Wykład 5: Metoda Ritza, a MES
Część3: Przykład belki na gruncie-podło\
u Winklera
Leszek CHODOR dr in\
. bud, in\
.arch.
[e-mail]
Literatura:
[1] Timoschenko S. Goodier A.J.N., Theory of Elasticity Mc Graw  Hill, 2 nd , Oxford, 1951
[2] Piechnik S., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, , PWN, Warszaw-Kraków, 1980
[3] Rakowski G., Macierzowa analiza konstrukcji, PWN, Warszawa, 1979
[4] Bower A., Linear Elasticity,, Lecture Notes, Division of Engineering Brown University Spring 2005,
[5] Lebedev L.P., Cloud M.J., Tensor Analysis with Applications in Mechanics, World Scientific, 2010
[6] Chodor L., publikacje własne - ró\
ne.
[7] Strony www [dostępne luty-kwiecień 2011] - ró\
ne
tydz 7: 28-03-2011
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 1
Wykład 5.
Część 3:
1. Podstawy metod wariacyjnych
1.1. Zasada prac wirtualnych
1.2. Twierdzenie Lagrange a
2. Przedstawienie równań ZBTS w postaci macierzowej
2.1. Stan odkształcenia
2.2. Stan naprę\
enia
2.3. Związki konstytutywne
2.4. Równania prac wirtualnych (macierzowo)
3. Rozwiązanie ZBTS metodą Ritza
3.1. Aproksymacja równania Cauchy ego i prawa Hooke a
3.2. Aproksymacja równania prac wirtualnych
3.3. Kanoniczne równanie Ritza
4. Wprowadzenie do metody elementów skończonych
4.1. Fundamentalne zało\
enia MES
4.2. Macierz kształtu elementu
4.3. Równania kanoniczne dla całej konstrukcji
5 Przykłady:
5.1. Belka na sprę\
ystym podło\
u
5.2. Płyta,
5.3. Tarcza
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 2
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u
Zadanie 1 (pomocnicze)
Określić funkcje kształtu elementu (e) pręta prostego
bez uwzględnienia wpływu przemieszczeń
poziomych na kąty obrotu i ugięcia elementu
Pole przemieszczeń u(x) wewnątrz elementu skończonego,
zgodnie z fundamentalnym założeniem metody elementów
skończonych przyjmuje się w postaci:
df
(e)
(49)
u(x) =[N]�" u
u1 (e)
Gdzie  [N] macierz kształtu elementu,
w1
u �1
�"[N ]�"
w u2
w2
�2
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 3
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u
x
�ł łł
1- 0
l
�ł śł
x2 x3
0 1- 3 + 2
�ł śł
l2 l3
(50)
�ł śł
x2 x3
�ł śł
0 x - 2 +
l
l2
�ł śł
[N]=
x
0
�ł śł
l
�ł śł
(l-x)2 (l-x)3
�(x) = w'(x)
�ł 0 1- 3 + 2 śł
l2 l3
�ł śł
(l-x)2 (l-x)3
�ł śł
0 - (l - x) + 2 -
l
�ł l2 �ł
Rys.1 Ilustracja macierzy
kształtu elementu
prętowego
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 4
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u
Przemieszczenia pokazane na Rys.1. mo\
na uzyskać z rozwiązania równania
ró\
niczkowego linii ugięcia przy braku obcią\
enia na pręcie:
(50)
wIV = 0
Ogólne rozwiązanie tego równania jest funkcją:
w = C1 + C2x + C3x2 + C4x3
Stałe całkowania wyznaczymy z warunków brzegowych:
dw dw dw
w(0) = w1, w(l) = w2, = �1, = �2, gdzie = C2 + 2C3x + 3C4x2.
dx dx dx
x=0 x=l
1 0 0 0 C1 w1
�ł łł
Otrzymujemy stąd równanie macierzowe:
�ł0 1 0 0 śł
C2 �1
�ł śł
�" =
�ł śł
1 l l2 l3 C3 w2
�ł0 1 2l 3l2 śł
C4 �2
�ł �ł
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 5
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u
w1
C1
Stąd [C]
�1
C2
�1
= 1
(51)
+ 3(w2 - w1)
C3 - 2 l
l2
1
C4 �1+�2 - 2(w2 - w1)
l2 l3
Podstawiając wartości stanu uzyskamy kolejne wyrazy macierzy [N]
Na przykład dla :
w x2 x3
w1 = 1,�1 = �2 = w2 = 0
=1- 3 + 2
w1
l2 l3
.
Pozostałe wyrazy znajdziemy analogicznie.
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 6
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u
Zadanie 2 (pomocnicze)
Obliczyć macierz sztywności dla elementu pręta z poprzedniego zadania.
� , �
Wprowadz
my pojęcia uogólnionych naprę\
eń oraz odkształceń
, które występują na poziomie przekroju pręta. Za naprę\
enia uogólnione
przyjmiemy siły przekrojowe, natomiast odkształcenia uogólnione odpowiadają
wielkościom, których iloczyn z naprę\
eniami określa pracę wewnętrzną. W
przypadku zginania z rozciąganiem naprę\
enia uogólnione, to momenty zginające
M i siły osiowe N. Natomiast odkształcenia uogólnione, to krzywizna w i
wydłu\
enie względne u .
Znane zale\
ności
N EA 0 " 0 u
�ł łł�ł łł
M = +EJ w'', N = EAu'
=
y
�ł śł�ł0 "2 śł
M 0 EJ w
�ł �ł�ł �ł
(52)
stanowią związki fizyczne. Znak (+) wystąpił wobec przyjętego układu współrzędnych.
Związki te zapisaliśmy w zwartej formie spójnej z definicjami przyjętymi przy
rozwiązaniu ZBTS metodą Ritza:
df
� =[E]�"["]�" u
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 7
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u(51)
skąd otrzymujemy wyra\
enia na podstawowe macierze metody:
macierz Hooke a [E] i macierz operatorów ró\
niczkowania
["]
wektor naprę\
eń i przemieszczeń
� u
N u
EA 0 " 0
�ł łł �ł łł
� = , u =
(53)
[E]= ["]=
�ł śł, �ł0 "2 śł
M w
0 EJ
�ł �ł �ł �ł
Macierz zgodności geometrycznej [B] obliczymy z definicji
,
df
" 0
�ł łł
[B]=["][N]= �"
�ł0 "2 śł
�ł �ł
x
�ł1- x łł
( ) 0 0 ( ) 0 0
l l
�ł śł
�"
�ł1-3(l-x)2 (l-x)3 �ł �ł-(l - x) + 2 (l-x)2 (l-x)3 �łśł =
�ł1-3 x2 x3 �ł �łx - 2 x2 x3 �ł
�ł
0 + 2 + 0 + 2 -
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �łśł
l l
�ł
�ł l2 l3 łł �ł l2 łł l2 l3 l2
�ł łł �ł łł
�ł �ł
1 1
�ł łł
(- ) 0 0 ( ) 0 0
l l
�ł śł
=
12(l-x) 6(l-x)
(54)
�ł- 6 12x �ł �ł- 4 6x �ł �ł 6 �ł �ł 4 �łśł
�ł
0 + + 0 +
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł -
�ł
l l
�ł l2 l3 łł �ł l2 łł �ł l2 l3 łł �ł l2 łł
�ł �ł
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 8
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u(51)
Macierz sztywności [k](e) elementu (e) otrzymamy z definicji.
Macierz
df
sztywności
(55)
[k](e) = [B]T [E][B]dV
określa siły
+"
przywęzłowe w
V
funkcji
l
przemieszczeń
(55)
,
[k](e) +"[B]T [E][B]
węzłów.
Zale\
ności te
0
EA EA
są znane w
�ł łł
+ 0 0 - 0 0
l l
mechanice
�ł śł
EJ EJ EJ EJ
0 + 12 + 6 0 -12 + 6
�ł śł
budowli pod
l3 l2 l3 l2
�ł śł
nazwą wzorów EJ EJ EJ EJ
0 + 6 + 4 0 - 6 + 2
l l
�ł śł
l2 l2
transformacyjn
[k](e) =
�ł- EA EA śł
ych dla 0 0 0 0
(56)
l l
�ł śł
elementu
EJ EJ EJ EJ
0 -12 - 6 0 + 12 - 6
�ł śł
sztywno-
l3 l2 l3 l2
�ł śł
EJ EJ EJ EJ
sztywnego
0 + 6 + 2 0 - 6 + 4
�ł śł
l l
�ł l2 l2 �ł
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 9
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u
Zadanie 3 (pomocnicze)
Obliczyć macierz sztywności dla prostoliniowego, jednorodnego elementu,
obcią\
onego ściskającą siłą osiową.
Ogólne równanie ró\
niczkowe dla
jednego elementu skończonego ma
postać
(e)
[k](e) u = FA (e) + FV (e)
,
Macierz sztywności [k](e) mo\
na
określić, znając zale\
ność pomiędzy
siłami węzłowymi
[F](e) = FA (e) + FV (e)
Rys.2 Pręt ściskany siłą P
(e)
a przemieszczeniami węzłowymi .
u
Zale\
ności te dla zadanego zagadnienia (Rys.2) , określimy poprzez rozwiązania równania
ró\
niczkowego pręta ściskanego bez obcią\
enia pomiędzy węzłami
(57)
EJwIV + Pw'= 0
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 10
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u
Po wprowadzeniu zmiennych
x Pl2
� = ,2 =
l EJ
4 2
d w
+ 2 d w = 0
(57a)
4 2
d� d�
w(� ) = C1 + C2� + C3 cos� + C4 sin �
,
dw(0) dw(1)
= �1l, = �2l, w(0) = w1, w(1) = w2
d� d�
1 0 1 0 C1 w1
�ł łł
dw
= C2 - C3� + C4 cos�
�ł0  śł
d� 0  C2 �1l
�ł śł
=
�ł sin  C3 w2
1  cos  śł
�ł0  -  sin   cosśł C4 �2l
...
ńł
C1
�ł �ł
�ł
...
C2 �ł
=
[�1l(sin  - cos)-�2l(sin  -)+(w2 -w1)(cos -)]
�ł
C3
�ł
2(1-cos)-2 sin 
�ł
C4
...
ół
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 11
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u
Poniewa\

2
EJ d w EJ
M = EJw"= = (-C32 cos� - C42 sin � ),
2
l2 d� l2
(58)
EJ d3w EJ
T = = (-C33 sin � - C43 cos� ),
3
l3 d� l3
EJ EJ
M1 = M (0) = (-C32),T1 = T (0) = (-C43)
2
l l3
,
�1l(sin- cos)-�2l(sin-)+(w2 -w1)(cos-)
EJ
M1 = + 
l2 (cos-1)+sin2 
EJ
T1 = + 2 (�1l+�2l)(1-cos)+ sin (w2 -w1)
l3 (cos-1)+sin2 
itd. ...
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 12
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u

Szczególnie u\
yteczne formuły ą = :
2
(59)
znajdziemy dla
EJ EJ EJ
M1 = 6 �2(w1 - w2 ) + 4 �3�1 + 2 �4�2
l l
l2
EJ EJ EJ
M = 6 �2(w1 - w2) + 2 �4�1 + 4 �3�2
2
l l
l2
EJ EJ
T1 = 12 �1(w1 - w2) + 6 �2(�1 + �2),T2 = -T1
gdzie:
l3 l2
,
ą H"0
1 Pl2
�1 = (ąctgą)�2 H" 1- ,
l P Ą P
10 EJ
ą = =
2
1 ą H"0
ą
2 EJ 2 Pcr
3 1 Pl2
�2 = H" 1- ,
1-ąctgą 60 EJ
ą H"0
3 1 1 Pl2
�3 = �2 + ąctgą H" 1- ,
2
4 4 30 EJ
Ą EJ
ą H"0
Pcr =
3 1 1 Pl2
�4 = �2 - ąctgą H" 1+ ,
l2
2 2 60 EJ
krytyczne obcią\
enie
 eulerowskie
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 13
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u
12EJ 6EJ 12EJ
�ł łł
�1 �2 - �1 6EJ �2 w1
T1 �ł
l3 l2 l3 l2
śł
(60)
6EJ 4EJ 6EJ
�3 - �2 2EJ �4 �1
śł
M1 �ł l2 �2
l l
l2
= �ł śł �"
6EJ 6EJ
T2 �ł- 12EJ �1 - �2 12EJ �1 - �2 śł w2
l3 l2 l3 l2
�ł śł
6EJ 2EJ 6EJ
M
2
�2 �4 - �2 4EJ �3 śł �2
�ł
l l
�ł l2 l2 �ł
(e)
,
Linearyzacja funkcji
[ ]
F = k �" u
12EJ 6EJ 12EJ 6EJ
�ł łł
-
6 1 6 1
�ł łł
l - l
l3 l2 l3 l2
�ł śł
5 10 5 10
�ł śł
6EJ EJ 6EJ EJ
1 2 1 1
�ł 4 - 2 śł
l - - lśł
l l
l2 l2
[k]= �ł śł - P�ł 10 151 610 30 śł
�ł- 6 1
l - l -
�ł- 12EJ - 6EJ 12EJ 6EJ śł
5 10 5 10
l3 l2 l3 l2 �ł śł
�ł śł
1 1 1 2
6EJ EJ 6EJ EJ
- l - l
�ł śł
2 - 4
�ł 10 30 10 15 �ł
�ł śł
l l
�ł l2 l2 �ł
Macierz geometryczna
Liniowa Macierz
1 rzędu (quasiliniowa)
sztywności
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 14
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u
Ostatecznie w celu uwzględnienia związku obcią\
eń podłu\
nych od przemieszczeń
poziomych węzłów, uzupełnimy macierz sztywności o uzyskane wyniki i otrzymamy
Macirz sztyności pręta zginanego i ściskanego
EA EA
�ł łł
0 0 - 0 0
l l
�ł śł
12EJ 6EJ 12EJ
0 �1 �2 0 - �1 6EJ �2 śł
�ł
l3 l2 l3 l2
,
�ł
6EJ 4EJ 6EJ 2EJ
0 �2 �3 0 - �2 �4 śł
�ł śł
l l
l2 l2
[k]=
�ł- śł
EA EA
0 0 0 0
l l
�ł śł
12EJ 6EJ 12EJ 6EJ
�ł śł
0 - �1 - �2 0 �1 - �2
l3 l2 l3 l2
�ł śł
6EJ 2EJ 6EJ 4EJ
0 �2 �4 0 - �2 �3
�ł śł
l l
�ł l2 l2 �ł
(61)
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 15
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u
Zadanie 4 (pomocnicze)
Obliczyć obcią\
enie węzłowe, gdy na pręt prosty (ogólnie na krawędz
elementu)
elementu), działa obcią\
enie ciągłe pomiędzy węzłami. obcią\
onego ściskającą siłą
osiową .
Obcią\
enie międzywęzłowe
wyznaczymy z definicji
df
,
FA = [N]T q� dA,
q� = p(x) +"
A
q� = p(x)
gdzie zgodnie z Rys.3. ,
a macierz kształtu (zadanie pomocnicze1 -
wynosi
2
�ł łł
Rys.3. Obcią\
enie �ł1 - 3 x x3 �ł
+ 2
�ł �ł
2 3
�ł śł
�ł l l łł
międzywęzłowe p(x)
�ł 2 2 śł
�ł x x �ł
x
�ł - 2 +
�ł
�ł śł
3
l
�ł l łł
�ł śł
[N ]T =
�ł1 - 3 (l - x )2 (l - x)3 �ł
�ł śł
+ 2
�ł �ł
2 3
l l
�ł �ł łł śł
�ł�ł
(l - x )2 (l - x )3 �łśł
�ł�ł - (l - x) + 2 l - l �łśł
2
�ł łł
�ł �ł
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 16
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u
Z definicji dla mamy:
q� = p = const
�ł łł
�ł1- 3 x2 x3 �ł
+ 2
�ł �ł
�ł śł
�ł l2 l3 łł l
�ł łł
R1
2
�ł śł
�ł x2 x2 �ł
�ł śł
x
�ł - 2 +
�ł
śł l2
l
+
M1 l �ł �ł l3 łł �ł
(62)
�ł śłdx = p�ł l12śł
FA = = p �"
+"
śł
�ł1- 3 (l-x)2 (l-x)3 �ł
R2 0
�ł śł
+ 2
�ł �ł
�ł śł
2
l2 l3
�ł �ł łł śł
�ł- l2
śł
M
2
, �ł�ł
(l-x)2 (l-x)3 �łśł
�ł 12�ł
�ł�ł- (l - x) + 2 l - l2 �łśł
�ł łł
�ł �ł
Analogicznie mo\
na znalez
ć obcią\
enie węzłowe przy innych postaciach obcią\
enia
�ł łł
�ł1- 3 x2 x3 �ł
x
+ 2
między węzłami, np. dla �ł �ł
q� = p(x) = p1 + ( p2 - p1)
�ł śł
�ł l2 l3 łł
l
�ł śł
�ł x2 x2 �ł
x
�ł - 2 +
�ł
�ł śł
l l
�ł l3 łł
x
�ł śłdx
FA = (p1 + ( p2 - p1) )�"
+"
l �ł1- 3 (l-x)2 (l-x)3 �ł
�ł śł
+ 2
0 �ł �ł
l2 l3
�ł �ł łł śł
�ł�ł
(l-x)2 (l-x)3 �łśł
�ł�ł- (l - x) + 2 l - l2 �łśł
�ł łł
�ł �ł
(63)
3l
�ł łł
(p1 + 7 p2)
20
�ł śł
l2
�ł (3p1 + 2 p2) śł
60
=
�ł śł
3l
(p1 + 7 p2)
�ł 20 śł
�ł- l2
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 17
(3p1 + 2 p2)śł
�ł 60 �ł
Przykład belki na sprę\
ystym podło\
u
Zadanie 5 (pomocnicze)
Określić wektor równowa\
ników węzłowych dla elementu belki spoczywającej na
sprę\
ystym podło\
u Winklera ze współczynnikiem sprę\
ystości podło\
a
Z definicji sprę\
ystego podło\
a winklerowskiego, znamy jego odpór:
q� = p ( x ) = - k �" w ( x ).
(63)
Poniewa\

l l
, (e)
(e) (e)
w(x) = [N]�" u
FA = -+"[N]T k[N]�" u dx = -k ([N]T [N]dx)u ,
+"
0 0
2
�ł(1- 3� 2 + 2� 3)łł
�ł śł
Dla belki zginanej
2 3
�łl(� - 2� + � )śł
mamy
[N]T [N]=
� = x /l
2 3
�ł śł
(3� - 2� )
�ł śł
2 3
- � + �
�ł śł
�ł �ł
Politechnika Świętokrzyska (2011) , Leszek CHODOR Teoria sprę\
ystości i plastyczności 18