DYSKRETNE I CI
GA
E ZMIENNE LOSOWE
Zadanie 1. Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmuje wartości równe odpowiednio: 1, 2, 3, 4, 5,
x3
jest równe: P{�X =� x}�=� .
225
Sprawdzić, czy podana funkcja jest funkcją prawdopodobieństwa. Wyznaczyć dystrybuantę. Zinterpretować
graficznie funkcję rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuantę. Znalez
ć prawdopodobieństwo tego, że zmienna
losowa przyjmuje wartość:
a) mniejszą niż 4,
b) większą niż 3,
c) mniejszą niż 5, a większą niż 2.
Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności zmiennej losowej
X.
Zadanie 2. Dystrybuanta zmiennej losowej ma postać:
�� 0 x <� 0
��
0,1 0 Ł� x <� 1
��
��
0,3 1 Ł� x <� 4
��
F(x) =� 4 Ł� x <� 7
��0,55
��0,82 7 Ł� x <� 9
��
��0,98 9 Ł� x <� 10
��
1,0 x ł� 10
��
Zbudować jej rozkład. Zinterpretować graficznie funkcję rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuantę.
Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i współczynnik zmienności. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że
zmienna przyjmuje wartości większe od 4 a mniejsze od 9.
Zadanie 3. Dla jakiej wartości parametru c funkcja f(x) jest funkcją gęstości zmiennej losowej X?
c(x -� 2)
�� xx ��<�2,8,8
��<� 2 >�>�
x ��<� 2,8 >�
f (x) =�
��
xx ��<�2,8,8
��<� 2 >�>�
x ��<� 2,8 >�
��0
Ustalić postać dystrybuanty tej zmiennej. Zinterpretować graficznie funkcję gęstości i dystrybuantę. Wyznaczyć
wartość oczekiwaną oraz wariancję. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że
-� zmienna nie przekracza poziomu 3
-� jest co najmniej równa 6
-� przyjmuje wartości nie mniejsze niż 4 i nie większe niż 7
Zadanie 4. Wyznaczyć stałą c tak, aby funkcja f(x) była funkcją gęstości rozkładu zmiennej losowej X:
0 dla x <� 0,
��
��3x2
f (x) =� dla 0 Ł� x Ł� c,
��
��0 dla x >� c.
��
c ��, c c c ��.
��
Ustalić postać dystrybuanty. Wyznaczyć E(X) i D2(X) oraz Pć� X Ł� Pć� X >� i Pć� <� X <�
�� �� �� �� �� ��
2 4 3 2
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
Zadanie 5. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X:
0 dla x Ł� 0,
ć�
��
1
��
F(x) =� x2 dla 0 <� x Ł� 4,
��
16
��1 dla x >� 4.
Ł�
Wyznaczyć funkcję gęstości tej zmiennej.
WYBRANE ROZKA
ADY ZMIENNEJ LOSOWEJ SKOKOWEJ I CI
GA
EJ
Zadanie 1. W supermarkecie, w ostatnich dniach sierpnia, zorganizowano posezonową obniżkę cen odzieży.
Wszystkie przecenione towary umieszczono w specjalnych pojemnikach. Klienta zainteresowanego zakupem T-
shirtu w rozmiarze XL skierowano do kosza z koszulkami w rozmiarach L i XL (przy czym koszulek w
rozmiarze XL było 35%). Traktując wybór koszulki jako zmienną losową, zbudować jej rozkład. Wyznaczyć
jego dystrybuantę, wartość oczekiwaną i wariancję.
1
Zadanie 2. Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany student jest nieprzygotowany do ćwiczeń jest .
4
Prowadzący wybiera losowo 3 osoby. Zmienna losowa X oznacza liczbę osób nieprzygotowanych do ćwiczeń.
a) określić funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę tej zmiennej losowej,
b) obliczyć jej wartość oczekiwaną i wariancję,
c) obliczyć prawdopodobieństwo, że nieprzygotowanych w wybranej trójce będzie:
-� nie mniej niż dwóch studentów
-� nie więcej niż dwóch studentów.
Zadanie 3. 40% Polaków to blondyni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w sześcioosobowej rodzinie wszyscy
są blondynami?
Zadanie 4. W dużej partii podręczników szkolnych dla szkół ponadpodstawowych 20 książek posiada
uszkodzone oprawy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii złożonej z 500 książek dokładnie 5 ma
uszkodzone oprawy, a jakie, że co najmniej 3 sztuki mają uszkodzone oprawy?
Zadanie 5. Czas oczekiwania na wizytę w poczekalni stomatologicznej jest zmienną losową o rozkładzie
jednostajnym na przedziale [3 minuty; 33 minuty]. Przedstawić funkcję gęstości i dystrybuantę tej zmiennej
losowej oraz zinterpretować je graficznie. Wyznaczyć przeciętny czas oczekiwania na wizytę u stomatologa oraz
obliczyć prawdopodobieństwa, że pacjent czeka na wizytę:
a) krócej niż 10 minut,
b) dłużej niż 20 minut,
c) nie krócej niż 15 minut i nie dłużej niż 25 minut.
Zadanie 6. Obroty miesięczne sklepów pewnej branży są zmienną losową o rozkładzie N(90, 6) (w tys. zł). Jakie
jest prawdopodobieństwo, ze obroty te będą:
a) mniejsze niż 78 tys. zł,
b) większe niż 100 tys. zł,
c) nie większe niż 96 i nie mniejsze niż 81 tys. zł.
Zadanie 7. Ciężar jaj kurzych zniesionych w okresie zimowym jest zmienną losową N(50; 0,5) gram. Jakie jest
prawdopodobieństwo, ze waga 20 jajek przekroczy 1 kg?