X(x, y, z)= 0 X(x, y, z) 0
�ł śł
�ł śł
0 0 X(x, y, z)�ł
�ł
X(x, y, z)= [1 x y z xy xz yz xyz]
T
a = [a1 K a24]
jest wektorem nieznanych stałych współczynników.
Wektor nieznanych współczynników a jest określany z równania:
qe = Xnod �"a
gdzie:
qe = col(q(x1, y1, z1),...,q(x8, y8, z8)) - warunki brzegowe
wektor przemieszczeń węzłowych elementu skończonego (ES) nr e
X(x1, y1, z1)
�ł łł
�ł śł
Xnod = M
�ł śł
�ł śł
(x8, y8, z8)�ł
�łX
Stąd:
q(x, y, z)= Ne(x, y, z)�"qe
,
gdzie:
Ne(x, y, z)= X(x, y, z)�" X-1
nod
jest macierzą funkcji kształtu elementu skończonego nr e.
Pozwala ona opisać przemieszczenia dla dowolnie wybranego punktu
elementu, jako funkcję jego przemieszczeń węzłowych.
Macierz sztywności elementu skończonego
W elemencie skończonym nr e jest magazynowana energia potencjalna
sprę\
ystości.
1
T
Ue =
+"� �dV
2
V
Uwzględniając macierzowy operator ró\
niczkowania liniowego
T
�ł łł
" " "
�ł"x 0 0 "y 0 "z śł
�ł śł
" " "
�ł śł
�l = 0 0 0
�ł śł
"y "x "z
�ł śł
" " "
�ł 0 0 0 śł
"z "y "x
�ł śł
�ł �ł
oraz macierz sprę\
ystości dla trójwymiarowego stanu naprę\
eń
1-� � � 0 0 0
�ł łł
�ł śł
1-� � 0 0 0
�ł śł
�ł śł
1-� 0 0 0
�ł śł
1- 2�
E
0 0
�ł śł
D =
2
(1+� )(1- 2� )
�ł śł
1- 2�
�ł śł
0
�ł śł
2
�ł śł
1- 2�
�łsym. śł
�ł 2 �ł
otrzymamy
� = �lq(x, y, z)= �lNe(x, y4) = Bl(x, y, z)qe
, z
14243qe
4
Bl
oraz
� = D� = DBl(x, y, z)qe
1 1 1
T T
T
Ue =
l
+"(D�) �dV = 2 +"� D�dV = 2 +"(� q(x, y, z)) D�lq(x, y, z)dxdydz =
2
V V V
1
T
= , z
l
+"(� Ne(x, y, z)qe) D�lNe(x, y4)
14243qedxdydz =
4
2
V
Bl
1 1
T
= qT �"
e l e
+"B (x, y, z)DBl(x, y, z)dxdydz �"qe = 2 qTKeqe
2
V
144444244444
3
K
e
"Ue
= fe
Keqe = fe
równanie statyki liniowej ES nr e
"qe
Macierz sztywności elementu skończonego opisuje zdolność elementu
do magazynowania energii potencjalnej sił sprę\
ystości
T
Ke =
l
+"B (x, y, z)DBl(x, y, z)dxdydz
V
Macierz sztywności w dziedzinie współrzędnych znormalizowanych
+1+1+1
T
Ke =
l
+" +" +"B (x(� ,�,ś ), y(� ,�,ś ), z(� ,�,ś ))DBl(x(�,�,ś ), y(� ,�,ś ), z(� ,�,ś ))�"det J(� ,�,ś )d�d�dś
-1 -1 -1
Macierz Bl wyznaczamy z zale\
ności
Bl(x, y, z)= �lNe(x, y, z)= �lX(x, y, z)�" X-1
nod
2
X1 0 0
�ł łł
�ł śł
2
0 X2 0
�ł śł
�ł 2 śł
0 0 X3
�lX(x, y, z)=
�ł śł
2
4
�łX2 X5 0 śł
�ł
2 2
0 X6 X7 śł
�ł śł
2
�ł
8 �ł
�łX2 0 X9 śł
Natomiast
2
X1 = [0 1 0 0 y z 0 yz]
2
X2 = [0 0 1 0 x 0 z xz]
2
X3 = [0 0 0 1 0 x y xy]
2
X4 = [0 0 1 0 x 0 z xz]
2
X5 = [0 1 0 0 y z 0 yz]
2
X6 = [0 0 0 1 0 x y xy]
2
X7 = [0 0 1 0 x 0 z xz]
2
X8 = [0 0 0 1 0 x y xy]
2
X9 = [0 1 0 0 y z 0 yz]
Macierz sztywności Ke wyznaczana poprzez całkowanie numeryczne
np. metodą kwadratury Gaussa-Legendre a.
Siły wewnętrzne w połączeniach zgrzewanych
59.83
BMW  samochód osobowy  prototyp (2002)
54.95
K. Kaliński (współpraca)
bryły 8 węzłowe
izoparametryczne
50.07
Podłu\
nica
 długość 940 mm 45.19
 wysokość 180 mm
40.31
 szerokość 70  80 mm
35.43
Obcią\
enie w miejscu
mocowania do zderzaka 30.55
25.67
20.79
Obcią\
enia
zewnętrzne
15.91
" Program FEGraph
 rozbudowany 
11.03
Przemieszczenia
" Metoda elementów
węzłów
6.156
skończonych
" Bryły izoparametryczne
Naprę\
enia Siły w
1.276
8 węzłowe
w elementach przekrojach
4 węzłowe
Siła [N]