Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
ROZDZIAA 3
WYBRANE TYPY
ROZKAADÓW
1
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
3.1 ROZKAAD ZERO-JEDYNKOWY
Zadanie 3.1.1
W meczu piłki koszykowej jeden z zawodników został sfaulowany i sędzia zarządził jeden rzut osobisty.
Prawdopodobieństwo, i\ zawodnik trafi do kosza wynosi 0,7.
a. Wyznacz algebraicznie i graficznie funkcję prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę liczby trafień do
kosza.
b. jaka jest średnia i odchylenie standardowe liczy trafień do kosza.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość - zawodnik
zmienna losowa X liczba trafień tj.: 1 - trafienie do kosza; 0 - nie trafienie do kosza
prawdopodobieństwo sukcesu (trafienie do kosza) p = 0,7
prawdopodobieństwo pora\ki (nie trafienie do kosza) q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3
szukane:
a. funkcja prawdopodobieństwa
0 1
xi
0,3 0,7
pi
dystrybuanta
x < 0
Å„Å‚
ôÅ‚007
F ( X ) = , 0 d" x < 1
òÅ‚
ôÅ‚
1 x e" 1
ół
1 1
0,8 0,8
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0
0
0 1 2
0 1 2
liczba trafień do kosza
liczba trafień do kosza
k
b. E(X) = Å" pi = 0Å"0,1+1Å"0,9 = 0,9 lub E(X) = p = 0,9 = 0,9
"xi
i=1
k
2
D(X) = - E(X)] Å" pi = ( 0 - 0,9 )2 Å"0,1+(1- 0,9 )2 Å"0,9 = 0,3 lub
"[xi
i=1
D(X) = p Å"q = 0,1Å"0,9 = 0,3.
Średnia liczba trafień do kosza w jednokrotnym rzucie wynosi 0,9 z odchyleniem standardowym - 0,3.
2
dystrybuanta
prawdopodobie
Å„
stwo
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 3.1.2.
W szkole "hartu ducha" zorganizowano po raz kolejny wyprawÄ™ po "dzikich" terenach parku
Kampinoskiego. Szef grupy ocenił, na podstawie wcześniejszych doświadczeń, i\ prawdopodobieństwo
powodzenia wyprawy - wszyscy zawodnicy dotrwają do końca wyprawy - wynosi 0,75. Wyznacz:
a. algebraicznie i graficznie funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę dla powodzenia wyprawy,
b. parametry tego rozkładu.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość osoby uczestniczące w wyprawie
zmienna losowa X powodzenie wyprawy: 1 - wszyscy uczestnicy dotrwają do końca
wyprawy, 0 - nie wszyscy uczestnicy dotrwają do końca wyprawy
prawdopodobieństwo sukcesu (wszyscy uczestnicy dotrwają do końca wyprawy)
p = 0,75
prawdopodobieństwo pora\ki (nie wszyscy uczestnicy dotrwają do końca wyprawy)
q = 1 - p = 1 - 0,75 = 0,25
szukane:
a. funkcja prawdopodobieństwa
0 1
xi
0,25 0,75
pi
dystrybuanta
0 x < 0
Å„Å‚
ôÅ‚0,75
F( X ) = 0 d" x <1
òÅ‚
ôÅ‚
1 x e"1
ół
1
1
0,8
0,6
0,5
0,4
0,2
0
0
0 1 2
0 1 2
szanse powodzenia wyprawy
szanse powodzenia wyprawy
2
b. E(X) = p = 0,75; lub E(X) = Å" pi = 0Å"0,25 +1Å"0,75 = 0,75
"xi
i=1
D(X) = pÅ"q = 0,75Å"0,25 = 0,44 lub
2
2
D2(X) = - E(X)] Å" pi = ( 0 - 0,75 )2 Å"0,25 + (1- 0,75 )2 Å"0,75 = 0,19
"[xi
i=1
Średnia liczba wypraw kończących się sukcesem wynosi 0,75 z odchyleniem standardowym 0,18.
3
dystrybuanta
prawdopodobie
Å„
stwo
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 3.1.3
W SGH przeprowadzane są komputerowe egzaminy prawa jazdy. Prawdopodobieństwo, \e student
poprawnie odpowie na wszystkie pytania zawarte w teście wynosi 0,9. Wyznacz algebraicznie i graficznie
funkcję prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę dla wyniku zdawanego egzaminu.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość studenci zdający egzamin
zmienna losowa X - wynik z egzaminu: 1 - student zdał egzamin,
0 - student nie zdał egzaminu
prawdopodobieństwo sukcesu (student zdał egzamin) p = 0,90
prawdopodobieństwo pora\ki (student nie zdał egzaminu) q = 1 - p = 1 - 0,90 = 0,10
szukane:
funkcja prawdopodobieństwa
0 1
xi
0,10 0,90
pi
dystrybuanta
0 x < 0
Å„Å‚
ôÅ‚0,90
F(X) = 0 d" x <1
òÅ‚
ôÅ‚
1 x e" 1
ół
1
1
0,8
0,6
0,5
0,4
0,2
0
0
0 1 2
0 1 2
wynik egzaminu
wynik egzaminu
4
dystrybuanta
prawdopodobie
Å„
stwo
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
3.2 ROZKAAD DWUMIANOWY
Zadanie 3.2.1
W małym zakładzie krawieckim szwaczki pracują na 10 maszynach do szycia typu "Aucznik".
Zakładając, \e awaria ka\dej maszyny jest jednakowo prawdopodobna oraz \e prawdopodobieństwo
awarii maszyny oraz pracy bezawaryjnej jest jednakowe w ciągu miesiąca, wyznaczyć
prawdopodobieństwo, \e przez cały miesiąc awarii ulegną:
a. więcej ni\ 4 maszyny,
b. dokładnie 6 maszyn.
c. Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe dla liczby awarii maszyna w ciągu miesiąca.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość maszyny do szycia
zmienna losowa X liczba maszyn do szycia, która ulegnie awarii w ciągu miesiąca;
zmienna losowa mierzalna, skokowa
sukces (awaria maszyny) p = 0,5;
pora\ka (praca bez awaryjna maszyny) q = 1 - p = 0,5
próba: n = 10;
mała liczba doświadczeń; du\e prawdopodobieństwo sukcesu;
n
ëÅ‚ öÅ‚Å"
schemat Bernoulliego: P( X = k) = pk Å"(1- p)n-k
ìÅ‚k ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: n - liczba doświadczeń; k-liczba sukcesów w n zdarzeniach;
p - prawdopodobieństwo sukcesu; (1 - p) = q - prawdopodobieństwo pora\ki.
szukane:
a. P(x > 4) = 1 - P(x d" 4) = 1 - [P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4)] =
= 1 - [0,001 + 0,010 + 0,044 + 0,117 + 0,205] = 1 - 0,377 = 0,623
10
ëÅ‚ öÅ‚Å"0,5 Å"(1- 0,5)10-0 = 10! Å"0,50 Å"0,510 = 0,001
0
P(x = 0 ) =
ìÅ‚ ÷Å‚
0
0!Å"(10 - 0)!
íÅ‚ Å‚Å‚
10 10!
ëÅ‚ öÅ‚
P(x = 1) = Å" 0,51 Å" (1- 0,5)10-1 = Å" 0,51 Å" 0,59 = 0,010
ìÅ‚ ÷Å‚
1
1!Å"(10 -1)!
íÅ‚ Å‚Å‚
10
ëÅ‚ öÅ‚Å"0,5 Å"(1- 0,5)10-2 = 10! Å"0,52 Å"0,58 = 0,044
2
P(x = 2) =
ìÅ‚ ÷Å‚
2
2!Å"(10 - 2)!
íÅ‚ Å‚Å‚
10
ëÅ‚ öÅ‚Å"0,5 Å"(1- 0,5)10-3 = 10! Å"0,53 Å"0,57 = 0,117
3
P(x = 3) =
ìÅ‚ ÷Å‚
3
3!Å"(10 - 3)!
íÅ‚ Å‚Å‚
10
ëÅ‚ öÅ‚Å"0,5 Å"(1- 0,5)10-4 = 10! Å"0,54 Å"0,56 = 0,205
4
P(x = 4) =
ìÅ‚ ÷Å‚
4
4!Å"(10 - 4)!
íÅ‚ Å‚Å‚
Prawdopodobieństwo, i\ w ciągu miesiąca ulegną awarii więcej ni\ cztery maszyny do szycia wynosi
0,62.
10
ëÅ‚ öÅ‚Å"0,5 Å"(1- 0,5)10-6 = 10! Å"0,56 Å"0,54 = 0,205
6
b. P(x = 6) =
ìÅ‚ ÷Å‚
6
6!Å"(10 - 6)!
íÅ‚ Å‚Å‚
5
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Prawdopodobieństwo, i\ w ciągu miesiąca dokładnie 6 maszyn ulegnie awarii wynosi 0,21.
c. E(x) = nÅ" p =10Å"0,5 = 5 ; D(x) = nÅ" pÅ" q = 10 Å" 0,5 Å" 0,5 = 1,58 .
Mo\emy przypuszczać, \e przeciętnie w miesiącu ulega awarii 5 maszyn z odchyleniem standardowym
1,58 maszyny.
Zadanie 3.2.2
W pewnej dru\ynie piłkarskiej szansa na strzelenie gola w czasie meczu jest wykorzystywana zwykle 20
razy na 100 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo strzelenia w jednym meczu
a. dokładnie jednego gola,
b. więcej ni\ dwa gole,
c. co jest bardziej prawdopodobne, \e w meczu zostanÄ… strzelone dwie bramki czy jedna,
d. jaka jest średnia liczba bramek strzelona zwykle w meczu
przy zało\eniu, \e dru\yna piłkarska odda 20 strzałów na bramkę.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość mecze piłkarskie
zmienna losowa X liczba strzelonych bramek w jednym meczu;
zmienna losowa mierzalna, skokowa
np = 100; n'p = 20;
n'p 20
sukces (strzelenie bramki) p = = = 0,2;
np 100
pora\ka (nie strzelenie bramki) q = 1 p = 0,8
próba: n = 20
mała liczba doświadczeń; du\e prawdopodobieństwo sukcesu;
n
ëÅ‚ öÅ‚Å"
schemat Bernoulliego: P( X = k) = pk Å"(1- p)n-k
ìÅ‚k ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: n - liczba doświadczeń; k-liczba sukcesów w n zdarzeniach;
p - prawdopodobieństwo sukcesu; (1 - p) = q - prawdopodobieństwo pora\ki.
szukane:
20
ëÅ‚ öÅ‚Å"0,2 Å"(1- 0,2)20-1 = 20! Å"0,21 Å"0,819 = 0,058
1
a. P(x =1) =
ìÅ‚ ÷Å‚
1
1!Å"(20 -1)!
íÅ‚ Å‚Å‚
Prawdopodobieństwo strzelenia jednego gola w meczu wynosi 0,058.
b. P(x > 2) = 1 - P(x d" 2) = 1 - {P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)} = 1 - (0,012 + 0,058 + 0,137) =
= 0,793
20 20!
ëÅ‚ öÅ‚
P(x = 0) = Å" 0,20 Å" (1 - 0,2)20-0 = Å" 0,20 Å" 0,820 = 0,012
ìÅ‚ ÷Å‚
0
0!Å"(20 - 0)!
íÅ‚ Å‚Å‚
20
ëÅ‚ öÅ‚Å"0,2 Å"(1- 0,2)20-1 = 20! Å"0,21 Å"0,819 = 0,058
1
P(x =1) =
ìÅ‚ ÷Å‚
1
1!Å"(20 -1)!
íÅ‚ Å‚Å‚
6
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
20
ëÅ‚ öÅ‚Å"0,2 Å"(1- 0,2)20-2 = 20! Å"0,22 Å"0,818 = 0,137
2
P(x = 2) =
ìÅ‚ ÷Å‚
2
2!Å"(20 - 2)!
íÅ‚ Å‚Å‚
Prawdopodobieństwo strzelenia w meczu więcej ni\ dwa gole wynosi 0,793.
c. P(x = 1) = 0,058 < P(x = 2) = 0,137
Bardziej prawdopodobne jest, i\ w meczu zostanÄ… strzelone dwie bramki a nie jedna bo
P(x = 1) < P(x = 2).
d. E(x) = nÅ"p = 20Å"0,2 = 4
Mo\emy spodziewać się, \e średnia liczba bramek strzelonych w jednym meczu wyniesie 4 gole przy
zało\eniu, \e na bramkę zostanie oddanych 20 strzałów.
Zadanie 3.2.3
Do kiosku dostarczono 20 szt. nowego numer magazynu "Lis". Częstość zle wydrukowanego magazynu
wynosi 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo, i\ w dostarczonej partii będzie zle wydrukowany
a. jeden magazyn
b. więcej ni\ jeden magazyn.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość magazyn Lis
X liczba zle wydrukowanych czasopism
zmienna losowa mierzalna, skokowa
sukces (zle wydrukowany magazyn) p = 0,4;
pora\ka (dobrze wydrukowany magazyn) q = 0,6
próba: n = 20
mała liczba doświadczeń; du\e prawdopodobieństwo sukcesu;
n
ëÅ‚ öÅ‚Å"
schemat Bernoulliego: P( X = k) = pk Å"(1- p)n-k
ìÅ‚k ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: n - liczba doświadczeń; k-liczba sukcesów w n zdarzeniach;
p - prawdopodobieństwo sukcesu; (1 - p) = q - prawdopodobieństwo pora\ki.
szukane:
20
ëÅ‚ öÅ‚Å"0,4 Å"(1- 0,4)20-1 = 20! Å"0,41 Å"0,619 = 0,0005
1
a. P(x =1) =
ìÅ‚ ÷Å‚
1
1!Å"(20 -1)!
íÅ‚ Å‚Å‚
Prawdopodobieństwo, i\ w dostarczonej partii 1 magazyn będzie zle wydrukowany jest bliskie zeru.
b. P(x > 1) = 1 - P(x d" 1) = 1 - [P(x = 0) + P(x = 1)] = 1- [0,0005 + 0,0001] = 0,9994
20
ëÅ‚ öÅ‚Å"0,4 Å"(1- 0,4)20-0 = 20! Å"0,40 Å"0,620 = 0,0001
0
P(x = 0) =
ìÅ‚ ÷Å‚
0
0!Å"(20 - 0)!
íÅ‚ Å‚Å‚
Prawdopodobieństwo, \e w dostarczonej partii więcej ni\ jeden magazyn będzie z wadą drukarską wynosi
0,9994.
7
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 3.2.4.
W szkole podstawowej zorganizowano dyktando z języka polskiego. Do konkursu zgłosił się Jurek, który
robi zwykle 15 błędów w 50 napisanych słowach oraz Wiesiek, który robi 10 błędów w 40 napisanych
słowach.
a. Jakie jest prawdopodobieństwo, \e Jurek w 20 wyrazach zrobi
º% 10 bÅ‚Ä™dów oraz
º% co najmniej 18 bÅ‚Ä™dów.
b. Który z chłopców robi częściej błędy ortograficzne.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość - wyrazy
zmienna losowa X liczba błędów
zmienna losowa mierzalna, skokowa
n'j 15
Jurek: sukces (błąd w wyrazie) pJ = = = 0,3;
nj 50
pora\ka (poprawnie napisany wyraz) qJ = 1 - pJ = 1 - 0,3 = 0,7 ;
'
nW 10
Wiesiek: sukces (błąd w wyrazie) pW = = = 0,25
nW 40
pora\ka (poprawnie napisany wyraz) qW = 1 - pw = 1 - 0,25 = 0,75
próba: n = 20
niezale\ność zdarzeń; stałe prawdopodobieństwo sukcesu (pora\ki);
mała liczba doświadczeń; du\e prawdopodobieństwo sukcesu;
n
ëÅ‚ öÅ‚Å"
schemat Bernoulliego: P( X = k) = pk Å"(1- p)n-k
ìÅ‚k ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: n - liczba doświadczeń; k-liczba sukcesów w n zdarzeniach;
p - prawdopodobieństwo sukcesu; (1 - p) = q - prawdopodobieństwo pora\ki.
szukane:
20
ëÅ‚ öÅ‚Å"0,3 Å"(1- 0,3)20-10 = 20! Å"0,310 Å"0,710 = 0,031
10
a. P(x =10) =
ìÅ‚10 ÷Å‚
10!Å"(20 -10)!
íÅ‚ Å‚Å‚
Prawdopodobieństwo, i\ Jurek na 20 dyktowanych wyrazów napisze 10 z błędem wynosi 0,031.
P(x > 18) = P(x = 19) + P(x = 20) = 0,00
20 20!
ëÅ‚ öÅ‚
19
P(x =19) = Å"0,319 Å"0,71 = 0,00000001
ìÅ‚19÷Å‚Å"0,3 Å"(1- 0,3)1 =
19!Å"(20 -19)!
íÅ‚ Å‚Å‚
20 20!
ëÅ‚ öÅ‚
20
P(x = 20) = Å"0,320 Å"0,70 = 0,000000004
ìÅ‚20÷Å‚Å"0,3 Å"(1- 0,3)20-20 =
20!Å"(20 - 20)!
íÅ‚ Å‚Å‚
Prawdopodobieństwo, i\ Jurek zrobi co najmniej 18 błędów w 20 wyrazach jest bliskie zeru.
c. º% dla Jurka: prawdopodobieÅ„stwo popeÅ‚nienia bÅ‚Ä™du w wyrazie pJ = 0,3
º%dla Wiesiek pW = 0,25
Poniewa\ pJ > pW stwierdzamy, \e Jurek częściej robi błędy ni\ Wiesiek
8
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 3.2.5.
W pewnej księgarni prawdopodobieństwo sprzedania jednej ksią\ki w ciągu dnia wynosi 0,7. Do
księgarni wchodzi 6 osób.
a. Jakie sÄ… szansÄ™, i\ dwie osoby kupiÄ… ksiÄ…\kÄ™.
b. Co jest bardziej prawdopodobne, \e dwie czy cztery osoby kupiÄ… ksiÄ…\kÄ™.
c. Oblicz średnią oraz odchylenie standardowe liczby sprzedanych ksią\ek w tej księgarnii w ciagu dnia.
Zakładamy, \e jedna osoba mo\e kupić tylko jedną ksią\kę.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość osoby wchodzące do księgarni
zmienna losowa X liczba kupionych ksiÄ…\ek
zmienna losowa skokowa mierzalna, skokowa
sukces (klient kupi ksiÄ…\kÄ™) p = 0,7,
pora\ka (klient nie kupi ksiÄ…\ki) q = 1 p = 1 0,7 = 0,3,
próba: n = 6
niezale\ność zdarzeń; stałe prawdopodobieństwo sukcesu (pora\ki);
mała liczba doświadczeń; du\e prawdopodobieństwo sukcesu;
n
ëÅ‚ öÅ‚Å"
schemat Bernoulliego: P( X = k) = pk Å"(1- p)n-k
ìÅ‚k ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: n - liczba doświadczeń; k-liczba sukcesów w n zdarzeniach;
p - prawdopodobieństwo sukcesu; (1 - p) = q - prawdopodobieństwo pora\ki.
szukane:
6 6!
ëÅ‚ öÅ‚
2
a. P(x = 2) = Å"0,72 Å"0,34 = 0,06
ìÅ‚2÷Å‚Å"0,7 Å"(1- 0,7)6-2 =
2!Å"(6 - 2)!
íÅ‚ Å‚Å‚
Prawdopodobieństwo, \e dwie osoby kupią po jednej ksią\ce wynosi 0,06.
6 6!
ëÅ‚ öÅ‚
4
b. P(x = 4) = Å"0,74 Å"0,32 = 0,324
ìÅ‚4÷Å‚Å"0,7 Å"(1- 0,7)6-4 =
4!Å"(6 - 4)!
íÅ‚ Å‚Å‚
Prawdopodobieństwo, i\ dwie ksią\ki zostaną kupione jest mniejsze od prawdopodobieństwa, \e cztery
ksiÄ…\ki zostanÄ… kupione gdy\ P(x = 2) < P(x = 4).
c. E(x) = nÅ" p = 6 Å" 0,7 = 4,2 ; D(x) = nÅ" pÅ"q = 6Å"0,7Å"0,3 =1,12
Mo\emy spodziewać się, \e średnia liczba ksią\ek zakupiona przez 6 osób wyniesie 4,2 ksią\ki z
odchyleniem standardowym 1,12.
9
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
3.3. ROZKAAD POISSONA
Zadanie 3.3.1
W budynku mieszkalnym funkcjonują trzy windy o ograniczonej pojemności przewo\enia ludzi. Ka\dą z
wind cechuje awaryjność 5 razy na 100 przejazdów.
a. Jakie jest prawdopodobieństwo utknięcia co najmniej 3 razy w windzie w ciągu 30-dniowego miesiąca
przez osobÄ™ korzystajÄ…ca z windy 2 razy dziennie.
b. Wyznacz średnią i odchylenie standardowe dla liczby utknięć w windzie.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość osoby je\d\ące windą
zmienna losowa X liczba utknięć w windzie w ciągu 30-dniowego miesiąca przy
zało\eniu, \e z windy korzystamy dwa razy dziennie
zmienna losowa ilościowa, skokowa
np = 100; n'p = 5;
n' 5
p
sukces (utknięcie w windzie) p = = = 0,05
np 100
próba: n = 60, = nÅ"p = 3
niezale\ność zdarzeń; stałe prawdopodobieństwo sukcesu;
du\a liczba doświadczeń, małe prawdopodobieństwo sukcesu;
k
rozkÅ‚ad Poissona: P(x = k) = Å"e-
k!
gdzie: n-liczba doświadczeń; k-liczba sukcesów w n zdarzeniach;
p-prawdopodobieÅ„stwo sukcesu; = nÅ" p -parametr rozkÅ‚adu;
szukane:
a. P(x > 3) = 1 - P(x d" 3) = 1 -{P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)}= 1 -[0,05 + 0,15+ 0,22] =
= 1 - 0,42 = 0,58
30 31
P(x = 0) = Å"e-3 = 0,05 P(x =1) = Å"e-3 = 0,15
0! 1!
32
P(x = 2) = Å"e-3 = 0,22
2!
Prawdopodobieństwo utknięcia w windzie co najmniej 3 razy w ciągu miesiąca przy zało\eniu, \e z
windy korzystamy dwa razy dziennie, to 0,58.
b. E(x) = nÅ" p = = 60Å"0,05 = 3; D(x) = nÅ" p = = 60Å"0,05 =1,73
Oczekuje się, \e przeciętna miesięczna liczba utknieć w windzie przy zało\eniu, \e z windy korzysta się
dwa razy dziennie, wynosi 3 z odchyleniem standardowym 1,73.
10
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 3.3.2
Codziennie kontroluje siÄ™ bilety w 40 na 1000 kursujÄ…cych pociÄ…gach podmiejskich.
a. Jakie jest prawdopodobieństwo, \e osoba doje\d\ająca codziennie do pracy (w jedną stronę) w ciągu
roku bez biletu uniknie kontroli ponad 355 razy.
b. Jakiej średniej liczby kontroli mo\e oczekiwać pasa\er w ciągu roku?
Zakładamy, \e rok ma 360 dni.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość osoby je\d\ące pociągiem
zmienna losowa X liczba kontroli w ciÄ…gu roku
zmienna losowa ilościowa, skokowa
np = 1000 n'p = 40
n'p 40
sukces (pasa\er zostanie skontrolowany) p = = = 0,04
np 1000
próba: n = 360
niezale\ność zdarzeń; stałe prawdopodobieństwo sukcesu
du\a liczba doświadczeń, małe prawdopodobieństwo sukcesu
k
rozkÅ‚ad Poissona: P(x = k) = Å"e-
k!
gdzie: n-liczba doświadczeń; k-liczba sukcesów w n zdarzeniach
p-prawdopodobieÅ„stwo sukcesu; = nÅ" p -parametr rozkÅ‚adu
szukane:
a. (sukces pasa\er nie zostanie skontrolowany) P(355 < x d" 360) lub
(sukces pasa\er zostanie skontrolowany) 1 - P(0 d" x d" 5)
= nÅ"p = 0,04Å"360 = 14,4
P(x d" 5) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x =3 ) + P(x = 4) + P(x = 5) = 0,004
14,45 14,44
P(x = 5) = Å"e-14,4 = 0,003 P(x = 4) = Å"e-14,4 = 0,001
5! 4!
14,43 14,42
P(x = 3) = Å"e-14,4 = 0,000 P(x = 2) = Å"e-14,4 = 0,000
3! 2!
14,41 14,40
P(x =1) = Å"e-14,4 = 0,000 P(x = 0) = Å"e-14,4 = 0,000
1! 0!
Prawdopodobieństwo, \e osoba doje\d\ająca codziennie do pracy (w jedna stronę) bez biletu uniknie
kontroli ponad 355 razy w ciÄ…gu roku wynosi 0,996.
b. E(x) = nÅ" p = = 360 Å" 0,04 = 14,4 ; D(x) = nÅ" p = = 360Å"0,04 = 3,79
W ciągu roku pasa\er mo\e oczekiwać 14,4 kontroli z odchyleniem 3,79.
11
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 3.3.3.
Awaryjność sieci komputerowej firmy "Dola" została ustalona na poziomie 0,1%. Jakie jest
prawdopodobieństwo, \e w ciągu roku (tj. 360 dni) wystąpią:
a. dwie awarie,
b. co najmniej dwie awarie
c. co najwy\ej jedna awaria,
d. więcej ni\ 3 awarie?
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość sieć komputerowa
zmienna losowa X liczba awarii sieci komputerowej w ciÄ…gu roku
zmienna losowa ilościowa, skokowa
sukces (sieć komputerowa ulegnie awarii) p = 0,001
próba: n = 360
niezale\ność zdarzeń; stałe prawdopodobieństwo sukcesu
du\a liczba doświadczeń, małe prawdopodobieństwo sukcesu
k
rozkÅ‚ad Poissona: P(x = k) = Å"e-
k!
gdzie: n-liczba doświadczeń; k-liczba sukcesów w n zdarzeniach
p-prawdopodobieÅ„stwo sukcesu; = nÅ" p -parametr rozkÅ‚adu
szukane:
= nÅ"p = 0,001Å"360 = 0,36
0,362
a. P(x = 2) = Å"e-0,36 = 0,045
2!
Prawdopodobieństwo, i\ w ciągu roku wystąpią dwie awarie sieci komputerowej to 0,045.
b. P(x > 2) = 1 - P(x d" 2) = 1 - [P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)] = 1 0,698 0,251 0,045 = 0,006
0,360 0,361
P(x = 0) = Å"e-0,36 = 0,698 P(x =1) = Å"e-0,36 = 0,251
0! 1!
Prawdopodobieństwo, i\ w ciągu roku sieć komputerowa ulegnie awarii więcej ni\ dwa razy wynosi
0,006.
c. P(x d" 1) = P(x = 0) + P(x = 1) = 0,698 + 0,251 = 0,949
Prawdopodobieństwo, i\ w ciągu roku sieć komputerowa ulegnie awarii co najwy\ej 1 raz wynosi 0,94.
d. P(x > 3) = 1 P(x d" 3) =1 {P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)} = 1 {0,698 + 0,251 +
+ 0,045 + 0,005} = 1 0,999 = 0,001
0,363
P(x = 3) = Å"e-0,36 = 0,005
3!
Prawdopodobieństwo, i\ sieć komputerowa ulegnie awarii co najmniej 3 razy w ciągu roku wynosi 0,001.
12
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 3.3.4
W pewnej centrali telefonicznej w ciągu godziny na 1000 połączeń przypada zwykle 5 połączeń błędnych.
Wiedząc, ze zanotowano 400 połączeń, nale\y wyznaczyć:
a. średnią liczbę błędnych połączeń
b. prawdopodobieństwo, \e liczba błędnych połączeń przekroczy 3.
ROZWIAZANIE:
dane: badana zbiorowość połączenia telefoniczne
zmienna losowa X - liczba błędnych połączeń w ciągu godziny
zmienna losowa ilościowa, skokowa
sukces (błędne połączenie) p = 0,005
próba: n = 400;
niezale\ność zdarzeń; stałe prawdopodobieństwo sukcesu
du\a liczba doświadczeń, małe prawdopodobieństwo sukcesu
k
rozkÅ‚ad Poissona: P(x = k) = Å"e-
k!
gdzie: n-liczba doświadczeń; k-liczba sukcesów w n zdarzeniach
p-prawdopodobieÅ„stwo sukcesu; = nÅ" p -parametr rozkÅ‚adu
szukane:
= nÅ"p = 0,005Å"400 = 2
a. E(X) = nÅ"p = 2
W ciągu godziny mo\emy spodziewać się przeciętnie dwóch błędnych połączeń.
b. P(x > 3) = 1 - P(x d" 3) = 1 - [P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)] =
= 1 [0,135 + 0,271 + 0,271 + 0,181] = 0,142
20 21
P(x = 0) = Å"e-2 = 0,135 P(x =1) = Å"e-2 = 0,271
0! 1!
22 23
P(x = 2) = Å"e-2 = 0,271 P(x = 3) = Å"e-2 = 0,181
2! 3!
Prawdopodobieństwo, \e liczba błędnych połączeń w ciągu godz. przekroczy 3 wynosi 0,142.
Zadanie 3.3.5
W pewnym osiedlu mieszkaniowym w ciągu 150 dni przeciętnie dziennie zanotowano 1,5 awarii CO.
a. Ilu dni nale\y się spodziewać, w których wystąpią co najwy\ej 3 awarie.
b. Jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia minimum 3 awarie w ciągu dnia.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość sieć centralnego ogrzewania
zmienna losowa X - liczba awarii CO w ciÄ…gu dnia
zmienna losowa ilościowa, skokowa
n = 150
13
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
1,5
sukces (wystÄ…pienie awarii CO) p = = = 0,01
n 150
niezale\ność zdarzeń; stałe prawdopodobieństwo sukcesu
du\a liczba doświadczeń, małe prawdopodobieństwo sukcesu
k
rozkÅ‚ad Poissona: P(x = k) = Å"e-
k!
gdzie: n-liczba doświadczeń; k-liczba sukcesów w n zdarzeniach
p-prawdopodobieÅ„stwo sukcesu; = nÅ" p -parametr rozkÅ‚adu
szukane:
= nÅ"p = 1,5
a. P(x d" 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) = 0,223 + 0,335 + 0,251 + 0,126 = 0,935
1,50 1,51
P(x = 0) = Å"e-1,5 = 0,223 P(x =1) = Å"e-1,5 = 0,335
0! 1!
1,52 1,53
P(x = 2) = Å" e-1,5 = 0,251 P(x = 3) = Å"e-1,5 = 0,126
2! 3!
Nale\y spodziewać siÄ™ 150Å"0.93 = 139,5 = 140,25 H"140 dni w których wystÄ…piÄ… co najwy\ej 3 awarie w
ciÄ…gu dnia.
b. P(x e" 3) = 1 - P(x < 3) = 1 - [P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)] = 1 [0,223 + 0,335 + 0,251] =
= 0,191
Prawdopodobieństwo wystąpienia min. 3 awarii w ciągu dnia wynosi 0,191.
Zadanie 3.3.6
W pewnym zakładzie produkującym zabawki wiadomo, \e zwykle 5% zabawek z ka\dej partii
wyprodukowanej w ciągu doby nie nadaje się do sprzeda\y z przyczyn technicznych. Obliczyć
prawdopodobieństwo, \e w partii liczącej 100 sztuk znajdą się
a. trzy uszkodzone zabawki
b. mniej ni\ dwie uszkodzone zabawki.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość zabawki produkowane w ciągu doby
zmienna losowa X liczba wyprodukowanych uszkodzonych zabawek
zmienna losowa ilościowa, skokowa
sukces (uszkodzona zabawka) p = 0,05
n = 100;
niezale\ność zdarzeń; stałe prawdopodobieństwo sukcesu
du\a liczba doświadczeń, małe prawdopodobieństwo sukcesu
k
rozkÅ‚ad Poissona: P(x = k) = Å"e-
k!
gdzie: n-liczba doświadczeń; k-liczba sukcesów w n zdarzeniach
p-prawdopodobieÅ„stwo sukcesu; = nÅ" p -parametr rozkÅ‚adu
14
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
szukane:
= nÅ"p = 100Å"0,05 = 5
53
a. P(x = 3) = Å"e-5 = 0,14
3!
Prawdopodobieństwo, \e w partii znajdą się 3 uszkodzone zabawki wynosi 0,14.
b. P(x < 2) = P(x = 0) + P(x = 1) = 0,007 + 0,034 = 0,04
50 51
P(x = 0) = Å"e-5 = 0,007 P(x =1) = Å"e-5 = 0,034
0! 1!
Prawdopodobieństwo, i\ w partii znajdzie się mniej ni\ 2 uszkodzone zabawki to 0,04.
Zadanie 3.3.7
W pewnym sklepie spo\ywczym zanotowano, i\ na 100 osób robiących zakupy zwykle 5 kupuje jeden
baton czekoladowy. Wiedząc, \e w ciągu dnia zanotowano 160 osób robiących zakupy, wyznacz:
a. wartość oczekiwana i odchylenie standardowe dla liczby kupionych batonów
b. prawdopodobieństwo, \e liczba kupionych batonów będzie wy\sza od 2 szt..
Zakładamy, \e jedna osoba kupi jeden baton.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość osoby robiące zakupy
zmienna losowa X - liczba kupionych batonów czekoladowy
zmienna losowa mierzalna, skokowa
n'p 5
np = 100; n'p = 5; (sukces klient kupi baton) p = = = 0,05
np 100
n = 160
niezale\ność zdarzeń; stałe prawdopodobieństwo sukcesu
du\a liczba doświadczeń, małe prawdopodobieństwo sukcesu
k
rozkÅ‚ad Poissona: P(x = k) = Å"e-
k!
gdzie: n-liczba doświadczeń; k-liczba sukcesów w n zdarzeniach
p-prawdopodobieÅ„stwo sukcesu; = nÅ" p -parametr rozkÅ‚adu
szukane:
= nÅ"p = 8
a. E(x) = nÅ"p = 160Å"0.05 = 8 ; D(x) = nÅ" p = 400Å"0,05 = 2,83
Mo\emy oczekiwać, \e średnia liczba batonów kupiona przez potencjalnych 160 klientów w ciągu dnia
wyniesie 8 z odchyleniem standardowym 2,83
b. P(x > 2) = 1 - P(x d" 2) = 1 [P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)] = 1 0,01 = 0,99
80 81
P(x = 0) = Å"e-8 = 0,00 P(x = 1) = Å" e-8 = 0,00
0! 1!
15
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
82
P(x = 2) = Å"e-8 = 0,01
2!
Prawdopodobieństwo, \e liczba kupionych batonów w ciągu dnia będzie większa ni\ dwa wynosi 0,99.
Zadanie 3.3.8
Codziennie kontroluje się bilety przeciętnie w 4 na 100 kursujących autobusach linii 188. Jakie jest
prawdopodobieństwo, \e studentowi je\d\ącemu 300 razy autobusem, przy czym zawsze bez biletu,
a. dwa razy,
b. ponad 1 raz
c. co najwy\ej 1 raz
nie uda się uniknąć kontroli.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość studenci je\d\ący autobusem
zmienna losowa X liczba kontroli
zmienna losowa mierzalna, skokowa
n'p 4
np = 100; n'p = 4; (sukces osoba zostanie skontrolowana) p = = = 0,04 ;
np 100
n = 300
niezale\ność zdarzeń; stałe prawdopodobieństwo sukcesu;
du\a liczba doświadczeń, małe prawdopodobieństwo sukcesu;
k
rozkÅ‚ad Poissona: P(x = k) = Å"e-
k!
gdzie: n-liczba doświadczeń; k-liczba sukcesów w n zdarzeniach;
p-prawdopodobieÅ„stwo sukcesu; = nÅ" p -parametr rozkÅ‚adu;
szukane:
= nÅ"p = 300Å"0,04 = 12
122
a. P(x = 2) = Å" e-12 = 0,001
2!
Prawdopodobieństwo, \e studentowi je\d\ącemu dwukrotnie autobusem, przy czym zawsze bez biletu,
nie uda się uniknąć kontroli wynosi 0,001.
b. P(x > 1) = 1 - P(x = 1) - P(x = 0) = 1 - 0,00 - 0,00 = 1
121 120
P(x =1) = Å"e-12 H" 0,00 P(x = 0) = Å"e-12 H" 0,00
1! 0!
Prawdopodobieństwo, \e student je\d\ący 300 razy autobusem zostanie skontrolowany co najmniej jeden
raz jest bliskie 1.
c. P(x d" 1) = P(x = 0) + P(x = 1) = 0,00
Prawdopodobieństwo, i\ student je\d\ący 300 razy autobusem zostanie skontrolowany co najwy\ej jeden
raz jest bliskie zeru.
16
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 3.3.9
Niezawodność działania komputera firmy "Roman" w okresie 10 lat ustalona jest na 99%. Jakie jest
prawdopodobieństwo, i\ w ciągu roku (360 dni) wystąpią
a. dokładnie 2 awarie,
b. co najmniej 2 awarie.
c. Jakiej średniej liczby awarii komputera nale\y oczekiwać w ciągu roku.
Zakładamy, \e komputer psuje się raz dziennie.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość - komputery
zmienna losowa X liczba awarii komputera w ciÄ…gu 360 dni
zmienna losowa ilościowa, skokowa
sukces (sieć komputerowa ulegnie awarii) p = 0,01
pora\ka (sieć komputerowa nie ulegnie awarii) q = 1 p = 0,99
n = 360
niezale\ność zdarzeń; stałe prawdopodobieństwo sukcesu
du\a liczba doświadczeń, małe prawdopodobieństwo sukcesu
k
rozkÅ‚ad Poissona: P(x = k) = Å"e-
k!
gdzie: n-liczba doświadczeń; k-liczba sukcesów w n zdarzeniach
p-prawdopodobieÅ„stwo sukcesu; = nÅ" p -parametr rozkÅ‚adu
szukane:
= nÅ"p = 3,6
k 3,62
a. P(x = 2) = Å" e- = Å" e-3,6 = 0,18
k! 2!
Prawdopodobieństwo, i\ w ciągu roku wystąpią 2 awarie komputera wynosi 0.18.
b. P(x > 2) = 1 - P(x d" 2) = 1 - [P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)] = 1 - [0,03 + 0,10 + 0,18] = 0,69
3,60 3,61
P(x = 0) = Å" e-3,6 = 0,03 P(x = 1) = Å" e-3,6 = 0,10
0! 1!
Prawdopodobieństwo, \e w ciągu 360 dni komputer nie będzie działać co najmniej dwa razy wynosi 0,69.
c. E(X) = nÅ"p = 360Å"0,01 = 3,6
W ciągu roku mo\emy spodziewać się średnio 3,6 awarii komputera.
17
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
3.4 ROZKAAD NORMALNY
Zadanie 3.4.1
Z licznych obserwacji wiadomo, \e średnia roczna wysokość wydatków na ksią\ki w gospodarstwach
domowych wynosi 5,2zł. Zakładając, \e wielkość wydatków ma rozkład normalny, obliczyć odchylenie
standardowe tego rozkładu je\eli dodatkowo wiadomo, \e 30,15% ogółu gospodarstw wydaje na ksią\ki
mniej ni\ 3,6 zł.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość gospodarstwa domowe
zmienna losowa X wysokość wydatków na ksią\ki
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X:N(5,2; ´)
P(x < 3,6) = 0,3015;
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
x- m 3,6 - 5,2 -1,6 -1,6 1,6
P(x < 3,6) = P( < ) = P(u < ) = F( ) = 1 - F( ) = 0,3015
´ ´ ´ ´ ´
1,6 1,6
F( ) = 0,6985; F(0,52) = 0,6985; = 0,52 ´ = 3,12
´ ´
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Odchylenie standardowe wielkość wydatków na ksią\ki w gospodarstwach domowych wynosi 3,12 zł.
Zadanie 3.4.2
Pewien zakład konfekcyjny produkuje "napy" (zatrzaski do skafandrów). Średnica dolnej części "napy"
jest zmienną losową o rozkładzie N(1,6; 0,1) (w cm.). Jakiego udziału braków nale\y oczekiwać, je\eli
dopuszczalne średnice powinny zawierać się w przedziale (1,4; 1,6) cm?
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość zatrzaski do skafandrów
zmienna losowa X wielkość średnicy napy
zmienna losowej X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(1,6; 0,1)
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
1 - P(1,4 < x < 1,6) = 1 - P(x < 1,6) + P(x d" 1,4) = 1 - 0,50 + 0,02 = 0,52
x- m 1,6 -1,6
P(x < 1,6) = P( < ) = P(u < ) = F(0) = 0,5
´ 0,1
lub korzystając z własności rozkładu normalnego P(x < 1,6 = me) = 0,5
x- m 1,4 -1,6
P(x d" 1,4) = P( d" ) = P(u d" -2) = F(-2) = 1 - F(2) = 1 - 0,98 = 0,02
´ 0,1
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Prawdopodobieństwo, \e średnica dolnej części napy nie zawiera się w przedziale (1,4; 1,6) cm. wynosi
0,52.
18
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 3.4.3
W uniwersytecie Y rozpisano konkurs na stypendium naukowe, które mo\e otrzymać co najwy\ej 2,5%
spośród studentów-kandydatów. Kryterium otrzymania tego stypendium jest jak najwy\szy iloraz
inteligencji (IQ). Zakładamy, \e IQ ma rozkład normalny N(110; 20). Jaki IQ powinien posiadać
kandydat, aby uzyskać stypendium?
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość studenci chcący wyjechać na stypendium
zmienna losowa X iloraz inteligencji
zmienna losowaj X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(110; 20)
P(x > a) = 0,025;
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
x- m a-110 a-110
P(x > a) = 1 P(x d" a) = 1 - P( d" ) = 1 - F( ) = 0,025
´ 20 20
a-110 a-110
F( ) = 1 - 0,025 = 0,975 F(1,96) = 0,975 = 1,96 a = 149,2
20 20
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Kandydat powinien posiadać minimum 149,2 IQ, aby móc uzyskać stypendium.
Zadanie 3.4.4
Agencja reklamowa poszukuje kandydatek na modelki o wzroście powy\ej 175 cm. Zgłosiło się 3000
studentek. Wiedząc, ze wzrost kobiet w wieku 18-24 lat jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z
odchyleniem standardowym 5 cm oraz, \e najwięcej dziewcząt w tym wieku ma wzrost 165 cm, oblicz
teoretyczną liczbę kandydatek, która zostanie zakwalifikowana.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość kandydatki na modelki
zmienna losowa X wzrost kandydatek na modelki
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(165; 5);
np = 3000
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
prawdopodobieństwo zakwalifikowania się jednej kandydatki:
x- m 175 -165
P(x > 175) = P( < ) = P(u > 2) = 1 - P(u d" 2) = 1 - F(2) = 1 0, 98 = 0,02
´ 5
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Teoretycznie zakwalifikowanych zostanie [3000Å"0,02] 60 studentek.
19
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 3.4.5
Kandydat ubiegający się o stypendium do Londynu powinien uzyskać powy\ej 460 punktów na teście z
języka angielskiego. Z obserwacji wiadomo, \e liczba punktów uzyskiwana przez studentów na tym teście
ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym 80 punktów oraz, \e połowa studentów dostaje
zwykle mniej ni\ 300 punktów.
a. Obliczyć procent osób mających szansę wyjazdu na stypendium do Londynu.
b. Jaki odsetek studentów uzyskuje od 100 do 200 punktów na teście.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość studenci ubiegający się o wyjazd na stypendium
zmienna losowa X liczba punktów uzyskana na teście
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(m; 9);
P(x < 300) = 0,5
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
korzystając z własności rozkładu normalnego: P(x < 300 = me = m = do) = 0,5
x- m 460 - 300
a. P(x > 460) = 1 - P(x d" 460) = 1 - P( d" ) = 1 - F(2) = 1 - 0,98 = 0,02
´ 80
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Wśród osób zdających szansę wyjazdu na stypendium do Londynu ma 2% kandydatów.
200 - 300 100 - 300
b. P(100 < x < 200) = P(x < 200) - P(x d" 100) = P(u < ) - P(u d" ) =
80 80
= F(-1,25) - F(-2,5) = 1 - F (1,25) - 1 + F (2,5) = 0,994 0,894 = 0,1
Prawdopodobieństwo uzyskania przez zdającego liczby punktów z przedziału (10; 200) wynosi 0,1.
Zadanie 3.4.6
Prędkość samochodów na pewnym odcinku autostrady ma rozkład normalny X:N(100; 10) km/godz.
a. Jaki procent przeje\d\ających samochodów przekracza dopuszczalną prędkość wynosząca 110
km/godz.?
b. Obliczyć prawdopodobieństwo samochodu jadącego z prędkością 100 km/godz., je\eli
szybkościomierz mierzy prędkość z dokładnością do 0,1 km/godz,
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość - samochody
zmienna losowa X prędkość samochodu
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(100, 10);
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
20
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
x- m 110 -100
a. P(x > 110) = P( > ) = P(u > 1) = 1 - P(u d" 1) = 1 - F(1) = 1 - 0,84 = 0,16
´ 10
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Mo\emy oczekiwać, \e 16% samochodów przekracza dopuszczalną prędkość.
b. P(100 - 0,1 < x < 100 + 0,1) = P(99,9 < x < 100,1) = P(x < 100,1) - P(x d" 99,9) =
= 0,504 - 0,496 = 0,008
x - m 110,1-100
P(x < 110,1) = P( < ) = P(u < 0,01) = F(0,01) = 0,502
´ 10
x - m 99,9 -100
P(x d" 99,9) = P( d" ) = P(u d" - 0,01) = F(-0,01) = 1 - 0,502 = 0,498
´ 10
Prawdopodobieństwo, \e samochód jedzie z prędkością 100 km/godz przy zało\eniu, \e szybkościomierz
mierzy z dokładnością do 0,1 km/godz, wynosi 0,008.
Zadanie 3.4.7
Zu\ycie benzyny potrzebnej do przejechania w Warszawie 10 km samochodem KOLA jest zmiennÄ…
losową o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym 0,2 litra. Dodatkowo wiadomo, \e w 33
przypadkach na 100 udaje się przejechać ten odcinek zu\ywając mniej ni\ 0,912 litra. Obliczyć
prawdopodobieństwo przejechania tego odcinka przy zu\yciu:
a. mniej ni\ 0,8 litra i jednocześnie więcej ni\ 0,6 litra benzyny,
b. więcej ni\ 1 litr benzyny.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość - samochody
zmienna losowa X zu\ycie benzyny
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(m; 0,2);
P(x < 0,912) = 0,33
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
x- m 0,912 - m 0,912 - m
P(x < 0,912) = P( < ) = F( ) = 0,33
´ 0,2 0,2
0,912 - m 0,912 - m
F(- ) = 1 - 0,33 = 0,67; F(-0,44) = 0,33; = -0,44 m = 1
0,2 0,2
a. P(0,6 < x < 0,8) = P(x < 0,8) - P(x d" 0,6) = 0,16 - 0,02 = 0,14
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
x- m 0,8 -1
P(x < 0,8) = P( < ) = P(u < -1) = F(-1) = 1 - F(1) = 1 - 0,84 = 0,16
´ 0,2
21
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
x - m 0,6 -1
P(x d" 0,6) = P( d" ) = P(u d" -2) = F(-2) = 1 - F(2) = 1 - 0,98 = 0,02
´ 0,2
Prawdopodobieństwo przejechania odcinka drogi samochodem KOLA przy zu\yciu mniej ni\ 0,8 i
jednocześnie nie więcej ni\ 6 litra benzyny wynosi 0,14.
b. z własności rozkładu symetrycznego, gdzie P(u < m) = 0,5
Prawdopodobieństwo zu\ycia przez samochód więcej ni\ jeden litr benzyny do przejechania określonego
odcinka drogi wynosi 0,5.
Zadanie 3.4.8
Automat produkuje pewną część do wału korbowego, której długość jest zmienną losową o rozkładzie
normalnym. Połowa wyprodukowanych części ma długość nie większą ni\ 2cm, a 69,5% ma długość do
2,153 cm. Wyznacz prawdopodobieństwo wyprodukowania złej części, je\eli dopuszczalna długość
zawiera siÄ™ w przedziale (1,7; 2,3).
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość pewna część do wału korbowego
zmienna losowa X długość produkowanej części
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(2,0; 0,3)
P(x < 2) = 0.5 P(x < 2,139) = 0,695
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
x- m 2 - m 2 - m 2 - m
P(x < 2) = P( < ) = F( ) = 0.5 F(0) = 0,5 = 0 m = 2,0
´ ´ ´ ´
x - m 2,153 - m 2,153 - m
P(x < 2,153) = P( < ) = F( ) = 0,695
´ ´ ´
2,153 - m
F(0,51) = 0,695; = 0,51 ´ = 0,3
´
P(x > 2,3) + P(x < 1,7) = 1 - P(1,7 < x < 2,3) = 1 [P(x < 2,3) - P(x < 1,7)] =
= 1 [0,84 - 0,16] = 0,32
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
x- m 2,3 - 2,0
P(x < 2,3) = P( < ) = P(u < 1,0) = F(1,0) = 0,84
´ 0,3
x- m 1,7 - 2,0
P(x < 1,7) = P( < ) = P(u < -1,0) = 1 - F(1,0) = 0,16
´ 0,3
lub korzystajÄ…c z wÅ‚asnoÅ›ci rozkÅ‚adu symetrycznego P(m - ´ < x < m + ´) = 0,68
1 - P(2,0 0,3 =1,7 < x < 2,0 + 0,3 = 2,3) = 1 0,68 = 0,32
Prawdopodobieństwo wyprodukowania części nie spełniającej normy długości wynosi 0,07.
22
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 3.4.9
Czas przejazdu trasy slalomu specjalnego jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Najwięcej
zawodników przeje\d\a tę trasę w ciągu 1,5 min. zaś 33% zawodników jechało dłu\ej ni\ 1,588 min.
Określ czas przejazdu:
a. 10% najgorszych zawodników
b. 20% najlepszych zawodników.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość - zawodnicy
zmienna losowa X czas przejazdu slalomu
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X:N(m; ´);
z własności rozkładu normalnego wynika, \e do =1,5 = me = m
P(x > 1,588) = 0,33
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
x - m 1,588 -1,5 0, 088 0, 088 0, 088
P(x > 1,588) = P ( > ) = P(u > ) = 1 P(u d" ) = 1 - F( )
´ ´ ´ ´ ´
0,088 0,088
F( ) = 1 - 0,33 = 0,67; F(0,44) = 0,67; = 0,44 ´ = 0,20
´ ´
a. P(x > a) = 1 - P(x d" a); P(x d" a) = 1 - 0,1 = 0,9
x - m a -1,5 a -1,5
P(x d" a) = P( d" ) = F( ) = 0,9;
´ 0,2 0,2
a -1,5
F(1,28) = 0,9; = 1,28 a = 1,756
0,2
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Czas przejazdu 10% najgorszych zawodników wynosił co najmniej 1,756 min.
x - m b -1,5
b. P(x < b) = P( < ) = 0,2;
´ 0,2
b -1,5 b -1,5
1 - F( ) = 1 - 0,2 F( - ) = 0,8 F(0,84) = 0,8
0,2 0,2
b -1,5
- = 0,84 b = 1,332
0,2
Czas przejazdu 20% najlepszych zawodników wynosi co najwy\ej 1,332 min.
23
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 3.4.10
Godzinna produkcja pewnego elementu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Wiadomo, \e
średnia wielkość rocznej produkcji wynosi 4000 sztuk, ale 16,6% godzinnej wielkość produkcji nie
przekraczała 3709 szt.
a. Obliczyć teoretyczną liczbę godzin w liczbie 294 godz., w których dzienna produkcja była wy\sza ni\
średnia i jednocześnie mniejsza ni\ 4600 szt.
b. Oblicz prawdopodobieństwo, \e godzinna produkcja będzie wy\sza od 4000 sztuk.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość wielkość produkcji pewnego elementu
zmienna losowa X godzinna produkcja pewnego elementu
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X:(4000; ´);
P(x < 3709) = 0,166
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
x- m 3709 - 4000 - 291 291
P(x < 3709) = P( < ) = P(u < ) = 1 - F( ) = 0,166
´ ´ ´ ´
291 291
F( ) = 0,834; F(0,97) = 0,834; = 0,97 ´ = 300
´ ´
a. P(400 < x < 4600) = P(x < 4600) - P(x d" 4000) = 0,98 - 0,50 = 0,48
x- m 4600 - 4000
P(x < 4600) = P( < ) = P(u < 2) = F(2) = 0,98
´ 300
x - m 4000 - 4000
P(x d" 4000) = P( d" ) = P(u d" 0) = F(0) = 0,5
´ 300
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
teoretyczna liczba dni 249Å"0,48 = 141,12 H"142
Teoretycznie nale\y spodziewać się 142 godzin, w których godzinna produkcja będzie wy\sza ni\ średnia
i jednocześnie mniejsza ni\ 4600 szt.
b. P(x > m) = 0,5 korzystamy z własności rozkładu normalnego tzn. me = do = m
Prawdopodobieństwo przekroczenia godzinnej produkcji powy\ej 4tys. sztuk wynosi 0,5.
Zadanie 3.4.11
Rozkład płac pracowników firmy "LUX" ma rozkład normalnym ze średnią 3 tys. Dodatkowo wiadomo,
\e płaca 25% osób najmniej zarabiających nie przekracza 2 tys.
a. Wyznacz odchylenie standardowe w tym rozkładzie.
b. Określ płace pracowników, którzy stanowią 25% osób zarabiających najwięcej w tej firmie
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość pracownicy firmy LUX
zmienna losowa X wysokość płacy pracowników
24
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X:N(3; ´)
P(x < 2) = 0,25
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
x- m 2 - 3 1 1 1
a. P(x < 2) = P ( < ) = F(- ) = 1 - F( ) = 0,25; F( ) = 0,75
´ ´ ´ ´ ´
1
F(0,67) = 0,75; = 0,67 ´ = 1,49
´
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
x- m a- 3 a- 3
b. P(x > a) = 1 - P (x < a) = 1 - P ( < ) = 1 - F( ) = 0,25
´ ´ ´
a- 3 a - 3
F( ) = 1 - 0,25 = 0,75, F(0,67) = 0,75; = 0,67 a = 4,0
´ 1,49
lub korzystając z własności rozkładu symetrycznego P(x < 2) = P(x > a) = 0.25
Q1 = 2 , Q2 = 3 , Q3 = 4 ,
Pracownicy zarabiajÄ…cy powy\ej 4tys. stanowiÄ… w tej firmie 25% zatrudnionych.
Zadanie 3.4.12
Na podstawie licznych obserwacji w Instytucje Geodezji stwierdzono, i\ kwartalna ilość opadu deszczu
(w litrach) na 1m2 powierzchni na terenach Polski północnej ma rozkład normalny ze średnią 4 litry.
a. Wyznacz odchylenie standardowe tego rozkładu wiedząc, \e P(x - m < 5) = 0,95
b. Jakie jest prawdopodobieństwo, \e opady przekroczą 3 litry.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość opad deszczu
zmienna losowa X ilość padu deszczu w litrach na m2
zmienna losowa X w zbiorowoÅ›ci generalnej ma rozkÅ‚ad normalny X:N(4; ´)
P(x m < 5) = 0,95
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
x - m 5 5 5
a. P(x - m < 5) = P( < ) = P(u < ) = F( ) = 0,95; F(1,64) = 0,95;
´ ´ ´ ´
5
= 1,64 ´ = 3,05
´
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
25
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
x - m 3 - 4
b. P(x > 3) = P( > ) = P(x > -0,33) = 1 - P(x d" -0,33) = 1 - 1 + P(x d" 0,33) =
´ 3,05
= F(0,33) = 0,63
Prawdopodobieństwo opadów wy\szych ni\ 3 litry na m2 wynosi 0,98.
Zadanie 3.4.13
Zakładamy, i\ miesięczne dochody studentów to zmienna losowa o rozkładzie normalnym z odchyleniem
standardowym 300 zł. Wyznaczyć wartość oczekiwaną w tym rozkładzie jeśli wiadomo, \e dochody 85%
studentów są ni\sze ni\ 400zł.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość - studenci
zmienna losowa X miesięczne dochody studentów
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(m, 300),
P(x < 400) = 0,85
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
x- m 400 - m 400 - m
P(x < 400) = P( < ) = F( ) = 0,85
´ 300 300
400 - m
F (1,04) = 0,85; = 1,04 m = 88
300
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Średnie dochody studentów wynoszą 88 zł.
Zadanie 3.4.14
Zakładamy, i\ zu\ycie mleka (w litrach) potrzebnego do wyprodukowania 1 kg białego sera jest zmienną
losową o rozkładzie normalnym X:N(5 i 1).
a. Wyznacz prawdopodobieństwo zu\ycia więcej ni\ 4 litrów mleka.
b. Jakie jest prawdopodobieństwo zu\ycia mleka z przedziału 4-6 litrów.
Odpowiedz na te pytania korzystając jedynie z własności rozkładu normalnego.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość produkcja sera białego
zmienna losowa X ilość mleka potrzebna do wyprodukowania 1kg sera białego
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(5; 1)
szukane:
rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym z osią symetrii m = do = me oraz
P( m- ´ < x < m+ ´ ) = 068 zatem
P(x < m) = 0,5; P(m < x < m + ´) = P(m - ´ < x < m) = 0,34
a. P(x > 4) = P(x > m - ´) = 1 - P(x < m - ´) = 1 (0,5 - 0,34) = 0,84
26
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
b. P(4 < x < 6) = P(m - ´ < x < m + ´) = 0,68
Prawdopodobieństwo zu\ycia więcej ni\ 4 litrów mleka do wytworzenia 1 kg sera wynosi 0,0,84 zaś od 4
do 6 litrów mleka 0,68.
Zadanie 3.4.15
Rozkład wagi (w gramach) automatycznie paczkowanej herbaty jest zbie\ny z rozkładem normalnym
N(250,10). Jakie jest prawdopodobieństwo, \e:
a. waga paczki herbaty będzie większa od mediany wagi,
b. waga paczki herbaty będzie w granicach <240,260>,
c. waga paczki będzie wy\sza od 270 ?
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość paczki herbaty
zmienna losowa X waga paczki herbaty
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(250, 10)
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
a. korzystając z własności rozkładu normalnego P(x > 250) = P(x > me) = F(me) = 0,5
Prawdopodobieństwo, i\ waga paczki herbaty będzie większa od mediany wagi wynosi 0.5.
b. P(240 < x < 260) = P(x < 260) - P(x < 240) = 0,84 - 0,16 = 0,68
x- m 260 - 250
P(x < 260) = P( < ) = P(u < 1) = F(1) = 0,84
´ 10
x- m 240 - 250
P(x < 240) = P( < ) = P(u < -1) = F(-1) = 1 - F(1) = 0,16
´ 10
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
lub korzystajÄ…c z wÅ‚asnoÅ›ci rozkÅ‚adu normalnego P(m - ´ < x < m + ´) = 0,68
P(250-10 < x < 250 + 10) = 0,68
Prawdopodobieństwo, \e waga paczki herbaty będzie zawierać się w granicach <240,260> gramów
wynosi 0,16.
x- m 270 - 250
c. P(x > 270 ) = P( > ) = P(u > 2) = 1 - P(u d" 2) = 1 - F(2) = 1 - 0,98 = 0,02
´ 10
lub korzystajÄ…c z wÅ‚asnoÅ›ci rozkÅ‚adu normalnego P (m - 2Å"´ < x < m + 2Å"´ ) = 0,96
P(x > 270) = P(x > m + 2Å"´) = (1 0,96):2 = 0,02
Prawdopodobieństwo, i\ waga paczki przekroczy 270 gramów wynosi 0,02.
27
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 3.4.16
W pewnej przychodni lekarskiej czas oczekiwania pacjentów (w min) na wizytę do lekarza ma rozkład
normalny N(45, 10).
a. Jaki procent zapisanych pacjentów będzie czekać nie krócej ni\ 30 min. i jednocześnie nie dłu\ej ni\
50 minut.
b. Co jest bardziej prawdopodobne, \e losowo wybrany pacjent będzie czekał dłu\ej ni\ 55 minut, czy \e
będzie czekał krócej ni\ 35 minut.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość pacjent przychodzący do przychodni
zmienna losowa X czas oczekiwania pacjenta na wizytÄ™ do lekarza
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(45, 10)
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
a. P(30 < x < 50) = P(x < 50) - P(x d" 30) = 0,69 - 0,07 = 0,62
x- m 50 - 45
P(x < 50) = P( < ) = P(u < 0,5) = F(0,5) = 0,69
´ 10
x- m 30 - 45
P(x d" 30) = P( d" ) = P(u d" -1,5) = F(-1,5) = 1 - F(1,5) = 1 - 0,93 = 0,07
´ 10
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Około 62% zapisanych pacjentów będzie czekać nie krócej ni\ 30 min. i jednocześnie nie dłu\ej ni\ 50
min. na wizytÄ™ do lekarza.
x - m 55 - 45
b. P(x > 55) = 1 - P(x d" 55) = 1 - P( d" ) = 1 - P(u d" 1) = 1 - F(1) = 1 - 0,84 = 0,16
´ 10
x- m 35 - 45
P(x < 35) = P( < ) = P(u < - 1) = 1 - P(u < 1) = 1 - F(1) = 1 - 0,84 = 0,16
´ 10
lub korzystajÄ…c z wÅ‚asnoÅ›ci rozkÅ‚adu normalnego X:N(m = 45, ´ = 10)
P(x > 55 = m + ´) = P(x < 35 = m - ´)
Prawdopodobieństwo, ze pacjent będzie czekał krócej ni\ 35 min. jest takie same jak dla pacjentów
oczekujÄ…cych powy\ej 55 min.
Zadanie 3.4.17
Tygodniowy czas (w godz.) przeznaczony przez studenta I-go roku na studiowanie statystyki jest zmiennÄ…
losową o rozkładzie N(3; 1). Dodatkowo wiadomo, \e spośród osób poświęcających najwięcej czasu na
studiowanie statystyki 20% zdaje ją w pierwszym terminie. Ile czasu powinien przeznaczyć tygodniowo
student na naukę, aby na pewno zaliczyć ten przedmiot w pierwszym terminie?
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość studenci uczący się statystyki
zmienna losowa X tygodniowy czas poświęcony na studiowanie statystyki
28
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
zmienna losowa X w zbiorowości generalnej ma rozkład normalny X:N(3; 1)
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny: u = X:N(m, ´)
´
x - m a - 3 a- 3 a- 3
P(x > a) = P( > ) = P(u > ) = 1 - P (u d" ) = 0,2
´ 1 1 1
a- 3 a- 3 a- 3
P (u d" ) = F( ) = 0,8; F(0,84) = 0,8; = 0,84 a = 3,84
1 1 1
(wartość prawdopodobieństwa odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego przy zadanej wartości dystrybuanty)
Student powinien przeznaczyć tygodniowo co najmniej 3,84 godz. na studiowanie statystyki, aby na
pewno zaliczyć ją w pierwszym terminie.
Zadanie 3.4.18
Obserwacja meczy piłki no\nej dostarczyła informacji o liczbie trafień w poprzeczkę bramki przez
zawodnika oddającego starzał na bramkę. Okazało się, \e zwykle na 100 strzałów na bramkę jest 5 trafień
w poprzeczkę. Wyznacz prawdopodobieństwo trafienia w poprzeczkę co najmniej 6 razy na 300
oddanych strzałów na bramkę.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość zawodnicy strzelający na bramkę
zmienna losowa X liczba trafień w poprzeczkę bramki
sukces (prawdopodobieństwo trafienia w poprzeczkę) p = 0,05
pora\ka (prawdopodobieństwo nie trafienia w poprzeczkę) q = 1 p = 0,95
próba: n = 300
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny u = X:N(np; nÅ"pÅ"q)
´
E( Xn ) = nÅ"p = 300Å"0,05 = 15 D( Xn ) = nÅ"pÅ"q = 300Å"0,05Å"0,95 = 14,25
6 -15
P(x > 6) = 1 P(x < 6) = 1 - P(u < ) = 1 F(-0,63) = 1 [1 - F(0,63)] = 1 1 + 0,74 = 0,74
14,25
Prawdopodobieństwo trafienia co najmniej 6 razy przy 300-krotnym oddaniu strzałów na bramkę wynosi
0,74.
Zadanie 3.4.19
Wyznacz prawdopodobieństwo trafienia do tarczy strzelniczej przez osobę oddającą 100 strzałów co
najmniej 88 razy je\eli ze wcześniejszych statystyk wynika, \e zwykle na 11 strzałów jeden jest celny.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość osoba rzucająca do tarczy
zmienna losowa X liczba trafień do tarczy
zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy w zbiorowości generalnej
sukces (osoba strzelajÄ…ca trafi do tarczy) p = 0,91
29
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
pora\ka (osoba strzelajÄ…ca nie trafi do tarczy) q = 1 p = 0,09
próba: n = 100
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny u = X:N(np; nÅ"pÅ"q)
´
E( Xn ) = nÅ"p = 100Å"0,91 = 9,1 D( Xn ) = nÅ"pÅ"q = 100Å"0,91Å"0,09 = 9,19
88 - 9,1
P(x > 88) = 1 - P(x < 88) = 1 P(u < ) = 1 F(-0,37) = 1 - [1 - F(0,37)] = 0,84
9,19
Z prawdopodobieństwem 0,84 mo\emy stwierdzić, \e osoba strzelająca do tarczy strzelniczej 100 razy co
najmniej 88 razy trafi w niÄ….
Zadanie 3.4.20
Wiadomo, \e zwykle 13 uczniów na 100 czyta obowiązkową lekturę. Wyznacz prawdopodobieństwo, \e
a. w grupie 256 uczniów co najmniej 100 osób przeczyta zadaną lekturę;
b. odsetek osób czytających lekturę w grupie 256 uczniów będzie wy\szy ni\ 0,39.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość uczniowie
zmienna losowa X liczba osób czytających obowiązkową literaturę
sukces (prawdopodobieństwo, \e uczeń przeczyta lekturę) p = 0,13
pora\ka (prawdopodobieństwo, \e uczeń nie przeczyta lektury) q = 1 p = 0,87
próba: n = 256
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny u = X:N(np; nÅ"pÅ"q)
´
a. E( Xn ) = nÅ"p = 256Å"0,13 = 33,28 D( Xn ) = nÅ"pÅ"q = 256Å"0,13Å"0,87 = 28,95
100 - 33,28
P(x > 100) = 1 - P(x < 100) = 1 P(u < ) = 1 F(2,31) = 1 0,98 = 0,01
28,95
Prawdopodobieństwo, i\ w grupie 256 uczniów co najmniej 100 przeczyta lekturę wynosi 0,01.
0,39 - 0,13
b. P(w > 0,39) = P(u > ) = P(u > 13) = 1 P(u < 13) = 1 0,99 = 0,01
0,13 Å" 0,87
256
Z prawdopodobieństwem 0,01 mo\emy stwierdzić, \e w grupie 256 odsetek osób czytających lektury
szkolne wynosi co najmniej 0,39.
30
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
Zadanie 3.4.21
Z licznych obserwacji wiadomo, \e co setna osoba przychodząca do teatru na spektakl spóznia się.
Wyznacz prawdopodobieństwo, \e
a. wśród 1010 osób co najwy\ej 120 nie przyjdzie na czas;
b. odsetek spóznionych osób w grupie 1010 będzie wy\szy od 0,12.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość osoby przychodzące do teatru
zmienna losowa X liczba osób spózniających się na spektakl
sukces (osoba spózni się do teatru) p = 0,01
pora\ka (osoba przyjdzie na czas do teatru) q = 1 p = 0,99
próba: n = 1010
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny u = X:N(np; nÅ"pÅ"q)
´
a. E( Xn ) = nÅ"p = 100Å"0,01 = 10,1 D( Xn ) = nÅ"pÅ"q = 1010Å"0,01Å"0,99 = 9,99
120 -10,1
P(x < 120) = P(u < ) = F(-1,01) = 1 - F(1,01) = 1 - 0,84 = 0,16
9,99
Prawdopodobieństwo, i\ na 1010 osób przychodzących do teatru spózni się co najwy\ej 120 wynosi 0,16
0,12 - 0,01
b. P(w < 0,12) = P(u < ) = P(u < 11) = 0,99
0,12 Å" 0,88
1010
Z prawdopodobieństwem 0,99 mo\na wnioskować, \e odsetek osób spózniających się do teatru wynosi co
najwy\ej 0,12.
Zadanie 3.4.22
Z wielokrotnych badań ankietowych wynika, \e zwykle 12 na 1000 osób ma dostęp do internetu.
Wyznacz prawdopodobieństwo, \e:
a. w grupie 2500 osób co najmniej 25 będzie miało dostęp do internetu;
b. odsetek osób mających dostęp do internetu w grupie 2500 będzie wy\szy ni\ 0,01.
ROZWIZANIE:
dane: badana zbiorowość ludzie
zmienna losowa X liczba osób mających dostęp do internetu
sukces (osoba ma dostęp do Internetu) p = 0,012
pora\ka (osoba nie ma dostępu do Internetu) q = 1 p = 0,988
próba; n = 2500
szukane:
x- m
rozkÅ‚ad normalny u = X:N(np; nÅ"pÅ"q)
´
a. E( Xn ) = nÅ"p = 2500Å"0,012 = 30 D( Xn ) = nÅ"pÅ"q = 2500Å"0,012Å"0,988 = 29,64
31
Statystyka w teorii i praktyce (materiał powielony) Małgorzata Podogrodzka
Instytut Statystyki i Demografii, SGH Warszawa, 2007
25 - 30
P(x > 25) = 1 - P(x < 25) = 1 - P(u < ) = 1 P(u < -0,17) = 1 1 + P(u < 0,17) =
29,64
= 1 1 + F(0,17) = 1 1 + 0,58 = 0,58
Z prawdopodobieństwem 0,58 mo\emy stwierdzić, \e w grupie 2,5tys. osób co najmniej 25 będzie miało
dostęp do Internetu.
0,01 - 0,012
b. P(w > 0,01) = P(u > ) = P(u > 1) = 1 P(u < 1) = 1 0,84 = 0,16
0,01Å" 0,99
2500
Prawdopodobieństwo, \e w badanej grupie co najmiej 1% osób ma dostęp do Internetu wynosi 0,16.
32
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
rozklady statystyk z proby SGH zadaniaWybrane rozkladyTypy komizmu na podstawie jednej wybranej komedii np Moliera , Fredryrozklad normalny nowe zadaniazadania korzystanie z tablic rozkladowRozklad zmiennej losowej zadaniawybrane rozkłady zmiennych losowychStatystyka zadanie porownanie rozkladowzadania zmienne rozkładyAnaliza Matematyczna 2 ZadaniaZARZĄDZANIE FINANSAMI cwiczenia zadania rozwiazaneEZADANIE (11)zadanie domowe zestawwięcej podobnych podstron