Statystyka, materiały dydaktyczne, IPSiR UW
Metody Analizy Statystycznej
Współczynnik korelacji rangowej R Spearmana
Korelacja rangowa
Celem analizy rangowej jest badanie współzależności zmiennych, które są
niemierzalne, a można je uporządkować według pewnego kryterium.
W korelacji rangowej są używane następujące pojęcia: ranga, rangowanie, obiekty
rangowane, rangujący (sędziowie).
Rangowanie, inaczej nadawanie rang, to procedura, która polega na ustawieniu
obiektów rangowanych w porządku od najmniejszego do największego (lub od
największego do najmniejszego), a następnie przyporządkowanie zajmowanym
pozycjom kolejnych liczb naturalnych.
Obiekty rangowane to osoby, przedmioty, zjawiska podlegające ocenie według
wskazanego, wybranego kryterium, co w konsekwencji prowadzi to ich
uporzÄ…dkowania.
Rangujący (sędziowie) to osoby indywidualne lub grupy osób, których oceny
obiektów wzięte są pod uwagę.
Podstawą uporządkowania obiektów w rosnącym ciągu (lub malejącym) są np.
otrzymane oceny (według pewnego kryterium), zdobyte punkty (w zawodach), liczby
otrzymanych głosów (w wyborach), itp.
Obiektowi, który zajął najwyższą pozycję nadajemy rangę 1, kolejnemu  2 itp.
Możemy rozpocząć rangowanie od najniższej pozycji i postępować podobnie,
nadając kolejne rangi pozycjom od najniższej do najwyższej. Wyjątek stanowi
sytuacja, w której dwa lub więcej obiektów otrzymują takie same oceny, zdobywają
takie same liczby głosów, wówczas nadajemy im takie same rangi, tzw. rangi
mieszane. Rangi mieszane są równe wartościom średniej arytmetycznej z
przypadajÄ…cych na nie pozycji.
Warto zapamiętać, że w każdym przypadku suma rang powinna być równa
wartości n*(n+1)/2, czyli sumie n-kolejnych liczb naturalnych.
Przykład 1. Wyniki badania popularności stacji radiowych przez studentów
wydziałów pedagogicznego  P i historycznego  H są następujące (liczby wskazań;
każdy mógł wybrać jedną stację). Poranguj stacje radiowe.
Stacje radiowe Studenci Studenci R(P) R(H) di di^2
Pedagogiki Historii
A 20 17 3,5 2,5 1 1
B 20 15 3,5 1 2,5 6,25
C 12 20 1 4,5 -3,5 12,25
D 15 20 2 4,5 -2,5 6,25
E 30 17 5 2,5 2,5 6,25
F 35 30 6 6 0 0
suma X X 21 21 X 32
1
Statystyka, materiały dydaktyczne, IPSiR UW
Rangowanie rozpoczęliśmy od najmniejszej liczby wyborów. Wśród studentów  P
ranga 1 przypadła stacji C, a według studentów  H  stacji B. Sumy rang w obu
przypadkach wynoszą 21, co jest zgodne z wartością [n*(n+1)/2].
W obu przypadkach mieliśmy do czynienia z rangami mieszanymi. W ocenie
studentów Pedagogiki taką samą popularnością cieszyły się stacje A i B, którym
przypadały w kolejności pozycje 3 i 4. Obie stacje otrzymały takie same rangi 3,5
(średnia z 3 i 4). Studenci Historii taksami ocenili stacje C i D, w konsekwencji
przypadały tym stacjom pozycje 4 i 5. Obu stacjom przypisano rangi 4,5 (średnie z 4 i
5).
Kolejnym etapem analizy jest zbadanie stopnia zgodności w ocenach i do tego służy
współczynnik korelacji rang R Spearmana.
n
2
6 d
" i
i = 1
R = 1 -
2
n ( n - 1 )
gdzie:
di  różnica między rangami
n  liczba obiektów rangowanych.
Własności i interpretacja współczynnika R
" R przyjmuje wartości od -1 do 1.
" Jeśli R zbliża się do +1 mamy do czynienia z całkowitą zgodnością w ocenie
obiektów. Oceny nie zależą od sędziów oceniających. Te same obiekty mają
wysokie oceny w oczach obu osób lub grup, które je oceniają.
" Jeśli R jest bliskie -1, występuje bardzo silna niezgodność. Wyższa lub niższa
pozycja obiektów zależy od tego kto je ocenia. Te obiekty, które są oceniane
dobrze przez jednego sędziego (grupę osób), otrzymują niskie oceny u drugiego
oceniajÄ…cego.
" Jeśli wartość R jest bliska 0  mamy do czynienia z sytuacją, w której trudno
ocenić czy jest zgodność, czy jej nie ma.
Rozróżnienie  zgodności i  zależności
Jeśli np. oceny mężczyzn i kobiet są w pełni zgodne  to znaczy, że te oceny nie
zależą od płci, czyli nie ma zależności. Dopiero gdy te oceny są różne dla obu płci,
możemy powiedzieć, że zależą one od tego, do jakiej płci należeli badani.
Obliczenie współczynnika R Spearmana w przykładzie 1.
R = 1 - 6*32/6*35 = 1- 192/210 = 1  0,91 = 0,09
Interpretacja:
Na podstawie powyższych danych nie można określić stopnia zgodności między
ocenami stacji radiowych przez studentów obu wydziałów.
2
Statystyka, materiały dydaktyczne, IPSiR UW
Do rozwiÄ…zania
Ćwiczenie 1.
W Polskim Badaniu Przestępczości (PBP) w latach 2007 i 2009 otrzymano
następujące wyniki dotyczące oceny zagrożenia w swoim miejscu zamieszkania.
PBP przeprowadzono na próbach losowych 17 tys. Polaków.
Proszę porangować zagrożenia, obliczyć R i zinterpretować wyniki.
Ranga Ranga
Zagrożenie Wyniki Wyniki
PBP 07 PBP 09
Czego siÄ™ Pani/Pan najbardziej boi w swoim miejscu PBP 0 PBP 0
di di2
zamieszkania? 9 7
2 4
1 Napadów, rozbojów 20,1 23,9 4 2
0 0
2 Wymuszeń, okupów 4,2 4,3 12 12
1 1
3 Bójek i pobić 18,1 20,4 8 7
1 1
4 Włamań (np. do mieszkań, piwnic lub samochodów) 19,8 22,6 5 4
1 1
5 Kradzieży ( np. kieszonkowych) 12,5 14,7 9 8
0 0
6 Brawurowo jeżdżących kierowców 36,8 35,9 1 1
7 Agresji ze strony osób pijanych lub narkomanów 20,5 20,7 3 6 -3 9
1 1
8 Handlu narkotykami 5,9 6,2 11 10
3 9
9 Niszczenia mienia przez wandali 21,6 21,6 2 5
3 9
10 Zaczepiania przez grupy agresywnej młodzieży 19,7 23,6 6 3
1 1
11 Hałaśliwych, niekulturalnie zachowujących się sąsiadów 6,6 5,8 10 11
0 0
12 Innych zagrożeń 1,1 1,3 13 13
13 Żadnych, niczego nie obawiam się 18,2 14,0 7 9 -2 4
40
suma 91 91
Ćwiczenie 2.
Poniższa tabela przedstawia wyniki egzaminu z prawa i statystyki 10 studentów
kierunku Ekonomia. Za pomocą współczynnika korelacji rang Spearmana ustal
kierunek i siłę korelacji pomiędzy wynikami obu egzaminów i zinterpretuj wynik.
Student Liczba Liczba Ranga Ranga Różnica (di 2)
punktów z punktów prawo statystyka rang (di)
prawa ze
statystyki
A 2 81
B 8 60
C 18 81
D 12 30
E 12 57
F 15 72
G 7 81
H 5 98
I 14 65
J 14 47
Suma X X
3
Statystyka, materiały dydaktyczne, IPSiR UW
" Powtórzenie (analiza korelacji i regresji)
Do czego służy analiza korelacji (współczynnik r Pearsona)?
Jakie są własności r Pearsona?
Do czego służy analiza regresji?
Jak interpretuje się współczynniki kątowy w oszacowanej regresji liniowej?
W analizie korelacji z wykorzystaniem współczynnika r Pearsona chodziło o
zbadanie, czy między dwiema zmiennymi istnienie liniowa zależność  czyli np. czy
wraz ze wzrostem agresywności (zbadanej na jakiejś skali agresji - zmienna X)
poziom samokontroli (znowu opisanej na jakiejÅ› skali samokontroli - zmienna Y)
wzrasta czy maleje, czy też te dwie zmienne nie są ze sobą związane.
Współczynnik korelacji liniowej r Pearsona obliczamy według wzoru:
"(x - x)(yi - y)
i
r =
"(x - x)2"(y - y)2
i i
Wartość tego współczynnika zależała od tych odległości zaobserwowanych punktów
od teoretycznej linii prostej wyznaczonej przez średnie obu zmiennych  co jest
uwidocznione we wzorze.
Regresja liniowa
Zakładamy liniowy model regresji
Y = aX + b + e
Po oszacowaniu parametrów a i b MNK (metoda najmniejszych kwadratów)
otrzymujemy:
Ć
v
= b + â X
Wzory służące do oszacowania a i b:
"(x - x)( yi - y)
i
â =
"(x - x)2
i
Ć
b = y - âx
4