Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
ROZDZIAA
4
ROZKA
ADY STATYSTYK
Z PRÓBY
1
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
4.1. ROZKA
AD ÅšREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ
Zadanie 4.1.1
Z licznych obserwacji wynika, \
e średnia roczna kwota przeznaczona na kupno kwiatów doniczkowych
przez rodzinę wynosi 3,5 zł. Zakładając, \
e wielkość wydatków ma rozkład normalny, oblicz odchylenie
standardowe rozkładu je\
eli dodatkowo wiadomo, \
e zwykle 24,2% ze 121 przebadanych rodzin wydaje
średnio mniej ni\
3,6.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - rodziny
zmienna losowa X - wysokość wydatków na kwiaty
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X:N(3,5; ´)
próba: n = 121 P( x < 3,6 ) = 0,242
121
szukane: X:N(m=3,5; Ã=?)
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
x - m 3,6 - 3,5 1,1 15, 4
n
P( x < 3,6 ) = P( Å" n < Å" 121 ) = P(u < - ) = 1 - P(u < ) = 0,242
121
´ ´ ´ ´
1,1 1,1 1,1
P(u < ) = F( ) = 0,758; F(0,7) = 0,758 = 0,7 ´ = 1,57
´ ´ ´
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Odchylenie standardowe rocznych wydatków na kwiaty w rodzinie wynosi 1,57 zł.
Zadanie 4.1.2
Zakłada się, i\
czas poświęcony na naukę gry na gitarze (w latach) ma rozkład normalny o parametrach 5 i
1. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e w grupie 144 uczniów średni czas nauki jest dłu\
y ni\
2,5 roku.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  uczniowie
zmienna losowa X  czas poświęcony na naukę gry na gitarze
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(5,1)
próba: n = 144
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
x - m 2,5 - 5,0
n
P( x > 2,5 ) = P( Å" n > Å" 144 ) = P(u > -25) = 1  P(u d" -25) = F(25) = 0,99
144
´ 1
Prawdopodobieństwo, i\
w badanej grupie średni czas nauki gry na gitarze jest dłu\
y ni\
2,5 roku wynosi
0,99.
2
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.1.3
Z licznych obserwacji wiadomo, \
e wartość towarów zarekwirowanych na granicy polsko-czeskiej dla
polskich turystów przekraczających granicę jest zmienna losowa o rozkładzie N(1000, 200) zł. Oblicz
prawdopodobieństwo, \
e w grupie 225 turystów średnia wartość zakwestionowanych towarów wyniesie
co najwy\
ej 900 zł.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - turyści
zmienna losowa X - wartość towarów zarekwirowanych na granicy polsko-czeskiej
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(1000; 200)
próba: n = 225
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; ) X :(1000; 13,3)
n
n
´
x - m 900 -1000
n
P(x < 900) = P( Å" n < Å" 225 ) = P(u < -7,5) = F(-7,5) = 1 - 0,99 =0,01
n
´ 200
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, \
e średnia wartość zarekwirowanych towarów na granicy stanowi co najwy\
ej 900
zł. wynosi 0,01.
Zadanie 4.1.4
Przyjmuje siÄ™, i\
dzienna ilość (w litrach) wypijanych napojów przez osobę ma rozkład normalny N(2,2;
0,4). Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e w grupie 576 badanych osób średnia ilość wypitych napojów jest:
a. mniejsza ni\
2 litry
b. większa ni\
1,8 litra.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  osoby pijące napoje
zmienna losowa X - dzienna ilość (w litrach) wypijanych napojów
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(2,2; 0,4)
próba: n = 576
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
x - m 2 - 2,2
n
a. P(x < 2) = P( Å" n < Å" 576 ) = P(u < - 12) = F(-12) = 1 - F(12) = 1 - 0,99 = 0,01
n
´ 0,4
x - m 1,8 - 2,2
n
b. P(x > 1,8) = P( Å" n > Å" 576 ) = P(u > -24) = F(-24) = F(24) = 0,999999
n
´ 0,4
Prawdopodobieństwo, \
e w badanej grupie średnia ilość wypijanych napojów jest ni\
sza ni\
2 litry
wynosi 0,01 zaÅ› \
e jest wy\
sza ni\
1,8 litra  0,99999.
3
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.1.5
Wiemy, \
e dzienna ilość cukierków zjadanych przez dzieci na koloniach letnich w Ustrzykach Dolnych
charakteryzuje się rozkładem normalnym N(14; 6)dkg. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e w grupie 36
badanych dzieci średnia ilość zjadanych cukierków w ciągu dnia jest ni\
sza od 10 dkg?
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  dzieci na koloniach w Ustrzykach
zmienna losowa X - dzienna ilość zjadanych cukierków
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(14; 6)
próba: n = 36
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; ) X :N(14; 1)
n
n
´
x - m 10 -14
n
P( x < 10 ) = P( Å" n < Å" 36 ) = P( u < - 4 ) = F(-4) = 1 - F(4) = 1 - 0,99 = 0,01
n
´ 6
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, \
e dzieci zjadają średnio mniej ni\
10dkg cukierków w ciągu dnia wynosi 0,01.
Zadanie 4.1.6
Z licznych badań wiadomo, i\
greckie wazy cechuje zwykle bogate zdobnictwo. Przyjmujemy, i\
liczba
kresek (w tys.) narysowanych na tych naczyniach jest zmienną losową o rozkładzie N(10; 2). Wyznacz
prawdopodobieństwo, \
e w grupie 169 amfor średnia liczba kresek jest
a. ni\
sza od 10 tys.
b. większa ni\
12 tys.?
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  greckie wazy
zmienna losowa X - liczba kresek (w tys.) narysowana naczyniach
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(10; 2)
próba: n = 169
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
x - m 10 -10
n
a. P(x < 10) = P( Å" n < Å" 169 ) = P(u < 0) = F(0) = 0,5
n
´ 2
lub korzystając z własności rozkładu normalnego P(x d" me) = 0,5
n
x - m 12 -10
n
b. P(x > 12) = 1 - P(x < 12) = 1 - P( Å" n < Å" 169 ) = 1 - P(u < 13) =
n n
´ 2
= 1 - F(13) = 1 - 0,99 = 0,01
Prawdopodobieństwo, \
e na amforze będzie średnio mniej ni\
10 tys. wynosi 0,5 zaÅ› \
e będzie średnio
więcej ni\
12 tys.  0,01.
4
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.1.7
Waga partii pewnego towaru ma rozkład N(8; 0,4) kg. Kontrola techniczna przyjmuje partię towaru, jeśli
średnia waga 169 losowo wybranych paczek z partii produkowanego towaru będzie się ró\
nić od średniej
nie więcej ni\
o 0,15 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia partii towaru ?
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  partia pewnego towaru
zmienna losowa X - waga partii pewnego towaru
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(8; 0,4)
próba: n = 169
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
P(x > 8 + 0,15) + P(x < 8  0,15) = 1 - P(8 - 0,15 < x < 8 + 0,15) = 1 - P(7,85 < x < 8,15) =
= 1 - P(x < 8,15) + P(x < 7,85) = 1 - 0,99 + 0,40 = 0,41
x - m 8,15 - 8
P( x < 8,15) = P( Å" n < Å" 169 ) = P(u < 4,88) = F(4,88) = 0,99
169
´ 0,4
x - m 7,85 - 8
P( x < 7,85) = P( Å" n < Å" 169 ) = P(u < - 0,24) = 1 - P(x < 0,24) = 1 - F(0,24) =
169
´ 0,4
= 1 - 0,60 = 0,40
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo odrzucenia partii towaru wynosi 0,41.
Zadanie 4.1.8
Jakie jest prawdopodobieństwo złowienia średnio
a. powy\
ej 100 ton
b. powy\
ej 200 ton
dorada (nazwa handlowa kilkunastu gatunków ryb do długości 40 cm) w Morzu Czarnym w 81 połowach
rybackich je\
eli wiadomo, i\
ilość łowionych ryb w pojedyńczym połowie ma rozkład normalny N(120;
60) ton.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  połowy rybackie
zmienna losowa X  waga ryb
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(120; 60)
próba: n = 81
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
n
5
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
x - m 100 -120
a. P( x > 100 ) = P( Å" n > Å" 81 ) = P(u > -3) = 1  P(u d" -3) = 1  F(-3) =
81
´ 60
= 1  1 + F(3) = 0,99
x - m 200 -120
b. P( x > 200) = P( Å" n > Å" 81 ) = P(u > 12) = 1  P(u d" 12) = 1 - F(12) =
81
´ 60
= 1 - 0,99 = 0,01
Prawdopodobieństwo złowienia średnio więcej ni\
100 ton dorada wynosi 0,99 zaÅ› 200 ton - 0,01.
Zadanie 4.1.9
Przyjmujemy, i\
wiek osób uczestniczących w sobotnich zabawach w jednej z warszawskich dyskotek ma
rozkład normalny o parametrach 18 i 2,4 lat. Wyznacz prawdopodobieństwo, i\
w grupie 49 losowo
wybranych osób średnia wieku będzie
a. wy\
sza od 17 lat
b. będzie się zawierać w przedziale <16; 20> lat.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  uczestnicy dyskoteki
zmienna losowa X - wiek osób uczestniczących w sobotnich zabawach
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(18; 2,4)
próba: n = 49
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
x - m 17 -18
- -
- -
n - -
a. P(x > 17) = P( Å" n > Å" 49 ) = P(u > - 2,92) = 1 - P(u > 2,92) =
Å" > Å"
Å" > Å"
Å" > Å"
´ 2, 4
´
´
´
= 1  1  P(u < 2,92) = 1 - 1 + F(2,92) = 0,99
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, i\
w badanej grupie średni wiek uczestników jest wy\
szy ni\
17 lat wynosi 0,99.
x - m 20 -18
n
b. P(16 < x < 20) = P( x < 20) - P( x d" 16) = P( Å" n < Å" 49 ) 
n n n
´ 2,4
x - m 16 -18
n
- P( Å" n d" Å" 49 ) = P(u < 5,83) - P(u < -5,83) = P(u < 5,83) - 1 + P(u < 5,83) =
´ 2,4
= 2Å"F(5,83) - 1 = 2Å"0,99 - 1 = 0,98
Prawdopodobieństwo, i\
w badanej grupie średni wiek osób zawiera się w przedziale 16  20 lat wynosi
0,98.
6
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.1.10
W pewnej miejscowości górskiej na podstawie licznych obserwacji ustalono, i\
wiatr Fen (wiatr wiejÄ…cy
od grzbietów górskich w kierunku dolin) powoduje wzrost temperatury, który układa się według rozkładu
normalnego. Dodatkowo stwierdzono, \
e zwykle na 120 dokonanych pomiarów, w 30 przypadkach wiatr
podniósł temperaturę średnio o co najmniej 5 stopni zaś w 30 przypadkach - temperatura była ni\
sza
średnio o co najmniej 2 stopnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e w 121 przypadkach wiatr Fen
podniesie temperatur średnio o co najmniej 6 stopnia ?.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  wiatr Fen
zmienna losowa X  wzrost temperatury
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X:N(m; ´)
próba: n = 121; P( x > 5) = 0,25; P( x < 2) = 0,25
120 120
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
x - m 5 - m 5 - m 5 - m
n
P( x > 5) = P( Å" n > Å" 120 ) = 1 - P( u < Å" 120 ) = 1 - F( Å"11) = 0,25
120
´ ´ ´ ´
5 - m
5 - m
F( Å"11 ) = 0,75 F(0,68) = 0,75 Å"11 = 0,68
´ ´
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
x - m 2 - m 2 - m
n
P( x < 2) = P( Å" n < Å" 120 ) = F( Å"11) = 0,25
120
´ ´ ´
2 - m 2 - m
1 - F( Å"11) = 1 - 0,25 F(- Å"11) = 0,75 F(0,68) = 0,75
´ ´
5 - m
Å"11 = 0,68
m = 3,5
´
2 - m
- Å"11 = 0,68
´ = 24,3
´
x - m 6,5 - 3,5
n
P( x > 6,5) = P( Å" n > Å" 121 ) = P(u > 1,36) = 1 - P(u < 1,36) = 1  F(1,36) =
121
´ 24,3
= 1  0,91 = 0,09
Prawdopodobieństwo, \
e wiatr Fen podniesie temperaturę średnio o co najmniej 6,5 stopni wynosi 0,09.
7
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.1.11
Z licznych obserwacji wiadomo, i\
średnica (w cm) owoców wiśni karłowatej ma rozkład normalny z
odchyleniem standardowym 1. Jaki procent owoców z partii liczącej 225 sztuk ma średnią średnicę
wy\
szÄ… ni\
1,5 cm. Dodatkowo wiadomo, i\
w rozpatrywanej partii 70% owoców ma średnią średnicę
wynoszÄ…cÄ… co najwy\
ej 2 cm.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  owoce wiśni karłowatej
zmienna losowa X - średnica (w cm) owoców wiśni karłowatej
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(m; 1)
próba: n = 225 P( x < 2) = 0,70
225
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
x - m 2 - m
P( x < 2) = P( Å" n < Å" 225 ) = P(u < 15Å"(2 - m )) = F(15Å"(2  m)) = 0,70
225
´ 1
F(0,53) = 0,70 15Å"[2 - m] = 0,53 m = 1,96
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
x - m 1,5 -1,96
n
P(x > 1,5) = P( Å" n > Å" 225 ) = P(u > -6,9) = 1 - P(u > 6,9) =
>
>
n >
´ 1
= 1  1 + P(u < 6,9) = F(6,9) = 0,99
Prawdopodobieństwo, \
e w badanej grupie średnia średnica owoców będzie wy\
sza od 1,5 cm. wynosi
0,99.
Zadanie 4.1.12
Wiadomo, \
e dzienna ilość pyłów wypuszczanych do atmosfery przez cementownie ma rozkład normalny
N(1,96; 1) (w tonach). Jaki odsetek ze 225 przebadanych cementowni emituje średnio więcej ni\
1 i
równocześnie mniej ni\
1,6 tony pyłów?
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - cementownie
zmienna losowa X - dzienna ilość pyłów wypuszczanych do atmosfery
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(1,6; 1)
próba: n = 225;
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
P( x > 1) + P( x < 1,6) = 1  P(1 < x < 1,6) = 1- {P( x < 1,6) - P( x < 1,0)} =
225 225 225 225 225
= 1 - 0,01 + 0,01 = 1
8
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
x - m 1,0 -1,96
n
P( x < 1,0) = P( Å" n < Å" 225 ) = P(u < -144) = 1 - P(u < 144) =
225
´ 1,0
= 1  0,99 = 0,01
x - m 1,6 -1,96
n
P( x < 1,6) = P( Å" n < Å" 225 ) = P(u < -5,4) = 1 - P(u < 5,4) =
225
´ 1,0
= 1  0,99 = 0,01
Prawdopodobieństwo, \
e w badanej grupie cementownie emitują do atmosfery średnio więcej ni\
1 i
równocześnie mniej ni\
1,6 tony pyłów wynosi 1.
Zadanie 4.1.13
Z licznych obserwacji wynika, i\
rozpiętość (w cm) skrzydeł motyla Admirał jest zmienną losową o
rozkładzie normalnym. Jaki procent motyli w próbie 25 motyli ma średnią rozpiętość skrzydeł
a. większą od 15 cm
b. zawierajÄ…cÄ… siÄ™ w przedziale <10; 15>
Dodatkowo wiemy, i\
zwykle dla 15 losowo wybranych motyli średnia rozpiętość skrzydeł była ni\
szÄ… od
12,1, a odchylenie standardowe rozpiętości wynosiło 2 .
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  motyl Admirał
zmienna losowa X  rozpiętość skrzydeł motyla
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X:N(m; ´)
próba: n = 25; S = 2 P( x < 12,1) = 0,60
25
szukane:
x - m
n
rozkÅ‚ad t-Studenta: tn = Å" n X : N(m;S )
n
S
-
x - m 12,1- m 12,1- m 12,1 - m
-
n -
P( x < 12,1 ) = P( Å" n < Å" 25 ) = P( t < Å" 25 ) = F( Å"5) = 0,60
Å"
Å"
25 Å"
S 2 2 2
12,1 - m
-
-
-
F(0,25) = 0,60 Å"5 = 0,25 m = 12,0
Å"
Å"
Å"
2
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu t-Studneta przy zadanej wartości dystrybuanty
oraz liczbie swobody v = n  1)
x - m 15 -12
- -
- -
n - -
a. P( x > 15 ) = P( Å" n > Å" 25 ) = P( t > 7,5) = 1 - P( t < 7,5 ) = 1 - F( 7,5 ) =
Å" > Å"
Å" > Å"
25 Å" > Å"
S(x) 2
= 1 - 0,99 = 0,01
Prawdopodobieństwo, \
e w badanej grupie średnia rozpiętość skrzydeł motyla Admirał będzie większą od
15 cm. wynosi 0,01.
x - m 10 -12
- -
- -
n - -
b. P(10 < x < 15) = P( x < 15 ) - P( x < 10 ) = F(7,5) - P( Å" n > Å" 25 ) =
Å" > Å"
Å" > Å"
25 25 25 Å" > Å"
S(x) 2
= F(7,5) - P( t > 5) = F(7,5) - 1 + P( t < 5 ) = F(7,5) - 1 + F(5) = 0,99 - 1 + 0,99 = 0,98
Prawdopodobieństwo, i\
w badanej grupie motyle Admirał posiadają średnią rozpiętość skrzydeł z
przedziału <10; 15> cm wynosi 0,98.
9
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.1.14
Wiadomo, i\
liczba (w mln.) rodzajów aeroplanktonu unoszącego się w 1 m3 powietrza ma rozkład
normalny. W przeprowadzonych 16 niezale\
nych próbach zliczania liczby rodzajów aeroplanktonu,
odchylenie standardowe wyniosło 4. Jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia w badanej próbie
średnio więcej ni\
27 mln rodzajów areoplanktonu?.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - powietrze
zmienna losowa X  liczba rodzajów areoplanktonu w 1 m3 powietrza
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X:N(m; ´)
próba: n = 16 S = 4
szukane:
x - m
n
rozkÅ‚ad t-Studenta: tn = Å" n X : N(m;S )
n
S
x - m 27 - 25
n
P(x > 27) = P( Å" n > Å" 16 ) = P(t > 2) = 1 - P(t < 2) = 1 - F(2) = 1 - 0,98 = 0,02
16
S 4
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu t-Studneta przy zadanej wartości dystrybuanty
oraz liczbie swobody v = n  1)
Prawdopodobieństwo wystąpienia średnio co najmniej 27 mln. rodzajów aeroplanktonu w badanej próbie
wynosi 0,02.
Zadanie 4.1.15
W pewnym laboratorium ogrodniczym stwierdzono, \
e ilość wody potrzebnej do wykiełkowania cebulki
krokusa ma rozkład normalny oraz, \
e dla 9 losowo wybranych cebulek odchylenie standardowe zu\
ycia
wody wyniosło 4. Wyznacz prawdopodobieństwo, \
e średnia ilość wody potrzebna 9 cebulkom do
wykiełkowania będzie wy\
sza od 27 litrów.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  cebulko krokusa
zmienna losowa X  ilość wody potrzebnej do wykiełkowania cebulki krokusa
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X:N(m; ´)
próba: n = 9 S = 4
szukane:
x - m
n
rozkÅ‚ad t-Studenta: tn = Å" n X : N(m;S )
n
S
x - m 27 - 25
n
P(x > 27) = P( Å" n > Å" 9 ) = P(t > 1,5) = 1 - P(t d" 1,5) = 1 - F(1,5) = 1 - 0,93 = 0,07
9
S 4
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu t-Studneta przy zadanej wartości dystrybuanty
oraz liczbie swobody v = n  1)
Prawdopodobieństwo, \
e do wykiełkowania 9 cebulek krokusa potrzeba średnio co najmniej 27 litrów
wody wynosi 0,07.
10
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.1.16
Z licznych obserwacji wynika, i\
długość skoku (w cm) ropuchy Aga występującej w Ameryce Środkowej
jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią 1m. Przeprowadzono pomiar długości skoków
dla losowo wybranych 25 ropuch i stwierdzono, i\
odchylenie standardowe wyniosło 10 cm. Wyznacz dla
rozwa\
anej próby:
a. procent ropuch skaczących średnio poni\
ej 95 cm;
b. skaczÄ…cych w granicach <110; 150> cm.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  ropuchy Aga
X  długość skoku ropuchy
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X:N(m; ´)
próba: n = 25 S = 10 P(x < 100) = 0,50
szukane:
x - m
n
rozkÅ‚ad t-Studenta: tn = Å" n X : N(m;S ) X:N(100;2)
n
S
x - m 95 -100
- -
- -
n - -
a. P( x < 95 ) = P( Å" n < Å" 25 ) = P( t < -2,5 ) = 1 - P( t < 2,5 ) =
Å" < Å"
Å" < Å"
n Å" < Å"
S(x) 10
= 1 - F(2,5) = 1 - 0,99 = 0,01
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu t-Studneta przy zadanej wartości dystrybuanty
oraz liczbie swobody v = n  1)
Prawdopodobieństwo, \
e ropuchy skaczÄ… poni\
ej 95 cm w badanej zbiorowości wynosi 0,01.
b. P(110 < x <150 ) = P( x < 150) - P( x < 110) = 0,99  0,99 = 0
n n n
x - m 150 -100
n
P( x < 150) = P( Å" n < Å" 25 ) = P( u < 25 ) = F(25) = 0,99
n
S 10
x - m 110 -100
n
P( x < 110) = P( Å" n < Å" 25 ) = P( u < 5 ) = F(5) = 0,99
n
S 10
Mo\
emy przypuszczać, i\
w badanej grupie nie ma ropuch skaczÄ…cych od 110 do 150 cm.
Zadanie 4.1.17
Uznaje siÄ™, i\
promień podstawy krateru (naczynie do mieszania wina z wodą w staro\
ytnej Grecji i
Rzymie) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnia 8,5cm. Jakie jest prawdopodobieństwo,
\
e w grupie 12 naczyń średni promień krateru będzie
a. ni\
szy od 10,5 cm.
b. wy\
szy od 12,5 cm.
c. zawiera się będzie w przedziale od 10,5 do 12,5 cm.
je\
eli wiadomo, \
e w tej grupie naczyń odchylenie standardowe długości promienia wynosiło 16,75 cm.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  naczynia do mieszania wina z wodą
zmienna losowa X  długość promienia podstawy krateru
11
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
rozkÅ‚ad normalny zmiennej losowej X w zbiorowoÅ›ci generalnej X:N(8,5; ´)
szukane:
x - m
n
rozkÅ‚ad t-Studenta: tn = Å" n X : N(m;S )
n
S
x - m 10,5 -8,5
n
a. P( x < 10,5) = P( Å" n < Å" 12 ) = P(t < 0,41) = F(0,41) = 0,66
n
S 16,75
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu t-Studneta przy zadanej wartości dystrybuanty
oraz liczbie swobody v = n  1)
Prawdopodobieństwo, \
e średni promień krateru jest krótszy ni\
10,5 wynosi 0,66.
x - m 12,5 -8,5
n
b. P( x > 12,5) = P( Å" n > Å" 12 ) = 1 - P(t < 0,83) = 1- F (0,83) =
n
S 16,75
= 1 - 0,80 = 0,2
Prawdopodobieństwo, \
e średni promień krateru będzie wy\
szy od 12,5 cm wynosi 0,20.
c. P(10,5 < x < 12,5) = P( x < 12,5) - P( x < 10,5) = 0,8  0,66 = 0,14
n n n
P( x < 12,5) = 1 - P( x > 12,5) = 1  0,2 = 0,8
n n
Prawdopodobieństwo, i\
średni promień krateru zawiera się w granicach <10,5; 12,5> wynosi 0,14
Zadanie 4.1.18
Z wielu obserwacji wynika, i\
czas budowy monasteru (zespół budowli cerkiewnych) jest zmienną losową
o rozkładzie normalnym. Dodatkowo stwierdzono, \
e prawdopodobieństwo wybudowania 16 zespołów
budowli w czasie średnio krótszym ni\
6,5 roku wynosi 0,62 a odchylenie standardowe czasu budowy
wyniosło 0,5 roku. Wyznacz prawdopodobieństwo, i\
dla 16 monastyrów średni czas budowy będzie
a. krótszy ni\
5,46 roku
b. zawiera siÄ™ w przedziale od 4,46 do 6,46 roku.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  zespól budowli cerkiewnych
zmienna losowa X  czas budowy monasterów
rozkÅ‚ad normalny zmiennej losowej X w zbiorowoÅ›ci generalnej X:N(m; ´)
próba: n = 16 S = 0,5 P( x < 6,5) = 0,62
16
szukane:
x - m
n
rozkÅ‚ad t-Studenta: tn = Å" n X : N(m;S )
n
S
-
x - m 6,5 - m 6,5 - m
-
n -
P(x < 6,5) = P( Å" n < Å" 16 ) = F( Å" 16 ) = 0,62
Å"
Å"
Å"
S 0,5 0,5
6,5 - m
-
-
-
F(0,31) = 0,62 Å" 16 = 0,31 m = 6,46
Å"
Å"
Å"
0,5
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu t-Studneta przy zadanej wartości dystrybuanty
oraz liczbie swobody v = n  1)
12
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
x - m 5,46 - 6,46
n
a. P(x < 5,46) = P( Å" n < Å" 16 ) = P(t < -8,0) = 1 - P(t < 8,0) =
S 0,5
= 1 - F(8,0) = 1 - 0,99 = 0,01
Prawdopodobieństwo, \
e średni czas budowy monastyru jest krótszy ni\
5,46 roku wynosi 0,01.
x - m 6,46 - 6,46
n
b. P(4,46 < x < 6,46) = P( x < 6,46) - P( x < 4,46) = P( Å" n < Å" 16 ) 
n n n
S 0,5
x - m 4,46 - 6,46
n
- P( Å" n < Å" 16 ) = P( t < 0 ) - P( t < -16) = P( t < 0 ) - 1 + P( t < 16 ) =
S 0,5
= F(0) - 1 + F(16) = 0,5 - 1 + 0,99 = 0,49
Prawdopodobieństwo, \
e w badanej grupie wybudowano monaster w średnim czasie od 4,46 do 6,46
wynosi 0,49.
Zadanie 4.1 19
Z licznych badań wynika, \
e odchylenie standardowe ceny skupu buraków cukrowych w cukrowniach
wynosi 10 groszy. Jakie jest prawdopodobieństwo, i\
w 225 cukrowniach średnia cena skupu buraków
będzie wy\
sza od 2 zł skoro dodatkowo wiadomo, \
e w 50% cukrowniach cena ta była ni\
sza od 1,8 zł.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - cukrownie
zmienna losowa X  cena skupu buraków cukrowych
nieznany rozkÅ‚ad zmiennej losowej X ale ze znanym odchyleniem standardowym ´ = 10
próba: n = 225 P(x < 1,8 ) = 0,5;
z własności rozkładu symetrycznego me = m = do = 1,8
szukane:
x - m
n
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m;S )
n
´
x - m 2,0 -1,8
n
P(x > 2) = 1 - P(x < 2,0) = 1 - P( Å" n < Å" 225 ) = 1 - F(30 ) = 1 - 0,9999 = 0,0001
´ 0,1
Prawdopodobieństwo, \
e średnia cena skupu buraków w cukrowniach będzie wy\
sza od 2 zł wynosi
0,0001.
Zadanie 4.2.20
Wiadomo, \
e wysokość kwiatostanu agawy ma nieznany rozkład ze średnią 2,5m i odchyleniem
standardowym 0,5m. Dodatkowo wiadomo, \
e najwy\
szy kwiatostan wynosi 2,8m. Wyznacz
prawdopodobieństwo tego, \
e:
a. wśród 121 kwiatostanów agawy średnia wysokość będzie wy\
sza ni\
2,25m;
b. wśród 121 kwiatostanów agawy średnia wysokość kwiatostanu będzie wynosić od 2m do 2,5m;
c. suma wysokości kwiatostanu dla 121 agaw będzie wy\
sza ni\
278,3m.
13
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość  kwiatostany agawy
zmienna losowa  wysokość kwiatostanu agawy
zmienna losowa X ma nieznany rozkład w zbiorowości generalnej, ale ze znaną średnią
oraz odchyleniem standardowym tj. m = 2,5 ´ = 0,5
xmax = 2,8
próba: n = 121
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
2,25 - 2,50
a. P( x > 2,25) = P(u > Å" 121 ) = P(u > -5,5) = P(u < 5,5) = 0,99
0,5
Z prawdopodobieństwem 0,99 mo\
emy stwierdzić, \
e średnia wysokość kwiatostanu agawy w badanej
próbie jest wy\
sza ni\
2,25m.
2,0 - 2,5 2,5 - 2,5
b. P(2,0 < x < 2,5) = P( Å" 121 < u < Å" 121 ) = P(-11 < u < 0) =
0,5 0,5
= P(u < 0)  P(u < -11) = P(u < 0) -1 + P(u < 11) = 0,50  1 + 0,99 = 0,49
Orawdopodobieństwo, \
e średnia wysokość kwiatostanu agawy w badanej grupie zawiera się w
przedziale od 2 m do 2,5 m wynosi 0,49.
0,5
c. Z:N(mÅ"n; ´Å"n) = N(2,5Å"121; Å"121) = N(302,5; 60,6)
121
278,5 - 338,5 338,8 - 302,5
P(278,3 < z < 338,5) = P( Å" 121 < u < Å" 121 ) =
60,5 60,5
= P(u < 0,6)  P(u < -0,4) = 0,73  1 + 0,66 = 0,39
Prawdopodobieństwo, i\
suma wysokości kwiatostanu dla 121 agaw będzie wy\
sza ni\
278,3m wynosi
0,39.
Zadanie 4.2.21
Na podstawie licznych obserwacji w pewnej fabryce szkła stwierdzono, \
e średni czas formowania
wazonu przez  dmuchacza wynosi 3,4 min z odchyleniem standardowym 0,3 min. Ponadto wiadomo, \
e
najdłu\
szy czas formowania wazonu wynosi 3,7 min. Wyznacz prawdopodobieństwo, ze w grupie 100
 dmuchaczy :
a. średni czas formowania wazonu będzie dłu\
szy ni\
3,5 min;
b. Å‚Ä…czny czas w tej grupie  dmuchaczy formowania wazonu nie przekroczy 355 min;
c. łączny czas w tej grupie  dmuchaczy formowania wazonu będzie dłu\
szy ni\
358 min.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość   dmuchacze w hucie szkła
zmienna losowa  czas formowania wazonu
zmienna losowa X ma nieznany rozkład w zbiorowości generalnej, ale E(X) = 3,4 oraz
D(X) = 0,3
14
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
xmax = 3,5
próba: n = 100
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
a. X:N(3,4; 0,3)
3,5 - 3,4
P( x > 3,5) = P(u > Å" 100 ) = P(u > 3,33) = 1 - P(u < 3,33) = 1 - 0,99 = 0,01
0,3
b. Z:N(nÅ"E(x); D(x) n ) = (340; 3)
355 - 340
P(z < 355) = P( u < ) = P(u < 5,0) = 0,99
3
370 - 340 358 - 340
c. P(358 < z < 370) = P( < u < ) = P(u < 10)  P(u < 6) = 0,99  0,99 H" 0,0
3 3
Zadanie 4.2.22
Wiadomo, \
e długość dorosłej Anakondy (wą\
z rodziny dusicieli) charakteryzuje się pewnym rozkładem
ze średnią wynoszącą 9,8 m oraz odchyleniem standardowym 1,2 m. Ponadto stwierdzono, ze najdłu\
sza
Anakonda miała 11,0 m. Wyznacz prawdopodobieństwo, \
e w grupie 100 Anakond:
a. średnia długość będzie większa ni\
9,6 m;
b. łączna długość Anakond wyniesie co najwy\
ej 950 cm;
c. łączna długość Anakond co najmniej 1000 m.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość Anakondy
zmienna losowa  długość Anakondy
zmienna losowa X ma nieznany rozkład w zbiorowości generalnej, ale o znanym
m = 9,8 ´ = 1,2
xmax = 3,5
próba: n = 100
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
a. X:N(9,8; 1,2)
9,6 - 9,8
P( x > 9,6) = P(u > Å" 100 ) = P(u > -1,67) = P(u < 1,67) = 0,96
1,2
b. Z:N(nÅ"m; ÃÅ" n ) = Z:N(980; 12)
15
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
950 - 980
P(z < 950) = P( u < ) = P(u < 2,5) = 1  P(u < 2,5) = 1 - 0,995 = 0,005
12
1000 - 980 1100 - 980
c. P(1000 < z < 1100) = P( < u < ) = P(u <10)  P(u < 1,67) = 0,99  0,95 = 0,04
12 12
Zadanie 4.2.23
Z licznych obserwacji wiadomo, \
e Anabar (rzeka w Azji) zamarza w ciągu roku przeciętnie na 224 dni z
odchyleniem standardowym wynoszÄ…cym 6 dni. Dodatkowo stwierdzono, \
e najdłu\
szy czas
zamarznięcia tej rzeki wyniósł 270 dni. Wyznacz prawdopodobieństwo tego, \
e w ciÄ…gu kolejnych 100 lat
rzeka będzie średnio zamarznięta w roku:
a. co najmniej 250 dni
b. średni od 240 do 243 dni
c. łączna liczba dni w ciągu tych lat, kiedy rzeka jest zamarznięta, nie przekroczy 24500 dni
d. łączna liczba dni w ciągu tych lat, kiedy rzeka jest zamarznięta, będzie wy\
sza ni\
24500 dni.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość rzeka Anabar
zmienna losowa  roczna liczba dni, kiedy rzeka jest zamarznięta
zmienna losowa X ma nieznany rozkład w zbiorowości generalnej, ale E(X) = 224 D(X) = 6
xmax = 270
próba: n = 100
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
a. X:N(244; 6)
250 - 244
P( x > 250) = P(u > Å" 100 ) = P(u > 10) = 1 - P(u < 10) = 0,999 = 0,001
6
240 - 244 243 - 244
b. P(240 < x < 243) = P( Å" 100 < u < Å" 100 ) = P(u <-1,67)  P(u < 6,67) =
6 6
= 1 - 0,96  1 + 0,99 = 0,03
b. Z:N(nÅ"E(x); D(x) n ) = (24400; 60)
24500 - 24400
P(z < 24500) = P( u < ) = P(u <1,67) = 0,96
60
27000 - 24400 24500 - 24400
c. P(24500 < z < 27000) = P( < u < ) = P(u <43,3)  P(u <1,67) =
60 60
= 0,99  0,96 = 0,03
16
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.2.24
Liczne obserwacje pozwoliły stwierdzić, \
e średnia waga ananasa wynosi średnio 2,5 kg z odchyleniem
standardowym 1,2 kg, zaś największy ananas wa\
ył 5,2 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, \
e w
wśród 200 ananasów:
a. średnia waga ananasa będzie ni\
sza ni\
2,6 kg
b. średnia waga ananasa będzie wy\
sza ni\
2,4 kg
c. łączna waga tych owoców będzie zawierać się w przedziale od 480 do 520 kg
d. łączna waga ananasów będzie większa ni\
1000 kg.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość ananasy
zmienna losowa  waga ananasa
zmienna losowa X ma nieznany rozkład w zbiorowości generalnej, ale E(X) = 2,5
D(X) = 1,2
xmax = 5,2
próba: n = 200
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
a. X:N(2,5; 1,2)
2,6 - 2,5
P( x < 2,6) = P(u < Å" 100 ) = P(u < 0,83) = 0,8
1,2
2,4 - 2,5
b. P( x > 2,4) = P(u > Å" 100 ) = 1 - P(u <0,83) = 0,2
1,2
c. Z:N(nÅ"E(x); D(x) n ) = (500; 16,97)
480 - 500 520 - 500
P(480 < z < 520) = P( < u < ) = P(u <1,18)  P(u <-1,18) =
16,97 16,97
= 0,88  1 + 0,88 = 0,76
1000 - 500 1040 - 500
d. P(1000 < z < 1040) = P( < u < ) = P(u <31,8)  P(u <29,46) =
16,97 16,97
= 0,99  0,99 = 0,0
Zadanie 4.2.25
Z licznych pomiarów wynika, \
e średnia głębokość Andamańskiego Morza (część Oceanu Indyjskiego) w
pasie 100-150 km od brzegu wynosi 3580 m. Zanotowana zaś maksymalna głębokość to 4198 m.
Wyznacz prawdopodobieństwo, \
e dla 160 dokonanych pomiarach głębokości morza w tym paśmie:
a. średnia głębokość będzie wy\
sza ni\
4000 m
b. łączna głębokość będzie wy\
sza ni\
572666 m
17
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość - Morze Andamańskie w pasie 100-150 km od brzegu
zmienna losowa  głębokość morza
zmienna losowa X ma nieznany rozkład w zbiorowości generalnej, ale E(X) = 3580 D(X) =
380
xmax = 4198
próba: n = 160
szukane:
x - m
n
´
rozkÅ‚ad normalny: un = Å" n X : N(m; )
n
´
a. X:N(3580; 380)
4000 - 3580
P( x > 4000) = P(u > Å" 160 ) = 1 - P(u < 13,98) = 1  0,999 = 0,001
380
b. Z:N(nÅ"E(x); D(x) n ) = (572800; 4806,66)
572666 - 572800 671680 - 572800
P(572666 < z < 671680) = P( < u < ) = P(u <20,57) 
4806,66 4806,66
- P(u <-0,03) = 0,99  1 + 0,51 = 0,5
18
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
4.2 ROZKA
AD RÓśNICY ŚREDNICH ARYTMETYCZNYCH
Zadanie 4.2.1
W pewnej klinice prowadzono leczenie osób cierpiących na bezsenność przy pomocy dwóch leków - A i
B. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e średni czas snu w ciągu doby 45 pacjentów leczonych środkiem A
będzie:
a. krótszy o co najmniej kwadrans;
b. dłu\
szy;
c. dłu\
szy o co najmniej dwa kwadranse
od średniego czasu snu 55 pacjentów leczonych środkiem B.
Z wcześniejszych obserwacji wiadomo, \
e rozkład czasu snu po za\
yciu leku A i B jest zbli\
ony
odpowiednio do rozkładu N(2,9; 0,48) godz. oraz N(3,0; 0,5) godz.
ROZWI
ZANIE:
dane: badane zbiorowości  pacjenci leczeni lekiem A lub lekiem B
zmienna losowa X  czas snu pacjentów
lek A:
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny Xa:N(2,9; 0,48)
próba: na = 45
lek B:
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny Xb:N(3,0; 0,50)
próba: nb = 55
szukane:
2 2
(x - x ) - (ma - mb ) ´a ´b
a b
rozkład normalny: ux -x = X - X : N(ma - mb; + )
a b
a ba
2 2
na nb
´a ´b
+
na nb
( x - x )-( ma - mb ) 0,25 -( 2,9 - 3,0 )
a b
a. P(x - x < 0,25) = P( < ) = P(u < 3,6) = F(3,6) = 0,99
a b
2
´a ´2 0,482 0,502
b
+ +
na nb 45 55
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, \
e średni czas snu pacjentów leczonych środkiem A będzie krótszy o co najmniej
kwadrans od pacjentów leczonych środkiem B wynosi 0,99
x - x - (ma - mb ) 0 - (2, 9 - 3, 0)
- - - - -
- - - - -
a - b - - - -
b. P( x > x ) = P( x - x > 0 ) = P( > ) = P( u > 1 ) =
> >
> >
>
a b a b >
´2 ´2 0, 482 0,502
´ ´
´a + ´b
´ ´
+ +
+ +
+ +
+
na nb 45 55
= 1 - F(1) = 1 - 0,84 = 0,16
Prawdopodobieństwo, i\
średni czas snu pacjentów leczonych lekiem A jest dłu\
szy od średniego czasu
snu dla pacjentów leczonych lekiem B wynosi 0,16.
x - x - (ma - mb ) 0,5 - (2, 9 - 3,0)
- - - - -
- - - - -
a - b - - - -
c. P( x - x > 0,5 ) = P( > ) = P( u > 6 ) =
>
>
a b >
´2 ´2 0, 482 0,502
´ ´
´a + ´b
´ ´
+ +
+ +
+ +
+
na nb 45 55
= 1 - P( u < 6 ) = 1 - F(6) = 1 - 0,99 = 0,01
Prawdopodobieństwo, \
e pacjenci leczeni środkiem A w porównaniu z pacjentami leczonymi środkiem B
śpią średnio o najmniej pół godziny krócej wynosi 0,01.
19
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.2.2
Rozkład miesięcznej płacy (w tys zł.) pracowników fizycznych i umysłowych ma rozkład normalny N(11;
1,75) i N(4; 0,5). Z zakładu X zostało wylosowanych 30 pracowników fizycznych i 35 umysłowych.
Oblicz prawdopodobieństwo, \
e średnia płaca pracowników umysłowych będzie
a. wy\
sza o co najmniej 600 zł od średniej płacy pracowników fizycznych,
b. ni\
sza o od średniej płacy pracowników fizycznych.
ROZWI
ZANIE:
dane: badane zbiorowości  pracownicy fizyczni i umysłowi
zmienna losowa X  miesięczna płaca pracowników
pracownicy umysłowi:
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny Xa:N(11, 1,75)
próba: na = 30
pracownicy fizyczni:
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny Xb:N( 4, 0,5)
próba: nb = 35
szukane:
2 2
(x - x ) - (ma - mb ) ´a ´b
a b
rozkład normalny: ux -x = X - X : N(ma - mb; + )
a b
a ba
2 2
na nb
´a ´b
+
na nb
x - x - (ma - mb) 6 - (11- 4)
a b
a. P(x - x > 6) = P( > ) = P(u > - 3,03) = 1 - F(-3,03) =
a b
2 2
´a ´b 1,752 0,502
+ +
na nb 30 35
= 1 - 1 + F(3,03) = F(3,03) = 0,99
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, \
e średnia płaca pracowników umysłowych jest wy\
sza o co najmniej 600 zł. od
pracowników fizycznych wynosi 0,99.
x - x - (ma - mb ) 0 - (11- 4)
a b
b. P( x < x ) = P(x - x < 0 ) =P( < ) = P(u < - 21,21) =
a b a b
2 2
´ ´b 1,752 0,502
a
+ +
na nb 30 35
= 1 - P( u < 21,21 ) = 1 - F(21,21) = 1 - 0,99 = 0,01
Prawdopodobieństwo, i\
średnie płace pracowników umysłowych są ni\
sze od średnich płac
pracowników fizycznych wynosi 0,01.
Zadanie 4.2.3
W pewnym sklepie sprzedawane są proszki do prania: "Numer 1 w Europie" oraz "Zwykły Proszek". Z
obserwacji z poprzedniego półrocza wiadomo, \
e rozkład miesięcznego utargu (w tys. zł.) ze sprzeda\
y
proszku "N1wE" jest w przybli\
eniu N(23; 8), zaÅ› ze sprzeda\
y proszku "ZP" N(28; 5). Jakie jest
prawdopodobieństwo, \
e w maju i czerwcu (ogółem 61 dni) średni dzienny utarg ze sprzeda\
y "N1wE"
będzie
a. wy\
szy o co najwy\
ej 10 tys zł.;
20
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
b. ni\
szy
ni\
ze sprzeda\
y "ZP".
ROZWI
ZANIE:
dane: badane zbiorowości  sprzeda\
proszku do prania
zmienna losowa X  wysokość utargu ze sprzeda\
y proszku do prania
proszek "Numer 1":
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny Xa:N(23; 8)
próba: na = 61
zwykły proszek:
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny Xb:N(28; 5)
próba: nb = 61
szukane:
2 2
(x - x ) - (ma - mb ) ´a ´b
a b
rozkład normalny: ux -x = X - X : N(ma - mb; + )
a b
a ba
2 2
na nb
´a ´b
+
na nb
( x - x )-( ma - mb ) 10 -( 23 - 28 )
a b
a. P(x - x d" 10) = P( d" ) = P(u d" 12,5) = F(12,5) = 0,99
a b
2
´a ´2 82 52
b
+ +
na nb 61 61
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, ze średni dzienny utarg ze sprzeda\
y "N1wE" jest wy\
szy o co najmniej 10 tys. zł.
ni\
ze sprzeda\
y "ZP" wynosi 0,99
x - x - (ma - mb ) 0 - (23 - 28)
- - - - -
- - - - -
a - b - - - -
b. P(x < x ) = P(x - x < 0) = P( < ) = P(u < 4,13) =
< <
< <
<
a b a b <
´2 ´2 82 52
´ ´
´a + ´b
´ ´
+ +
+ +
+ +
+
na nb 61 61
= F(4,13) = 0,99
Prawdopodobieństwo, \
e średni dzienny utarg ze sprzeda\
y  ZP jest wy\
szy ni\
ze sprzeda\
y proszku
 N1wE wynosi 0,99.
Zadanie 4.2.4
Pewna Pani posiada dwa psy: Ala i Bela. Z licznych obserwacji wynika, i\
dzienna ilość zjadanego przez
nie pokarmu (w kg) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N( ma ; 1) i N(4; 2). Ponadto na
podstawie licznych obserwacji stwierdzono, i\
prawdopodobieństwo, \
e pies Ala w 40 podejściach do
miski zje średnio więcej o co najmniej 4 kg po\
ywienia od psa Bela, który podchodzi do miski 60 razy,
wynosi 0,98. Jakie jest zatem prawdopodobieństwo, i\
pies Ala podchodząc do miski 40 razy zje średnio
więcej o co najmniej 3,22 kg od psa Bela, który do miski podejdzie 60 razy.
ROZWI
ZANIE:
dane: badane zbiorowości  pies Ala i Bela
zmienna losowa X  ilość zjedzonego po\
ywienia
pies Ala: zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny Xa:N( ma ; 1)
próba: na = 40
21
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
pies Bela: zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny Xb:N(4; 2)
próba: nb = 60
P( x - x > 4 ) = 0,98
a b
szukane:
2 2
(x - x ) - (ma - mb ) ´a ´b
a b
rozkład normalny: ux -x = X - X : N(ma - mb; + )
a b
a ba
2 2
na nb
´a ´b
+
na nb
( x - x )-( ma - mb ) 4 -( ma - 4 ) - ma
a b
P(x - x > 4) = P( > ) = P u > ) =
a b
2
0,3
´a ´2 12 22
b
+ +
na nb 40 60
- ma ma ma
= 1 - P(u < ) = 1 - 1 + P(u < ) = F( ) = 0,98
0,3 0,3 0,3
ma
F( 2,6 ) = 0,98 = 2,6 ma = 0,78
0,3
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
x - x - (ma - mb ) 3,22 - (0,78 - 4)
a b
P(x - x > 3,22) = P( > ) = P(u > 644) = 1- P(u < 644) =
a b
2 2
´ ´b 12 22
a
+ +
na nb 40 60
= 1 - F(644) = 1 - 0,99 = 0,01
Prawdopodobieństwo, i\
pies Ala zje średnio o co najmniej 3,22 kg mniej od psa Bela wynosi 0,01.
Zadanie 4.2.5
W dwóch kioskach sprzedawane są czasopisma o tematyce popularno-naukowej. Prawdopodobieństwo,
\
e w ciągu 100 kolejnych dni w kiosku I średnia dzienna sprzeda\
wyniesie co najwy\
ej 12 egzemplarzy
wynosi 0,34 zaÅ› w kiosku II, \
e średnia dzienna sprzeda\
wyniesie co najmniej 14 sztuk  0,68. Jakie jest
prawdopodobieństwo, \
e w kolejnych 100 dniach;
a. średnia sprzeda\
czasopism w kiosku II będzie wy\
sza ni\
w kiosku I;
b. ró\
nica średniej sprzeda\
y gazet między kioskiem I a II wyniesie co najmniej 10 szt.
Wiadomo, \
e liczba sprzedawanych czasopism charakteryzuje się rozkładem normalnym i dla I kiosku
odchylenie standardowe wynosi 8, zaÅ› dla II kiosku - 6.
ROZWI
ZANIE:
dane: badane zbiorowości  kiosk I i II
zmienna losowa X  dzienna liczba sprzedanych czasopism
kiosk I:
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny Xa:N(ma ; 8)
próba: na = 100 P(x d" 12) = 0,34
a
kiosk II:
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny Xb:N(10; 6)
22
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
próba: nb =100 P( x > 14 ) = 0,68
b
szukane:
2 2
(x - x ) - (ma - mb ) ´a ´b
a b
rozkład normalny: ux -x = X - X : N(ma - mb; + )
a b
a ba
2 2
na nb
´a ´b
+
na nb
x - ma 12 - ma 12 - ma
- - -
- - -
a - - -
P( x < 12 ) = P( Å" n < Å" 100 ) = F( Å" 100 ) = 0,34
Å" < Å" Å"
Å" < Å" Å"
a Å" < Å" Å"
´ 8 8
´
´
´
12 - ma 12 - ma
- -
- -
- -
1 - F( Å" 100 ) = 1 - 0,34 F( - Å" 100 ) = 0,66 F(0,41) = 0,66
Å" Å"
Å" Å"
Å" Å"
8 8
12 - ma
-
-
-
- Å" 100 = 0,41 ma = 11,67
Å"
Å"
Å"
8
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
x - x - (ma - mb ) 10 - (11,67 -10,0)
- - - -
- - - -
a - b - - -
a. P(x - x > 10) = P( > ) = P( u > - 11,67 ) =
>
>
a b >
´2 ´2 82 62
´ ´
´a + ´b
´ ´
+ +
+ +
+ +
+
na nb 100 100
= 1 - P( u < -11,67 ) = 1 - 1 + P( u < 11,67 ) = F(11,67) = 0,99
Prawdopodobieństwo, i\
w kiosku I sprzedawanych będzie o co najmniej 10 sztuk więcej czasopism ni\

w kiosku II w ciÄ…gu 100 dni wynosi 0,99.
x - x - (ma - mb ) 0 - (11,67 -10,0)
- - - -
- - - -
a - b - - -
b. P(x < x ) = P( < ) = P( u < -1,67 ) =
< <
< <
<
a b <
´2 ´2 82 62
´ ´
´a + ´b
´ ´
+ +
+ +
+ +
+
na nb 100 100
= 1 - P( u < 1,67 ) = 1 - F(1,67) = 1 - 0,95 = 0,05
Prawdopodobieństwo sprzeda\
y w ciągu 100 dni więcej egzemplarzy czasopisma w kiosku II ni\
w
kiosku I wynosi 0,05.
Zadanie 4.2.6
W pewnej szkole nauczycielka polskiego zastanawiała się, czy prawdą jest, \
e w grupie 25 chłopców i 25
dziewcząt, prawdopodobieństwo, \
e:
a. chłopcy uczą się średnio o co najmniej 30 min. dłu\
ej od dziewczÄ…t wynosi 0,15;
b. chłopcy uczą się średnio dłu\
ej od dziewczÄ…t wynosi 0,39
c. chłopcy uczą się średnio krócej o co najmniej kwadrans od dziewcząt wynosi 0,87.
Dodatkowo wiadomo, \
e odchylenie standardowe czasu poświęconego na naukę w badanej grupie
dziewcząt wynosi 0,5 zaś chłopców - 0,48. Przyjmujemy, \
e rozkład czasu poświęcanego na naukę ma
rozkÅ‚ad normalny: dla chÅ‚opców N(3; ´), a dla dziewczÄ…t N(3,5; ´).
ROZWI
ZANIE:
dane: badane zbiorowości  chłopcy i dziewczęta
zmienna losowa X  czas poświęcony na naukę
chłopcy:
23
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X : N(3,0;´a );
a
próba: na = 25; Sa = 0,50;
dziewczynki:
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny Xb : N(3,5;´b );
próba: nb = 25; Sb = 0,48;
szukane:
rozkład t-Studenta:
(x - x ) - (ma - mb ) naÅ" nb naÅ" nb
a b
t = Å" Å" (na + nb - 2) X - X : N(ma - mb; Å"(na + nb - 2))
a b
2 2
na + nb
naÅ" Sa + nbÅ" Sb na + nb
0,5 - (3,0 - 3,5) 25Å"25
a. P( x - x > 0,5 ) = P( t > Å" Å"(25 + 25 - 2) ) = P( t > 7,1 ) =
a b
25Å"0,502 + 25Å"0, 482 25 + 25
= 1 - F(7,1) = 1 - 0,99 = 0,01
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu t-Studenta przy zadanej wartości dystrybuanty
oraz liczbie stopni swobody v = n1 + n2 - 2 )
Prawdopodobieństwo, \
e średni czas poświęcony na naukę przez chłopców jest dłu\
szy o 30 min. od
dziewczÄ…t wynosi 0,01
0 - (3,0 - 3,5) 25Å"
- - Å"25
- - Å"
- - Å"
b. P( x - x > 0 ) = P( t > Å" Å" + 25 - 2) ) = P( t > 1,02 ) =
> Å" Å"(25 + -
> Å" Å" + -
a b > Å" Å" + -
+
+
+
25Å" + 25Å" 482 25 + 25
Å"0,502 + Å"0,
Å" + Å"
Å" + Å"
= 1  P( t < 1,02 ) = 1  0,85 = 0,15
Prawdopodobieństwo, \
e średni czas nauki chłopców jest dłu\
y od dziewczÄ…t wynosi 0,15.
0,25 - (3,0 - 3,5) 25Å" 25
c. P( x - x < 0,25 ) = P( t < Å" Å" (25 + 25 - 2) ) = P( t < 5,3 ) =
a b
25 Å" 0,502 + 25 Å" 0,482 25 + 25
= F(5,3) = 0,99
Prawdopodobieństwo, i\
chłopcy średnio uczą się o co najmniej kwadrans krócej od dziewcząt wynosi
0,99.
Zadanie 4.2.7
Rozkład miesięcznej płacy posłów jest w przybli\
eniu N(11; ´) tys. zÅ‚, a nauczycieli akademickich N(4;
´) tys. zÅ‚. Do próby wylosowano 20 posłów i 25 nauczycieli i stwierdzono, i\
wariancja płacy wynosi
odpowiednio 4 i 0,25. Oblicz prawdopodobieństwo, \
e w tych próbach:
a. średnia płaca posłów będzie wy\
sza o co najmniej 6 tys. zł. od średniej płacy nauczycieli w próbach,
b. ró\
nica średnich płac posłów i nauczycieli będzie zawierać się w przedziale <4; 8> tys. zł..
ROZWI
ZANIE:
dane: badane zbiorowości  nauczyciele i posłowie
zmienna losowa X  wysokość płacy posłów i nauczycieli
płaca posłów:
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny Xa : N(11;´a )
24
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
próba: na = 20; Sa = 2,0;
płaca nauczycieli:
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny Xb : N( 4;´b )
próba: nb = 25; Sb = 0,5;
szukane:
rozkład t-Studenta:
(x - x ) - (ma - mb ) naÅ" nb naÅ" nb
a b
t = Å" Å" (na + nb - 2) X - X : N(ma - mb; Å"(na + nb - 2))
a b
2 2
na + nb
naÅ" Sa + nbÅ" Sb na + nb
6 - (11- 4) 25Å"20
a. P(x - x > 6) = P(t > Å" Å"(25 + 20 - 2) ) = P(t > - 2,4) =
a b
25Å"2, 02 + 25Å"0,52 25 + 20
= 1 - P(t < 2,4) = 1 - F(2,4) = 1 - 0,99 = 0,01
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu t-Studenta przy zadanej wartości dystrybuanty
oraz liczbie stopni swobody v = n1 + n2 - 2 )
Prawdopodobieństwo, \
e średnia płaca posłów jest wy\
sza o co najmniej 6 mln zł od płacy nauczycieli
wynosi 0,01.
b. P(4 < x - x < 8) = P(x - x < 8) - P(x - x < 4) = 0,74 -0,01 = 0,73
a b a b a b
4 - (11- 4) 25Å"
- - Å"20
- - Å"
- - Å"
P(t < Å" Å" + 20 - 2) ) = P(t < -4,62) = 1 - P(t < 4,62) =
< Å" Å"(25 + -
< Å" Å" + -
< Å" Å" + -
+
+
+
25Å" 02 + 25Å"
Å"2, + Å"0,52 25 + 20
Å" + Å"
Å" + Å"
= 1 - F(4,62) = 1 - 0,99 = 0,01
8 - (11- 4) 25Å"
- - Å"20
- - Å"
- - Å"
P(t < Å" Å" + 20 - 2) ) = P(t < 0,65) = 1 - F(0,65) = 0,74
< Å" Å"(25 + -
< Å" Å" + -
< Å" Å" + -
+
+
+
25Å" 02 + 25Å"
Å"2, + Å"0,52 25 + 20
Å" + Å"
Å" + Å"
Prawdopodobieństwo, \
e ró\
nica średnich płac posłów i nauczycieli zawiera się w przedziale <4; 8>
wynosi 0,74.
Zadanie 4.2.8
Wiadomo, \
e w pewnym państwie długość \
ycia dla kobiet charakteryzuje się pewnym rozkładem ze
średnią wynoszącą 72,4 lat i odchyleniem standardowym 4,3 lata, zaś w zbiorowości mę\
czyzn, równie\

nieznanym rozkładem, ale ze średnią 68,1 lat oraz odchyleniem standardowym 7,1 lat. Wyznacz
prawdopodobieństwo, \
e w grupie 200 kobiet i w grupie 200 mÄ™\
czyzn
a. przeciętna długości \
ycia jest wy\
szy o co najmniej 4 lata dla kobiet ni\
mÄ™\
czyzn
b. ró\
nica przeciętnej długości \
ycia kobiet i mÄ™\
czyzn zawiera siÄ™ w przedziale <3,1; 6,8> lat.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość  kobiety i mę\
czyz
ni \
yjący w pewnym państwie
zmienna losowa  długość \
ycia
zmienna losowa X ma nieznany rozkład w zbiorowości generalnej ale:
dla kobiet: m1 = 72,4 ´1 = 4,3 oraz próba: n1 = 200
dla mÄ™\
czyzn: m2 = 68,1 ´2 = 7,1 oraz próba: n2 = 200
25
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
szukane:
2 2
(x - x ) - (ma - mb ) ´a ´b
a b
rozkład normalny: ux -x = X - X : N(ma - mb; + )
a b
a ba
2 2
na nb
´a ´b
+
na nb
4 - ( 72,4 - 68,1)
a. P( x - x > 4 ) = P(u > ) = P(u > -0,51) = P(u<0,51) = 0,695
1 2
4,32 7,12
+
200 200
3,1-( 72,4 - 68,1) 6,8 -( 72,4 - 68,1)
b. P(3,1 < x - x < 6,8 ) = P( < u < ) = P(u < 4,24) 
1 2
4,32 7,12 4,32 7,12
+ +
200 200 200 200
- P(u < -2,03)= 0,99  1 + 0,98 = 0,97
Zadanie 4.2.8
Wiadomo, \
e w du\
ych miastach średnia liczba dzieci w rodzinie wynosi 1,63 z odchyleniem
standardowym 0,59 zaś w małych miastach wartości te wynoszą odpowiednio 2,01 i 0,39. Wyznacz
prawdopodobieństwo, \
e w grupie 130 przebadanych rodzin z du\
ych miast i 120 rodzin z małych miast
a. średnia liczba dzieci będzie o co najmniej 0,29 mniejsza w du\
ych miastach ni\
w małych;
b. ró\
nica między średnią liczbą dzieci w du\
ych miastach i małych zawierać się będzie w przedziale od
0,31 do 0,82.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość rodziny mieszkające w du\
ych i małych miastach
zmienna losowa  liczba dzieci w rodzinie
zmienna losowa X ma nieznany rozkład, ale
dla kobiet: m1 = 1,63 ´1 = 0,59 próba: n1 = 130
dla mÄ™\
czyzn: m2 = 2,01 ´2 = 0,39 próba: n2 = 120
szukane:
2 2
(x - x ) - (ma - mb ) ´a ´b
a b
rozkład normalny: ux -x = X - X : N(ma - mb; + )
a b
a ba
2 2
na nb
´a ´b
+
na nb
0,29 -(1,63 - 2,01)
a. P( x - x < 0,29 ) = P(u < ) = P(u < 11,16) = 0,99
1 2
0,592 0,392
+
130 120
26
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
0,31-(1,63 - 2,01) 0,82 -(1,63 - 2,01)
b. P( 0,31 < x - x < 0,82 ) = P( < u < ) =
1 2
0,592 0,392 0,592 0,392
+ +
130 120 130 120
= P(u < 11,5)  P(u < 20,0)= 0,99 - 0,99 = 0,0
Zadanie 4.2.9
W badaniu zawartości alkoholu w serwowanych drinkach przez niektóre kawiarnie w Warszawie
stwierdzono, \
e w drinku CURACAO ORANGE średnia zawartość alkoholu wynosi 40% z odchyleniem
standardowym 1%, zaÅ› w drinku CURACAO BLANC odpowiednio 40% z odchyleniem standardowym
1,3%. Wyznacz prawdopodobieństwo, \
e 150 serwowanych drinkach C.ORANGE i 120 drinkach
C.BLANC
a. średnia zawartość alkoholu będzie ni\
sza w C.ORANGE ni\
C.BLANC;
b. średnia zawartość alkoholu będzie o co najmniej 0,1% wy\
sza w C.ORANGE ni\
C.BLANC.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość - drinki
zmienna losowa  zawartość alkoholu
zmienna losowa X ma nieznany rozkład, ale
CURACAO ORANGE: m1 = 40 ´1 = 1 próba: n1 =150
CURACAO BLANC: m2 = 40 ´2 =1,3 próba: n2 = 120
szukane:
2 2
(x - x ) - (ma - mb ) ´a ´b
a b
rozkład normalny: ux -x = X - X : N(ma - mb; + )
a b
a ba
2 2
na nb
´a ´b
+
na nb
0 - ( 40 - 40 )
a. P( x < x ) = P( x - x < 0 ) = P(u < ) = P(u < 0) = 0,5
1 2 1 2
12 1,32
+
150 120
0,1-( 40 - 40 )
b. P( x - x > 0,1) = P( u > ) = P(u > 0,71) = 1  P(u < 0,71)= 1  0,79 = 0,34
1 2
12 1,32
+
150 120
Zadanie 4.2.10
Z obserwacji wiadomo, \
e średnia długość ciała (bez ogona) małpiatki Katta (małpiatka z rodziny
lamurów) wynosi 40 cm z odchyleniem standardowym 2,5 cm zaś średnia długość ogona 50 cm z
odchyleniem standardowym 1,5 cm. Wyznacz prawdopodobieństwo, \
e wśród 160 przebadanych
małpiatek ze względu na długość ciała i 160 małpiatek przebadanych ze względu na długość ogona:
a. średnia długość ciała jest wy\
sza ni\
średnia długość ogona
b. ró\
nica między średnią długością ciała i średnią długością ogona nie przekroczy 1 cm
c. dopuszczalna ró\
nica między średnią długością ciała i średnią długością ogona nie przekroczy 0,5 cm.
ROZWIAZANIE:
27
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
dane: badana zbiorowość - małpiatki
zmienna losowa  długość ciała i długość ogona
zmienna losowa X ma nieznany rozkład, ale
dÅ‚ugość ciaÅ‚a: m1 = 40 ´1 = 2,6 próba: n1 = 160
dÅ‚ugość ogona: m2 = 40 ´2 = 1,5 próba: n2 =160
szukane:
2 2
(x - x ) - (ma - mb ) ´a ´b
a b
rozkład normalny: ux -x = X - X : N(ma - mb; + )
a b
a ba
2 2
na nb
´a ´b
+
na nb
0 -( 40 - 40 )
a. P( x > x ) = P( x - x > 0 ) = P(u > ) = P(u > 0) = 1  P(u < 0) =
1 2 1 2
2,52 1,52
+
160 160
= 1  0,5 = 0,5
1-( 40 - 40 )
b. P( x - x < 1) = P( u < ) = P(u < 4,35) = 0,99
1 2
2,52 1,52
+
160 160
c. P( x - x < 0,5 ) = P( - 0,5 < x - x < 0,5) = P( x - x < 0,5 ) - P( x - x < -0,5 ) =
1 2 1 2 1 2 1 2
= P( x - x < 0,5 )  [1 - P( x - x < -0,5 )] = 2Å"P( x - x < 0,5 ) -1 =
1 2 1 2 1 2
0,5 -( 40 - 40 )
2Å"P( u < )  1 = 2Å"P(u < 2,17) - 1= 2Å"0,985  1 = 0,97
2,52 1,52
+
160 160
Zadanie 4.2.11
Na podstawie licznych obserwacji stwierdzono, \
e średnia wysokość psa nowofundlanda szarego wynosi
65 cm z odchyleniem standardowym 2,5 cm zaś psa nowofundlanda brązowego - średnia wysokość to 66
cm a odchylenie standardowe 1,5cm. Wyznacz prawdopodobieństwo, \
e w grupie 120 psów z szarą
sierścią ich średnia wysokość będzie o co najmniej 1,1 cm wy\
sza ni\
w grupie 140 psów z brązową
sierścią.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość  psy rasy nowofundlandzkiej
zmienna losowa  wysokość psa
zmienna losowa X ma nieznany rozkład, ale
wysokość psa nowofundlanda szarego: m1 = 40 ´1 = 1
próba: n1 =150
psa nowofundlanda brÄ…zowego: m2 = 40 ´2 =1,3
próba: n2 = 120
28
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
szukane:
2 2
(x - x ) - (ma - mb ) ´a ´b
a b
rozkład normalny: ux -x = X - X : N(ma - mb; + )
a b
a ba
2 2
na nb
´a ´b
+
na nb
1,1-( 65 - 66 )
P( x - x >1) = P( u > ) = P(u > 0,39) = 1 - P(u > 0,39) 1  0,65 = 0,35
1 2
2,52 1,52
+
120 140
29
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.2.8
W losowej grupie 15 chłopców i 15 dziewcząt w wieku 10-12 lat przeprowadzono ankietę dotyczącą
miesięcznej wysokości otrzymywanego kieszonkowego i okazało się, i\
odchylenie standardowe wynosiło
odpowiednio 8 i 8,5 zł. Równocześnie stwierdzono, i\
w badanych grupach 20% chłopców otrzymuje
średnio o co najmniej 36 zł więcej od dziewcząt.
Przyjmujemy, i\
wysokość kieszonkowego jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, gdzie
odchylenie standardowe jest takie samo w obu badanych zbiorowościach.
Wyznacz prawdopodobieństo, \
e ró\
nica średniej wysokości kieszonkowego chłopców i dziewcząt w
badanych zbiorowościach zawiera się w przedziale <34; 38> zł.?
ROZWI
ZANIE:
dane: badane zbiorowości  chłopcy i dziewczęta
zmienna losowa X  wysokość kieszonkowego
chłopy:
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X1 : N(m1;´);
próba: n1 =15; S1 = 8,0;
dziewczęta:
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X2 : N(m2 ;´);
próba: n2 = 15; S2 = 8,5;
szukane:
rozkład t-Studenta:
( x - x ) - (m1- m2 ) n1Å" n2 naÅ" nb
1 2
t = Å" Å"(n1+ n2 - 2 ) X - X : N(ma - mb ; Å"(na + nb - 2 ) )
a b
2 2
na + nb
n1Å" S1 + n2Å" S2 n1+ n2
36 - (m1 - m2 ) 15Å"15
- - Å"
- - Å"
- - Å"
P( x - x > 36) = P(t > Å" Å" + - 2) ) = P(t > 0,32Å"[36 - (m1 - m2 )] =
> Å" Å"(15+ - -
> Å" Å" + - -
1 2 > Å" Å" +15- -
+
+
+
15Å"82 + Å"
Å" +15Å"8,52 15+ 15
Å" + Å"
Å" + Å"
= 1 - P(t < 0,32Å"[36 - (m1 - m2 )] = 1 - F(0,32Å"[36 - (m1 - m2 )] = 0,2
- -
- -
- -
F(0,32Å"(36 - (m1 - m2 ))) = 0,8 F(0,84) = 0,8 0,32Å"[36 - (m1 - m2 )] = 0,84
- -
- -
- -
(m1 - m2 ) = 33,375
-
-
-
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu t-Studenta przy zadanej wartości dystrybuanty
oraz liczbie stopni swobody v = n1 + n2 - 2 )
P(34 < x - x < 38) = P( x - x d" 38)  P( x - x < 34) = 0,99  0,93 = 0,06
1 2 1 2 1 2
38,0 -33,375 15Å"15
P( x - x < 38) = P(t < Å" Å"(15 +15 - 2) ) = F(2,78) = 0,99
1 2
15Å"8,02 +15Å"8,52 15 +15
34,0 -33,375 15Å"15
P( x - x < 34) = P(t < Å" Å"(15 +15 - 2) ) = F(1,5) = 0,93
1 2
15Å"8,02 +15Å"8,52 15 +15
Prawdopodobieństwo, \
e ró\
nica średnich wysokości kieszonkowego chłopców i dziewcząt w badanych
grupach zawiera się w przedziale <34; 38> zł/ wynosi 0,06.
30
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.2.9
W pewnym laboratorium ogrodniczym prowadzone są badania ilości ciepła (w d\
ulach) potrzebnego do
wykiełkowania dwóch gatunków roślin. Z przeprowadzonych doświadczeń wynika, i\
w 20 próbach
roślina A potrzebowała pewną średnią ilość energii z odchyleniem standardowym 3,5 jednostki zaś
roślina B  pewną średnia ilość energi z odchyleniem standardowym 3,4 jednostki. Wyznacz:
a. prawdopodobieństwo, i\
roślina A potrzebuje średnio o co najmniej 16 d\
uli więcej od rośliny B do
wykiełkowania;
b. prawdopodobieństwo, \
e roślina A potrzebuje średnio więcej ciepła ni\
roślina B;
c. prawdopodobieństwo, i\
x - x zawiera siÄ™ w przedziale <8; 10>.
a b
Dodatkowo wiadomo, i\
ilość energii potrzebnej do wykiełkowania rosliny jest zmienną losową o
rozkładzie normalnym, gdzie średnia dla rośliny A wynosi 12 zaś dla B  14 jednostki.
ROZWI
ZANIE:
dane: badane zbiorowości  dwa gatunki roslin
zmienna losowa X - ilości ciepła potrzebnego do wykiełkowania rośliny
roślina A:
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny Xa : N(12;´ )
próba: n1 = 20 Sa = 3,5
roślina B:
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny Xb : N(14;´ )
próba: n2 = 20 Sb = 3,4
szukane:
rozkład t-Studenta:
( x - x ) - (m1- m2 ) n1Å" n2 naÅ" nb
1 2
t = Å" Å"(n1+ n2 - 2 ) X - X : N(ma - mb ; Å"(na + nb - 2 ) )
a b
2 2
na + nb
n1Å" S1 + n2Å" S2 n1+ n2
16 - (12 -14) 20Å"
- - Å"20
- - Å"
- - Å"
a. P( x - x > 16) = P(t > Å" Å" + 20 - 2) ) = P(t > 16) =
Å" Å"(20 + -
Å" Å" + -
1 2 Å" Å" + -
+
+
+
20Å" + 20Å"
Å"3,52 + Å"3,42 20 + 20
Å" + Å"
Å" + Å"
= 1 - P(t < 16) = 1- F(16) = 1 - 0,99 = 0,01
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu t-Studenta przy zadanej wartości dystrybuanty
oraz liczbie stopni swobody v = n1 + n2 - 2 )
Prawdopodobieństwo, i\
roślina A potrzebuje do wykiełkowania średnio o co najmniej 16 jednostek
energii więcej ni\
roślina B wynosi 0,01.
0 - (12 -14) 20Å"
- - Å"20
- - Å"
- - Å"
b. P( x - x > 0 ) = P(t > Å" Å" + 20 - 2) ) = P(t > 1,78) =
Å" Å"(20 + -
Å" Å" + -
1 2 Å" Å" + -
+
+
+
20Å" + 20Å"
Å"3,52 + Å"3,42 20 + 20
Å" + Å"
Å" + Å"
= 1 - P(t < 1,78) = 1- F(1,78) = 1 - 0,96 = 0,04
Prawdopodobieństwo, i\
roślina A potrzebuje średnio więcej ciepła ni\
roślina B wynosi 0,04.
c. P(8 < x - x < 10) = P( x - x < 10) - P( x - x < 8) = 0,01 - 0,01 = 0
1 2 1 2 1 2
10 - (12 -14) 20Å"
- - Å"20
- - Å"
- - Å"
Å" Å"(20 + -
P( x - x < 10 ) = P(t < Å" Å" + 20 - 2) ) = P(t < 15) =
Å" Å" + -
1 2 Å" Å" + -
+
+
+
20Å" + 20Å"
Å"3,52 + Å"3,42 20 + 20
Å" + Å"
Å" + Å"
= 1 - F(15) = 1 - 0,99 = 0,01
31
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
8 - (12 -14) 20Å"
- - Å"20
- - Å"
- - Å"
P( x - x < 8) = P(t < Å" Å" + 20 - 2) ) = P(t < 12,5) =
Å" Å"(20 + -
Å" Å" + -
1 2 Å" Å" + -
+
+
+
20Å" + 20Å"
Å"3,52 + Å"3,42 20 + 20
Å" + Å"
Å" + Å"
= 1 - F(12,5) = 1 - 0,99 = 0,01
Prawdopodobieństwo, i\
ró\
nica średniej ilości energii potrzebnej do wykiełkowania rośliny A i B
zawiera siÄ™ w przedziale <8; 10> wynosi zero.
Zadanie 4.2.10
W pewnym laboratorium chemicznym przeprowadzono badanie zawartości  cukru w cukrze (w %) w
zale\
ności od producenta. Okazało się, i\
dla cukrowni A w przeprowadzonych 10 doświadczeniach
odchylenie standardowe wyniosło 2%, zaś w cukrowni B w 15 eksperymentach  1% oraz P( x - x < 16)
1 2
= 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo, i\
średnia zawartość  cukru w cukrze od producenta A będzie się
ró\
nić od producenta B w granicach od 0 do 18%. Nale\
y przyjąć, i\
zawartość  cukru w cukrze ma
rozkład normalny.
ROZWI
ZANIE:
dane: badane zbiorowości  producenci cukru
zmienna losowa X - zawartości  cukru w cukrze
producent A:
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X1:N(m1;´);
´
´
´
próba: n1 = 10; S1 = 2,0;
=
=
=
producent B:
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X2:N(m2;´);
´
´
´
próba: n2 = 15; S2 =1,0;
=
=
=
P( x - x < 16) = 0,4; P( x - x < 18) = 0,6
1 2 1 2
szukane:
rozkład t-Studenta:
( x - x ) - (m1- m2 ) n1Å" n2 naÅ" nb
1 2
t = Å" Å"(n1+ n2 - 2 ) X - X : N(ma - mb ; Å"(na + nb - 2 ) )
a b
2 2
na + nb
n1Å" S1 + n2Å" S2 n1+ n2
16 - (m1 - m2 ) 10Å"15
- - Å"
- - Å"
- - Å"
P( x - x < 16) = P(t < Å" Å" (10 +15 - 2) ) =
Å" Å" + -
Å" Å" + -
1 2 Å" Å" + -
+
+
+
10Å" 22 + Å"
Å" +15Å"12 10 + 15
Å" + Å"
Å" + Å"
= P(t < 1,58Å"(16 - (m1 - m2 )) = F(1,58Å"(16 - (m1 - m2 )) = 0,4
- - - -
- - - -
- - - -
F(-0,25) = 0,6 1,58Å"(16 - (m1 - m2 ) = -0,25 m1 - m2 = 6,16
- - -
- - -
- - -
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu t-Studenta przy zadanej wartości dystrybuanty
oraz liczbie stopni swobody v = n1 + n2 - 2 )
P(0 < x - x < 18) = P( x - x < 18) - P( x - x < 0) = 0,6 - 0,56 = 0,04
1 2 1 2 1 2
0 -1 10Å"15
- Å"
- Å"
- Å"
P( x - x < 0) = P(t < Å" Å" (10 +15 - 2) ) = P(t < 0,16) = F(0,16) = 0,56
Å" Å" + -
Å" Å" + -
1 2 Å" Å" + -
+
+
+
10Å" 22 + Å"
Å" +15Å"12 10 + 15
Å" + Å"
Å" + Å"
Prawdopodobieństwo, i\
średnia zawartość  cukru w cukrze od producenta A będzie się ró\
nić od
producenta B w granicach (0  18)% wynosi 0,04.
32
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
4.3 ROZKA
AD WARIANCJI
Zadanie 4.3.1
Na pewnej plantacji dyń przeprowadzono pomiar wagi 21 sztuk tego warzywa. Jakie jest
prawdopodobieństwo, \
e wariancja wagi dyń:
a. wyniesie co najwy\
ej 16 kg
b. będzie wy\
sza ni\
1 kg
c. będzie zawierać się w przedziale <8; 14> kg.
Dodatkowo wiadomo, i\
waga dyń ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym 4 kg.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - dynie
zmienna losowa X  waga dyń
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X : N( m;4 )
próba: n = 21;
=
=
=
szukane:
(n -1)Å"S2
2 2
rozkÅ‚ad Ç : Ç =
2
´
(n -1) Å"S2 20Å"1
2
a. P(S >1) = P( > ) = P(Ç2 > 1, 25) = 1 - P(Ç2 < 1, 25) = 1 - F(1,25) =
Ç > = Ç < =
Ç > = Ç < =
Ç > = Ç < =
2
´ 42
= 1- 0,28 = 0,72
(wartość prawdopodobieÅ„stwa odczytujemy z tablic rozkÅ‚adu Ç2 przy zadanej wartoÅ›ci dystrybuanty oraz stopniach swobody
v = n - 1)
Prawdopodobieństwo, i\
wariancja wagi dyń będzie większa od 1 kg wynosi 0,72.
2 2 2
b. P(8 < S < 14) = P(S < 14) - P(S < 8) = 0,41 - 0,03 = 0,38
(n -1) Å"S2 20 Å"14
2
P( S <14 ) = P( < ) = P(Ç2 < 17,5) = F(17,5) = 0,41
Ç <
Ç <
Ç <
2
´ 42
(n -1) Å"S2 20 Å" 8
2
P( S < 8 ) = P( < ) = P(Ç2 < 10 ) = F(10) = 0,03
Ç <
Ç <
Ç <
2
´ 42
Prawdopodobieństwo, \
e wariancja wagi dyń zawiera w przedziale <8; 14> kg wynosi 0,38.
(n -1) Å"S2 20 Å"16
2
c. P(S <16) = P( < ) = P(Ç2 < 20 ) = F(20) = 0,54
Ç <
Ç <
Ç <
2
´ 42
Prawdopodobieństwo, i\
wariancja wagi dyń jest ni\
sza od 16 kg wynosi 0,54.
Zadanie 4.3.2
W pewnej szkole wy\
szej przeprowadzono sprawdzian ortograficzny wśród kilkudziesieciu przypadkowo
spotkanych studentów. Wyznacz prawdopodobieństwo, i\
wariancja liczby błędów popełnianych w grupie
21 studentów będzie wy\
sza od 1,5. Przyjmujemy, i\
liczba błędów robionych przez studentów ma
rozkład normalny z odchyleniem standardowym 1,2.
33
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - studenci
zmienna losowa X - liczba popełnianych błędów na sprawdzianie ortograficznym
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X : N( m;1,2 )
próba: n = 21;
=
=
=
szukane:
2
(n- 1)Å" S
2 2
rozkÅ‚ad Ç : Ç =
´2
2
(n- 1)Å" S 20Å"1,5
P(S > 1,5) = 1 - P(S < 1,5) = 1 - P( < ) = 1 - P(Ç2 < 20,83) =
Ç <
Ç <
Ç <
´2 1,22
= 1 - F(20,83) = 1 - 0,54 = 0,46
(wartość prawdopodobieÅ„stwa odczytujemy z tablic rozkÅ‚adu Ç2 przy zadanej wartoÅ›ci dystrybuanty oraz stopniach swobody
v = n - 1)
Z prawdopodobieństwem 0,46 mo\
emy stwierdzić, \
e wariancja liczby popełnianych błędów
ortograficznych na sprawdzianie przez studentów jest wy\
sza od 1,5.
Zadanie 4.3.3
Pracownicy Instytutu Meteorologii przeprowadzili kilkakrotnie pomiar rocznego opadu śniegu w 21
wybranych miejscowościach górskich i stwierdzili, \
e prawdopodobieństw, i\
odchylenie standardowe
opadu śniegu będzie mniejsze ni\
1,2 m2 wynosi 0,54. WiedzÄ…c, \
e roczny opad śniegu w
miejscowościach górskich ma rozkład normalny, wyznacz odchylenie standardowe w tym rozkładzie.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - studenci
zmienna losowa X - liczba popełnianych błędów na sprawdzianie ortograficznym
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X : N( m;´ )
próba: n = 21;
=
=
=
szukane:
2
(n- 1)Å" S
2 2
rozkÅ‚ad Ç : Ç =
´2
(n -1) Å"S2 20Å"1,22 28,8 28,8
P(S <1,2) = P( < ) = P(Ç2 < ) = F( ) = 0,54
Ç <
Ç <
Ç <
2 2
´ ´ ´2 ´2
´ ´
´ ´
´ ´
28,8 28,8
F( ) = 0,54 F(20) = 0,54 = 20 ´2 = 1, 44 ´ = 1, 2
´ = ´ =
´ = ´ =
´ = ´ =
´2 ´2
´ ´
´ ´
´ ´
(wartość prawdopodobieÅ„stwa odczytujemy z tablic rozkÅ‚adu Ç2 przy zadanej wartoÅ›ci dystrybuanty oraz stopniach swobody
v = n - 1)
Odchylenie standardowe rocznego opadu śniegu w zbiorowości generalnej wynosi 1,2 m2
34
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.3.4
W okolicach Tomaszowa Mazowieckiego, w dolinie Pilicy, znajdujÄ… siÄ™ z
ródła krasowe nazywane
Błękitne y
ródła. Dyrekcja rezerwatu przyrody przeprowadziła wśród losowo wybranych 13 osób ankietę
na temat wysokości akceptowanej odpłatności za wejście do parku. Okazał się, i\
średnia do
zaakceptowania opłata wyniosła 5zł z odchyleniem standardowym 0,2zł. Wyznacz prawdopodobieństwo,
i\
wariancja opłaty za wejscie do parku będzie mniejsza od 0,3zł je\
eli dodatkowo wiadomo, \
e wysokość
połaty za wejście do zaakceptowania ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym 0,2zł.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość -
zmienna losowa X  wysokość odpłatności za wejście do parku
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X : N( m;´ )
próba: n = 13
szukane:
(n -1)Å"S2
2 2
rozkÅ‚ad Ç : Ç =
2
´
(n -1)Å"S2 (13-1) Å"0,32
2 2
P(S > 0,3) = P( S > 0,32 ) = 1 - P( S < 0,32 ) = 1- P( < ) =
2
´ 0,22
= 1 - P(Ç2 < 27 ) = 1 - F(27) = 1  0,99 = 0,01
Ç <
Ç <
Ç <
(wartość prawdopodobieÅ„stwa odczytujemy z tablic rozkÅ‚adu Ç2 przy zadanej wartoÅ›ci dystrybuanty oraz stopniach swobody
v = n - 1)
Z prawdopodobieństwem 0,01 mo\
emy stwierdzić, i\
odchylenie standardowe odsetka osób
popierających wprowadzenie odpłatności przy wejściu do parku jest wy\
sze od 0,3.
Zadanie 4.3.5
Wiadomo, \
e długość fraku noszona przez mę\
czyzn o wzroście 185 cm wynosi 135 cm. Dopuszczalne
odstepstwo od tej długości ma rozkład normalny ze średnią 2,5 cm. Wyznacz nieznany parametr dla
rozkładu ró\
nicy w długości fraka je\
eli dodatkowo wiadomo, \
e przy wielokrotnym pomiarze 13 fraków
zwykle 55% z nich miało odchyleniem standardowym ró\
nicy w długości mniejsze ni\
0,2 cm.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - fraki
zmienna losowa X  odstępstwo od długości fraka
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X : N( m;´ )
2
próba: n = 13; P( S < 0,2) = 0,55;
szukane:
(n -1)Å"S2
2 2
rozkÅ‚ad Ç : Ç =
2
´
(n -1) Å" S2 (13 -1) Å" 0,2 12 Å" 0,2
2
P( S < 0,2 ) = P( < ) = F( ) = 0,55
2 2 2
´ ´ ´
35
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
12 Å" 0,2
F(12) = 0,55 = 12 ´2 = 0, 2 ´ = 0,45
´ =
´ =
´ =
2
´
(wartość prawdopodobieÅ„stwa odczytujemy z tablic rozkÅ‚adu Ç2 przy zadanej wartoÅ›ci dystrybuanty oraz stopniach swobody
v = n - 1)
Odchylenie standardowe w róznicy długości fraka kształtuje się na poziomie 0,45cm.
Zadanie 4.3.6
W pewnej nadmorskiej miejscowości odbywają się corocznie zawody prędkości jachtów.
Prawdopodobieństwo, \
e wśród 12 jachtów jednomasztowych odchylenie standardowe prędkości będzie
wy\
sze ni\
1 węzeł wynosi 0,56 zaś wśród 26 jachtów dwumasztowych co najwy\
ej 1 węzeł  0,97.
WiedzÄ…c, \
e prędkość jachtów ma rozkład normalny wyznacz wariancję prędkości jachtów
jednomasztowych oraz dwumasztowych.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - jachty
zmienna losowa X  prędkość jachtów
jacht jednomasztowy:
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X1 : (m1;´1)
próba: n1 =12 P( S1 > 1) = 0,56;
jacht dwumasztowy:
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X : N(m2;´2 );
2
próba: n2 = 26 P( S2 < 1) = 0,97;
szukane:
(n -1)Å"S2
2 2
rozkÅ‚ad Ç : Ç =
2
´
(n -1)Å"S2 11Å"12 11
P( S1 > 1) = P( S12 > 12 ) = 1 - P( S12 < 1) = 1 - P( < ) = 1 - P(Ç2 < ) =
Ç <
Ç <
Ç <
2
´ ´12 ´1
´
´2
´
11
= 1 - F( ) = 0,32
´1
´
´2
´
11 11
2
F( ) = 0,56 F(10) = 0,56 = 10 ´1 = 1,1
´1 ´1
´ ´
´2 ´2
´ ´
(wartość prawdopodobieÅ„stwa odczytujemy z tablic rozkÅ‚adu Ç2 przy zadanej wartoÅ›ci dystrybuanty oraz stopniach swobody
v = n - 1)
(n -1)Å"S2 25Å"12 25
2
P( S2 < 1) = P( S < 12 ) = P( < ) =F( ) = 0,97
2 2
2
´ ´ ´2
´
´2
´
2
25
F(20) = 0,97 = 20 ´2 = 1,25
2
´2
´
´2
´
Z takim samym prawdopodobieństwem wariancja prędkości była wy\
sza od 1,6 węzła dla jachtów jedno i
dwumasztowych.
36
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.3.7
Wiadomo, \
e ilość potrzebnej piany z gaśnicy pianowej (w m3 ) potrzebnej do ugaszenia 1 m3
powierzchnii ma rozkład normalny z wariancją 1,1 m3 . Wyznacz prawdopodobieństwo, \
e dla losowo
wybranych 11 oraz 26 gaśnic wariancja potrzebnej piany będzie większa ni\
1,6 m3 .
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - gaśnice
zmienna losowa X  ilość piany potrzebnej do ugaszenia 1 m3 powierzchni
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X : N( m;´ )
próba: n2 = 26
szukane:
(n -1)Å"S2
2 2
rozkÅ‚ad Ç : Ç =
2
´
2
(n -1)Å"S1 10Å"1,62
2
P( S12 > 1,6) = 1 - P( S12 < 1,6) = 1 - P( < ) = 1 - P( Ç < 23,27 ) =
´12 1,1
= 1 - F(23,27) = 1  0,99 = 0,01
(n -1)Å"S2 25Å"1,62
2 2 2
2
P( S2 > 1,6) = 1 - P( S2 < 1,6) = 1 - P( < ) = 1 - P( Ç < 51,2 ) =
2
´ 1,25
2
= 1 - F(51,2) = 1  0,99 = 0,01
Zadanie 4.3.5
W pewnym nadleśnictwie przeprowadzono mierzenie długości jemiołuszki. Zmierzono 29 losowo
wybranych ptaków. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e odchylenie standardowe długości ptaka będzie
a. krótsze od 3 cm
b. dłu\
sze od 3,5 cm.
Dodatkowo wiadomo, i\
długość jemiołuszki ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym 4 cm.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - jemiołuszki
zmienna losowa X  długość jemiołuszki
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X : N( m;4 )
próba: n = 29;
=
=
=
szukane:
(n -1)Å"S2
2 2
rozkÅ‚ad Ç : Ç =
2
´
(n -1)Å"S2 28Å"32
a. P(S < 3) = P( < ) = P(Ç2 < 15, 75) = F(15,75) = 0,03
Ç <
Ç <
Ç <
2
´ 42
(wartość prawdopodobieÅ„stwa odczytujemy z tablic rozkÅ‚adu Ç2 przy zadanej wartoÅ›ci dystrybuanty oraz stopniach swobody
v = n - 1)
37
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
(n -1) Å"S2 28Å"3,52
2
b. P(S > 3,5) = 1 - P(S < 3,5) = 1 - P(S < 3,52) = 1- P( < ) =
2
´ 42
= 1 - P(Ç2 < 21, 44) = 1 - F(21,44) = 1 - 0,22 = 0,78
Ç <
Ç <
Ç <
Prawdopodobieństwo, i\
odchylenie standardowe długości jemiołuszki będzie krótsze od 3 cm wynosi
0,03 zaś dłu\
sze od 3,5 cm.  0,78.
38
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
4.4 ROZKA
AD ILORAZU WARIANCJI
Zadanie 4.4.1
Grupa grzybiarzy przeprowadziła zawody w mierzeniu (w cm) kapelusza gąsek \
ółtych i zielonych.
a. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e odchylenie standardowe średnicy kapelusza 28 gąsek \
ółtych będzie
wy\
sze od średnicy kapelusza 26 gąsek zielonych.
b. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e odchylenie standardowe średnicy kapelusza gąsek \
ółtych jest o co
najmniej 50% większe od kapelusza gąsek zielonych.
Dodatkowo wiadomo, i\
średnica kapelusza grzybów ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym
dla gÄ…sek \
ółtych 4 cm a dla zielonych  5 cm.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  grzyby określonego gatunku
X  średnica kapelusza grzybów
gÄ…ski \
ółte:
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X1 : N(m1;4);
próba: n1 = 28;
=
=
=
gÄ…ski zielone:
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X : N(m2;5);
2
próba: n2 = 26;
=
=
=
szukane:
2
S1 ´1
´
´2
´
rozkład F-Snedecora : F =
=
=
=
S2 ´2
´
´2
´
2
2 2
S1 S1 ´12 5 S1 ´12 5
a. P( > 1) = P( > 1Å" ) = 1 - P( < 1Å" ) = 1 - P(F < 1,25) = 1 - F(1,25) = 0,28
2 2
S2 S2 ´ 4 S2 ´2 4
2 2 2
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablicy rozkładu F przy zadanej wartości dystrybuanty oraz stopniach swobody
v1 =n1 -1 oraz v2 = n2 - 1)
Prawdopodobieństwo, i\
odchylenie standardowe średnicy kapelusza gąsek \
ółtych jest wy\
sze od
średnicy kapelusz gąsek zielonych wynosi 0,28.
2 2
S1 S1 ´12 S1 ´12
b. P( > 1,5) = P( > 1,5 ) = 1 - P( <1,5 ) = 1  F(1,5) = 0,26
2 2
S2 S2 ´ S2 ´
2 2 2 2
Prawdopodobieństwo, i\
odchylenie standardowe średnicy kapelusza gąsek \
ółtych jest o co najmniej
50% większe od gąsek zielonych wynosi 0,26.
Zadanie 4.4.2
W dwóch pracowniach malarskich podjęto próbę namalowania w jak najkrótszym czasie kopii obrazu
T.Makowskiego  Szewc . W pierwszej i drugiej pracowni brało udział po 28 zespołów. Jakie jest
prawdopodobieństwo, i\
w drugiej pracowni odchylenie standardowe czasu potrzebnego do namalowania
tego obrazu będzie
a. większe
b. większe o co najmniej 80%
od odchylenia standardowego dla pierwszej pracowni.
Przyjmujemy, i\
czas malowania kopii obrazu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z
odchyleniem standardowym dla pierwszej pracowni 6 godz. a dla drugiej - 4 godz.
39
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  dwie pracownie malarskie
zmienna losowa X  czas namalowania obrazu
pierwsza pracownia:
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X1 : N(m1;6);
próba: n1 = 28;
=
=
=
druga pracownia:
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X : N(m2;4);
2
próba: n2 = 28;
=
=
=
szukane:
2
S1 ´1
´
´2
´
rozkład F-Snedecora: F =
=
=
=
S2 ´2
´
´2
´
2
2
S2 S2 S1 ´12 4
a. P(S2 > S1) = P( > 1) = 1 - P( < 1) = 1 - P( <1Å" ) =
2
S1 S1 S2 ´ 6
2 2
= 1 - P( F < 0,67 ) = 1 - F(0,67) = 1  0,15 = 0,85
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablicy rozkładu F przy zadanej wartości dystrybuanty oraz stopniach swobody
v1 =n1 -1 oraz v2 = n2 - 1)
Prawdopodobieństwo, i\
odchylenie standardowe czasu potrzebnego do namalowania obrazu w drugiej
pracowni jest większe ni\
w pierwszej wynosi 0,85.
2
S2 S2 S1 ´12 4
b. P(S2 >1,8Å" S1) = P( > 1,8) = 1 - P( < 1,8) = 1 - P( < 1,8 Å" ) =
2
S1 S1 S2 ´2 6
2
= 1 - P( F < 1,2 ) = 1 - F(1,2) = 1  0,68 = 0,32
Prawdopodobieństwem, i\
odchylenie standardowe czasu potrzebnego do namalowania obrazu w drugiej
pracowni jest o co najmniej 80% większe ni\
w pracowni pierwszej wynosi 0,32.
Zadanie 4.4.3
W pewnym laboratorium ogrodniczym przeprowadzono pomiar długości 11 korzeni paproci widłaka i 11
korzeni paproci widliszki. Wyznacz prawdopodobieństwo, \
e odchylenie standardowe długości korzenia
paproci widliszki jest o co najmniej 156% dłu\
sze od odchylenia standordowego korzenia paproci
widłaka. Wiadomo, i\
prawdopodobieństwo \
e odchylenie standardowe długości korzenia paproci
widliszki jest większe od odchylenia standardowego paproci widłaka wynosi 0,64. Zakładamy, i\
długość
korzenia obu paproci ma rozkład normalny.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  laboratoria ogrodnicze
zmienna losowa X  długość korzenia paproci
paproć widłaka:
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X1:N(m1;´1);
´
´
´
próba: n1 = 11;
paproć widliszki:
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X2:N(m2;´2 );
´
´
´
próba: n2 = 11;
40
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
´
2
P( >1) = 0,64
´1
szukane:
2
S1 ´1
´
´2
´
rozkład F-Snedecora: F =
=
=
=
S2 ´2
´
´2
´
2
2 2 2 2
´2 ´2 S1 ´1 ´2 ´2 ´2
2
P( > 1) = 1 - P( < 1) = 1 - P( < ) = 1 - P(F < ) = 1 - F( ) = 0,64
2
´1 ´1 S2 ´2 ´1 ´12 ´12
2 2
2
´2 ´2
2
F( ) = 0,36 F(0,80) = 0,36 = 0,80
2
´12 ´1
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablicy rozkładu F przy zadanej wartości dystrybuanty oraz stopniach swobody
v1 =n1 -1 oraz v2 = n2 - 1)
2 2 2 2 2
S2 S2 S1 ´12 ´ ´2
2
P( > 2,56) = 1 - P( < 2,56) = = 1 - P( < 2,56 Å" ) = 1 - P(F < 2,56Å" ) =
2
S12 S12 S2 ´ ´12 ´12
2 2
= 1  P(F < 2,56Å"0,36) = 1  F(0,92) = 1  0,45 = 0,55
Prawdopodobieństwo, \
e odchylenie standardowe długości korzenia paproci widliszki jest dłu\
sze o co
najmniej 156% od odchylenia standardowego długości korzenia paproci widłaka wynosi 0,55.
Zadanie 4.4.4
W pewnej fabryce świec przeprowadzono pomiar czasu spalenia się (w min.) świec zrobionych z dwóch
rodzajów stearyny (A i B). Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e
a. wariancji czasu spalenia się świecy A będzie dłu\
sza o co najmniej 56% od wariancji czasu spalania siÄ™
świecy B;
b. odchylenia standardowego czasu spalania się świecy B będzie dłu\
sze o co najmniej 20% od
odchylenia standardowego czasu spalannia się świecy A.
Dodatkowo wiadomo, i\
czas spalenia się świec ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym dla
świecy A - 2,2 min a świecy B  2,4 min.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  fabryka świec
zmienna losowa X  czas spalania się świec
świeca A:
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X1 : N(m1;2,2);
próba: n1 = 11;
świeca B:
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X : N(m2;2,4);
2
próba: n2 = 11
szukane:
2
S1 ´1
´
´2
´
rozkład F-Snedecora: F =
=
=
=
S2 ´2
´
´2
´
2
41
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
2 2 2
´ ´2 S1 ´12 2,22
2
a. P( > 1,56) = 1 - P( < 1,56) = 1 - P( <1,56Å" ) = 1 - P(F < 1,31) =
2
´12 ´12 S2 ´ 2,42
2 2
= 1 - F(1,31) = 1  0,67= 0,33
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablicy rozkładu F przy zadanej wartości dystrybuanty oraz stopniach swobody
v1 =n1 -1 oraz v2 = n2 - 1)
Prawdopodobieństw, i\
wariancja czasu palenia się świecy B będzie o co najmniej 56% dłu\
sza od
wariancji czasu spalania się świecy A wynosi 0,33.
2 2
´ S1 ´12 2,22
2
b. P( > 1,2) = 1 - P( <1,2Å" ) = P(F < 1,01) = F(1,01) = 0,51
2
´12 S2 ´ 2,42
2 2
Prawdopodobieństwo, i\
wariancja czasu palenia się świecy A będzie o co najmniej 20% dłu\
sza od
wariancji czasu spalania się świecy B wynosi 0,51.
42
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
4.5 ROZKA
AD CZ
STOÅšCI
Zadanie 4.5.1
Kontrola samochodów przewo\
onych koleją z miasta A do B wykazała, \
e 10% z nich ulega zwykle
uszkodzeniu. Obliczyć prawdopodobieństwo, \
e na 144 przewo\
one samochody
a. mniej ni\
18
b. więcej ni\
36
c. od 18 do 36
będzie uszkodzonych.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - samochody
zmienna losowa X  liczba uszkodzonych samochodów
sukces (prawdopodobieństwo uszkodzenia samochodu) p = 0,1;
próba: n = 144
szukane:
w - p p Å" (1 - p)
-
-
-
rozkład normalny: uw = W : N(p; )
=
=
=
p Å" (1 - p) n
Å" -
Å" -
Å" -
n
'
na 18
a. n' = 18 w = = = 0,125
a
n 144
w - p 0,125 - 0,100
P(x < 18) = P(w < 0,125) = P( < ) = P(u < 1) = F(1) = 0,84
p Å"(1- p) 0,10 Å"0,90
n 144
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, \
e na 144 przewo\
one samochody więcej ni\
18 będzie uszkodzonych wynosi
0,84.
'
nb 36
'
b. nb = 36 wb = = = 0,25
n 144
w - p 0,25 - 0,10
P(x > 36) = P(w > 0,25) = P( > ) = P(u > 6) = 1  P(u < 6) = 1 - F(6) =
p Å" (1- p) 0,10 Å" 0,90
n 144
= 1 - 0,99 = 0,01
Prawdopodobieństwo, i\
na 144 przewo\
one samochody co najmniej 36 będzie uszkodzonych wynosi
0,01.
c. P(18 < x < 36) = P(0,125 < w < 0,25) = P(w < 0,25) - P(w < 0,125) = 0,99 - 0,84 = 0,15
Prawdopodobieństwo, \
e na 144 przewo\
one samochody od 18 do 36 będzie uszkodzonych wynosi 0,15.
43
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.5.2
W ka\
dym opakowaniu jest 100 sztuk pewnego towaru. Wadliwość towaru wynosi 1%.
a. Wyznacz prawdopodobieństwo, \
e odsetek złych sztuk towaru będzie większy ni\
0,95.
Jakie jest prawdopodobieństwo, i\
w paczce będzie
b. co najmniej 5 złych sztuk;
c. co najwy\
ej 6 złych sztuk.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - towar
zmienna losowa X  liczba dobrych sztuk towaru
sukces (prawdopodobieństwo wadliwości towar) p = 0,01
próba: n = 100
szukane:
w - p p Å" (1 - p)
-
-
-
rozkład normalny: uw = W : N(p; )
=
=
=
p Å" - p) n
Å"(1 -
Å" -
Å" -
n
w - p 0, 95 - 0, 01
- -
- -
- -
a. P(w > 0,95) = 1 - P(w < 0,95) = 1 - P( < ) = 1 - P(u < 42,7) =
<
<
<
p Å" (1 - p) 0, 05Å" 0, 95
Å" - Å"
Å" - Å"
Å" - Å"
n 100
= 1 - F(42,7) = 1 - 0,99 = 0,01
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablicy dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego przy zadanej
wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, \
e w paczce co najmniej 95% sztuk towaru będzie złych wynosi 0,01.
na 5
b. na = 5; w = = = 0,05
n 100
w - p 0, 05 - 0, 01
P(x > 5) = P(w > 0,05) = 1 - P(w < 0,05) = 1 - P( < ) = 1 - P(u < 2) =
p Å"(1- p) 0, 05Å"0, 95
n 100
= 1 - F(2) = 1  0,98 = 0,02
Prawdopodobieństwo, i\
w paczce będzie co najmniej 5 sztuk złego towaru wynosi 0,02.
nb 6
c. nb = 6 ; w = = = 0,06
n 100
w - p 0, 06 - 0, 01
- -
- -
- -
P(x > 6) = P(w < 0,06) = P( < ) = P(u < 2,5) = F(2,5) = 0,99
<
<
<
p Å" (1 - p) 0, 05Å" 95
Å" - Å"0,
Å" - Å"
Å" - Å"
n 100
Prawdopodobieństwo, i\
w paczce będzie co najwy\
ej 6 sztuk złego towaru wynosi 0,99.
44
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.5.3
W laboratorium fotograficznym wykonującym odbitki czarno-białe stwierdzono, i\
zwykle 10% zdjęć nie
spełnia określonych norm. Jakie jest prawdopodobieństwo, i\
na 144 odbitki
a. mniej ni\
20%
b. więcej ni\
30%
c. mniej ni\
30% i równocześnie więcej ni\
10%
nie będzie spełniać normy ?
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  odbitki czarno-białe
zmienna losowa X  liczba odbitek nie spełniających normy
sukces (prawdopodobieństwotego, \
e odbitka nie spełnia normy) p = 0,1
próba: n = 144;
szukane:
w - p p Å" (1 - p)
-
-
-
rozkład normalny: uw = W : N(p; )
=
=
=
p Å" - p) n
Å"(1 -
Å" -
Å" -
n
w - p 0, 2 - 0,1
- -
- -
- -
a. P(w < 0,2) = P( < ) = P(u < 4) = F(4) = 0,99
<
<
<
p Å" (1 - p) 0,1Å" (1- 0,1)
Å" - Å" -
Å" - Å" -
Å" - Å" -
n 144
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablicy dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości
dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, i\
mniej ni\
20% odbitek nie będzie spełniać normy wynosi 0,99.
w - p 0, 05 - 0,1
- -
- -
- -
b. P(w > 0,3) = P( > ) = P(u > -2) = 1 - P(u < -2) =
>
>
>
p Å" (1 - p) 0,1Å" (1- 0,1)
Å" - Å" -
Å" - Å" -
Å" - Å" -
n 144
= 1 - 1 + P( u < 2) = F(2) = 0,98
Prawdopodobieństwo, i\
co najmniej 30% odbitek nie będzie spełniać normy wynosi 0,98.
c. P( 0,1 < w < 0,3 ) = P( w < 0,3 ) - P( w < 0,1 ) = 0,98 - 0,5 = 0,48
w - p 0,1 - 0,1
- -
- -
- -
P( w < 0,1 ) = P( < ) = P( w < 0) = F(0) = 0,5
<
<
<
p Å" (1 - p) 0,1Å" (1- 0,1)
Å" - Å" -
Å" - Å" -
Å" - Å" -
n 144
Prawdopodobieństwo, i\
od 10% do 30% odbitek nie będzie spełniać normy wynosi 0,48.
45
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.5.4
W pewnym teatrze stwierdzono, i\
1% aktorów przychodzących na próby przedpołudniowe zwykle się
spóz
nia. Jakie jest prawdopodobieństw, i\
z grupy 225 aktorów na próbę spóz
ni siÄ™
a. co najmniej 5 osób
b. co najwy\
ej 15 aktorów?
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - aktorzy
zmienna losowa X  liczba aktorów spóz
niających się na próbę
sukces (prawdopodobieństwo spóz
nienia aktora) p = 0,01,
próba: n = 225
szukane:
w - p p Å" (1 - p)
-
-
-
rozkład normalny: uw = W : N(p; )
=
=
=
p Å" - p) n
Å"(1 -
Å" -
Å" -
n
5
a. na = 5; n = 225 ; w = = 0,02
225
w - p 0, 02 - 0, 01
- -
- -
- -
P(na > 5) = 1 - P( na < 5 ) = 1 - P( w < 0,02 ) = 1 - P( < ) =
<
<
<
p Å" (1- p) 0,02 Å" (1 - 0, 02)
Å" - Å" -
Å" - Å" -
Å" - Å" -
n 225
= 1 - P( u < 1 ) = 1 - F(1) = 1 - 0,84 = 0,16
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablicy dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości
dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, i\
na próbę spóz
ni się więcej ni\
5 osób wynosi 0,16.
15
b. nb = 15 ; n = 225 ; w = = 0,07
225
w - p 0, 07 - 0, 01
- -
- -
- -
P( nb < 15 ) = P( w < 0,07 ) = P( < ) = P( u < 7 ) = F(7) = 0,99
<
<
<
p Å" (1- p) 0, 02 Å" (1 - 0, 02)
Å" - Å" -
Å" - Å" -
Å" - Å" -
n 225
Prawdopodobieństwo, i\
na próbę spóz
ni siÄ™ co najwy\
ej 15 osób wynosi 0,99.
Zadanie 4.5.5
Losowo wybranej grupie 100 osób zadano pytanie o znajomości obsługi komputera. Jakie jest
prawdopodobieństwo, i\
w badanej zbiorowości
a. więcej ni\
12 osób
b. co najwy\
ej 20 i jednocześnie więcej ni\
15
potrafi posługiwać się tym sprzętem skoro wiadomo, i\
umiejętność ta dotyczy co 100 osoby.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - osoby
zmienna losowa X  liczba osób potrafiacych obsługiwać komputer
sukces (prawdopodobieństwo umiejętności obsługi komputera) p = 0,01,
próba: n = 100
46
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
szukane:
w - p p Å" (1 - p)
-
-
-
rozkład normalny: uw = W : N(p; )
=
=
=
p Å" (1 - p) n
Å" -
Å" -
Å" -
n
12
a. na = 12 ; w = = 0,12
100
w - p 0,12 - 0, 01
- -
- -
- -
P( na > 12 ) = 1 - P( na < 12 ) = 1 - P( w < 0,12 ) = 1 - P( < ) =
<
<
<
p Å" (1- p) 0,12 Å" (1- 0,12)
Å" - Å" -
Å" - Å" -
Å" - Å" -
n 100
= 1 - P( 3,7) = 1 - 0,99 = 0,01
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablicy dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości
dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, i\
co najmniej 12 osób umie posługiwać się komputerem wynosi 0,01.
15
b. nb =15; w = = 0,15
100
20
nb = 20; w = = 0,20
100
P( 15 < nb < 20) = P( nb < 20 ) - P( nb < 15 ) = P( w < 0,20 ) - P (w < 0,15 ) = 0,99 - 0,99 = 0
w - p 0, 2 - 0, 01
- -
- -
- -
P( w < 0,20 ) = P( < ) = P( u < 4,75 ) = F(4,75) = 0,99
<
<
<
p Å" (1- p) 0,2 Å" (1 - 0, 2)
Å" - Å" -
Å" - Å" -
Å" - Å" -
n 100
w - p 0,15 - 0, 01
- -
- -
- -
P( w < 0,15 ) = P( < ) = P( u < 3,5 ) = 0,99
<
<
<
p Å" (1- p) 0,15Å" (1- 0,15)
Å" - Å" -
Å" - Å" -
Å" - Å" -
n 100
Prawdopodobieństwo, \
e od 15 do 20 osób umie posługiwać się komputerem jest bliskie zeru.
47
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
4.6 ROZKA
AD RÓśNICY CZ
STOÅšCI
Zadanie 4.6.1
Prawdopodobieństwo zachorowania na grypę dla osób za\
ywajÄ…cych szczepionkÄ™ wynosi 0,05 zaÅ› dla
pozostałych osób 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze częstość zachorowań na grypę w grupie 250
osób za\
ywających szczepionkę będzie
a. mniejsza o co najwy\
ej 3%
b. wy\
sza o co najmniej 5%
ni\
w grupie 200 osób nie stosujących jej?
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość - osoby
zmienna losowa X  odsetek osób stosujących i niestosujących szczepionkę
grupa za\
ywajÄ…ca szczepionkÄ™:
sukces (prawdopodobieństwo zachorowania na grypę przez osoby stosujące szczepionkę)
pa = 0, 05;
próba: na = 250;
grupa nie za\
ywajÄ…ca szczepionki:
sukces (prawdopodobieństwo zachorowania na grypę przez osoby nie za\
ywajÄ…ce
szczepionki) pb = 0,10;
próba: nb = 200;
szukane:
rozkład normalny:
wa - wb - (pa - pb ) pa Å"(1- pa ) pb Å"(1 - pb )
- - -
- - -
- - -
uw - = W1 - W2 : N(pa - pb; + )
=
=
=
-wb
-
-
a
pa Å" (1 - pa ) pb Å" - pb ) na nb
Å" - Å"(1-
Å" - Å" -
Å" - Å" -
+
+
+
+
na nb
wa - wb - (pa - pb ) 0, 03 - (0, 05 - 0,10)
a. P(wa - wb < 0,03) = P( < ) =
pa Å"(1 - pa ) pb Å"(1- pb ) 0, 05Å"0, 95 0,10 Å"0, 90
+ +
na nb 250 200
= P(u < 3,2) = F(3,2) = 0,99
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, \
e częstość zachorowań na grypę w grupie osób za\
ywajÄ…cych szczepionkÄ™ jest
mniejsza o co najwy\
ej 3% ni\
w grupie jej nie stosujÄ…cych wynosi 0,999.
wa - wb - (pa - pb ) 0, 05 - (0, 05 - 0,10)
- - - - -
- - - - -
- - - - -
b. P(wa - wb > 0,05) = P( > ) =
>
>
>
pa Å" (1- pa ) pb Å" (1 - pb ) 0, 05Å" 0, 95 0,10 Å" 0, 90
Å" - Å" - Å" Å"
Å" - Å" - Å" Å"
Å" - Å" - Å" Å"
+ +
+ +
+ +
+ +
na nb 250 200
= P(u > 3,3) = 1 - P(u < 3,3) = 1 - F(3,3) = 1 - 0,99 = 0,01
Prawdopodobieństwo, i\
częstość zachorowań na grypę dla osób za\
ywajÄ…cych szczepionkÄ™ jest o co
najmniej 5% wy\
sza od osób jej nie za\
ywajÄ…cych wynosi 0,01.
48
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.6.2
Prawdopodobieństwo drobnej kradzie\
y w ciÄ…gu doby w oddziale du\
ego domu towarowego z bramkami
kontrolnymi wynosi 0,15 natomiast w oddziałach pilnowanych przez stra\
ników 0,1.
a. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e częstość wystąpienia dni z kradzie\
ami w ciÄ…gu 200 dni w oddziale
z bramkami kontrolnymi będzie większe o co najmniej 5% ni\
w oddziale ze stra\
nikami ?.
b. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e ró\
nica częstości dni z kradzie\
ami w ciÄ…gu 200 dni w oddziale z
bramkami a w oddziale ze stra\
nikami zawiera siÄ™ w przedziale <6; 8>%.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  dom towarowy
zmienna losowa X  częstość kradzie\
y w oddziale z bramkami i ze stra\
nikami
dział z bramkami:
sukces (prawdopodobieństwo kradzie\
y w oddziale z bramkami) pa = 0,15;
próba: na = 200;
dział ze stra\
nikami:
sukces (prawdopodobieństwo kradzie\
y w oddziale ze stra\
nikami) pb = 0,10;
próba; nb = 200;
szukane:
rozkład normalny:
wa - wb - (pa - pb ) pa Å"(1- pa ) pb Å"(1 - pb )
- - -
- - -
- - -
uw - = W1 - W2 : N(pa - pb; + )
=
=
=
-wb
-
-
a
pa Å" (1 - pa ) pb Å" - pb ) na nb
Å" - Å"(1-
Å" - Å" -
Å" - Å" -
+
+
+
+
na nb
wa - wb - ( pa - pb) 0,05 - (0,15 - 0,10)
a. P(wa - wb > 0,05) = P( > ) =
pa Å" (1- pa) pb Å" (1- pb) 0,15Å" 0,85 0,10 Å" 0,90
+ +
na nb 200 200
= P(u > 0) = 1 - P(u < 0) = 1 - F(0) = 0,5
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, i\
częstość dni z kradzie\
ami w oddziale z bramkami kontrolnymi jest o 5%
większa ni\
w oddziale ze stra\
nikami wynosi 0,5.
b. P(0,06 < wa - wb < 0,08) = P(wa - wb < 0,08) - P(wa - wb < 0,06) = 0,84 - 0,63 = 0,21
wa - wb - (pa - pb ) 0, 08 - (0,15 - 0,10)
- - - - -
- - - - -
- - - - -
P(wa - wb < 0,08) = P( < ) = P(u < 1) =
<
<
<
pa Å" - pa ) pb Å" (1 - pb ) 0,15Å" Å"
Å"(1- Å" - Å"0,85 0,10 Å" 90
Å" - Å" - Å" Å"0,
Å" - Å" - Å" Å"
+ +
+ +
+ +
+ +
na nb 200 200
= F(1) = 0,84
wa - wb - (pa - pb ) 0, 06 - (0,15 - 0,10)
- - - - -
- - - - -
- - - - -
P(wa - wb < 0,06) = P( < ) =
<
<
<
pa Å" - pa ) pb Å" (1 - pb ) 0,15Å" Å"
Å"(1- Å" - Å"0,85 0,10 Å" 90
Å" - Å" - Å" Å"0,
Å" - Å" - Å" Å"
+ +
+ +
+ +
+ +
na nb 200 200
= P(u < 0,33) = F(0,33) = 0,63
Prawdopodobieństwo, i\
ró\
nica częstość dni z kradzie\
ami w oddziale z bramkami kontrolnymi a
oddziałami ze stra\
nikami zawiera siÄ™ w przedziale 0,06-0,08 wynosi 0,5.
49
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.6.3
W pewnej miejscowości znajdują się dwa kasyna gry, A i B. Prawdopodobieństwo wygrania w ruletkę w
kasynie A wynosi 0,05 a w kasynie B  0,01. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e grajÄ…c 200 razy w
kasynie A i 300 razy w kasynie B
a. Wyznacz prawdopodobieństwo, \
e grając 200 razy w kasynie A będziemy wygrywać o co najmniej 4%
częściej ni\
grajÄ…c 300 razy w kasynie B.
b. Wyznacz prawdopodobieństwo, \
e grając 200 razy w kasynie A będziemy przegrywać o co najmniej
2% częściej ni\
grajÄ…c 300 razy w kasynie B.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  kasyna do gry
zmienna losowa X  prawdopodobieństwo wygrywania w kasynie
kasyno A:
sukces (prawdopodobieństwo wygrania)pa = 0,05;
=
=
=
próba: na = 200;
kasyno B:
sukces (prawdopodobieństwo wygrania)pb = 0, 01;
=
=
=
próba: nb = 300;
=
=
=
szukane:
rozkład normalny:
wa - wb - (pa - pb ) pa Å"(1- pa ) pb Å"(1 - pb )
- - -
- - -
- - -
uw - = W1 - W2 : N(pa - pb; + )
=
=
=
-wb
-
-
a
pa Å" (1 - pa ) pb Å" - pb ) na nb
Å" - Å"(1-
Å" - Å" -
Å" - Å" -
+
+
+
+
na nb
a. P(wa - wb > 0,04) = 1 - P(wa - wb < 0,04) =
wa - wb - (pa - pb ) 0,04 - (0, 05 - 0, 01)
- - - - -
- - - - -
- - - - -
= 1 - P( < ) = 1 - P(u < 0) =
<
<
<
pa Å" - pa ) pb Å" - pb ) 0,15Å" Å"
Å"(1- Å"(1 - Å"0,85 0,10 Å" 0, 90
Å" - Å" - Å" Å"
Å" - Å" - Å" Å"
+ +
+ +
+ +
+ +
na nb 200 300
= 1 - F(0) = 1 - 0,5 = 0,5
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo wygrania w kasynie A o co najmniej 4% częściej ni\
w kasynie B wynosi 0,5.
wa - wb - ( pa - pb ) 0,02 - (0,05 - 0,01)
b. P(wa - wb < 0,02) = P( < ) =
pa Å"(1- pa ) pb Å"(1- pb ) 0,15Å"0,85 0,10Å"0,90
+ +
na nb 200 300
= P(u < -1) = 1 - P(u < 1) = 1 - F(1) = 1 - 0,84 = 0,16
Prawdopodobieństwo, \
e w kasynie A przegrywamy o co najwy\
ej 2% częściej ni\
w kasynie B wynosi
0,16.
50
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 4.6.4
W sklepie włókienniczym sprzedawane są wyroby z jedwabiu syntetycznego oraz jedwabiu naturalnego.
O rodzaj kupowanego materiału spytano po 225 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, i\
ró\
nica odsetka
osób kupujących te wyroby będzie zawierać się w przedziale <0; 4>%. Ponadto wiemy, i\

prawdopodobieństwo kupienia przez potencjalnego klienta wyrobu z jedwabiu sztucznego wynosi 0,08
zaÅ› z naturalnego 0,06.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  sklep wółkienniczy
zmienna losowa X  odsetek osób kupujących wyroby z jedwabiu syntetycznego oraz
naturalnego
jedwab sztuczny:
sukces (prawdopodobieństwo kupienia wyrobu ze sztucznego jedwabiu) pa = 0,08;
=
=
=
próba: na = 225;
=
=
=
jedwab naturalny:
sukces (prawdopodobieństwo kupienia wyrobu z naturalnego jedwabiu) pb = 0,06;
=
=
=
próba: nb = 225;
=
=
=
szukane:
rozkład normalny:
wa - wb - (pa - pb ) pa Å"(1- pa ) pb Å"(1 - pb )
- - -
- - -
- - -
uw - = W1 - W2 : N(pa - pb; + )
=
=
=
-wb
-
-
a
pa Å" (1 - pa ) pb Å" - pb ) na nb
Å" - Å"(1-
Å" - Å" -
Å" - Å" -
+
+
+
+
na nb
P(0 < wa - wb < 0,04) = P(wa - wb < 0,04) - P(wa - wb < 0) = 0,84 - 0,16 = 0,68
wa - wb - (pa - pb ) 0, 04 - (0,08 - 0, 06)
- - - - -
- - - - -
- - - - -
P(wa - wb < 0,04) = P( < ) = P(u < 1) =
<
<
<
pa Å" - pa ) pb Å" (1 - pb ) 0, 08 Å" 0, 92 0, 06 Å" 0, 94
Å"(1- Å" - Å" Å"
Å" - Å" - Å" Å"
Å" - Å" - Å" Å"
+ +
+ +
+ +
+ +
na nb 225 225
= F(1) = 0,84
wa - wb - (pa - pb ) 0 - (0, 08 - 0, 06)
- - - - -
- - - - -
- - - - -
P(wa - wb < 0) = P( < ) = P(u <-1) =
<
<
<
pa Å" - pa ) pb Å" (1 - pb ) 0, 08 Å" 0, 92 0, 06 Å" 0, 94
Å"(1- Å" - Å" Å"
Å" - Å" - Å" Å"
Å" - Å" - Å" Å"
+ +
+ +
+ +
+ +
na nb 225 225
= 1 - P(u < 1) = 1 - F(1) = 1 - 0,84 = 0,16
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, i\
ró\
nica odsetka osób kupujących wyroby z jedwabiu syntetycznego i
naturalnego zawiera siÄ™ w przedziale <0; 4>% wynosi 0,68.
Zadanie 4.6.5
W pewnych dwóch sieciach sklepów z zabawkami sprzedawane są lalki Doli i Moli.
Prawdopodobieństwo, i\
potencjalny klient kupi lalkę w pierwszej lub drugiej sieci sklepów wynosi
odpowiednio 0,05 i 0,07. Obie sieci w pewnym dniu odwiedziło po 256 klientów. Jakie jest
prawdopodobieństwo, i\
wśród klientów pierwszej sieć sklepów odsetek osób kupiących lalkę będzie o co
najmniej 4% wy\
szy od odsetka osób drugiej sieci.
51
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  sklepy z zabawkami
zmienna losowa X  odsetek osób kupujących lalkę Dolo i Moli
pierwsza sieć sklepów
sukces (prawdopodobieństwo kupienia lalki) pa = 0,05;
=
=
=
próba: na = 256;
=
=
=
druga sieć sklepów
sukces (prawdopodobieństwo kupienia lalki) pb = 0,07;
=
=
=
próba: nb = 256;
=
=
=
szukane:
rozkład normalny:
wa - wb - (pa - pb ) pa Å"(1- pa ) pb Å"(1 - pb )
- - -
- - -
- - -
uw - = W1 - W2 : N(pa - pb; + )
=
=
=
-wb
-
-
a
pa Å" (1 - pa ) pb Å" - pb ) na nb
Å" - Å"(1-
Å" - Å" -
Å" - Å" -
+
+
+
+
na nb
P( wa - wb > 0,04 ) = 1 - P(wa - wb < 0,04) =
wa - wb - (pa - pb ) 0, 04 - (0,05 - 0, 07)
- - - - -
- - - - -
- - - - -
= 1 - P( < ) = 1 - P(u < 3) = 1 - F(3) =
<
<
<
pa Å" - pa ) pb Å" - pb ) 0, 05Å" 0, 95 0, 07 Å" 93
Å"(1- Å"(1 - Å" Å"0,
Å" - Å" - Å" Å"
Å" - Å" - Å" Å"
+ +
+ +
+ +
+ +
na nb 256 256
= 1 - 0,99 = 0,01
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, i\
odsetek osób kupujących w pierwszej sieci sklepów będzie o co najmniej 4%
wy\
szy ni\
odsetek osób kupujących w drugiej sieci sklepów wynosi 0,01.
Zadanie 3.4.23
Wieloletnie obserwacje pozwoliły stwierdzić, \
e zwykle w meczach siatkarskich na 100 zdobytych
punktów dru\
yna \
eńska 5 punktów uzyskuje bezpośrednio z serwisu, a dru\
yna męska  7 punktów.
Wyznacz prawdopodobieństwo, \
e
a. w 86 meczach rozegranych przez ka\
dÄ… z dru\
yn liczba zdobytych punktów z serwisu będzie wy\
sza
dla mÄ™\
czyzn ni\
kobiet;
b. odsetek zdobytych punktów z serwisu w rozegranych przez ka\
dÄ… z dru\
yn 86 meczach będzie o co
najmniej 0,07 wy\
szy dla mÄ™\
czyzn ni\
kobiet.
ROZWI
ZANIE:
dane: badana zbiorowość  mecze siatkówki
zmienna losowa X  liczba punktów zdobyta z serwisu
kobiety (k):
sukces (prawdopodobieństwo zdobycia punktu z serwisu) p = 0,05
próba: n = 86
mÄ™\
czyz
ni (m):
sukces (prawdopodobieństwo zdobycia punktu z serwisu) p = 0,07
próba: n = 86
szukane:
rozkład normalny
52
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
wm - wk - (pm - pk ) pm Å" (1 - pm ) pk Å" (1 - pk )
uw -wb = W1 - W2 : N(pm - pk ; + )
a
nm nk
pm Å"(1 - pm ) pk Å"(1- pk )
+
nm nk
0 -( 0,07 - 0,05 )
a. P( xm > xk ) = P( xm - xk > 0) = P( wm - wk > 0) = P(u < ) =
0,07 Å"0,93 0,05Å"0,95
+
86 86
= P(u > -0,5) = P(u > 0,5) = 0,69
0,07 -( 0,07 - 0,05 )
b. P( wm - wk > 0,07) = P(u < ) = P(u > 1,25) = 1  P(u < 1,25) =
0,07 Å"0,93 0,05Å"0,95
+
86 86
= 1  0,89 = 0,11
Zadanie 1
Wiadomo, \
e w lidze włoskiej piłki no\
nej zwykle 5 zawodników dostawało czerwone kartki w 100
rozegranych meczach, a w lidze angielskie, w 100 rozegranych meczach  7 zawodników. Wyznacz
prawdopodobieństwo, \
e
a. liczba otrzymanych czerwonych kartek przez zawodników w lidze angielskiej będzie większa ni\

w lidze włoskiej, je\
eli rozegranych zostanie w obu ligach po 86 meczy;
b. odsetek uzyskanych czerwonych kartek w 86 meczach w lidze angielskiej będzie wy\
szy o co
najmniej 0,07 ni\
w lidze włoskiej.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość  zawodnicy grający w piłkę no\
nÄ…
zmienna losowa  liczba otrzymanych czerwonych kartek przez zawodnika
liga włoska:
sukces (zawodnik otrzyma \
ółtą kartkę) p = 0,05
próba: n = 86
liga angielska:
sukces (zawodnik otrzyma \
ółtą kartkę) p = 0,07
próba: n = 86
szukane:
rozkład normalny
wm - wk - (pm - pk ) pm Å" (1 - pm ) pk Å" (1 - pk )
uw -wb = W1 - W2 : N(pm - pk ; + )
a
nm nk
pm Å"(1 - pm ) pk Å"(1- pk )
+
nm nk
0 -( 0,07 - 0,05 )
a. P( xm > xk ) = P( xm - xk > 0) = P( wm - wk > 0) = P(u > ) =
0,07 Å"0,93 0,05Å"0,95
+
86 86
= P(u > -0,5) = P(u > 0,5) = 0,69
53
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
0,07 -( 0,07 - 0,05 )
b. P( wm - wk > 0,07) = P(u < ) = P(u > 1,25) = 1  P(u < 1,25) =
0,07 Å"0,93 0,05Å"0,95
+
86 86
= 1- 0,89 = 0,11
Zadanie 2
Z przeprowadzonej ankiety wśród mieszkańców du\
ych miast wynika, \
e 10% z nich regularnie chodzi
do kina, zaś wśród mieszkańców małych miast  8%. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e w grupie 200
mieszkańców du\
ych miast i 180 osób małych miast:
a. liczba osób uczęszczających do kina będzie wy\
sza w du\
ych miastach ni\
w małych;
b. liczba osób uczęszczających do kina w du\
ych miastach będzie wy\
sza o co najmniej 10% w
stosunku do małych miast .
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość  mieszkańcy du\
ych i małych miast
zmienna losowa  liczba osób chodzących do kina
du\
e miasta (m):
sukces (prawdopodobieństwo pójścia do kina) p = 0,10
próba: n = 200
małe miasta (k):
sukces (prawdopodobieństwo pójścia do kina) p = 0,08
próba: n = 180
szukane:
rozkład normalny
wm - wk - (pm - pk ) pm Å" (1 - pm ) pk Å" (1 - pk )
uw -wb = W1 - W2 : N(pm - pk ; + )
a
nm nk
pm Å"(1 - pm ) pk Å"(1- pk )
+
nm nk
0 -( 0,10 - 0,08 )
a. P( xm > xk ) = P( xm - xk > 0) = P( wm - wk > 0) = P(u > ) =
0,10Å"0,90 0,08Å"0,92
+
200 180
= P(u > 0,67) = 1 - P(u < 0,67) = 1  0,75 = 0,25
0,10 -( 0,10 - 0,08 )
b. P( wm - wk > 0,1) = P(u < ) = P(u > 2,67) = 1  P(u < 2,67) =
0,10Å"0,90 0,08Å"0,92
+
200 180
= 1  0,996 = 0,004
Zadanie 3.
Wiadomo, \
e sześć osób na sto jest  wra\
liwych na reklamÄ™ wizualnÄ… zaÅ› osiem na sto - na reklamÄ™
 słowną . Oblicz prawdopodobieństwo, \
e w grupie 300 osób poddanych działaniu reklamy  wizualnej i
300 osób poddanych działaniu reklamy  słownej
54
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
a. więcej osób ulegnie wpływowi reklamy  słownej ni\
 wizualnej
b. o co najmniej 5% więcej osób ulegnie wpływowi reklamy wizualnej w porównaniu z reklamą
 słowną ;
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość - ludzie
zmienna losowa  liczba osób ulegająca wpływowi reklamy
reklama wizualna (m):
sukces (prawdopodobieństwo ulegnięcia wpływowi reklamy wizualnej) p = 0,06
próba: n = 300
reklama słowna (k):
sukces (prawdopodobieństwo ulegnięcia wpływowi reklamy słownej) p = 0,08
n = 300
szukane:
rozkład normalny
wm - wk - (pm - pk ) pm Å" (1 - pm ) pk Å" (1 - pk )
uw -wb = W1 - W2 : N(pm - pk ; + )
a
nm nk
pm Å"(1 - pm ) pk Å"(1- pk )
+
nm nk
0 -( 0,06 - 0,08 )
a. P( xm < xk ) = P( xm - xk < 0) = P( wm - wk < 0) = P(u > ) =
0,06Å"0,94 0,08Å"0,92
+
200 200
= P(u < 1) = 0,84
0,05 -( 0,06 - 0,08 )
b. P( wm - wk > 0,05) = P(u > ) = P(u > 3,5) = 1  P(u < 3,5) =
0,06Å"0,94 0,08Å"0,92
+
300 300
= 1  0,99 = 0,01
Zadanie
Z licznych obserwacji wiadomo, \
e co 16-ty klient stacji CPN korzysta z  mechanicznego odkurzacza a
co 20 osoba o posprzątanie w samochodzie prosi obsługę stacji. Wyznacz prawdopodobieństwo, \
e
a. spośród pierwszych 100 klientów odwiedzających stację CPN z  mechanicznego odkurzacza
skorzysta więcej osób ni\
spośród kolejnych 120 osób - z pomocy obsługi;
b. wśród 100 klientów odwiedzających CPN w godzinach porannych o co najmniej 1% więcej osób
skorzysta z  mechanicznego odkurzacza ni\
spośród 120 klientów CPN w godzinach popołudniowych -
z pomocy obsługi.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość  osoby przyje\
d\
ajÄ…ce na stacjÄ™ CPN
zmienna losowa  liczba osób korzystających z  pomocy sprzątającej na stacji
mechaniczny odkurzacz (m):
sukces (prawdopodobieństwo skorzystania z pomocy mechanicznego odkurzacza)
p = 0,06
próba: n = 100
obsługa stacji (k):
55
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
sukces (prawdopodobieństwo skorzystania z pomocy pracowników obsługi) p = 0,05
próba: n = 120
szukane:
rozkład normalny
wm - wk - (pm - pk ) pm Å" (1 - pm ) pk Å" (1 - pk )
uw -wb = W1 - W2 : N(pm - pk ; + )
a
nm nk
pm Å"(1 - pm ) pk Å"(1- pk )
+
nm nk
0 -( 0,06 - 0,05 )
a. P( xm > xk ) = P( xm - xk < 0) = P( wm - wk > 0) = P(u > ) =
0,06Å"0,94 0,05Å"0,95
+
100 120
= P(u >-0,33) = P(u < 0,33) = 0,63
0,05 -( 0,06 - 0,05 )
b. P( wm - wk > 0,01) = P(u > ) = P(u > 0,67) = 1  P(u < 0,67) =
0,06Å"0,94 0,08Å"0,92
+
300 300
= 1  0,75 = 0,25
Zadanie
Stwierdzono, \
e co setna pytana osoba jest kolekcjonerem figurek porcelanowych a jedna na 200 osób -
figurek szklanych.
Jakie jest zatem prawdopodobieństwo tego, \
e:
a. w grupie 200 badanych osób z Krakowa odsetek osób posiadających porcelanowe figurki będzie
większy ni\
wśród 120 osób z Poznania - mających fajansowe szklane;
b. odsetek osób posiadających figurki porcelanowe z Krakowa będzie o co najmniej 0,005 większy ni\
w
grupie osób z Poznania posiadających figurki szklane.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość  ludzie
zmienna losowa  odsetek osób posiadających figurki porcelanowe lub szklane
osoby posiadajÄ…ce figurki porcelanowe (m):
sukces (prawdopodobieństwo kolekcjonowania figurek porcelanowych) p = 0,01
próba: n = 200
osoby posiadajÄ…ce figurki szklane (k):
sukces (prawdopodobieństwo kolekcjonowania figurek szklanych) p = 0,005
próba: n = 120
szukane:
rozkład normalny
wm - wk - (pm - pk ) pm Å" (1 - pm ) pk Å" (1 - pk )
uw -wb = W1 - W2 : N(pm - pk ; + )
a
nm nk
pm Å"(1 - pm ) pk Å"(1- pk )
+
nm nk
56
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
0 -( 0,01- 0,005 )
a. P( wm > wk ) = P( wm - wk > 0) = P(u > ) =
0,01Å"0,99 0,005Å"0,995
+
200 120
= P(u >-0,5) = P(u < 0,5) = 0,69
0,005 - ( 0,01 - 0,005 )
b. P( wm - wk > 0,005) = P(u > ) =
0,01Å" 0,99 0,005 Å" 0,995
+
200 120
= P(u > 0) = 1 - P(u < 0) = 1 - 0,5 = 0,5
Zadanie
Z licznych badań wynika, \
e wydajność (udział mięsa w masie ciała) bydła rzez
nego rasy A wynosi 86%,
zaś rasy B  82%. Wyznacz prawdopodobieństwo, \
e wśród 200 sztuk bydła rasy A i 200 sztuk bydła rasy
B
a. wydajność rasy A będzie o co najmniej 4 punkty procentowe wy\
sza od wydajności bydła rasy B oraz
b. ró\
nica w wydajności między rasą A i B nie będzie większa ni\
4% punkty procentowe.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość - bydło
zmienna losowa  wydajność bydła
bydło rasy A:
sukces (procent mięsa w masie ciała) p = 0,86
próba: n = 200
bydło rasy B:
sukces (procent mięsa w masie ciała) p = 0,82
n = 120
szukane:
rozkład normalny
wm - wk - (pm - pk ) pm Å" (1 - pm ) pk Å" (1 - pk )
uw -wb = W1 - W2 : N(pm - pk ; + )
a
nm nk
pm Å"(1 - pm ) pk Å"(1- pk )
+
nm nk
0,04 -( 0,86 - 0,82 )
a. = P( wm - wk > 0,04) = P(u > ) = P(u > 0) = 1 - P(u < 0) =
0,86Å"0,14 0,82Å"0,18
+
200 120
= 1 - 0,5 = 0,5
0 -( 0,86 - 0,82 ) 0,04 -( 0,86 - 0,82 )
b. P(-0,04 < wm - wk < 0,04) = P( < u < ) =
0,86Å"0,14 0,82Å"0,18 0,86Å"0,14 0,82Å"0,18
+ +
200 120 200 120
57
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
= P(-2 < u < 0) = P(u < 0)  P(u < -2) = P(u < 0) -1 + P(u < 2) = 0,5  1 + 0,96 = 0,46
Zadanie
Z wieloletnich badań wynika, \
e w państwie A co setny mieszkaniec jest zwolennikiem rządów
absolutnych, zaś w państwie B  jedna osoba na 120 mieszkańców popiera ten rodzaj władzy. Jakie jest
prawdopodobieństwo, \
e wśród 260 mieszkańców państwa A i 320 osób z państwa B
a. co najmniej 12% więcej osób będzie zwolenników rządów absolutnych w państwie A ni\
w państwie
B;
b. ró\
nica odsetka zwolenników tych rządów między państwem A i B nie przekroczy 5%.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość mieszkańcy państwa A i B
zmienna losowa  osoby popierajÄ…ce rzÄ…dy absolutne
państwo A:
sukces (prawdopodobieństwo popierania przez ludność rządów absolutnych)
p = 0,01
próba: n = 260
państwo B:
sukces (prawdopodobieństwo popierania przez ludność rządów absolutnych)
p = 0,008
próba: n = 320
szukane:
rozkład normalny
wm - wk - (pm - pk ) pm Å" (1 - pm ) pk Å" (1 - pk )
uw -wb = W1 - W2 : N(pm - pk ; + )
a
nm nk
pm Å"(1 - pm ) pk Å"(1- pk )
+
nm nk
0,12 -( 0,01- 0,008 )
a. = P( wm - wk > 0,12) = P(u > ) = P(u > 14,75) =
0,01Å"0,99 0,008Å"0,992
+
260 320
= 1 - P(u < 14,75) = 1 - 0,99 = 0,01
- 0,05 -( 0,01- 0,008 ) 0,05 -( 0,01- 0,008 )
b. P(-0,05 < wm - wk < 0,05) = ( < u < )
0,01Å"0,99 0,008Å"0,992 0,01Å"0,99 0,008Å"0,992
+ +
260 320 260 320
= P(-6,5 < u < 6) = P(u < 6)  P(u < -6,5) = P(u < 6) -1 + P(u < 6,5) = 0,99  1 + 0,99 = 0,98
Zadanie
58
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Wiadomo, \
e w pewnym kraju jedna na 1000 kobiet nie spo\
ywa alkoholu, zaś wśród mę\
czyzn  jedna
osoba na 800. Oblicz prawdopodobieństwo, \
e w grupie 300 kobiet i 280 mÄ™\
czyzn
a. odsetek nie spo\
ywających alkoholu kobiet będzie o co najmniej 1,8% większy ni\
u mÄ™\
czyzn;
b. ró\
nica odsetka osób nie spo\
ywających alkoholu między kobietami a mę\
czyznami nie przekroczy
5%.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość  kobiety i mę\
czyz
ni
zmienna losowa  odsetek osób spo\
ywajÄ…cych alkohol
kobiety:
sukces (prawdopodobieństwo spo\
ywania alkoholu przez kobiety) p = 0,001
próba: n = 300
mÄ™\
czyz
ni:
sukces (prawdopodobieństwo spo\
ywania alkoholu przez mÄ™\
czyzn) p = 0,00125
próba: n = 280
szukane:
rozkład normalny
wm - wk - (pm - pk ) pm Å" (1 - pm ) pk Å" (1 - pk )
uw -wb = W1 - W2 : N(pm - pk ; + )
a
nm nk
pm Å"(1 - pm ) pk Å"(1- pk )
+
nm nk
0,018 -( 0,001- 0,00125 )
a. = P( wm - wk > 0,018) = P(u > ) = P(u > 6,54) =
0,001Å"0,999 0,00125Å"0,99875
+
300 280
= 1 - P(u < 6,64) = 1 - 0,99 = 0,01
b. P(-0,05 < wm - wk < 0,05) =
- 0,05 -( 0,001- 0,00125 ) 0,05 -( 0,001- 0,00125 )
P( < u < ) =
0,001Å"0,999 0,00125Å"0,99875 0,001Å"0,999 0,00125Å"0,99875
+ +
300 280 300 280
= P(-17,8 < u < 18,0) = P(u < 18,0)  P(u < -17,8) = P(u < 18) -1 + P(u < 17,8) =
= 0,99  1 + 0,99 = 0,98
59