Zmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych.
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji (wykład III)
Zmienna losowa typu ciągłego
 Zmienna losowa X o ciągłej dystrybuancie F nazywa się zmienną losową typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna
i całkowalna funkcja f taka, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi
x
F (x) = f(t)dt.
-"
 Funkcję f nazywamy gęstością prawdopodobieństwa lub gęstością zmiennej losowej X.
Własności gęstości prawdopodobieństwa
 f(x) 0 dla każdego x " R
+"

 f(x)dx = 1
-"

 f(x) = F (x), jeżeli dystrybuanta F jest funkcją różniczkowalną
Zmienna losowa typu ciągłego
Zauważmy, że dla zmiennej losowej X typu ciągłego mamy:
 P (X = a) = 0 dla każdego a " R;
 P (a X < b) = P (a X b) = P (a < X b) =
b
= P (a < X < b) = f(x)dx = F (b) - F (a).
a
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej
Mówimy, że dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, jeśli dana jest dystrybuanta zmi-
ennej losowej X, względnie gdy dana jest jej gęstość prawdopodobieństwa.
Podstawowe rozkłady ciągłe
 rozkład jednostajny (prostokątny, równomierny) na przedziale a, b
 rozkÅ‚ad normalny (Gaussa) o parametrach m, Ã
 rozkład wykładniczy
Rozkład jednostajny na przedziale a, b
 Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego jest określona wzorem:
Å„Å‚
0 dla x < a,
òÅ‚
1
f(x) = dla a x b,
b-a
ół
0 dla x > b.
y
1
b-a
0 x
a b
Rysunek 1. Wykres funkcji gęstości rozkładu jednostajnego
1
Rozkład jednostajny na przedziale a, b
 Dystrybuanta rozkładu jednostajnego ma postać:
Å„Å‚
0 dla x a,
òÅ‚
x-a
F (x) = dla a < x b,
b-a
ół
1 dla x > b.
a + b (b - a)2
 EX = , D2(X) =
2 12
RozkÅ‚ad normalny N(m, Ã)
 RozkÅ‚ad normalny z parametrami m, à oznaczany jest symbolem N(m, Ã).
 Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego jest określona wzorem:
(x-m)2
1
" , gdzie m " R, Ã > 0.
f(x) = e- 2Ã2
à 2Ą
(x-m)2
1
y = " e- 2Ã2
y
2Ä„Ã
0 - Ã m m + Ã
x
m
Rysunek 2. Wykres funkcji gÄ™stoÅ›ci rozkÅ‚adu normalnego N(m, Ã)
Rozkład normalny N(0, 1)
 Jeżeli m = 0 i à = 1, to funkcja gÄ™stoÅ›ci prawdopodobieÅ„stwa ma postać
x2
"1
f(x) = e- 2
i oznaczamy jÄ… przez Õ(x).
2Ä„
y
1 x2
Õ(x) = " e- 2
"1
2Ä„
2Ä„
0 x
- 1 Ã = 1
Rysunek 3. Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego N(0, 1)
Rozkład normalny N(0, 1)
 Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0, 1) ma postać:
x
1 t2
2
Åš(x) = " e- dt.
2Ä„
-"
x
y 1 t2
Ć(x) = " e- 2
dt
2Ä„
1
-"
1
2
0 x
Rysunek 4. Wykres dystrybuanty rozkładu normalnego N(0, 1)
2
Rozkład normalny
 Funkcje Õ i Åš sÄ… stablicowane.
 Fakt, że zmienna losowa ma rozkÅ‚ad normalny z parametrami m, à zapisujemy skrótowo X <" N(m, Ã).
 EX = m, D2(X) = Ã2.
Standaryzacja zmiennej losowej
X-m
 Jeżeli zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad N(m, Ã), to zmienna losowa Y ma rozkÅ‚ad N(0, 1).
Ã
=
X-m x-m x-m x-m
 Wtedy F (x) = P (X < x) = P < = P Y < = Åš ,
à à à Ã
gdzie Åš jest dystrybuantÄ… zmiennej losowej Y .
 Taki proces nazywamy standaryzacjÄ… zmiennej losowej.
Rozkład normalny N(0, 1)
 Z symetrii wykresu gÄ™stoÅ›ci Õ wzglÄ™dem osi OY wynika, że
Åš(-x) = 1 - Åš(x).
 Często w tablicach, zamiast wartości funkcji Ś(x), podane są wartości funkcji
x
1 t2
2
Åš0(x) = " e- dt.
2Ä„
0
1
 Z własności dystrybuanty Ś(x) mamy wtedy: Ś(x) = + Ś0(x).
2
Rozkład wykładniczy
 Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu wykładniczego jest określona wzorem:
Å„Å‚
0 dla x < 0,
òÅ‚
f(x) =
x
ół
1
e- 
dla x 0, gdzie  > 0.

y

0, dla x < 0,
1
f(x) =
1
 1 x
e- 
dla x 0

0 x
Rysunek 5. Wykres funkcji gęstości rozkładu wykładniczego
Rozkład wykładniczy
 Dystrybuanta rozkładu wykładniczego ma postać:
Å„Å‚
0 dla x 0,
òÅ‚
F (x) =
ół1 - e- x

dla x > 0.
 EX = , D2(X) = 2
Inne rozkłady zmiennych losowych wykorzystywane w statystyce
3
 rozkład t-Studenta
 rozkÅ‚ad Ç2 (chi kwadrat)
 rozkład F -Snedecora
Parametry rozkładu zmiennej losowej
 wartość oczekiwana (wartość przeciętna, wartość średnia, nadzieja matematyczna)
 wariancja
 odchylenie standardowe
 mediana
 moda
Wartość oczekiwana
 Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, wartością średnią, nadzieją matematyczną) zmiennej losowej X
typu skokowego o rozkładzie pi = P (X = xi), gdzie i " {1, 2, . . . }, nazywamy liczbę

EX = xipi,
i=1
"

przy założeniu, że suma xipi jest skończona albo szereg nieskończony |xi|pi jest zbieżny.
i=1 i=1
Wartość oczekiwana
 Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X typu ciągłego o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f nazy-
wamy liczbÄ™
+"

EX = xf(x)dx,
-"
+"

przy założeniu, że całka |x|f(x)dx jest zbieżna.
-"
Podstawowe własności wartości oczekiwanej
 E(aX + b) = aEX + b, gdzie a, b " R
 jeżeli X i Y są dowolnymi zmiennymi losowymi, dla których istnieją wartości oczekiwane EX oraz EY , to E(X +
Y ) = EX + EY
 jeżeli istnieje E|X|, to prawdziwa jest nierówność |EX| E|X|
 wartość oczekiwana jest miarą położenia, parametrem pozycyjnym: wskazuje punkt środkowy rozkładu, tzn. punkt,
wokół którego grupują się wartości zmiennej losowej
 interpretacja fizyczna: wartość oczekiwaną można utożsamiać z pojęciem środka ciężkości, jeśli prawdopodobieństwa
zinterpretujemy jako masy
Uwaga. Jak wynika z definicji, wartość oczekiwana dla niektórych zmiennych losowych nie istnieje (odpowiedni szereg
lub odpowiednia całka nie są zbieżne).
Wariancja
 WariancjÄ… zmiennej losowej X nazywamy liczbÄ™
D2(X) = E(X - EX)2.
 Jeżeli X jest zmienną losową typu skokowego o rozkładzie
pi = P (X = xi), i " {1, 2, . . . }, i wartości oczekiwanej EX = m, to

D2(X) = (xi - m)2pi.
i
4
 Jeżeli X jest zmienną losową typu ciągłego o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f i wartości oczekiwanej EX =
m, to
+"

D2(X) = (x - m)2f(x)dx.
-"
Podstawowe własności wariancji
 D2(X) = E(X2) - (EX)2
 D2(aX + b) = a2D2(X), gdzie a, b " R
 D2(X) 0 dla dowolnej zmiennej losowej X
 wariancja jest miarą rozrzutu (rozproszenia) wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej
Odchylenie standardowe
 Odchyleniem standardowym nazywamy liczbÄ™

D(X) = D2(X).
 Podstawowe własności odchylenia standardowego:
 D(aX + b) = |a|D(X), gdzie a, b " R
 D(X) 0 dla dowolnej zmiennej losowej X
 odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu (rozproszenia) wartości zmiennej losowej
Wartości EX oraz D2(X) dla podstawowych rozkładów skokowych
 Rozkład jednopunktowy:
.
 Rozkład zero-jedynkowy:
EX = p, D2(X) = pq.
 Rozkład Bernoulliego:
EX = np, D2(X) = npq.
 Rozkład Poissona z parametrem :
EX = , D2(X) = .
Wartości EX oraz D2(X) dla podstawowych rozkładów ciągłych
 Rozkład jednostajny na przedziale a, b :
a + b (b - a)2
EX = , D2(X) = .
2 12
 RozkÅ‚ad normalny N(m, Ã):
EX = m, D2(X) = Ã2.
 Rozkład wykładniczy z parametrem :
EX = , D2(X) = 2.
Mediana
 Medianą zmiennej losowej X nazywamy liczbę Me spełniającą warunki:
1 1
P (X Me) oraz P (X Me) .
2 2
 W przypadku zmiennej losowej typu ciągłego o gęstości f powyższe nierówności redukują się do jednego z dwóch
równań:
Me +"

1 1
f(x)dx = lub f(x)dx = .
2 2
-" Me
 Mediana jest parametrem, który nie zawsze jest wyznaczony w sposób jednoznaczny.
Czasami zdarza się nawet, że mediana jest dowolną liczbą z pewnego przedziału domkniętego.
5
Moda
 ModÄ… Mo (dominantÄ…) zmiennej losowej X nazywamy:
 w przypadku zmiennej losowej typu skokowego - wartość zmiennej losowej, której odpowiada największe praw-
dopodobieństwo;
 w przypadku zmiennej losowej typu ciągłego - wartość, dla której gęstość prawdopodobieństwa przyjmuje
maksimum lokalne.
 Moda jest więc wartością, która należy do zbioru wartości zmiennej losowej. Istnieją rozkłady jednomodalne (jest
tylko jedna moda), wielomodalne (więcej niż jedna moda) oraz takie, dla których moda nie istnieje.
 Mediana i moda to, podobnie jak wartość oczekiwana, parametry charakteryzujące położenie zbioru wartości
zmiennej losowej. SÄ… to tzw. wskaz
niki położenia lub inaczej charakterystyki pozycyjne.
6